第七篇
第一章统计理论基础
1.试求理想气体的定压膨胀系数和等温压缩系数。
1．解：假设我们考察的系统是n mol的理想气体，由于理想气体状态方程为：
(1)
(2)
故定压膨胀系数：
而等压压缩系数:
综上有理想气体（n mol）：
2.某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，，其中都是常数，试求此气体的状态方程。
2．解：根据题意：
把体积看成是数并微分有：
两边同时积分有：
由极限情况下：
,
故：
得到：
3．一弹性棒的热力学状态可用它的长度L，应力描述f和温度T关系,即为其状态方程，今设此弹性棒发生一微小变化，从一平衡态变到另一平衡态，试证明：
其中为棒横截面积，为线膨胀系数，为杨氏模量。
3．证明：杨氏模量的定义：与类比线胀系数：
对长度积分有：
证毕
4．对气体的膨胀系数和压缩系数进行测量的结果得到一下方程：
，
其中是常数，只是的函数.
证明：（a）
(b) 状态方程：
4．证明：(a)由：
（1）又由：
（2）（2）式两边对求导（T一定时）：
此式与比较可知：
f（P）=
（因与T无关也与P无关）
(b) 将带入(1)式有：
当时，,故
5．试给出半径为的维球体积：
5．证明：在半径为1的维球区域内积分为：
以另一种方式求上述积分有：
由两式可知：
证毕
6．利用附录给出的斯特林公式：证明上题中的系数满足下式：
6．证明：第一部分：
只要将上题中解答过程的(3)式中的换成即得。故关键是证明第二部分由于
(1)
由于：
即有（1）式成立，故待证命题成立。
证毕
第二章统计热力学基础
1．单原子晶体中可占据一个格点或一个间隙点。原子占据格点时的能量比占据间隙点时高。设格点数和间隙点数相等。且等于晶体中的原子数。
（a）考虑有个原子占据间隙点的宏观态，计算系统处于此宏观态的熵
（b）设系统达到平衡，问晶体在此态的温度是多少？
（c）若，晶体的温度时300K，处于间隙点的原子所占的比例是多少？
解：（a）根据题意假设一个原子占据间隙点时能量，则占据格点时能量。现有个原子占据间隙点故有个占据格点。
此宏观态对应的微观态数
故熵：
（b）按（a）中晶体达到平衡总能量：
根据：
（d）由
代入（b）式求得：
2．考虑橡皮带简单模型，一个一维链条由个长度为链环沿着轴，但可以重叠（如图），链条两个端点的距离为，系统是孤立的，链环各种方位有相同的能量，证明时可以得到胡克定律。
证明：我们从端点开始规定每节链环的方向，凡是指向右方的链环记为“+”，指向左方的记为“-”。设所有指向右方的链环数为，所有指向左方的链环数为
则总链环数为：
且几何关系：
一定）对应的微观态数
两端链条间隔为的这样一个宏观态（即一定使Array
故熵
故张力：
当时，即时有张力近似地为：
（为比例常数）
此即为胡克定律。证毕。
20．证明下列平衡判据
（a）在不变情形下,平衡态的最小.
（b）在不变情形下，平衡态的最小。
证明：
（a）对于封闭系统，由热力学第一定律
热力学第二定律
当都不变时
表明不变时，系统进行的方向是沿着减小的方向，直到达到平衡时最小.（b）热力学第一定律可以得到
（是非膨胀功）
当不变时，即且无非膨胀功，有：
故系统沿着减小方向进行，直到达到平衡时最小。证毕.
22．在三相点附近，固，气二相的平衡曲线在图上的斜率比液，气两相平衡曲线的斜率陡，试从物理上说明。
答：由克劳修斯——克拉拍龙方程:
可以知道，再三相点时为一定，故平衡曲线的斜率主要起决于
，
其物理意义在于：以相变到相过程中，单位摩尔体积改变所吸收的潜热。所以固－气二相的平衡曲线在图上的斜率比液-气两相平衡曲线的斜率陡，说明从固到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热大于从液到气二相单位摩尔体积改变所吸收的摩尔潜热。物理实质在于：固相到液相，液相再到气相可以等价于固相到气相，故而固到液的改变一般不大，故近似地
显然这样
得到解释。
23．(a)用自由能判据，而不是用自由焓判据证明麦克斯威等面积法则。
（b）用热力学第二定律证明等面积法则。
23．证明：假设段表示实际气体气—液平衡相变过程，按照自由能判据, 由于：
可知在点与点，有相同的温度，故：
(1)
对（1）式两遍从求积分：
(2)
自由能是状态量，与积分过程无关。（2）式右边按A O B积分与按A J O B积分所得值完全相同。按照一重积分几何意义有：
此即等面积法则。
（2）若按热力学第二定律：
考虑在A.B两点均为态函数的值，
且
由（1）式：
(2)
将（2）是按两种不同方式积分(路径)积分，一种沿A O B 一种A J O N B
证毕
第三章统计系综
1. 将各近独立的频率为的谐振子组成的系统，每个谐振子的能量为
（a）求当系统的能量为时的微观态数和熵
（b）求当系统达到平衡时，此系统能量与温度的关系，并和§7.3.2中用正则分布所得的结果比较。
解：(a) 假定N个独立的谐振子对应的量子数分别为根据题意
则系统的微观态数即相当于将个东西分配到个不相同（可以区别）的容器
中的方法种数，可等于0相当于容器可以是空的.故：
由斯特劳林近似公式：
考虑到
可近似的取：
（1）
（2）根据温度T定义:
由（2）式
所以总能量：
与§7.3.2比较，由于这里是个谐振子。故应该说此结果与用正则分布所得的结果完全一致
2. 设有个独立可识别粒子组成的系统每个离子有两个可能状态，一个能量为0的状态，一个能量为的状态，求系统的配分函数，内能和热容量，并证明当温度很高时，当温度很低时，。
解：根据题意，配分函数满足可分解性，先求出单个可识别粒子的配分函数：
故系统的配分函数：
（1）
可求系统的内能：
系统的热容量
由（3）式讨论极限温度下情况当温度很高时。即时；由（3）式
当温度很低，即时
3.一块晶体包含个原子，原子的自旋磁矩为，被置于均匀磁场中，这些原子可取三个取向：平行、垂直、和反平行磁场，
求（a）晶体的配分函数
（b）晶体的磁矩
（c）高温弱场和低温强场的磁矩
（d）求原子磁矩平行、反平行和垂直于外场几率，并由此求磁矩（不考虑磁矩间相互作用）
解（a）将原子在外场中能量看作是内能一部分，晶体配分函数
（b）从热力学方程
可导出晶体磁矩：
（c）高温弱场时，即晶体磁矩M按（3）式子求极限
当低温强场时，
此时
(d)设原子的磁矩平行、反平行和垂直于的几率分别记为.则
故原子磁矩
故:
4．绝对温度为的固体，每单位体积中有个带负电荷杂质离子，这些离子代替了固体中的若干正常原子，整个固体呈中性。因为每个具有的离子，在其邻近都有一个电荷为正离子，正离子小，因而能够自由的在晶体中移动，在无外场下，它以相等的几率位于静止的负离子周围等距离的位置上如果沿着方向，加，是求极化强度。即单体体积内沿着方向的平均偶磁极矩？
解：每种情况正离子在负离子周围形成电偶极矩大小
解：电偶极子在E中能量可能值
由此单个偶极子配分函数
故
所以极化强度
6．假定系统由个相同的独立结点对组成（线性聚合体中可能有两种情况）每一结合对包括阿A结点和B结点，A,B结点最多只能分别被一个分子战友。A 结点上吸附一个分子时，其能量, B结点上吸附一个分子时，其能量. A,B 结点上都吸附一个分子时，还有相互作用能，不同结点对的分子间没有相互作用，求吸附率：
解：将每个结点看成是一个开放系统，现求子巨配分函数：
（1）
由（1）式可知个独立结点总巨配分函数：
吸附平均粒子数：
7．固体表面由个相同的近独立的结点组成，每个结点可吸附个分子
S=0.1.2. ….m,当结点吸附S个分子时，结点能量为：用分别代表吸附0个分子，1个分子，和m个分子的结点数，显然有：
（1）
N为吸附的总分子数，求系统的配分函数，巨配分函数，巨吸附率，通过此题你对正则系统和巨正则函数的应用有何体会。
10．为了计算石墨的比热采取以下简化模型。石墨具有高度各向异性的晶格层。每个碳原子作三维简谐振动。在平行于层的方向回复力很大。因此在x,y方向（层
的平面内）本征频率均等于,很大。有.另一方面，垂直于层的恢复里很小，因此在方向本征频率很小，有 .按此模型，石墨在300K的摩尔热容量是多少？
解：设1石墨中含有原子数,则由于相邻原子间有很强的相互作用，每个原子只能在格点（平衡位置）附近捉微振动，每个原子有三个自由度。在简谐
近似下，可以简正坐标变换，使个耦合线性谐振字转化成个独立的线性谐振子，由题意知：
个谐振子中有个频率. 个频率为
总能量:
系统总的配分函数:
故石墨内能:
根据热容量定义:
第八篇理想气体
第一章波尔兹曼气体
1. 表面活性物质的分子在液面上二维面由运动可看成一种二维的理想气体
分布导出二维理想气体的分子速率分布并求平均速率，最可几（a）试由M B
率和均方差速率
（b ）试计算二维理想气体的内能U ,熵S ，压强P 和热容量s C ，s C 的下标s 为二维理想气体的面积。
解：按照二维M B -分布理想气体的质心在,r r d r p p d p ++
范围内的分子数(,)dN r p
每个分子
2
()2p
u r m εε=++ 内
简并度
222d rd p h Ω=Ω内
故有：
()
22222
222(())
2222(())
2222(())
22
22(())
22
2()222()22(,)1p u r m p u r m
p u r m p u r m
p u r m
p u r m
d rd p
Ne
h dN r p d rd p
e
h
d rd p N
e e h d rd p e
e h Ne
d p
e d r
e
d p
e d r
βεβεββεββεββββ-++-++-+--+-----Ω=
ΩΩ=
Ω=∑∑??∑∑???? 内内内
内
内内内内
内内内内
现在我们只考虑分子速率分布，故将（1）式两边同时对2
d r 积分有
222222()
222
()
2()2x y y x x y p p m
x y
p p m
x y p p m
x y
B Ne dp dp dN p e
dp e
dp N
e dp dp mk T
β
β
ββπ+---+-=
=??
第四章 静电场 本章提要 1. 库仑定律 两个静止的点电荷之间的作用力满足库仑定律，库仑定律的数学表达式为 1212 002204q q q q k r r πε==F r r 其中 922910(N m /C )k =?? 122-1 -2 018.8510(C N m ) 4k επ -= =?? ? 2. 电场强度 ? 电场强度表示单位正电荷在静电场中所受的电场力。其定义式为 q = F E 其中，0q 为静止电荷。 ? 在点电荷q 的电场中，电场强度为 02 04q r πε= E r 3. 电场强度的计算 ? 点电荷系的电场 N 2101 4i i i i q r πε== ∑r 0E ? 电荷连续分布的带电体系的电场 2 01d 4q q r πε=?r E 0 其中的积分遍及q 电荷分布的空间。 4. 高斯定理
? 电通量 电场强度通量简称电通量。在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ?=?S n ，θ为E 与n 之间的夹角，通过S ?的电通量定义为 e cos E S θ?ψ=?=?E S 通过电场中某闭合曲面S 的电通量为 d e s ψ=??E S ? 高斯定理 在真空中，通过电场中任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε。即 i 0 1 d s q = ∑?? E S 内 ε 使用高斯定理可以方便地计算具有对称性的电场分布。 5. 电势 ? 电势能 电荷q 0在电场中某点a 所具有的电势能等于将q 0从该点移到无穷远处时电场力所作的功。即 0 d a a a W A q ∞ ∞==?E l ? 电势 电势是描述电场能的属性的物理量。电场中某点a 的电势定义为 0 d a a a U W q ∞ ==?E l ? 电势的计算 （1） 已知电场强度的分布，可通过电势的定义做场强的积分来计算电 势。 （2）若不知道电场强度的分布，可通过下述的求和或积分来计算电势： 点电荷系产生的电场中的电势为 N 104i a i i q U r πε==∑ 电荷连续分布的带电体系电场中的电势为 0d 4a q q U r πε=? 6. 静电场的环路定理 静电场的电场强度沿任意闭合路径的线积分为零，即 d l E l ?=?0 7. 静电场对导体的作用
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -
物理部分课后习题答案（标有红色记号的为老师让看的题） 27页 1-2 1-4 1-12 1-2 质点的运动方程为22,(1)x t y t ==-，,x y 都以米为单位，t 以秒为单位， 求： （1） 质点的运动轨迹； （2） 从1t s =到2t s =质点的位移的大小； （3） 2t s =时，质点的速度和加速度。 解：（1）由运动方程消去时间t 可得轨迹方程，将t = 代入，有 2 1) y =- 或 1= （2）将1t s =和2t s =代入，有 11r i = ， 241r i j =+ 213r r r i j =-=- 位移的大小 r = = （3） 2x dx v t dt = = 2(1)y dy v t dt = =- 22(1)v ti t j =+- 2 x x dv a dt = =， 2y y dv a dt = = 22a i j =+ 当2t s =时，速度和加速度分别为 42/v i j m s =+ 22a i j =+ m/s 2 1-4 设质点的运动方程为cos sin ()r R ti R t j SI ωω=+ ，式中的R 、ω均为常 量。求（1）质点的速度；（2）速率的变化率。
解 （1）质点的速度为 sin cos d r v R ti R t j dt ωωωω==-+ （2）质点的速率为 v R ω = = 速率的变化率为 0dv dt = 1-12 质点沿半径为R 的圆周运动，其运动规律为232()t SI θ=+。求质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小和角加速度β的大小。 解 由于 4d t d t θω= = 质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小为 2 2 16n a R R t ω == 角加速度β的大小为 2 4/d ra d s d t ωβ== 77 页2-15, 2-30， 2-34， 2-15 设作用于质量1m kg =的物体上的力63()F t SI =+，如果物体在这一力作用 下，由静止开始沿直线运动，求在0到2.0s 的时间内力F 对物体的冲量。 解 由冲量的定义，有 2.0 2.0 2.02 (63)(33) 18I Fdt t dt t t N s = =+=+=? ? 2-21 飞机着陆后在跑道上滑行，若撤除牵引力后，飞机受到与速度成正比的阻力 （空气阻力和摩擦力）f kv =-（k 为常数）作用。设撤除牵引力时为0t =，初速度为0v ，求（1）滑行中速度v 与时间t 的关系；（2）0到t 时间内飞机所滑行的路程；（3）飞机停止前所滑行的路程。 解 （１）飞机在运动过程中只受到阻力作用，根据牛顿第二定律，有 dv f m kv dt ==- 即 d v k dt v m =- 两边积分，速度v 与时间t 的关系为 2-31 一质量为m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球
理论物理基础教程答案 【篇一：物理学教程(第二版)上册课后答案7】 7 －1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们( ) (a) 温度，压强均不相同 (b) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强(c) 温度，压强都相同(d) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强 分析与解理想气体分子的平均平动动能k?3kt/2，仅与温度有关．因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同．又由物态方程p?nkt，当两者分子数密度n 相同时，它们压强也相同．故选(c)． 7－2 三个容器a、b、c 中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，方均根速率之比 ?:??:?? 21/2a 21/2b 21/2c ?1:2:4，则其压强之比pa:pb:pc为( ) (a) 1∶2∶4 (b) 1∶4∶8 (c) 1∶4∶16 (d) 4∶2∶1 分析与解分子的方均根速率为 2?3rt/m，因此对同种理想气体有 同时，得p1:p2:p3?t1:t2:t3?1:4:16.故选(c)． 7－3 在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为t0时，气体分子的平均速率为0，分子平均碰撞次数为0，平均自由程为0，当气体温度升高为4t0时，气体分子的平均速率、平均碰撞频率和平均自由程分别为( ) (a) ?40,?40,?40 (b) ?20,?20,?0 (c)?20,?20,?40 (d)?40,?20,?0 碰撞频率变为20；而平均自由程? 1 ，n不变，则?也不变．因此正确答案为(b)． 2 7－4 图示两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线.如果(vp)o2和 (vp)h 2 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则( ) (a) 图中a表示氧气分子的速率分布曲线且
单项选择题 1、 波长λ=5000?的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹。今测的屏幕上中央条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距f为 1.2m 2. 1m 3.0.5m 4.0.2m 2、 根据惠更斯—菲涅耳原理，若已知光在某时刻的阵面为S，则S的前方某点P的光强度决定于波阵面S上所有面积元发出的子波各自传到P点的 1.振动振幅之和 2.光强之和 3.振动振幅之和的平方 4.振动的相干叠加 3、
在玻璃（折射率n3 =1.60）表面镀一层MgF2 (折射率n2=1.38)薄膜作为增透膜，为了使波长为5000?的光从空气(n1=1.00)正入射时尽可能少反射，MgF2薄膜的最少厚度应是（） 1.1250? 2.1810? 3.2500? 4.906? 4、 在双缝干涉实验中，入涉光的波长为λ，用玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大2.5λ，则屏上原来的明纹处（） 1.仍为明条纹 2.变为暗条纹 3.既非明纹也非暗纹 4.无法确定是明纹，还是暗纹 5、 以下不是几何光学的基本实验定律的是（） 1.光在均匀介质中的直线传播定律 2.光通过两种介质分界面的反射定律和折射定律 3.发射的光的强弱满足基尔霍夫定律
4.光的独立传播定律 6、 对于温度，有以下几种说法 ①温度的高低反映了物质内部分子运动剧烈程度的不同 ②气体的温度是分子平均平动动能的量度 ③气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义 ④从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度 上述说法正确的是 1.①、②、④ 2.①、②、③ 3.②、③、④ 4.①、③、④ 7、 有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气。如果这两种气体分子的方 均根速率相等，则表明（）Array 1.氧气的温度比氢气高 2.氢气的温度比氧气高 3.两种气体的温度相同 4.两种气体的压强相同 8、
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
大学物理 简明教程 习题 解答 答案 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=，12r r r -=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示 . 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即 t v a d d = ，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时， 有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先 计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v =2 2 d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ? ??? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
第四章电磁学基础 静电学部分 4.2解：平衡状态下受力分析 +q受到的力为： 处于平衡状态： （1） 同理，4q 受到的力为： （2） 通过（1）和（2）联立，可得：， 4.3解：根据点电荷的电场公式： 点电荷到场点的距离为： 两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称： 所以： 当与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。 4.4解：取一线元，在圆心处 产生场强： 分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向 的分量叠加： 方向：沿x正方向 4.5解：（1 （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7解：线密度为λ，分析半圆部分： 点电荷电场公式： + +
在本题中： 电场分布关于x 轴对称：， 进行积分处理，上限为，下限为： 方向沿x轴向右，正方向 分析两个半无限长： ，，， 两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量： 在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。那么大O点的电场强度为： 4.8解：E的方向与半球面的轴平行，那么 通过以R为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等。所以 通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半 径圆面的电通量，即： 4.9解：均匀带电球面的场强分布： 球面 R 1 、R2的场强分布为： 根据叠加原理，整个空间分为三部分： 根据高斯定理，取高斯面求场强： 图4-94 习题4.8用图 S1 S2 R O
场强分布： 方向：沿径向向外 4.10解：（1）、这是个球对称的问题 当时，高斯面对包围电荷为Q 当，高斯面内包围电荷为q 方向沿径向 （2）、证明：设电荷体密度为 这是一个电荷非足够对称分布的带电体，不能直接用高斯定理求解。但可以把这一带电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。由电场 叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为： 在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为： 在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为： 所以 4.11解：利用高斯定理，把空间分成三部分
大学基础物理课后答案 主编：习岗高等教育出版社
第一章 思考题： <1-4> 解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。对上液面应用拉普拉斯公式，得 A A R p p γ20= - 对下液面使用拉普拉斯公式，得 B B 02R p p γ= - 又因为 gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得 ??? ? ??-= B A 112R R g h ργ <1-5> 答：根据对毛细现象的物理分析可知，由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。在白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高，土壤表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因温度升高而下降，这两方面的原因使土壤表层变得干燥。相反，在夜间，土壤表面的温度较低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒间的毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度下降而凝结，从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。 <1-6> 答：连续性原理是根据质量守恒原理推出的，连续性原理要求流体的流动是定常流动，并且不可压缩。伯努利方程是根据功能原理推出的，它的使用条件是不考虑流体的黏滞性和可压缩性，同时，还要求流动是定常流动。如果流体具有黏滞性，伯努利方程不能使用，需要加以修正。 <1-8> 答：泊肃叶公式适用于圆形管道中的定常流动，并且流体具有黏滞性。斯托克斯公式适用于球形物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。 练习题： <1-6> 解：设以水坝底部作为高度起点，水坝任一点至底部的距离为h 。在h 基础上取微元d h ，与之对应的水坝侧面面积元d S （图中阴影面积）应为坡长d m 与坝长l 的乘积。 练习题1-6用图 d h d F
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
第六章 稳恒磁场 本章提要 1. 磁感应强度 描述磁场力的属性的物理量是磁感应强度，常用B 来表示。其定义式为 qv F B max = 在SI 制中，B 的单位为特斯拉（T ）。B 另一个单位为高斯(G)，两者的换算关系为 1T=104G 2. 毕奥—萨伐尔定律 （1） 毕奥—萨伐尔定律 ? 毕奥—萨伐尔定律的微分形式 电流元I d l 在真空中任一点P 所产生的磁感应强度d B 的大小与电流元的大小成正比，与电流元I d l 和r 的夹角的正弦成正比，与电流元到P 点的距离的平方 成反比。d B 的方向垂直于I d l 和r 所组成的平面，指向与矢积I d l ×0r 的方向相同，即 00 2d d 4I r l r B m p ′= 其中， 7-20410N A m p -=醋，称真空磁导率。 ? 毕奥—萨伐尔定律的积分形式 00 2 d d 4l l I r μπ?==?? l r B B （2）几种典型的磁场分布 ? 无限长直电流的磁场分布 02I B r m p = ? 载流长直螺线管内的磁场分布 0B nI m = ? 运动电荷的磁场分布 00 2 4q r v r B m p ′= 3. 磁高斯定理
? 磁通量 穿过磁场中某一面积S 的磁通量定义为 d B S m s Φ= 蝌 ? 磁高斯定理 通过空间中任意封闭曲面的磁通量必为零，即 d 0S B S =蝌 g ò 4. 安培环路定理 在真空中的稳恒磁场内，磁感应强度B 的环流等于穿过积分回路的所有传导电流强度代数和的0μ倍，即 0in d L I B r m ??ò ? 5. 安培力与洛仑兹力 （1）安培力 载流导线在磁场中受到的宏观力称安培力。安培力服从安培定律。 ? 安培定律的微分形式 放在磁场中任一点处的电流元d I l 所受到的磁场作用力d F 的大小与电流元d I l 的大小和该点的磁感应强度B 的大小成正比，还与电流元d I l 的方向和B 的方向之间的夹角θ的正弦成正比，d F 的方向为d I ?l B 所确定的方向。即 d d I =?F l B ? 安培定律的积分形式 对于任意载流导线，若将其视为由无数个电流元组成的，则其在磁场中所受的作用力为 d F l B l I =?? （2）洛仑兹力 一个定向运动的电荷在磁场中所受的力即洛仑兹力，其满足的基本规律为 q =?f υB 洛仑兹力的几个重要应用： ? 质谱仪 ? 霍耳效应 6. 磁介质 （1） 磁介质及分类 能在磁场作用下发生变化，并且能够反过来影响磁场的介质称磁介质。一般用磁介质中的磁感应强度B 的大小与真空中的磁感应强度0B 的大小之比来描述磁介质被磁化后对原来外磁场的影响，即
125本物理学名著 1 爱因斯坦文集 2 费曼物理学讲义(原声录音) 出国留学必备书之一！ 3 费曼物理学讲义_卷一 4 费曼物理学讲义_卷二 5 费曼物理学讲义_卷三 6 费曼物理学讲义习题集 7 别闹了，费曼先生！ 8 泡利物理学讲义(共六卷) 出国留学必备书之一！ 9 Faraday(法拉第)_Lectures on the Forces of Matter 10 Faraday(法拉第)_The Chemical History of A Candle 11 从抛物线谈起—混沌动力学引论 12 多粒子系统的量子理论 13 量子力学与路径积分（费曼）出国留学必备书之一！ 14 物理力学讲义（钱学森） 15 物理学家用微分几何出国留学必备书之一！ 16 相对论（索末菲） 17 相对论的意义 18 算法大全 19 相对论量子场 20 相对论量子力学 21 引力论与宇宙论 22 自然哲学之数学原理宇宙体系 23 物理学进展2001 24 History of Modern Physics 25 nobel lectures(1998--2001) 26 Numerical Recipes in C 27 phy Question 28 physics review letter(Vol74-Vol86) 29 thermal physics 30 Topics Appl. Phys Vol 80 Carbon Nanotubes 31 Trends in Colloid and Interface Science XIV 32 relativity the special and general theory 33 interact（斯坦福直线加速器实验室） 34 Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics 35 lect statistic 36 mathematicalhandbook 37 relativity the special and general theory -by albert einstei
第一章 思考题： <1-4> 解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。对上液面应用拉普拉斯公式，得 A A R p p γ20= - 对下液面使用拉普拉斯公式，得 B B 02R p p γ= - 又因为 gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得 ??? ? ??-= B A 112R R g h ργ <1-5> 答：根据对毛细现象的物理分析可知，由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。在白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高，土壤表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因温度升高而下降，这两方面的原因使土壤表层变得干燥。相反，在夜间，土壤表面的温度较低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒间的毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度下降而凝结，从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。 <1-6> 答：连续性原理是根据质量守恒原理推出的，连续性原理要求流体的流动是定常流动，并且不可压缩。伯努利方程是根据功能原理推出的，它的使用条件是不考虑流体的黏滞性和可压缩性，同时，还要求流动是定常流动。如果流体具有黏滞性，伯努利方程不能使用，需要加以修正。 <1-8> 答：泊肃叶公式适用于圆形管道中的定常流动，并且流体具有黏滞性。斯托克斯公式适用于球形物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。 练习题： <1-6> 解：设以水坝底部作为高度起点，水坝任一点至底部的距离为h 。在h 基础上取微元d h ，与之对应的水坝侧面面积元d S （图中阴影面积）应为坡长d m 与坝长l 的乘积。 练习题1-6用图 d h d F
麻省理工学院理论物理专业教材评介与分析 张立彬（南开大学外国教材中心；天津 300071） 朱美玲（南开大学物理科学学院；天津 300071） [内容摘要] 通过对麻省理工学院理论物理专业所用五本教材的评介与分析，认为国内编写同类教材时，新编教材应注意：问题新颖，习题难度适中；风格多样，增加阅读趣味；资料丰富，文献经典广泛；材料适当，扩展学生知识；及时更新，增加实效内容；因材施教，满足各种需求；图形描述，发挥图表功能等。[ 关键词]国外教材；理论物理；粒子与核子；量子信息；量子计算；超弦理论；量子力学；现代量子力学引言 教材是体现教学理念、教学内容和教学方法的载体，在深化课程教学改革、全面推进素质教育，提高人才培养质量方面发挥着重要作用。为进一步吸收、借鉴国外优秀的经典教材，提高国内教材建设的水平，为国家培养出急需的拔尖创新人才，本文对国外一流大学——麻省理工学院理论物理专业所用的五本经典教材进行了评介与分析。本文选定的五本经典教材分别是：德国物理学家Bogdan Povh 、Klaus Rith、Christoph Scholz 和Frank Zetsche等教授联合撰写，2006年由Springer出版社出版的《Particles and Nuclei》（粒子与核子·第五版）；美国加州理工学院的Michael A.Nielsen教授和麻省理工学院的Isaac L. Chuang教授合著，2000年由英国剑桥大学出版社出版的《Quantum Computation and Quantum Information》（量子计算与量子信息）；麻省理工学院Barton Zwiebach教授撰写，2004年由英国剑桥大学出版社出版的《A First Course in String Theory》（超弦理论基础）；诺贝尔奖得主、法籍物理学家Claude Cohen-Tannoudji教授撰写，1977年由Hermann出版社出版的《Quantum Mechanics》（量子力学·第一册）；美籍日裔著名理论物理学家J.J.Sakurai的遗作，1994年由Addison-Wesley publishers出版的《Modern Quantum Mechanics》（现代量子力学·修订版）。以下将一一介绍： 一、《Particles and Nuclei》（第五版）评介 《Particles and Nuclei》（粒子与核子·第五版）是由德国物理学家Bogdan Povh 、Klaus Rith、Christoph Scholz 和Frank Zetsche等教授联合编写而成，第一版于1995年出版，此后又在1999年出版了第二版；2002年出版第三版；2004年出版第四版，本书是第五版，于2006年由Springer出版社出版。本版主要的修改是增加了中微子振荡和无中微子双β衰变等最新实验进展介绍。[1] Bogdan Povh教授是著名的德国物理学家，主要从事粒子物理的研究工作，写了几十本关于粒子物理的书，对粒子物理以至于对理论物理的研究工作都具有很大贡献，是粒子物理方面的知名权威专家；同时，Klaus Rith、Christoph Scholz 和Frank Zetsche也是德国著名的物理学家，正是因为有这么多著名专家一起编写了这本书且进行了多次修改才使得这本书成为初步认识粒子和核子方面的一流教科书。 1.1内容简介 《Particles and Nuclei》（粒子与核子·第五版）这本书涵盖了主修物理学的大学生所必备的粒子与原子核领域的基本知识。本书的重点是强调基本的物理概念。其中也介绍了许多相关的实验，但不拘泥于实验细节。随着实验和理论物理的进展，原子核、中子以及夸克这些微观粒子在上世纪已经得到充分研究。世界是由这些组分构成的，这些物质组分间的强相互作用即所谓的“标准模型”的观点，虽然颇具吸引力，但是还未经证实。一旦我们接受这个基本观点，将立刻面临这样一个问题：由于大系统中多体相互作用的复杂性，反映基本粒子间相互作
2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
1 19世纪末物理学上的三大发现是（）。 ?A、X射线 ?B、放射性 ?C、电子 ?D、以上均是 我的答案：D 2 20世纪初，对氢原子光谱进行深入研究并找到了对应公式的人是（）。 ?A、卢瑟福 ?B、巴尔麦 ?C、里德堡 ?D、普朗克 我的答案：C 3 卢瑟福著名的α粒子穿透金属箔试验中，α粒子穿透金属箔后的运动轨迹不包括（）。?A、立刻停止 ?B、反射回来 ?C、发生旋转 ?D、直线运动 我的答案：A 4 每个化学元素都有不同特征的线状光谱。（） 我的答案：√ 5 原子中的基本粒子包括电子和电子核，其中占主要质量的是电子。（） 我的答案：× 1 下列说法不正确的是（）。 ?A、海森堡的不确定原理适用于宏观物体 ?B、原子的半径是十的负八次方厘米 ?C、光具有波粒二象性 ?D、氢元素光谱的波长具有不连续性 我的答案：A 2 提出电子具有波粒二象性假设的学者德布罗意来自（）。
?C、法国 ?D、波兰 我的答案：C 3 首次把量子化的概念运用到化学上的人是（）。 ?A、卢瑟福 ?B、玻尔 ?C、普朗克 ?D、巴尔麦 我的答案：B 4 玻尔假说的成功之处，其中一点就是验证了里德堡公式的正确性。（） 我的答案：√ 5 海森堡的不确定原理表明能测量出电子准确的位置，但不能测出其准确的动量。（）我的答案：× 1 波函数ψ的变量不包括（）。 ?A、r ?B、θ ?C、Ф ?D、m 我的答案：D 2 建立迄今最为成功的原子结构模型-波动力学模型的是（）。 ?A、德布罗意 ?B、爱因斯坦 ?C、海森堡 ?D、薛定谔 我的答案：D 3 为不同的目的从不同的角度考察波函数的性质，只考察随θ，Ф变化的称为（）。?A、径向分布图 ?B、角度分布图 ?C、时间分布图 ?D、空间分布图 我的答案：B