§ 不等式的解法（一）
【一线名师精讲】
基础知识串讲
解不等式的基本原则：
1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：
3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。
基本类型不等式的解法： (一)、整式不等式的解法 1、一元一次不等式
标准形式：b ax >或)0(≠ 解法要点：在不等式的两端同时除以a 后，若 0 2、一元二次不等式 标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax （其中0>a ）。 解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。 （3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤?时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解。 3、一元高次不等式（可分解因式型） 标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a Λ或 0)())((21<---n x x x x x x a Λ()0>a 。 解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求出对应方程的根。 （3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回 来后继续穿根。即“奇过偶不过”。 （4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为 0)())((21>---n x x x x x x a Λ的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a Λ的解。 （二）、分式不等式的解法 标准形式： 0)()(>x f x g ，或0) () ( 0)()(0)() (>??>x g x f x g x f 0)()(0) () (； )()(x g x f >； 以及 )()(x g x f <。 解法要点：解根式不等式的关键是去根号，应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换： ?? ? ??>≥≥?>)()(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f ??? ??>≥≥?>)()(0 )(0 )()()(2 x g x f x f x g x g x f 或???≥<0)(0)(x f x g ??? ??<≥>?<) ()(0 )(0)()()(2 x g x f x f x g x g x f 基本题型指要 【例1】 解下列不等式或不等式组： （1）?????+<<-+220)1)(3(2 x x x x （2）0)4)(2()3(2≤-+-x x x （3） x x x x x <-+-+2 22322 （4）02)1(2≥---x x x （1）思路导引：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。 解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式 0)1)(3(>-+x x ，易得：1,3>- 由222+ {}13|>- （2）解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ， 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： {}342|=≥-≤x x x x 或，，或 误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为{}42|≤≤-x x 。另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉 3=x 这类解。 （3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。 解析：将 x x x x x <-+-+2 22322化为标准形式，得： 0) 1)(3() 1)(2(2>+-++-x x x x x ， 因为012>++x x 恒成立，所以，0) 1)(3() 2(>+--x x x 。 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： {}321|><<-x x x 或，。 （4）思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。 解析：原不等式等价于： 02)1(2>---x x x (1) 或02)1(2 =---x x x (2) 由（1）得：?? ???>->--010 22x x x ，解得2>x ； 由（2）得12-==x x ，或。 所以，原不等式的解集为{}12|-=≥x x x ，或。 误区警示：请找出下面解法的错误： 由022≥--x x ，得01≥-x ，所以，原不等式的解为1≥x 。 点评：解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。 ◆题型二：解含参数的不等式 不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，关键是没有把握住解题技巧。其实，解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等式。 【例2】解下列关于x 的不等式： （1）02>+ax （2）x t tx )2(22+>+ （3）)1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a （1）思路导引：本题在求解x 时必须去除系数a ，由于a 的范围不明，无法直接变形，若将a 按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类中式子就能顺利变形了。 解析：由已知，2->ax 。 ①、当0>a 时，a x 2 - >； ②、当0 x 2- <； ③、当0=a 时，20->恒成立，R x ∈ 。 故，原不等式解集当0>a 时为???? ?? ->a x x 2|， 当0 ?? - （2）思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论。 本题中的不等式即0)2)(1(>--tx x ，在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数t 的正、负、零，二是对应的二次方程的根1与 t 2 是否存在、谁大谁小。此时，同一字母t 形成了不同的分类，可将t 在0、2处分段统筹安排进行分类（如图）。 解析：原不等式即0)2)(1(>--tx x 。 ① 当0 < 。 ② 当0=t 时，原不等式即022>+-x ，所以 1 ③ 当20< >t ，可得，1 x 2 > 或。 ④ 当2=t 时，原不等式即0)1(22>-x ，所 以1≠∈x R x ，且。 ⑤ 当2>t 时，易知 12 x 2 < 1>x 或。 综上所述，原不等式的解集当0 ?? ???<<12|x t x ；当0=t 时，为{}1| ?? ??? > {} 1|≠∈x R x x ，且；当2>t 时，为 ? ?? ???><12|x t x x ，或。 误区警示：本题易漏掉20==t t 和两种特殊情况的讨论。另外，在0 ?? ???><12|x t x x ，或。 （3）思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点，对不等式进行乘方处理，去除根号。若令t x a =log 进行换元，会使书写变得更简便。 解析：按根式不等式的解题思路，易知原不等 式等价于?? ? ??>--<-≥-) 3(01log 2)2()1log 2(2log 3)1(02log 32ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛx x x x a a a a 由(1)得,3 2 log ≥x a 由(2)得,1log ,4 3 log > 1log >x a 由此得 ,1log ,4 3 log 32><≤x x a a 或 当1>a 时，易求得原不等式的解集为 }|{43 3 2 a x a x a x >< ≤，或； 当10< }0|{32 43 a x a x a x << ≤ <，或。 误区警示：在乘方去除根号的过程中，要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围，保证不等式的变形为等价变形。 点评：从本例的解答过程可以看出，解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论，二是由“参数是怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分类讨论。 已知不等式的解集求参数值（或范围）是一类很常见也很重要的题型。由于该题型解法较为灵活，我们在解题时若不能把握住它的解题规律，往往会觉得变化莫测而无可适从。解答本题型关键是要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化，试解原不等式；二是利用已知的解集（或解集的部分信息）去逆向推测它们与参数的关系。两个要点结合，就会比较容易找到所求参数的方程或不等式，从而求出它们的值（或范围）。 【例3】已知不等式022>++bx ax （1）若不等式的解集为(3 1 ,21-)，求b a +； （2）若不等式的解集为R ，求b a 、应满足的条件。 （1）思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看，原不等式的解集可由方程022=++bx ax 的二根来得出，但二根不方便写出，自然会想到用韦达定理列式解题。 解析：由题意，方程022=++bx ax 的二根为3 1 21和- ， 所以，????? ????=?--=+->?- a b a b a 231213 1210240 2 易解得212-=-=b a ，， 所以，14-=+b a 。 误区警示：不能遗漏条件0242>?-a b 和 0 （2）思路导引：原不等式022>++bx ax 的系数b a 、范围未定，可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式。因为原不等式的解集为R ，故原不等式只能为二次型、常数型不等式。 解析： 1）当0==b a 时， 原不等式为02>，其解集显然为R ，符合题意。 2)当0≠a 时，因为原不等式解集为R ，所以， ?? ???0240 2 a b a 化简得a b a 802<>，且。 综上所述，b a 、应满足的条件为：0==b a ；或a b a 802 <>且。 点评： 已知二次不等式的解集求参数值可分为两种类型：若解集为“两根内外”型，一般用韦达定理求解；若解集为R 或φ，则通常用数形结合解题。 【例4】若不等式组?????<+++>--0 5)25(20 22 2k x k x x x 的整数解只有－2，求实数k 的取值范围。 思路导引：本题的解题思路与已知不等式的解集求参数值相似，只是要注意不等式组的解集应是各个不等式解集的交集。 解析： ?????<+++>--) 2(05)25(2) 1(0222ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛk x k x x x 由（1）解得12-<>x x ，或。 由（2）得0))(52(<++k x x 。因为－2是不等式组的解，故0)2](5)2(2[<+-+-?k ，得 2 >-k ，（2）的解为k x -<<-2 5。 由此可知，原不等式组的解为（Ⅰ）?????-<<-- 1，或??? ??-<<->k x x 2 52。 因为2 综上所述，23<≤-k 。 【阅卷老师评题】 【例5】(1996年全国高考)解不等式 .1)1 1(log >-x a 命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式不等式、二次不等式的解法，以及分类讨论的思想和运算能力。 考情分析：该题本身的能力要求并不高，但在解答的过程中却多次涉及易错点，故当年考生的得分率较低，区分度达。 思路导引：因为对数函数的单调性与a 有关，故应对a 分类讨论去除对数符号，将原不等式化为分式不等式，然后再化为整式不等式求解。 解析：（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于： ?? ???>->-) 2(1 1)1(011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛa x x 因1>a ，故只需解（2）式，由此得 )3(1 1ΛΛΛΛΛΛΛx a > - 因为,01<-a 所以,0 <<-x a （Ⅱ）当10< ??? <->-)5(1 1)4(01 1ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛa x x 由（4）得，,01<>x x 或 由（5）得， 011 >->a x ，故0>x ， 易解得（5）的解为a x -<<11 1。 所以a x -< <11 1。 综上所述:当1>a 时，不等式的解集为 };011 | {<<-x a x 当10< 1|{a x x -< < 点评：解不等式要注意不等式变形的等价性，对常见的易错点应熟记于心，这样才能有效地避免错误。此外，在解题时注意充分使用已知条件，常常会得到简便解法。如解不等式（2）（5）时利用a 的范围判断出x 的正负后，就能很方便的去分母 了。本题也可由01 1>- x 得出10> 【例6】（2004年上海高考）记函数f(x)=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B 。 (1) 求A ； (2) 若B ?A, 求实数a 的取值范围. 命题目的：本小题主要考查集合的有关概念， 考查二次不等式、分式不等式、对数不等式的解法，以及分析问题和推理计算能力。 考情分析：此题型在各地高考中经常出现。本题难度较小，得分率较高，但有的考生在求a 的范围时没充分使用1>a 的条件，引起解题过程复杂或出错。 解析：（1）由2－ 13++x x ≥0, 得1 1 +-x x ≥0, 解得 x <－1或x ≥1， 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞） (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0. 因为a <1，所以a +1>2a ，故B=(2a ,a +1)。 由B ?A 知：2a ≥1或a +1≤－1， 解得a ≥ 2 1 或a ≤－2。 因为a <1, 所以 2 1 ≤a <1或a ≤－2， 故当A B ?时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[ 2 1 ,1) ． 【好题优化训练】 基础巩固 1、1652->+-x x x 的解集为（ ） （A ）)1,(-∞ （B ）),2(+∞ （C ）)35,1[ （D ）)3 5 ,(-∞ 答案：D 解析:取0=x 可排除B 、C ；取1=x 可排除A 。故选D 。 2、满足31 21-> 2131< 1>x （C ）31- 121-<>x x ，或 答案：D 解析:解不等式组或验证排除。 3、解不等式212->-x x 答案：? ?? ???<≤521|x x 解析:原不等式等价于（Ⅰ）???<-≥-020 12x x ， 或（Ⅱ）??? ??->-≥-≥-2)2(12020 12x x x x 由（Ⅰ）解得 22 1 <≤x ， 由（Ⅱ）解得52<≤x 所以，原不等式的解集为??? ???<≤521|x x 。 点评：若令t x =-12，则该不等式可化为一个关于t 的二次不等式求解。 4、解关于x 的不等式04)1(22<++-x a ax 。 答案：原不等式的解集当0=a 时，为{}2|>x x ； 当10< ?? ??? < ???<<22|x a x ；当0 为? ?? ???><22|x a x x ，或。 解析: 原不等式即0)2)(2(<--x ax ，a 的范围明显会影响不等式的解集，故需分类讨论： 1）0=a 时，原不等式即042<+-x ，解得2>x 。 2）10<a ，不等式的解为a x 2 2<<。 3）1=a 时，原不等式为0)2(2<-x ，Φ∈x 。 4）1>a 时， 22 < 。 5）0-+-x ax ， 易知 22 > 13 642222<++++x x m mx x 对一切实数x 均成立， 求m 的取值范围。 答案：（1，3）。 解析:已知分母恒正，故原不等式可化为： 3642222++<++x x m mx x ， 即0)3()26(22>-+-+m x m x ， 由题意，该式对一切实数x 恒成立。 所以，0)3(8)26(2<---=?m m ， 容易解得31< 技能培训 6、不等式0343>---x x 的解集为：_______。 答案：[3，＋∞)。 解析:原不等式等价于??? ??->-≥-≥-34303043x x x x ， 解得3≥x 。 7、设1)(2+-=ax x x f 。若方程0)(=x f 没有正根，则a 的取值范围为____________。 答案：)2(，-∞。 解析:因为方程0)(=x f 没有正根，由图 易知；??? ??<≥-=?02 42a a ， 或042<-=?a 。 解得：2 03 42>+++x x a x 的解 是13-<<-x ，或2>x ，则a 的值为（ ） （A ）2 （B ）2- （C ） 2 1 （D ）21- 答案：B 解析:原不等式即0)3)(1)((>+++x x a x ，由其解集易知2-=a 。 9、若0)1(3)1()1()(2<-+--+=m x m x m x f 对于 一切实数x 恒成立，则m 的取值范围是（ ） （A ）),1(+∞ （B ）)1,(--∞ （C ）)1113,(--∞ （D ）),1()11 13 ,(+∞--∞Y 答案：C 解析:由已知，?????<-+--<+0)1)(1(12)1(0 12 m m m m ，解得11 13- )1(12 ) 1(≠>--a x x a 。 答案：不等式的解集当0 ?? ???<<--212|x a a x ； 当10< ?? ? ?? --< < 122|a a x x ；当0=a 时为Φ；当1>a 时，为? ?? ? ?? --< >122|a a x x x ，或。 解析: 原不等式可化为 02 ) 2()1(>--+-x a x a ，所 以0)]2()1)[(2(>-+--a x a x 。 （1）当0 2 01<--<-a a a ， ，原不等式的解集为? ?? ???<<--212| x a a x ； （2）当10< 21 2 >--a a ，原不等式的解集为???? ?? --<<122|a a x x ； （3）当0=a 时，原不等式为10>，所以∈x Φ； （4）当1>a 时， 21 2 <--a a ，，所以原不等式的解集为???? ?? --<>122|a a x x x ，或。 11、某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件。税务部门对市场销售的商品征收附加费，为了既增加国家收入又有利于活跃市场，必须合理确定征收的税率。根据调查分析，若政府对商品M 征收的税率为p ％时，每年销售减少10p 万件，试问： （1）若税务部门对商品M 每年所收税金不少96万元，求p 的取值范围。 （2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，因如何确定p 值？ （3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定p 值？ 答案：（1）62≤≤p 。（2）2=p 。（3）4=p 。 解析: （1）税率为%p 时，销售量为p 1080-万件，销售金额为)1080(80p -万元（80< 由题意易得：???<<≥?-8096 %)1080(80p p p ， 解得62≤≤p 。 （2）销售金额最大即)1080(80p -最大，由（1）可知，62≤≤p ，所以，当2=p 时 ，最大销售 金额为4800万元。 （3）由（1）知易知，销售金额为)1080(80p -，故税金为128)4(8%)1080(802+--=?-p p p ， 因为80< 12、若不等式02>++c bx ax 的解集为),(βα，且 βα<<0，求不等式02<++a bx cx 的解集。 答案：??? ? ??><αβ1,1|x x x 或 解析:依题意，方程02＝c bx ax ++的二根为 βα、，故有： ?????? ?>=<+-=)2(0)1(0)(ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛαββαa c a b 所以，)(βα+-=a b ，)(αβa c =， 这样即可将不等式02<++a bx cx 化为 0)()(2<++-a x a x a βααβ， 由题意易知0--x x βα。 因为βα<<0，所以α β 1 1 0< < ，故所求不等式 的解集为??? ???><αβ11|x x x ，或。 13、解不等式)0(122>->-a x a ax 答案：?????? ≥2|a x x 解析:原不等式可化为： （Ⅰ）?????->-≥-)2()1(2) 1(012 2ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛx a ax x 或（Ⅱ）?????≥-<-)4(02) 3(012 ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛa ax x 由（1）得1≤x ， 由（2）得a a x a a 2121++<<-+， 由（3）得1>x ， 由（4）得2 a x ≥ 。 因为0>a ，所以121>++a a ； 1）当20≤ 12 ≤a ，故不等式组（Ⅰ）的解为121≤<-+x a a ，不等式组（Ⅱ）的解为1>x ，此时，原不等式的解为 a a x 21-+>。 2）当2>a 时，121>-+a a ， 12 >a ，此时不等式组（Ⅰ）的解为Φ，不等式组（Ⅱ）的解为2a x ≥ ，原不等式的解为2 a x ≥。 综上所述，原不等式的解集当20≤ {}a a x x 21|-+>，当2>a 时为??? ???≥2|a x x 。 点评：本题也可用图形法求解。 思维拓展 14、k 为何值时，方程04 1 2=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1？ 答案： 528 5 -≤<- k 解析: 作函数41 )(2++-==k kx x x f y 。因为方程04 1 2=+ +-k kx x 的二实根的绝对值都小于1，所以函数图象与x 轴的交点的横坐标在－1与1之间（如图 ）。 分析图形特点可得： ???????? ?? ?>+=->= 452)1(0 45)1(11210)41(4)(2 k f f k k k 解得528 5 -≤<- k 。 点评：已知一元二次方程的根在某个指定区间内时，常常数形结合，抓住判别式△、对称轴的位置以及区间端点的函数值列式解题。 典型例题一 例 1 解不等式：（ 1）2x3 x2 15 x 0 ；（2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 ． 分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f ( x) 0 （或f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（ 1）原不等式可化为 x(2x 5)( x 3)0 把方程 x(2 x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2 5 , x3 3顺次标上数轴．然后从右上2 开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为x 5 0或 x 3 x 2 （ 2）原不等式等价于 ( x 4)( x 5)2 (x 2)3 0 x 5 0 x 5 (x 4)( x 2) 0 x 4或 x 2 ∴原不等式解集为x x 5或 5 x 4或x 2 说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图． 典型例题二 例 2 解下列分式不等式： （ 1） 3 1 2 ；（2） x2 4x 1 1 x 2 x 2 3x2 7x 2 分析：当分式不等式化为f (x) 0(或0) 时，要注意它的等价变形g( x) ① f ( x) f ( ) g ( ) 0 g( x) x x ② f ( x) f (x) g(x) f ( x) f ( x ) 0或 ( ) ( ) 0 或 g( x) g (x) 0 g (x) f x g x （ 1）解： 原不等式等价于 3 x 3 x 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3( x 2) x( x 2) x 2 5x 6 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 6)( x 1) 0 (x 6)( x 1)( x 2)(x 2) 0 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 2) 1,2 6, 。 （ 2）解法一 ：原不等式等价于 2x 2 3x 1 0 3x 2 7x 2 (2x 2 3x 1)(3x 2 7 x 2) 0 2x 2 3x 1 0 2x 2 3x 1 3x 2 7x 2 或 3x 2 7x 2 1 或 1 x 或 x 2 x 2 1 3 ∴原不等式解集为 ( , 1 ) ( 1 ,1) (2, ) 。 3 2 解法二：原不等式等价于 ( 2x 1)( x 1) 0 (3x 1)( x 2) (2x 1)( x 1)(3x 1) (x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 1) ( 1 ,1) (2, ) 3 2 典型例题三 例 3 解不等式 x 2 4 x 2 巧用两根式证明不等式 以二次函数及一元二次方程的两根满足条件为背景的不等式证明题，在全国高考和一些省市高考中都出现过，在各地模拟试题也屡见不鲜，这些题目的特点是：方法独特，变形技巧多，变换方法灵活，要求学生有较强的思维转换能力和运算能力，难度大，在此将对一些典型题的解法作讲析。 【例1】（97全国）设二次函数)0(2)(>++=a c bx ax f x ， 方程0)(=-x x f 的两个根21,x x 满足a x x 102 1<<<． (1) 当),0(1x x ∈时，证明；1)(x f x x <<; (2)设函数 )(x f 的图象关于直线x =x 0对称，证明2 10x x < ． 简析：从本题条件易联想到一元二次方程的实根分布和根与系数的关系，难达到证明的目的。 【解答】(1) 设f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c =a (x －x 1)(x －x 2) ∴ f (x )=a (x －x 1)(x －x 2)+x ∵ a x x x 1 021< <<<． ∴ x －x 1<0, x －x 2<0, a >0且ax 2<1 ∴ f (x )－x >0 ∴f (x )>x 又 f (x )－x 1=a (x －x 1)(x －x 2)+ x －x 1=(x －x 1)(ax －ax 2+1) ∵ ax 2<1 ∴－ax 2+1>0 ∴ax －ax 2+1>0 又 x －x 1<0 ∴f (x )－x 1<0 ∴f (x ) 含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。 解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化 为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2 图3 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法. 二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法. 三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a >b b a ? > - b a =b a ? = - a b 考点2 不等式的基本性质 定理1如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 常见不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ??> ????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ? ? < ???? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2 ()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式2 0ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? ②当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( §不等式的解法（一） 【一线名师精讲】 基础知识串讲 解不等式的基本原则： 1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当 元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。 2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其 转化的总思路为： 分式不等式 整不 式等 根式不等式 不式 绝对值不等式 等的 函数不等式式解 3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不 等式分开解答后取并集。 基本类型不等式的解法： ( 一 ) 、整式不等式的解法 1、一元一次不等式 标准形式：ax b 或 ax b(a 0) . 解法要点：在不等式的两端同时除以 a 后，若a0 则不等号要反向。 2、一元二次不等式 标准形式：ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 （其中 a 0 ）。 解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步 骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求方程ax2bx c 0 的根。 （3）写解：根据方程ax2 bx c 0 根的情况 写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大 于 0，两根外；小于 0，两根内”的口诀写解，当0 时，则可由函数 y ax 2 bx c 的草图写解。 3、一元高次不等式（可分解因式型） 标准形式：a( x x1 )( x x 2) ( x x n ) 0 或 a (x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) 0 a 0 。 解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求出对应方程的根。 （3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。 （ 4 ）写解：数轴上方所对应曲线的区间为 a( x x1 )( x x2 ) ( x x n ) 0 的解，数轴下方所 对应曲线的区间为a ( x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) 0 的解。 （二）、分式不等式的解法 标准形式： g ( x) 0，或 g ( x ) 0 。 f ( x ) f ( x) 解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将 分式不等式转化为整式不等式求解。若分母的正负 可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以 下原则去分母： f ( x) 0 f (x ) g( x) 0 g( x ) f ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 g( x ) （三）、根式不等式的解法 标准形式： f ( x)g( x) ； f ( x) g( x) ；以及 f (x )g (x) 。 解法要点：解根式不等式的关键是去根号， 应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条 件这两大要点进行等价变换： f ( x) 0 f (x ) g( x) g( x) 0 f ( x) g( x) g( x) 0 g ( x) 0 f (x ) g ( x) f ( x) 0 或 f ( x) g 2 f ( x ) ( x ) g( x) 0 f ( x ) g( x) f ( x) 0 f ( x) g2 ( x) 基本题型指要 ◆题型一：解不含参数的不等式 【例 1】解下列不等式或不等式组： ( x 3)(1 x) 0 （ 1） x 2 2 2x （ 2） ( x 3) 2 (x 2)( 4 x) 0 （3） x2 2 x 2 x 3 2 x x 2 不等式的解法·典型例题【例1】(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】解下列不等式： 【例3】解下列不等式 1 x 5 x2 )2(;3 x 1 x 1+ > + - ≤ - ） （ 【例4】解下列不等式： 【例5】 |x 2-4|＜x+2． 【例6】 解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝． 【说明】用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．（2） 【例3】解下列不等式 1 x 5 x2 )2(;3 x 1 x 1+ > + - ≤ - ） （ 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x≥5｝．(2)原不等式等价于 【说明】 解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】 解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】 |x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】 解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 § 不等式的解法（一） 【一线名师精讲】 基础知识串讲 解不等式的基本原则： 1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。 2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为： 3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。 基本类型不等式的解法： (一)、整式不等式的解法 1、一元一次不等式 标准形式：b ax >或)0(≠++c bx ax 或02<++c bx ax （其中0>a ）。 解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。 （3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤?时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解。 3、一元高次不等式（可分解因式型） 标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a Λ或 0)())((21<---n x x x x x x a Λ()0>a 。 解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求出对应方程的根。 （3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回 来后继续穿根。即“奇过偶不过”。 （4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为 0)())((21>---n x x x x x x a Λ的解，数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a Λ的解。 （二）、分式不等式的解法 标准形式： 0)()(>x f x g ，或0) () ( §6.6 不等式的解法（二） 【一线名师精讲】 基础知识要点 （四）、绝对值不等式的解法 标准形式: a x f >|)(|；a x f <|)(|； |)(||)(|x g x f >； )(|)(||)(|a a x g x f <>±或。 解法要点：解根式不等式的关键是去绝对值符号。一般可用公式、乘方、分类讨论、数形结合等方法解决： a x f >|)(|??? ??<=≠>-<>?)0()()0(0)() 0()(,)(a x f a x f a a x f a x f 不存在或 a x f <|)(|???≤><<-?) 0()() 0()(a x f a a x f a 不存在 |)(||)(|x g x f >)()(22x g x f >? )(|)(||)(|a a x g x f <>±或型不等式一般可抓住`)(x f 及)(x g 大于、小于、等于零进行分类讨论去绝对值。其中，)(||||a a n x m x <>+±+或型的不等式用数形结合法解答较为简便。 （五）、函数型不等式的解法 标准形式：)]([)]([x h f x g f >。 解法要点：用函数)(x f y =的单调性去掉函数符号“f ”，把函数型不等式转为非函数型不等式： )]([)]([x h f x g f >? ??<>?))(()()() )(()()(为减函数为增函数x f x h x g x f x h x g 基本题型指要 【例1】 解下列不等式 （1）2|12|2≥-+x x （2） | |12 12x x ≤ - （1）解析：原不等式即2122≥-+x x ……① 或2122-≤-+x x ……………… ② 由①得13≥-≤x x ，或， 由②得 10)1(2-=≤+x x ，故， 故原不等式解集为{}113|≥-=-≤x x x x ，或，或。 （2）思路导引：本题可对x 分类讨论去除绝对值。 解析：原不等式可化为：（Ⅰ）??? ??≤->x x x 12102 或（Ⅱ）?? ? ??-≤- . 不等式的解法·典型例题 【例1】 (x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【例2】解下列不等式： 【例3】解下列不等式 1 x 5 x2 )2(;3 x 1 x 1+ > + - ≤ - ） （ 【例4】解下列不等式： 【例5】 |x 2-4|＜x+2． 【例6】 解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】 (x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝． 【说明】用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)．（2） 【例3】解下列不等式 1 x 5 x2 )2(;3 x 1 x 1+ > + - ≤ - ） （ 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】 解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大 于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】 解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】 |x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． §6.5 不等式的解法（一） 【一线名师精讲】 基础知识串讲 解不等式的基本原则： 1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。 2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为： 3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。 基本类型不等式的解法： (一)、整式不等式的解法 1 、一元一次不等式 标准形式：b ax >或)0(≠++c bx ax 或 02<++c bx ax （其中0>a ） 。 解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求方程02=++c bx ax 的根。 （3）写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集。当 两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0≤?时，则可由函数c bx ax y ++=2的草图写 解。 3、一元高次不等式（可分解因式 型） 标准形式：0 )())((21>---n x x x x x x a Λ或 0)())((21<---n x x x x x x a Λ()0>a 。 解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行： （1）整形：将不等式化为标准形式。 （2）求根：求出对应方程的根。 （3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。 （4）写解：数轴上方所对应曲线的区间为 )())((21>---n x x x x x x a Λ的 解，数轴下方所对应曲线的区间为 0)())((21<---n x x x x x x a Λ的解。 （二）、分式不等式的解法 标准形式： 0)()(>x f x g ，或0) () ( 新教师汇报课教案 课题：解无理不等式 教学目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。 教学过程： 一、新课引入： 前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它们称为整式不等式，再加上分式不等式，统称为有理不等式，今天我们学习一下无理不等式的解法。 二、讲解新课 无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。首先，我们来看下面这个例题： 例一解不等式0 3 4 3> - - -x x 引导学生思考： 3 4 3- > -x x ? ? ? ? ? ? ? > ≥ ≥ ? ? ? ? ? ? - > - ≥ - ≥ - ? 2 1 3 3 4 3 4 3 3 4 3 x x x x x x x （结合数轴） ∴3 ≥ x ∴不等式的解集是：{3 |≥ x x} 这是我们所要研究的： 题型Ⅰ： ? ? ? ? ? > ? ? ? ? ≥ ≥ ? > ) ( ) ( ) ( )0 ) ( ( ) ( ) ( x g x f x g x f x g x f 定义域 型 通过这个例题（题型）我们可以发现：在解无理不等式的时候，关键是找出与其同解的有理不等式组，而解有理不等式组（如：一元一次不等式组、一元二次不等式组和一元高次不等式组等等）都是我们比较拿手的。简言之： 有理不等式 即：通常所说的无理不等式的有理化解法。 练习一：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x （本练习由两位同学板演，其他同学练习后讲解） 解：⑴移项：231-≤-x x ∴?? ???≥≤????-≥-≥-43112301x x x x x ∴143≤≤x ∴原不等式的解集为? ?????≤≤143|x x ⑵? ??<≥????->-≥-2112501x x x x x ∴21<≤x ∴原不等式的解集为{21|<≤x x } 对两位同学的板演进行讲评，并让同学注意这种题型的结构特征， 在解题过程中不要忘记结合数轴来求几个不等式的解集的交集。 变题：将上例中的⑵变形为： 例二 解不等式 125->-x x 让学生回答解这道题的方法或需要注意的有关问题，有同学提到：首先要考虑根式有意义，即025≥-x ，接下来去根号；（如何去？）平方！直接平方后得到的不等式是否与原不等式等价？提醒同学注意：解不等式所进行的变换一定要保证是等价变换。 引导学生思考： 22b a b a >?> 是否一定成立？ 不一定！因为：只有在0≥>b a 的情况之下，2 2b a b a >?>才会成立 而例二中的1-x 的符号并不能确定！由此可见：我们需要对1-x 的符号进行讨论。OK, 下面就来做此工作（解题）。 解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集： Ⅰ：?? ???->-≥-≥-2)1(2501025x x x x 或 Ⅱ：???<-≥-01025x x 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 无理不等式的解法 河南省三门峡市卢氏一高高三数学组（472200）赵建文 Emial:zhaojw1968@https://www.doczj.com/doc/d810869220.html, 无理不等式是一类常用的重要不等式，解无理不等式是不等式性质的一个重要应用，但课本上没有系统将无理不等式的解法，为了同学们更好的掌握无理不等式的解法，本文以高中阶段常遇到的二次根式型无理不等式为例，将无理不等式的解法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、乘方法 例1 解下列不等式 （2 2x -， （3）2x + 分析：本题是二次根式不等式问题，用乘方法. 解析：（1）原不等式等价于22321210x x x x ?-->-+?-+≥? ，解得x ＜2-， ∴原不等式的解集为{x |x ＜2-}. （2）原不等式等价于2234(2)20x x x x ?+-≥-?-≥?或234020 x x x ?+-≥?-? ,(2) ＞()g x ?2()0()[()]g x f x g x ≥??>?或()0()0f x g x ≥???≥??>?. 二、图像法 例2 2x -. 分析：本题是二次根式不等式，可用图像法. 不等式的解法·典型例题 【例1】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝． 【说明】用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】解下列不等式： 变形 解：(1)原不等式等价于 用“区间法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． 用“区间法” 【例3】解下列不等式： 【分析】无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解，但要注意变换的等价性． 解：(1)原不等式等价于 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x≥5｝． (3)原不等式等价于 【说明】解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例(3)． 原不等式化为 t2-2t-3＜0(t≥0)解得0≤t＜3 【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便．【例4】解下列不等式： 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式∣χJ5x 5卜：1. ［题根4］解不等式I x ? —5x 5| ：：：1. ［思路］利用I f(x) I 高一数学不等式解法例题.doc
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