大学物理习题及解答
第一章
1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同?t d d r 和t d d r
有
无不同? t d d v 和t d d v
有无不同?其不同在哪里?
试举例说明． 解：（1）
r
?是位移的模，?r 是位矢的模
的增量，即
r ?1
2r r -=，
12r r r
-=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t
s
d d . t r
d d 只是速度在径向上的分量.
∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r
?t r t d d d d d d r r r +=
式中t r
d d 就是速度径向上的分量，
∴t r
t d d d d 与r 不同如题1-1图所示.
题
1-1图
(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d
=
，t v
d d 是加速度a 在切向上的分量.
∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以
t v t v t v d d d d d d ττ =
式中dt dv
就是加速度的切向分量.
(t t
r d ?d d ?d τ 与
的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，
y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，
有人先求出r ＝2
2
y x +，
然后根据v =t r
d d ，
2
2d d t r v =2
2d d d d ?
??
??+??? ??t y t x 及
a =
2
22
2
22
d d d d ???? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是
矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=，
j
t y i t x t r a j
t y i t x t r v
222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴
故它们的模即为
2222222
22
222d d d d d d d d ???? ??+???? ??=+=?
?
?
??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y
x
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念
上的错误，即误把速度、加速度定义作
22d d d d t r a t r v == 其二，可能是将
22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r
d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，2
2d d t r 也
不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
的一部分????
???
???? ??-=2
22d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r
在径向
（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑
位矢r
及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为
x =3t +5, y =21
t 2+3t -4.
式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为
变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)． 解：（1）
j
t t i t r
)4321()53(2-+++=m
(2)将1=t ,2=t 代入上式即有
m j j r
4112+=m j i r 5.081-=
j j r r r
5.4312+=-=?m
(3)
∵
j i r j j r
1617,4540+=-=
∴
1
04s m 534201204-?+=+=--=??=j i j i r r t r v (4) 1
s m )3(3d d -?++==j t i t r v
则 j i v 734+= 1s m -?
(5)∵
j i v j i v
73,3340+=+=
2
04s m 1444-?==-=??=j v v t v a
(6) 2s m 1d -?==j v a
这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图
1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知
222s h l +=
将上式对时间t 求导，得
t s s t l l
d d 2d d 2=
题1-4图
根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，
∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即 θcos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船
或 s v s h s lv v 0
2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度 3
2
02220202
002)(d d d d d d s v h s v s l s v s lv s v v s t s l t l s t v a =+-=+-=-==船船 1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系
为 a ＝2+6
2x ，a 的单位为
2s m -?，x 的单
位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101
s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵
x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===
分离变量： x x adx d )62(d 2
+==υυ 两边积分得 c
x x v ++=32
2221
由题知，0=x 时，100
=v ,∴50=c
∴
13s m 252-?++=x x v
1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a
＝4+3t 2
s m -?，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，
求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．
解：∵ t t v
a 34d d +==
分离
变
量，得
t t v d )34(d +=
积
分
，
得
1
223
4c t t v ++=
由题知，0=t ,00
=v ,∴01=c
故
2
23
4t t v +=
又
因
为
2
234d d t t t x v +==
分离变量， t
t t x d )23
4(d 2+=
积
分
得 2
3221
2c t t x ++=
由题知 0=t ,50
=x ,∴52=c
故 5
21
232++=t t x
所以s 10=t 时 m
70551021
102s m 1901023
10432101210=+?+?=?=?+
?=-x v
1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33
t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
解
：
t t t t 18d d ,9d d 2====
ω
βθω
(1)s 2=t 时
， 2
s m 362181-?=??==βτR a
2222
s m 1296)29(1-?=??==ωR a n
(2)当加速度方向与半径成ο
45角时，有
145tan ==?n a a τ
即 β
ωR R =2
亦即
t t 18)9(22=
则解得
92
3
=t
于是角位移为
rad 67.292
32323=?+=+=t θ
1-8 质点沿半径为R 的圆周按s ＝
2
021bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周
上某点的弧长,0v
，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在
数值上等于b ． 解：（
1）
bt v t s
v -==
0d d
R bt v R v a b
t
v a n 2
02)(d d -=
=-==τ
则
24
02
2
2
)(R bt v b a a a n
-+
=+=τ
加速度与半径的夹角为
20)(arctan
bt v Rb
a a n --=
=τ?
(2)由题意应有
24
02
)(R bt v b b a -+
==
即
0)(,)(402
4
02
2
=-?-+=bt v R bt v b b
)
sin (sin 2
cos
2
sin 200t R t R R t v R t v x ωωθ
θ
θ
-=-=-=∴当
b v t 0
=
时，b a =
1-9 半径为R 的轮子，以匀速0v
沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B 的运动方程为x ＝R )sin (t t ωω-，y ＝
R )cos 1(t ω-，式中0v =ω/R 是轮子滚动的角速度，当B 与水平线接触的瞬间开始计时．此时B 所在的位置为原点，轮子前进方向为x 轴正方向；(2)求B 点速度和加速度的
分量表示式．
解：依题意作出下图，由图可知
题1-9图
(1)
)cos 1()cos 1(2sin
2sin
2t R R R y ωθθ
θ
-=-==
(2)
??????
?==-==)sin d d )cos 1(d d t R t y v t R t x v y x ωωω
???
???
?====t v t R a t v t R a y
y x x d d cos d d sin 22
ωωωω 1-10 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球，抛
出方向与水平面成幔60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ．
(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．
题1-10图
(1)在最高点，
o 0160cos v v v x == 2
s m 10-?==g a
又
∵
12
11ρv a n =
∴
m
1010
)60cos 20(2
2111=??=
=n a v ρ
(2)在落地点，
2002==v v 1s m -?,
而
o
60cos 2?=g a n
∴ m
8060cos 10)20(2
2
222=?
?==n a v ρ
1-11 飞轮半径为0.4 m ，自静止启动，其角加速度为β=0.2 rad ·2
s -，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度． 解
：
当
s
2=t 时，
4.022.0=?==t βω1s rad -?
则16.04.04.0=?==ωR v 1
s m -?
064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2s m -? 08.02.04.0=?==βτR a 2s m -?
2
2222
s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+=τa a a n
1-12 如题1-12图，物体A 以相对B 的速度
v ＝gy 2沿斜面滑动，y 为纵坐标，开始时A 在斜面顶端高为h 处，B 物体以u 匀速向右运动，求A 物滑到地面时的速度．
解：当滑至斜面底时，h y =，则
gh v A 2=',A 物运动过程中又受到B 的牵
连运动影响，因此，A 对地的速度为
j gh i gh u v u v A
A
)sin 2()cos 2('αα++=+=地
题1-12图
1-13 一船以速率1v ＝30km ·h -1
沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率2v ＝40km ·h -1
沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?
解：(1)大船看小艇，则有1221
v v v -=，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)
题1-13图
由图
可
知
12
22121h km 50-?=+=v v v
方
向
北
偏
西
?===87.364
3
arctan arctan
21v v θ
(2)小船看大船，则有2112v v v -=，依题意
作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得
5012=v 1h km -?
方向南偏东o
87.36
1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m 的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却
在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m ·s -1
，求轮船的速率．
解： 依题意作出矢量图如题1-14所示．
题1-14图
∵ 船雨雨船v v v -= ∴ 船雨船雨v v v +=
由图中比例关系可知
1s m 8-?==雨船v v
第二章
2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳
子以匀加速度a '下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a ，其对于2m 则为牵连加速度，又知2m 对绳子的相对加速度为a '，故2m 对地加速度，由图(b)可知，为
a a a '
-=12 ①
又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力
f 在数值上等于绳的张力T ，由牛顿定律，
有
1
11a m T g m =- ②
222a m g m T =-
③
联立①、②、③式，得
2
12
12
112122
12211)
2()()(m m a g m m T f m m a m g m m a m m a m g m m a +'-==+'--=
+'
+-=
讨论 (1)若0='a ，则21a a =表示柱体与绳
之间无相对滑动．
(2)若g a 2='，则0==f T ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1, 2均作自由落体运动．
题2-1图
2-2 一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度
0v 运动，0v 的方
向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持
力N .建立坐标：取0v
方向为X 轴，平行斜
面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-2.
题2-2图
X 方向： 0=x F
t v x 0= ① Y 方
向
： y
y ma mg F ==αsin
②
0=t 时 0=y 0
=y v 2
sin 21
t g y α=
由①、②式消去t ，得 2
20
sin 21x g v y ?=α 2-3 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为x f ＝6 N ，y
f ＝-7 N ，当t ＝0时，==y x 0，x v ＝-2 m ·s -1，y
v ＝0．求 当t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度． 解
： 2
s m 83166-?===m f a x x
2
s m 167-?-==m f a y y
(1)
??--?-=?-=+=?-=?+-=+=20101
00s
m 872167s
m 45
2832dt a v v dt a v v y y y x x x
于是质点在s 2时的速度 1
s m 8745-?--=j i v (2)
m
874134)16
7(21)483
2122(2
1)21(220j i j
i j
t a i t a t v r y x
--=?-+??+?-=++=
2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv (k 为常数)作用，t =0时质点
的速度为0v ，证明(1) t 时刻的速度为v ＝
t m
k e v )(0-；(2) 由0到t 的时间内经过的距离
为
x ＝(k mv 0)［1-t
m
k e )(-］；(3)停止运动前经过的距离为)
(0k m v ；(4)证明当k m t =时速度减至0v 的e 1，式中m 为质点的质量．
答: (1)∵
t v m kv a d d =-= 分离变量，得
m t
k v v d d -=
即 ??-=v v t m t
k v v 00d d
m kt e v v -=ln ln 0
∴
t
m k
e
v v -=0
(2)
??---===t
t
t
m k m k
e k mv t e
v t v x 0
00)
1(d d
(3)质点停止运动时速度为零，即t →∞，
?∞-=='000d k mv t e v x t
m k (4)当t=k m 时，其速度为
e v e v e v v k m m k 0100===-?-
即速度减至0v 的e 1.
2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m ，
2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不
可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当
升降机以匀加速a ＝21
g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察
1m ，2m 的加速度各为多少?
解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如
图(b)所示．
(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为
a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1
m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有
)(22a a m T g m -'=-
a m T '=1
题2-5图
联立，解得g a ='方向向下 (2) 2m 对地加速度为
22g
a a a =
-'= 方向向上
1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵
连加速度，即
牵
相绝a a a +='
∴
g
g g a a a 25
422
2
2
1=+=+'=
a a '=arctan θo
6.2621
arctan ==，左偏上．
2-6一质量为m 的质点以与地的仰角θ=30°
的初速0v 从地面抛出，若忽略空气阻力，求
质点落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题2-6图
题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对y 轴对称性，故末速度与x 轴
夹角亦为o
30，则动量的增量为
0v m v m p
-=?
由矢量图知，动量增量大小为0
v m ，方向竖直向下．
2-7 一质量为m 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1 s ，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?
解: 由题知，小球落地时间为s 5.0．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为g gt v 5.01==，小球上跳速度的大小亦为g v 5.02=．设向上为y 轴正向，则动量的增量
12v m v m p -=?方向竖直向上，
大
小
mg
mv mv p =--=?)(12
碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．
2-8 作用在质量为10 kg 的物体上的力为
i t F
)210(+=N ，式中t 的单位是s ，(1)求
4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力
给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N ·s ，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度
j
6-m ·s -1的物体,回答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
i
t i t t F p t 1
040
1s m kg 56d )210(d -??=+==???,沿x 轴正向，
i p I i
m p v
1111
11s m kg 56s m 6.5--??=?=?=?=?
若物体原来具有6-1s m -?初速，则
??+-=+-=-=t t t F v m t m F v m p v m p 0
00000d )d (, 于是
??==-=?t p t F p p p 0
1
02d
,
同
理
， 12v v ?=?,12I I
=
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
?+=+=t
t t t t I 0
2
10d )210(
亦
即
0200102=-+t t
解得s 10=t ，(s 20='t 舍去)
2-9 一质量为m 的质点在xOy 平面上运动，其位置矢量为
j t b i t a r
ωωsin cos += 求质点的动量及t ＝0 到
ωπ
2=t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量． 解: 质点的动量为
)cos sin (j t b i t a m v m p
ωωω+-==
将0=t 和
ωπ2=
t 分别代入上式，得 j b m p
ω=1,i a m p ω-=2,
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
)(12j b i a m p p p I
+-=-=?=ω
2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为
10s m -?v ，
当子弹在枪筒内被加速时，它所受
的合力为 F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处
合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
0)(=-=bt a F ,得
b a t =
(2)子弹所受的冲量
?-=-=t bt at t bt a I 02
21d )( 将
b a t =
代入，得 b a I 22=
(3)由动量定理可求得子弹的质量
02
02bv a v I m =
=
2-11 一炮弹质量为m ，以速率v 飞行，其内
部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药
使弹片增加的动能为T ，且一块的质量为另一块质量的k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
v +m kT 2,
v -km T
2
证明: 设一块为1m ，则另一块为2m ，
21km m =及m m m =+21
于
是
得
1,12
1+=+=k m
m k km m ①
又设1m 的速度为1v , 2m 的速度为2v ，则有
22222112
12121mv v m v m T -+=
②
2
211v m v m mv +=
③
联立①、③解得
1
2)1(kv v k v -+= ④ 将④代入②，并整理得
21)(2v v km T
-=
于
是
有
km T v v 21±
=
将其代入④式，有
m kT v v 22±
=
又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故
只能取
km
T
v
v
m
kT
v
v
2
,
2
2
1
-
=
+
=
证毕．
2-12 设
N
6
7j
i
F
-
=
合．(1) 当一质点从原
点运动到
m
16
4
3k
j
i
r
+
+
-
=时，求F
所作
的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平
均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动
能的变化．
解: (1)由题知，合
F
为恒力，
∴
)
16
4
3
(
)
6
7(k
j
i
j
i
r
F
A
+
+
-
?
-
=
?
=
合
J
45
24
21-
=
-
-
=
(2)
w
75
6.0
45
=
=
?
=
t
A
P
(3)由动能定理，
J
45
-
=
=
?A
E
k
2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁
钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在
铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，
问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击
铁钉时的速度相同．
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为
y坐
标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
ky
f-
=
第一锤外力的功为1
A
??
?=
=
-
=
'
=
s
s
k
y
ky
y
f
y
f
A1
12
d
d
d
①
式中
f'是铁锤作用于钉上的力，f是木板作
用于钉上的力，在0
d→
t时，f'f-
=．
设第二锤外力的功为2
A，则同理，有
?-
=
=2
1
2
2
22
2
1
d
y k
ky
y
ky
A
②
由题意，有
2
)
2
1
(2
1
2
k
mv
A
A=
?
=
=
③
即
2
2
2
1
2
2
k
k
ky=
-
所以，
2
2
=
y
于是钉子第二次能进入的深度为
cm
414
.0
1
2
1
2
=
-
=
-
=
?y
y
y
2-14 设已知一质点(质量为m)在其保守力
场中位矢为r点的势能为
n
P
r
k
r
E/
)
(=, 试
求质点所受保守力的大小和方向．
解:
1
d
)
(
d
)
(
+
-
=
=
n
r
nk
r
r
E
r
F
方向与位矢r
的方向相反，即指向力心．
2-15 一根劲度系数为1
k的轻弹簧A的下
端，挂一根劲度系数为2
k的轻弹簧B，B的
下端
一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求
这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性
势
能之比．
解: 弹簧B
A、及重物C受力如题2-15图
所示平衡时，有
题2-15图
Mg
F
F
B
A
=
=
又
1
1
x
k
F
A
?
=
2
2
x
k
F
B
?
=
所以静止时两弹簧伸长量之比为
1
2
2
1
k
k
x
x
=
?
?
弹性势能之比为
12
2
22211121212k k x k x k E E p p =??=
2-16 (1)试计算月球和地球对m 物体的引力相抵消的一点P ，距月球表面的距离是多少?
地球质量5.98×1024
kg ，地球中心到月球中
心的距离3.84×108
m ，月球质量7.35×1022kg ，月球半径1.74×106
m ．(2)如果一个1kg 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P 点的势能为多少? 解: (1)设在距月球中心为r 处
地引月引F F =，由万有引力定律，有
()2
2
r R mM G
r
mM G
-=地
月
经整理，得
R
M M M r 月
地月+=
=
222422
1035.71098.51035.7?+??81048.3??
m 1032.386
?= 则P 点处至月球表面的距离为
m 1066.310)74.132.38(76?=?-=-=月r r h
(2)质量为kg 1的物体在P 点的引力势能为
()r R M G
r
M G E P ---=地
月 ()72411
722111083.34.381098.51067.61083.31035.71067.6?-??
?-????-=- J 1028.16?=
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为1m 和2
m 的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲
度系数为k ，自然长度等于水平距离BC ，
2
m 与桌面间的摩擦系数为μ，最初1m 静止于A 点，AB ＝BC ＝h ，绳已拉直，现令滑块落下1m ,求它下落到B 处时的速率．
解: 取B 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有
])(21
[)(21212212l k gh m v m m gh m ?+-+=
-μ
式中l ?为弹簧在A 点时比原长的伸长量，则 h BC AC l )12(-=-=?
联立上述两式，得
()(
)
2
12
2
211
22m m kh gh m m v +-+-=
μ
题2-17图
2-18 如题2-18图所示，一物体质量为2kg ，
以初速度
0v ＝3m ·s -1从斜面A 点处下滑，它
与斜面的摩擦力为8N ，到达B 点后压缩弹簧20cm 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原
长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
???
???+-=-37sin 212122mgs mv kx s f r 22
2137sin 2
1kx s f mgs mv k r -?+= 式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代
入有关数据，解得 -1m N 1390?=k
题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度
2
o 21
37sin kx s mg s f r -'='-
代入有关数据，得 m 4.1='s ,
则木块弹回高度
m 84.037sin o ='='s h
题2-19图
2-19 质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度． 解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
222121MV mv mgR +=
又下滑过程，动量守恒，以m ,M 为系统则
在m 脱离M 瞬间，水平方向有
0=-MV mv
联立，以上两式，得
()M m MgR v +=
2 2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发
生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
222120212121mv mv mv +=
即
2
2
2120v v v += ①
题2-20图(a) 题2-20图(b)
又碰撞过程中，动量守恒，即有 210v m v m v m
+=
亦
即
2
10v v v +=
②
由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可
知三矢量之间满足勾股定理，且以0v
为斜边，
故知1v 与2v 是互相垂直的．
2-21 一质量为m 的质点位于(11,y x )处，速度为
j
v i v v y x
+=, 质点受到一个沿x 负方
向的力f 的作用，求相对于坐标原点的角动
量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为
j y i x r
11+=
作用在质点上的力为
i f f -=
所以，质点对原点的角动量为
v m r L
?=0
)
()(11j v i v m i y i x y x +?+=
k
mv y mv x x y
)(11-=
作用在质点上的力的力矩为
k f y i f j y i x f r M
1110)()(=-?+=?=
2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为
1r ＝8.75×1010m 时的速率是1v ＝5.46×104m ·s -1，它离太阳最远时的速率是2v ＝9.08×102m ·s -1这时它离太阳的距离2r 多少?(太阳位于椭圆的一
个焦点。) 解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力
——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
2211mv r mv r =
∴
m 1026.51008.91046.51075.812
2
4102112?=????==v v r r 2-23 物体质量为3kg ，
t =0时位于m 4i r
=, 1s m 6-?+=j i v
，如一恒力N 5j f =作用
在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对z 轴角动量的变化． 解: (1) ??-??===?30
1
s m kg 15d 5d j t j t f p
(2)解(一) 73400=+=+=t v x x x
j at t v y y 5.253352136212
20=??+?=+=
即
i r
41=,j i r 5.2572+=
10==x x v v
11
335
60=?+=+=at v v y y
即
j i v
611+=,j i v 112+=
∴
k j i i v m r L 72)6(34111=+?=?=
k j i j i v m r L
5.154)11(3)5.257(222=+?+=?= ∴ 1212s m kg 5.82-??=-=?k L L L
解(二) ∵dt dz M =
∴ ???=?=?t t t
F r t M L 0
d )(d
??-??=+=???
????
?+++=3
1
302s m kg 5.82d )4(5d 5)35)216()4(2k t k t t j j t t i t
题2-24图
2-24 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M 的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为
0r 时
重物达到平衡．今在1M 的下方再挂一质量为
2M 的物体，如题2-24图．试问这时小球作
匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少? 解: 在只挂重物时1M ，小球作圆周运动的向心力为g M 1，即
2
01ωmr g M =
①
挂上2M 后，则有
2
21)(ω''=+r m g M M
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．
即
v m r mv r ''=00
ωω''=?2020r r ③ 联立①、②、③得
0211213
2
1
2101010)
(r M M M g m M M r M M M mr g M mr g M ?+='+='+='=ωωω
2-25 飞轮的质量m ＝60kg ，半径R ＝0.25m ，绕其水平中心轴O 转动，转速为900rev ·min -1
．现利用一制动的闸杆，在闸
杆的一端加一竖直方向的制动力F ，可使飞轮减速．已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．试求：
(1)设F ＝100 N ，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? (2)如果在2s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力F ?
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图
(b))．图中N 、N '是正压力，r F 、r F '
是摩擦力，
x F 和y F 是杆在A 点转轴处所受支承
力，R 是轮的重力，P 是轮在O 轴处所受支
承力．
题2-25图（a ）
题2-25图(b)
杆处于静止状态，所以对A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有
F l l l N l N l l F 1
2
11210
)(+=
'='-+
对飞轮，按转动定律有
I R F r /-=β，式中负号表示β与角速度ω方向相反．
∵ N F r μ=
N N '=
∴
F l l l N F r 1
2
1+='=μ
μ
又
∵ ,21
2mR I =
∴
F mRl l l I R F r 1
21)
(2+-=-
=μβ
①
以N 100=F 等代入上式，得
2
s rad 340
10050.025.060)75.050.0(40.02-?-=???+??-=
β
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转
动的时间为
s 06.740603
29000=???=-
=πβωt
这段时间内飞轮的角位移为
rad 21.53)
49(340214960290021220ππππβωφ?=??-??=+=t t 可知在这段时间里，飞轮转了1.53转．
(2)1
0s
rad 602900-??=πω，要求飞轮转速在2=t s 内减少一半，可知 2
00
s rad 21522-?-=-=-=πωωωβt t
用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动
力为 l l mRl F 2)75.050.0(40.021550.025.060)(2211?+?????=
+-=πμβ
2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O O '转动．设大小圆柱体的半径分别为R 和r ，质量分别为M 和
m ．绕在两柱体上的细绳分别与物体1m 和
2m
相连，
1m 和
2m 则挂在圆柱体的两侧，如
题2-26图所示．设R ＝0.20m, r ＝0.10m ，
m ＝4 kg ，M ＝10 kg ，1m ＝2m ＝2 kg ，且开
始时1m ，2m 离地均为h ＝2m ．求： (1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力．
解: 设1a ,2a 和β分别为1m ,2m 和柱体的加
速度及角加速度，方向如图(如图
b)．
题
2-26(a)
图题2-26(b)图
(1) 1m ,2m 和柱体的运动方程如下：
2222a m g m T =- ①
1
111a m T g m =- ②
βI r T R T ='-'21 ③ 式中 ββR a r a T T T T ==='='122211,,,
而
222121mr MR I += 由上式求得 22
2222
22121s rad 13.6910.0220.0210.0421
20.0102121.022.0-?=?+?+??+???-?=++-=g
r m R m I rm Rm β (2)由①式 8.208.9213.610.02222=?+??=+=g m r m T βN
由②式 1.1713.6.2.028.92111=??-?=-=βR m g m T N
2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速
度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M ，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m ＝
50
kg ，2m ＝200 kg,M ＝15 kg, r ＝0.1 m
解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对1m ,2m 运用牛顿定律，有
a m T g m 222=- ① a m T 11= ②
对滑轮运用转动定律，有
β
)21
(212Mr r T r T =- ③ 又
，
βr a = ④
联立以上4个方程，得
2
212s
m 6.72
15
20058
.92002
-?=+
+?=
+
+=
M
m m g m a 题2-27(a)图 题
2-27(b)图
题2-28图
2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为
m ，长为l ，可绕过一端O 的水平轴自由转动，
杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过θ角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有
β)31
(212ml mg =
∴
l g
23=
β
(2)由机械能守恒定律，有
2
2)31
(21sin 2ωθml l mg =
∴
l g θωsin 3=
题2-29图
2-29 如题2-29图所示，质量为M ，长为l 的
均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O 无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度=θ30°处．
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0
v 的值；
(2)相撞时小球受到多大的冲量?
解: (1)设小球的初速度为0v
，棒经小球碰撞后得到的初角速度为ω，而小球的速度变为v ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
mvl
I l mv +=ω0 ①
22202
12121mv I mv +=ω
②
上两式中2
31Ml I =，碰撞过程极为短暂，可
认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直
位置上摆到最大角度o
30=θ，按机械能守恒定律可列式：
)30cos 1(2
212?-=l
Mg I ω ③
由③式得
2
12
1)231(3)30cos 1(?
?????-=???
????-=l g I Mgl ω
由①式
ml
I v v ω-
=0 ④
由②式
m
I v v 220
2
ω-= ⑤ 所以
2
2
001)(2ωωm v ml I v -=-
求得
gl
m
M m m M l ml I l v +-=
+=+=31232(6)311(2)1(220ωω (2)相碰时小球受到的冲量为
?-=?=0
d mv
mv mv t F
由①式求得
ωωMl l I mv mv t F 31
d 0-=-
=-=?
gl
M
6
)32(6--
=
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．
题2-30图
2-30 一个质量为M 、半径为R 并以角速度ω转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m 的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上． (1)问它能升高多少?
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度
ωR v =0
设碎片上升高度h 时的速度为v ，则有 gh v v 22
02-=
令0=v ，可求出上升最大高度为
2
220212ω
R g g v H ==
(2)圆盘的转动惯量2
21
MR I =，碎片抛出后圆盘的转动惯量2
221
mR MR I -='，碎片脱
离前，盘的角动量为ωI ，碎片刚脱离后，碎
片与破盘之间的内力变为零，
但内力不影响系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守
恒，即
R mv I I 0+''=ωω
式中ω'为破盘的角速度．于是
R mv mR MR MR 0222)21
(21+'-=ωω ωω'-=-)21
()21(2222mR MR mR MR 得ωω='(角速度不变)
圆盘余下部分的角动量为
ω)21
(22mR MR -
转动动能为
题2-31图
222)21
(21ωmR MR E k -=
2-31 一质量为m 、半径为R 的自行车轮，假
定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为0m 的子弹以速度0v
射入轮缘
(如题2-31图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
(2)用m ,0m
和θ表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．
解: (1)射入的过程对O 轴的角动量守恒
ωθ2000)(sin R m m v m R +=
∴
R m m v m )(sin 000+=
θ
ω
(2)
020*********sin 21]
)(sin ][)[(21
0m m m v m R m m v m R m m E E k k +=
++=θθ
2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32
图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N ·m -1
；定滑
轮的转动惯量是0.5kg ·m 2
，半径为0.30m ，问当6.0 kg 质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，
重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有
222212121kh I mv mgh ++=
ω
又 R v /=ω
故
有
I mR k kh mgh v +-=
22
2)2(
1222s m 0.25
.03.00.63.0)4.00.24.08.90.62(-?=+???-???=
题
2-32
图
题2-33图
2-33 空心圆环可绕竖直轴AC 自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为
0I ，环半径为
R ，初始角速度为0ω．质量为m 的小球，原
来静置于A 点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，问小球滑到B 点与C 点时，小球相对于环的速率各为多少?
解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B 点时，有
ωω)(2
000mR I I += ① 该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相
对于圆环的速率为B v ，以B 点为重力势能零点，则有 22202
002
1)(2121B mv mR I mgR I ++=+ωω ②
联立①、②两式，得
2
02
20
02mR I R I gR v B ++
=ω
(2)当小球滑至C 点时，∵
0I I c = ∴
0ωω=c
故由机械能守恒，有
221)2(c mv R mg =
∴
gR v c 2=
请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．
第三章
3-1 惯性系S ′相对惯性系S 以速度u 运
动．当它们的坐标原点O 与O '重合时，
t =t '=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程．
解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：2222)(ct z y x =++ 2222)(t c z y x '='+'+'
题3-1图
3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l ．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S '系时空坐标为
),(),(11
c l
l t x =''，在车站(S 系：
1()()(2121
1c u
c l l c u c l x c u t t +=+='+'=γγγ 光信号到达后门为事件2，则在车厢)(S '系坐
标为),(),(22c l
l t x -=''，在车站)(S 系：
)1()(22
22c u c l x c u t t -='+'=γγ 于
是
2122
c lu
t t γ-=-
或
者
l x x x t t t t 2,,021
21='-'='?-=?='?
)2()(2
2l c u
x c u t t γγ='?+
'?=?
3-3 惯性系S ′相对另一惯性系S 沿x 轴作
匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S 系中测得两事件的时空坐标分别
为1x =6×104m,1t =2×10-4
s ，以及2x =12×
104
m,2t =1×10-4
s ．已知在S ′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S ′系相对S 系的速
度是多少? (2) S '系中测得的两事件的空间间隔是多少?
解: 设)(S '相对S 的速度为v ， (1)
)(1211
x c v
t t -='γ
)(2222
x c v
t t -='γ
由
题
意 012
='-'t t 则
)
(12212x x c v
t t -=-
故
8
12122
105.12?-=-=--=c
x x t t c v 1s m -?
(2)由洛
仑兹变
换
)(),(222111
vt x x vt x x -='-='γγ 代
入
数
值
，
m 102.5412
?='-'x x 3-4 长度0l =1 m 的米尺静止于S ′系中，
与x ′
轴的夹角'θ=30°，S ′系相对S 系沿x 轴运动，在S 系中观测者测得米尺与x 轴夹角
为=θ45?
． 试求：(1)S ′系和S 系的相对运动速度.(2)S 系中测得的米尺长度．
解: (1)米尺相对S '静止，它在y x '',轴上的投影分别为：
m 866.0cos 0='='θL L x
，
m
5.0sin 0='='θL L y
米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对S 系中的观察者测得米尺在x 方向收缩，而y 方向的长度不变，即
y
y x x L L c v L L '=-'=,122
故
22
1tan c v L L L L L L x
y
x
y x
y -''=
'=
=
θ
把ο45=θ及y x L L '
',代入 则
得
866.05
.0122=
-c
v 故 c v 816.0=
(2)在S 系中测得米尺长度为
m
707.045sin =?
=
y L L
3-5 一门宽为a ，今有一固有长度0l (0l
＞a )
的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u 至少为多少?
解: 门外观测者测得杆长为运动长度，2
0)(1c u
l l -=，当a ≤1时，可认为能被拉
进门
，
则
2
0)(1c u
l a -≤
解得杆的运动速率至少为：
2
)(1l a
c u -=
题3-6图
3-6两个惯性系中的观察者O 和O '以0.6c(c
表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果
O 测得两者的初始距离是20m ，则O '测得两
者经过多少时间相遇? 解: O 测得相遇时间为t ?
c v L t 6.020
0==
?
O ' 测得的是固有时t '?
∴
v L t
t 2
01βγ-=
?='?
s 1089.88-?=，
6.0==
c v
β ， 8.01=
γ ，
或者，O '测得长度收缩，
v L
t L L L L ='?=-=-=,8.06.01102020β
s 1089.81036.0208.06.08.08
8
0-?=???=='c L t ?
3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和S '中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s ，而乙测得这两个事件的时
间间隔为 5s ．求：
(1) S '相对于S 的运动速度．
(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离．
解: 甲测得0,s 4==x t ??,乙测得
s 5=t ?，坐标差为12x x x '-'='?′ (1)∴
t c v t x c v t t ?-?=?+?='?2
2)
(11
)(λγ 54122=
'??=-t t c
v 解
出
c c t t c v 53)54(1)(
122=-='??-=
8
108.1?=
1
s m -?
(2)
()0,45
,=?=?'?=?-?='?x t t t v x x γγ ∴
m 10934358
?-=-=??-=-='c c t v x ?γ? 负号表示012<'
-'x x ． 3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去
旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光
年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少? 解: 2
220
153,1513βββ-=-=-=='则l l ∴
c c v 542591=-
=
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．
证: 设在S 系B A 、事件在b a ,处同时发生，则B A a b t t t x x x -=?-=?,，
在S '系中测得 )(2x c v t t t t A B ?-?='-'='?γ
0,0≠?=?x t ， ∴
0≠'?t
即不同时发生． 3-10 试证明：
(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点
发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短． (2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生
的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
解: (1)如果在S '系中，两事件B A 、在同一
地点发生，则0='?x ，在S 系中，
t t t '?≥'?=?γ，仅当0=v 时，等式成立，
∴t '?最短．
(2)若在S '系中同时发生，即0='?t ，则在S 系中，x x x '?≥'?=?γ，仅当0=v 时等式
成立，∴S '系中x '?最短．
3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的
脉冲周期为 0.50s ，且这颗星正沿观察方向以
速度0.8c 离我们而去．问这颗星的固有周期
为多少?
解: 以脉冲星为S '系，0='?x ，固有周期
0τ='?t .地球为S 系，则有运动时
t t '?=?γ1，这里1t ?不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传递时间，c t
v 1
? ∴
t c v
t c t v t t ?+'?=?+
?=?γγ11′
)
1(c v
t +'=?γ
6.01
)
8.0(112=
-=c c γ
则
γλτ)8.01(5
.0)1(0c c
c v t
t ++
+?=
'?=
s
1666.08.13.06.01)
8.01(5.0==+=
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个π介子以速度v =0.998c 飞向地球．假定该π介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命
2×10-6
s ．试分别从下面两个角度，即地球上
的观测者和π介子静止系中观测者来判断π介子能否到达地球．
解: π介子在其自身静止系中的寿命
s 10260-?=t ?是固有(本征)时间，对地球
观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
s
1016.3152
2
-?=-=
c v t t ??
这段时间飞行距离为m 9470==t v d ? 因m 6000>d ，故该π介子能到达地球． 或在π介子静止系中，π介子是静止的．地
球则以速度v 接近介子，在0t ?时间内，地球
接近的距离为
m 5990=='t v d ?
m 60000=d 经洛仑兹收缩后的值为：
m 379122
00
=-='c v d d
d d '>'，故π介子能到达地球．
3-13 设物体相对S ′系沿x '轴正向以0.8c
运动，如果S ′系相对S 系沿x 轴正向的速度也是0.8c ，问物体相对S 系的速度是多少? 解: 根据速度合成定理，
c u 8.0=,c v x 8.0='
∴
c
c c c c
c c v u u v v x x x 98.08.08.018.08.0122=?+
+='++'=
3-14 飞船A 以0.8c 的速度相对地球向正东飞行，飞船B 以0.6c 的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A 飞船在自己的天窗处相隔2s 发射两颗信号弹．在B 飞
船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解: 取B 为S 系，地球为S '系，自西向东为x (x ')轴正向，则A 对S '系的速度
c v x 8.0='，S '系对S 系的速度为c u 6.0=，则A 对S 系(B 船)的速度为
c c c c v u u v v x x x
946.048.016.08.012=++='++'= 发射弹是从A 的同一点发出，其时间间隔为固有时s 2='t ?，
题3-14图
∴B 中测得的时间间隔为：
s
17.6946
.01212
2
2=-=
-'
=
c
v t t x ??
3-15 (1)火箭A 和B 分别以0.8c 和0.6c 的速度相对地球向+x 和-x 方向飞行．试求由火箭B 测得A 的速度．(2)若火箭A 相对地球以0.8c 的速度向+y 方向运动，火箭B 的速度不变，求A 相对B 的速度．
解: (1)如图a ，取地球为S 系，B 为S '系，则S '相对S 的速度c u 6.0=，火箭A 相对S 的速度c v x 8.0=，则A 相对S '(B )的速度
为：
c c c c c c v c u u v v x x x 946.0)8.0)(6.0(1)
6.0(8.0122=----=--=
'
或者取A 为S '系，则c u 8.0=，B 相对S 系
的速度c v x 6.0-=，于是B 相对A 的速度
为：
c c c c c c v c u u v v x x x 946.0)6.0)(8.0(18.06.0122-=----=--=
'
(2)如图b ，取地球为S 系，火箭B 为S '系，S '系相对S 系沿x -方向运动，速度c u 6.0-=，A 对S 系的速度为,0=x v ,c v y 8.0=,由洛仑兹变换式A
相对B 的速度为：
c
v c u u v v x x x 6.00112=-=--='
c c v c u
v c
u v x
y
y 64.0)8.0(6.01112222
=-=--='
∴A 相对B 的速度大小为
c
v v v y x 88.022
='+'='
速度与x '轴的夹角θ'为
07.1tan =''=
'x y
v v θ
ο
8.46='θ
题3-15图
3-16 静止在S 系中的观测者测得一光子沿与
x 轴成?60角的方向飞行．另一观测者静止于S ′系，S ′系的x '轴与x 轴一致，并以0.6c 的速度沿x 方向运动．试问S ′系中的观测者
观测到的光子运动方向如何? 解: S 系中光子运动速度的分量为
c c v x 500.060cos ο==
c
c v y 866.060sin ο==
由速度变换公式，光子在S '系中的速度分量
为
c c c c c c v c u u v v x x x
143.05.06.016.05.0122-=?--=--='
c c c c c v c u v c u v x y
y 990.05.06.01866.06.011122222=?-
?-=--=' 光子运动方向与x '轴的夹角θ'满足 692
.0tan -=''='x y
v v θ θ'在第二象限为ο
2.98='θ S 'c v v v y x ='+'='22 正是光速不变． 3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为
0.1c ，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c ，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
)
111(
)1(2
2
2020202--=-=-==c v c m c m c m mc E E k k γ?)
11
.011
(
)103(101.92
2831--???=-
16
10
12.4-?=J=
eV 1057.23?
(2)
)()(202120221
2c m c m c m c m E E E k k k
---=-='?
11
11
(
2
22202122c
v c m c m c m -
-
-=-=)
1
9
.011(103101.92
16231-
-???=-J
1014.514-?=eV 1021.35?=
3-18 μ子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命0τ
=2×10-6
s ，若它在
实验室参考系中的平均寿命τ= 7×10-6
s ，试问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设μ子静止质量为
0m ，相对实验室参考
系的速度为c v β=，相应质量为m ，电子静止
质
量
为
e
m 0，
因
2
7
11,102
2
==
--=
ττββττ即
习 题 1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2 ，瞬时加速度 2/2s m a ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R 2, 2 (B) t R 2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 s m 的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初
始时刻质点的速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以 速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321 V V V ] 1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零
习题八 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 2 220)3 3( π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图 题8-2图 8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ?? ? ?? ===220)sin 2(π41 sin cos θεθθl q F T mg T e 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f = 2 024d q πε,又有人 说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε= ，另一板受它的作用 力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r 与l 的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为 r E = 302cos r p πεθ, θ E =3 04sin r p πεθ 证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r 的分量 θsin p ． ∵ l r >>
大学物理习题及解答 8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 20 220)33(π4130cos π412a q q a q '=?εε 解得 q q 33 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图 题 8-2图 8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ????? ===22 0)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e 解得 θ πεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式 204r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强 →∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 2 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求 场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则 这两板之间有相互作用力f ，有人说f =2 02 4d q πε,又有人说，因为f =qE , S q E 0ε= ，所
习题2 2.1 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [答案：C] (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 [答案：C] (3) 对功的概念有以下几种说法： ①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 ②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 ③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。 [答案：C] 2.2填空题 (1) 某质点在力i x F )54(+=（SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m 的过程中，力F 所做功为。 [答案：290J ] (2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为，物体与水平面间的摩擦系数为。 [答案：2 2 ;22v v s gs ] (3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为。 [答案：2; 3 k k E E ] 2.3 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零；
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强． 解: 如8-7图在圆上取? Rd dl= 题8-7图 ? λ λd d d R l q= =，它在O点产生场强大小为
2 0π4d d R R E ε? λ= 方向沿半径向外 则 ??ελ ?d sin π4sin d d 0R E E x = = ??ελ ?πd cos π4)cos(d d 0R E E y -= -= 积分R R E x 000 π2d sin π4ελ ??ελπ == ? 0d cos π400 =-=? ??ελ π R E y ∴ R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向． 8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0 d ε∑? = ?q S E s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2= 则 rl E S E S π2d =?? 对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r E 0π2ελ = 沿径向向外
大学物理吴百诗习题答案 电磁感应 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
法拉第电磁感应定律 10-1如图10-1所示，一半径a ＝，电阻R ＝×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 T 10)583()(42-?++=t t t B 求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流； （2）最初2s 内通过回路截面的电量。 解：（1）θcos BS S B =?=Φ V 10)86(6.110)86()3 cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ- =t t a t B S t i π πθε s 2=t ，V 102.35-?-=i ε，A 102100.1102.32 3 5---?-=??-= =R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反 （2）42 2123 112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102 i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ， 小的回路在大的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若 v dt dx =等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路内的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小 2 02 232 2() IR B R x μ= +，方向竖直向上。 R x >>时，2 03 2IR B x μ= ，22 203 2IR r B S BS B r x πμπΦ=?==?= （2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024 32i Ir v R N πμε= 图 10-
大学物理第三版下册 答案
习题八 8-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q'为负电荷 2 2 2 0) 3 3 ( π4 1 30 cos π4 1 2 a q q a q' = ? ε ε 解得q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关． 题8-1图题8-2图 8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示 ?? ? ? ? = = = 2 2 ) sin 2( π4 1 sin cos θ ε θ θ l q F T mg T e 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢103
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢103 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2 04r q E πε= ，当被考察的场点距源点电荷 很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解? 解: 02 0π4r r q E ε= 仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电 荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说 f = 2 02 4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02 ε．试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε= ，另一板受它的作 用力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力．
运动量 1-1质点在xOy 平面内的运动方程为 x =3t ，y =2t 2+3。求：（1）t =2s 时质点的位矢、速度和加速度；（2）从 t =1s 到t =2s 这段时间内，质点位移的大小和方向；（3）1~0s 和2~1s 两时间段，质点的平均速度；（4）写出轨道方程。 解：(1) j t i t r )32(32 ，j t i t r v 43d d ，j t r a 4d d 22 s 2 t 时，j i r 116 ，j i v 83 ，j a 4 (2) j i j i j i r r r 63)53()116(12 ，456322 r ， 与x 轴正向的夹角 4.633 6arctan (3) j i j j i t r r v 2313)53(1011 ，j i j i t r r v 631632122 (4) 3x t ，39233222 x x y 1-2一质点在xOy 平面内运动，初始时刻位于x =1m ，y =2m 处，它的速度为v ｘ=10t ， v ｙ= t ２ 。试求2秒时 质点的位置矢量和加速度矢量。 解：t t x v x 10d d ， t x t t x 01d 10d ，152 t x 。2d d t t y v y ， t y t t y 022d d ，2313 t y j t i t r )231()15(32 ， j t i t v 210 ， j t i t v a 210d d s 2 t 时， j i r 3 1421 ， j i a 410 1-3一质点具有恒定加速度j i a 46 ，在t =0时，其速度为零，位置矢量i r 100 ，求（1）任意时刻 质点的速度和位置矢量；（2）质点的轨道方程。 解：质点作匀加速运动 (1) j t i t t a v v 460 ， j t i t t j i i t a t v r r 2222002)310()46(2 11021 (2) 22t y ，2 2y t ，2310y x ，)10(32 x y 1-4路灯距地面高度为H ，行人身高为h ，若人以匀速V 背向路灯行走，人头顶影子的移动速度v 为多少？ 解：设x 轴方向水平向左，影子到灯杆距离为x ，人到灯杆距离为x x x x H h ，x h H H x ，V h H H t x h H H t x v d d d d 直线运动 1-5一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a =3+6x 2，若质点在原点处的速度为零，试求其 在任意位置处的速度。 解：2 63d d d d d d d d x x v v t x x v t v a ， x v x x v v 020d )63(d ，32232 1x x v ，346x x v 图1-4
习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2 ，瞬时加速度2 /2s m a ，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R 2, 2 (B) t R 2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R [答案：B] 1.2填空题 (1) 一质点，以1 s m 的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小 是 ；经过的路程是 。 [答案： 10m ； 5πm] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 [答案： 23m·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321 V V V ]
1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t 3+3t 2+6；（3）x=-2t 2+8t+4；（4）x=2/t 2-4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt t=3s 时的速度和加速度分别为v =20m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？ (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； (4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 ｜r ｜与r 有无不同?t d d r 和d d r t 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即r 12r r ，12r r r ； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r （式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r 式中 t r d d 就是速度在径向上的分量，
习题3 3.1选择题 (1) 有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转 动惯量为J ，开始时转台以匀角速度ω0转动，此时有一质量为m 的人站在转台 中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 (A)02ωmR J J + (B) 02)(ωR m J J + (C) 02ωmR J (D) 0ω [答案： (A)] (2) 如题3.1（2）图所示，一光滑的内表面半径为10cm 的半球形碗，以匀角 速度ω绕其对称轴OC 旋转，已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止， 其位置高于碗底4cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为 (A)13rad/s (B)17rad/s (C)10rad/s (D)18rad/s (a) (b) 题3.1（2）图 [答案： (A)] (3)如3.1(3)图所示，有一小块物体，置于光滑的水平桌面上，有一绳其一端 连结此物体，；另一端穿过桌面的小孔，该物体原以角速度w 在距孔为R 的圆周 上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 （A ）动能不变，动量改变。 （B ）动量不变，动能改变。 （C ）角动量不变，动量不变。 （D ）角动量改变，动量改变。 （E ）角动量不变，动能、动量都改变。 [答案： (E)] 3.2填空题 (1) 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以0.5rad ·s -2的匀角加速转动，则飞轮边缘 上一点在飞轮转过240?时的切向加速度a τ= ，法向加速度
a n= 。 [答案：0.15; 1.256] (2) 如题3.2（2）图所示，一匀质木球固结在一细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动，今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中，则在此击中过程中，木球、子弹、细棒系统的守恒，原因是。木球被击中后棒和球升高的过程中，对木球、子弹、细棒、地球系统的守恒。 题3.2（2）图 [答案：对o轴的角动量守恒，因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o 轴的合外力矩为零，机械能守恒] (3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB)，且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为J A 和J B，则有J A J B 。（填>、<或=） [答案： <] 3.3刚体平动的特点是什么？平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动？ 解：刚体平动的特点是：在运动过程中，内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。 3.4刚体定轴转动的特点是什么？刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同？ 解：刚体定轴转动的特点是：轴上所有各点都保持不动，轴外所有各点都在作圆周运动，且在同一时间间隔内转过的角度都一样；刚体上各质元的角量相同，而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同，而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。 3.5刚体的转动惯量与哪些因素有关？请举例说明。 解：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言，形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些，质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。
吴百诗二部题解 第二学期 第九章 静电场 一、选择题 （1）D 解：先考虑一个板带电q ，它在空间产生的场强为02q E S ε= 。注意是匀场。 另一板上电荷“|－q|”在此电场中受力，将其化为无数个点电荷q dq = ∑，每个电荷受力大小为0||2q dq dF dq E S ε?=?=，故整个|－q|受力为：2 00||22q dq q F dq E S S εε?=?== ∑∑。这既是两板间作用力大小。 （2）B 解：由电通量概念和电力线概念知：A 、穿过S 面的电通量不变，因为它只与S 面内的电荷相关，现内面 电荷没有变化，所以穿过S 面的电通量不变。 B 、由于S 面上场强与内外电荷都有关，现在外面电荷位置变化，所以P 点场强也变化。 故选B 。 二、填空题 （1 ）||/3q '= 解：画图。设等边三角形的边长为a ，则任一顶点处 的电荷受到其余两个电 荷的作用力合力F 为：222212cos30(2/)2/F F kq a a =??=?= 设在中心处放置电荷q ' ，它对顶点处电荷的作用力为：223qq qq F k k r a '''=== 再由F F '=- ，可解出/3||/3q q ''=??=。 （2）20/(2)qi a πε 或 20/(2)q a πε，i 方向指向右下角。 解：当相对称的两电荷同号则在O 点的场强抵消，若异号肯定有电力线过 O 点，故只有左上角的电荷电力线指向右下角的“－”电荷。是2 02/(4)q a ?πε 三、计算题 9.3 9.4 0ln 2a b a σπε+, 10()2-?b tg h σπε （6.7） 解：将带电平面薄板划分为无数条长直带电线（书中图），宽为dx 。求出每条带电线在场点产生的场强 00 22() 2 dx dE b r a x ?= = +-λσπεπε 原点取在导体片中间，x 方向向左：← 故总的场强：00 /2 /2ln 2 22()b b dx E a b b x a a σεεσππ-==+-+?? E 的方向沿x 轴正向。 或：原点取在场点处，x 轴方向向右:→,则总的场强为： 00ln 22a b a a b dx E x a πεσσπε+==+?? 此 时E 的方向沿x 轴“－”向。 （2）在板的垂直方向上，距板为h 处。每条带电直线在此处的场强为
习题七 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化． 力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零． 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法． 从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点． 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系? 答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量． 气体宏观量是微观量统计平均的结果． 7.6 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? i N 21 4 6 8 2 )s m (1-?i V 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 解：平均速率 2 8642150 24083062041021++++?+?+?+?+?= =∑∑i i i N V N V 7.2141 890== 1s m -? 方均根速率 2 864215024081062041021223222 2 ++++?+?+?+?+?= = ∑∑i i i N V N V 6.25= 1s m -? 7.7 速率分布函数)(v f 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n 为分子数密度，N 为系统总分子数)． （1）v v f d )( （2）v v nf d )( （3）v v Nf d )( （4） ? v v v f 0 d )( （5）?∞ d )(v v f （6）?2 1 d )(v v v v Nf 解：)(v f ：表示一定质量的气体，在温度为T 的平衡态时，分布在速率v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比. (1) v v f d )(：表示分布在速率v 附近，速率区间v d 内的分子数占总分子数的百分比.
大学物理学第三版修订版下册第章答案(赵近芳)
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习题11 11.1选择题 (1）一圆形线圈在磁场中作下列运动时，那些情况会产生感应电流（） （A ）沿垂直磁场方向平移；（B ）以直径为轴转动，轴跟磁场垂直； （C ）沿平行磁场方向平移；（D ）以直径为轴转动，轴跟磁场平行。 [答案：B] (2)下列哪些矢量场为保守力场（） （A ） 静电场；（B ）稳恒磁场；（C ）感生电场；（D ）变化的磁场。 [答案：A] (3) 用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式22 1LI W m =（） ( A )只适用于无限长密绕线管； ( B ) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环； ( C ) 只适用于单匝圆线圈； ( D )适用于自感系数L 一定的任意线圈。 [答案：D] (4)对于涡旋电场，下列说法不正确的是（）： （A ）涡旋电场对电荷有作用力； （B ）涡旋电场由变化的磁场产生； （C ）涡旋场由电荷激发； （D ）涡旋电场的电力线闭合的。 [答案：C] 11.2 填空题 (1)将金属圆环从磁极间沿与磁感应强度垂直的方向抽出时，圆环将受到 。 [答案：磁力] (2)产生动生电动势的非静电场力是 ，产生感生电动势的非静电场力是 ，激发感生电场的场源是 。 [答案：洛伦兹力，涡旋电场力，变化的磁场] (3)长为l 的金属直导线在垂直于均匀的平面内以角速度ω转动，如果转轴的位置在 ，这个导线上的电动势最大，数值为 ；如果转轴的位置在 ，整个导线上的电动势最小，数值为 。 [答案：端点，2 2 1l B ω；中点，0] 11.3一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B ? 垂直．当回路半 径以恒定速率 t r d d =80cm ·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 2 πr B BS m ==Φ
一、选择题 （1）D 解：先考虑一个板带电q ，它在空间产生的场强为02q E S ε=。注意是 匀场。 另一板上电荷“|－q|”在此电场中受力，将其化为无数个点电荷q dq =∑，每个电荷受力大小为0||2q dq dF dq E S ε?=?=，故整个|－q|受力为：200||22q dq q F dq E S S εε?=?==∑∑。这既是两板间作用力大小。 （2）B 解：由电通量概念和电力线概念知：A 、穿过S 面的电通量不变，因 为它只与S 面内的电荷相关，现内面电荷没有变化，所以穿过S 面的电通量不变。 B 、由于S 面上场强与内外电荷都有关，现在外面电荷位置变化， 所以P 点场强也变化。 故选B 。 二、填空题 （1）||/3q '= 解：画图。设等边三角形的边长为a ，则任一顶点处 的电荷受到 其余两个电 荷的作用力合力 F 为：222212cos30(2/)2/F F kq a a =??=?= 设在中心处放置电荷q '，它对顶点处电荷的作用力为： 223qq qq F k k k r a '''=== 再由F F '=-，可解出/3||/3q q ''=??=。 （2）20/(2)qi a πεr 或 20/(2)q a πε，i 方向指向右下角。 解：当相对称的两电荷同号则在O 点的场强抵消，若异号肯定 有电力线过 O 点，故只有左上角的电荷电力线指向右下角的“－”电荷。是 202/(4)q a ?πε 三、计算题 9.3 9.4 0ln 2a b a σπε+, 10()2-?b tg h σπε （6.7） 解：将带电平面薄板划分为无数条长直带电线（书中图），宽为dx 。 求出每条带电线在场点产生的场强（微元表示），然后对全部
10．1 10．2 电场强度：点电荷 02 0041r r q q E πε== 电荷离散分布∑=)( 41 2 0r r q E i i πε 10．3 10．4 电势能：在数值上等于把该电荷从该点移动到电势能零参考点时，静电力作的功。??==" 0"0"0"a a a dl E q A W 10．5 电势差： ??=-=b a b a ab dl E u u U 点电荷的电势： 等势面——在电场中电势相等的点所连成的曲面。 电势与电场强度的微分关系：任意一场点P 处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率，负号表示 10．7 导体的静电平衡：导体内部的电场强度处处为零，导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直，大小与该处 孤立导体的电容：u q C = 电容器的电容： 2 1u u q C -= 典型电容器的电容：平行板电容器 d S u u q C 021ε=-= 球形电容器1 2210214R R R R u u q C -= -=πε 圆柱形电容器)ln(21 202 1R R L u u q C πε= -= 10．8 10．9 介质中的电场r E E ε0= 10．11 11．1 11．2毕奥-
11．3 磁通量dS B dS B d m θcos =?=Φ ??=ΦS m S d B 11．4安培环路定理：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度沿任何闭合环路L 的线积分，等于μ0乘以穿过L 的所有电流强 11．5磁场对载流导线的作用力：B l Id F L ??= 均匀磁场对载流线圈的作用：B p M m ?=，IS p m = 磁力的功： ?Φ?=I A 11．6 带电粒子在磁场中的运动：洛伦兹力B v q F ?= 圆周运动：R mv qvB 2 = 磁介质分类：顺磁质1>r μ，抗磁质1
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以 0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小． 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 222s h l += 将上式对时间t 求导，得 t s s t l l d d 2d d 2= 题1-4图 根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==- =船绳 即 θ cos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=- =船 或 s v s h s lv v 0 2/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m ， v =0， 求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t v a 34d d +==
分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 122 34c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c 故 22 34t t v += 又因为 22 34d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )2 3 4(d 2+= 积分得 2322 12c t t x ++= 由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52 1232++=t t x 所以s 10=t 时 1-10 以初速度0v ＝201s m -?抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示． 题1-10图 (1)在最高点， 又∵ 1 2 11 ρv a n =
习题11 11.1选择题 (1）一圆形线圈在磁场中作下列运动时，那些情况会产生感应电流（） （A ）沿垂直磁场方向平移；（B ）以直径为轴转动，轴跟磁场垂直； （C ）沿平行磁场方向平移；（D ）以直径为轴转动，轴跟磁场平行。 [答案：B] (2)下列哪些矢量场为保守力场（） （A ） 静电场；（B ）稳恒磁场；（C ）感生电场；（D ）变化的磁场。 [答案：A] (3) 用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式22 1LI W m =（） ( A )只适用于无限长密绕线管； ( B ) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环； ( C ) 只适用于单匝圆线圈； ( D )适用于自感系数L 一定的任意线圈。 [答案：D] (4)对于涡旋电场，下列说法不正确的是（）： （A ）涡旋电场对电荷有作用力； （B ）涡旋电场由变化的磁场产生； （C ）涡旋场由电荷激发； （D ）涡旋电场的电力线闭合的。 [答案：C] 11.2 填空题 (1)将金属圆环从磁极间沿与磁感应强度垂直的方向抽出时，圆环将受到 。 [答案：磁力] (2)产生动生电动势的非静电场力是 ，产生感生电动势的非静电场力是 ，激发感生电场的场源是 。 [答案：洛伦兹力，涡旋电场力，变化的磁场] (3)长为l 的金属直导线在垂直于均匀的平面内以角速度ω转动，如果转轴的位置在 ，这个导线上的电动势最大，数值为 ；如果转轴的位置在 ，整个导线上的电动势最小，数值为 。 [答案：端点，2 2 1l B ω；中点，0] 11.3一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B 垂直．当回路 半径以恒定速率 t r d d =80cm·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 2 πr B BS m ==Φ
法拉第电磁感应定律 10-1如图10-1所示，一半径a ＝0.10m ，电阻R ＝1.0×10-3Ω的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与 回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为 T 10)583()(4 2-?++=t t t B 求：（1）t ＝2s 时回路的感应电动势和感应电流； （2）最初2s 通过回路截面的电量。 解：（1）θcos BS S B =?=Φ V 10)86(6.110)86()3 cos(d d cos d d 642--?+?-=?+?-=-=Φ- =t t a t B S t i π πθε s 2=t ，V 102.35 -?-=i ε，A 10210 0.1102.323 5---?-=??-==R I ε 负号表示i ε方向与确定n 的回路方向相反 （2）422 123 112810 3.140.1()[(0)(2)]cos 4.410C 1102 i B B S q R R θ---???=Φ-Φ=-??==??? 10-2如图10-2所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流I ，小的回路在大 的回路上面距离x 处，x >>R ，即I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若 v dt dx =等速率变化，（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x 之间的关系；（2）当x ＝NR （N 为一正数），求小回路的感应电动势大小；（3）若v ＞0，确定小回路中感应电流方向。 解：（1）大回路电流I 在轴线上x 处的磁感应强度大小 2 02232 2()IR B R x μ= +，方向竖直向上。 R x >>时，2 03 2IR B x μ= ，22 2 03 2IR r B S BS B r x πμπΦ=?==?= （2）224032i d dx IR r x dt dt πμε-Φ=-=，x NR =时，2024 32i Ir v R N πμε= （3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与I 相同。 动生电动势 10-3 一半径为R 的半圆形导线置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，该导线以 速度v 沿水平方向向右平动，如图10-3所示，分别采用（1）法拉第电磁感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电势高？ 解：（1）假想半圆导线在宽为2R 的U 型导轨上滑动，设顺时针方向为回路方向， 在x 处 2 1(2)2m Rx R B π=+Φ，∴22m d dx RB RBv dt dt εΦ=-=-=- 由于静止U 型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为 2RBv ε=- 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。 图10-2