2013年高考理科数学试题分类汇编：2函数
一、选择题
1 ．（2013年高考江西卷（理））函数
的定义域为
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1] 【答案】D
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A
3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数1
2
()f x x -=的大致图像是( )
【答案】A
4 ．（2013年高考四川卷（理）
）设函数()f x =
(a R ∈,e 为自然对数的底数).
若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1
[,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1
[-1,1]e e -+ 【答案】A
5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>?
,若|()f x |≥ax ,则a
的取值范围是
A.(,0]-∞
B.(,1]-∞
C.[2,1]-
D.[2,0]- 【答案】D
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数
()()21=log 10f x x x ??
+> ???
的反函数()1=f x -
(A)
()1021x x >- (B)()1
021
x
x ≠- (C)()21x x R -∈ (D)()210x x -> 【答案】A 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知y x ,为正实数,则
A.y x y x lg lg lg lg 222+=+
B.y x y x lg lg )lg(222?=+
C.y x y x lg lg lg lg 222+=?
D.y x xy lg lg )lg(222?= 【答案】D
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,2
1
()f x x x
=+
,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2
【答案】A
9 ．（2013年高考陕西卷（理））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2
的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是
(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]【答案】C 10．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆
数学（理）试题（含答案））
y =
()63a -≤≤的最大值为( )
A.9
B.9
2
C.3【答案】B
11．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()f x 的定义域为()1,0-,则函数()21f x -的定义域为 (A)()1,1- (B)11,2?
?- ??? (C)()-1,0 (D)1,12??
???
【答案】B
12．（2013年高考湖南卷（理））函数()2ln f x x =的图像与函数()2
45g x x x =-+的图
像的交点个数为
A.3
B.2
C.1
D.0
13．（2013年高考四川卷（理））函数2
31
x x y =-的图象大致是( )
【答案】C 14．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知函数
()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设
()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较
大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则
A B -=
(A)2216a a -- (B)2216a a +- (C)16- (D)16
【答案】B 15．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B.3
C.2
D.1
【答案】C 16．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））若函数
3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不
同实根个数是
(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6 【答案】A 17．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））函数
0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】B
18．（2013年高考北京卷（理））函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =e x
关于y 轴对称,则f (x )=
A.1e x +
B. 1e x -
C. 1e x -+
D. 1e x --
19．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）设-1()f x 为函数()f x =,下
列结论正确的是( ) (A) 1
(2)2f
-= (B) 1(2)4f -= (C) 1
(4)2f
-= (D) 1(4)4f -=
【答案】B 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））若函数()21=f x x ax x ++
在1,+2??
∞ ???
是增函数,则a 的取值范围是 (A)[-1,0] (B)[1,)-+∞ (C)[0,3] (D)[3,)+∞ 【答案】D
二、填空题
21．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2log (2)y x =+的定义域是_______________ 【答案】(2,)-+∞
22．（2013年高考上海卷（理））方程1
313313
x x
-+=-的实数解为________ 【答案】3log 4x =.
23．（2013年高考上海卷（理））对区间I 上有定义的函数()g x ,记
(){|(),}g I y y g x x I ==∈,已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=,且
11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==,若方程()0f x x -=有解0x ,则0_____x =
【答案】02x =.
24．（2013年高考新课标1（理））若函数()f x =2
2
(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值是______. 【答案】16.
25．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）方程28x =的解是_________________ 【答案】3
26．（2013年高考湖南卷（理））设函数(),0,0.x
x
x
f x a b c c a c b =+->>>>其中
(1)记集合{}(,,),,M a b c a b c a =不能构成一个三角形的三条边长，
且=b ,则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为____.
(2)若,,a b c ABC ?是的三条边长，则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
①()(),1,0;x f x ?∈-∞>
②,,,x
x
x
x R xa b c ?∈使不能构成一个三角形的三条边长； ③若()()1,2,0.ABC x f x ??∈=为钝角三角形，则使 【答案】(1)]10(， (2)①②③
27．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2
-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为___________. 【答案】()()+∞-,50,5Y
28．（2013年高考上海卷（理））设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0
x <时,2
()97a f x x x
=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________
【答案】87
a ≤-
. 三、解答题 29．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数
22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间|()>0I x f x =
(Ⅰ)求的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-); (Ⅱ)给定常数(0,1)k ∈,当时,求l 长度的最小值.
【答案】解: (Ⅰ))1,0(0])1([)(2
2a
a x x a a x x f +∈?>+-=.所以区间长度为21a a
+. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,a
a a a
l 1112
+
=+=
恒成立令
已知k k
k k k k a k k -111
0-111.1-10),1,0(2>+∴>?>++≤≤<∈. 2
2)1(11)1(1111)(k k
k k l k a a a a g -+-=
-+-≥?-=+
=?这时时取最大值在 所以2
)
1(111k k
l k a -+--=取最小值
时，当. 30．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分.
已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+- 是奇函数”.
(1)将函数3
2
()3g x x x =-的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标; (2)求函数2
2()log 4x
h x x
=- 图像对称中心的坐标; (3)已知命题:“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b,使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为3
2
(1)3(1)2y x x =+-++, 整理得3
3y x x =-,
由于函数33y x x =-是奇函数,
由题设真命题知,函数()g x 图像对称中心的坐标是(1 2)-，. (2)设2
2()log 4x
h x x
=-的对称中心为( )P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数. 设()(),f x h x a b =+-则22()()log 4()
x a f x b x a +=--+,即222()log 4x a
f x b a x +=---.
由不等式
2204x a
a x
+>--的解集关于原点对称,得2a =.
此时22(2)
()log (2 2)2x f x b x x
+=-∈--，，.
任取(2,2)x ∈-,由()()0f x f x -+=,得1b =,
所以函数2
2()log 4x
h x x
=-图像对称中心的坐标是(2 1)，. (3)此命题是假命题.
举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像,但是对任意实数a 和b ,函数()y f x a b =+-,即y x a b =+-总不是偶函数. 修改后的真命题:
“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”.
解函数方程的几种方法 李素真 摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。 关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法 含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。 1.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。 例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。 解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222 u u u f += ）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2 )(22u x x f += )0(>x 。 例2 已知x x x x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。 解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 112111 2 ln )(+=-+-=t t t t f ， 即1 2ln )(+=x x f 。 例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。 解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2 --=x t f ]2,0[∈x 。 2.待定系数法
待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。 例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。 解：由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数，而它们的和是2次的，所以)(x f 为二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，从而有 由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a 根据两个多项式相等的条件得 22=a ，22-=b ，4)(2=+c a ，由此得1=a ，1-=b ，1=c ，故有1)(2+-=x x x f 。 例5 已知)(x f 是x 的二次函数，且x x x f f 242)]([-=，求)(x f 。 解：因为c 是x 的二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，由此，c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([2222 将上式化简并代入x x x f f 242)]([-=，得x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24222223243-=+++++++++ 比较对应项的系数有 ?????????=++=+-=++==0 0222021222223c bc c a b abc ab c a b a b a a ，解之得?????-===101c b a ，故1)(2-=x x f 。 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。
(1) https://www.doczj.com/doc/d77940703.html,函数库的名称空间和模块 Conversion 转换函数 DateAndTime 日期和时间函数 Strings 字符串函数 VbMath 随机函数 (2) 基础类库中的名称空间和类 引用名称空间的方法： 项目引用新建一个项目时，https://www.doczj.com/doc/d77940703.html,根据所建项目类型，自动导 入部分名称空间的引用 直接引用给出名称空间的全名，就可访问其中的任一个类及其 各项内容 例使用Math类开方函数sqrt： Label1.Text = system.Math.sqrt(100) Imports语句导入在代码中就可直接使用名称空间的类或成员。 导入语句的格式：Imports 名称空间
数学函数 .NET中的数学函数包含在Math类。使用前在模块的开头用语句Imports System.Math导入 Rnd函数返回0和1（包括0但不包括1）之间的双精度随机数. 每次运行时，要产生不同序列的随机数，先执行Randomize 语句。产生a~b的之间的随机整数：Int(Rnd *(b-a)+a)
(1) Chr和Asc函数互为反函数。 (2) Str函数将非负数值转换成字符类型后，会在转换后的字符串左边增加一空格。 (3) Val将数字字符串转换为数值类型，当字符串中出现数值类型规定的字符外的字符，则停止转换，函数返回的是停止转换前的结果。例如表达式： Val("-123.45ty3")结果为-123.45。 (4) CDdate函数将以日期型表达式转换成日期类型。例如表达式：CDate("2005/5/12")结果为日期类型 https://www.doczj.com/doc/d77940703.html,中还有其他类型转换函数，例如，CInt、CBool、CSng、CStr等，详细例子查阅帮助功能。 日期函数 计算从当前日期到2007年6月30日有多少天？表达式为： DateDiff("d", Now, #6/30/2007#)
1.求字持串的长度LENGTH 您可用LENGTH函数求字符串的长度。LENGTH返回一个数值。该值等于参数中的字符个数。 例：使用LENGTH函数 SQL＞select Last_Name, length(Last_Name) from customer order by LastName; 2.使用SUBSTR函数从字符串中提取子串 语法： SUBSTR函数的语法如下： SUBSTR(string, string charcter, number of charcters) 变量定义如下： string为字符列或字符串表达式 string charcter为子串的起始位置 number of charcters为返回字符的个数c 例：说明了怎样使用SUBSTR函数取得教师的姓的前四个字符 SQL＞select last_Name, substr(Last_Name, 1, 4) from instector order by Last_Name 例：在SUBSTR函数中使用LENGTH函数（取后三个字符） 5Qt．＞select last_Name, substr(Last_Name, Length(Last_Name) - 2, 3) from instector order by Last_Name 3.在字符串中查找模式 例：使用LIKE运算符 SQL＞column description format a40 word_wrapped SQL＞column title format a35 SQL＞select Title, Description from Course where Description like '%thory%' or Description like '%theories%'; 4.替换字符串的一部分 经常遇到的数据操纵任务是在特定的列中将数据由一种模式转换成另一种模式。 假设您希望在Course表中改变课程说明，将说明中的字seminar用字discussion替代．那么您可用oracle提供的函数REPLACE，该函数使得某列的字符串能被另一字符串代替。 语法： REPLACE函数的语法如下： REPLACE(string, existion_string, [replacement_string]) 变量定义如下： string为字符表达式c existion_string为已存在的字符串。 replacement_string为用来替代的可选字符串。 例：使用REPLACE函数 显示了在Course表中如何使用REPLACE来改变课程名称(title)：首先使用查询显示当前课程名称，UPDATE语句中使用REPLACE函数将SEMINAR改变成
Python语句、函数与方法的使用技巧总结 显示有限的接口到外部 当发布python第三方package时，并不希望代码中所有的函数或者class可以被外部import，在__init__.py中添加__all__属性，该list中填写可以import 的类或者函数名，可以起到限制的import的作用，防止外部import其他函数或者类。 #!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- from base import APIBase from client import Client from decorator import interface, export, stream from server import Server from storage import Storage from util import (LogFormatter, disable_logging_to_stderr, enable_logging_to_kids, info) __all__ = ['APIBase', 'Client', 'LogFormatter', 'Server', 'Storage', 'disable_logging_to_stderr', 'enable_logging_to_kids', 'export', 'info', 'interface', 'stream'] with的魔力
with语句需要支持上下文管理协议的对象，上下文管理协议包含__enter__和__exit__两个方法。with语句建立运行时上下文需要通过这两个方法执行进入和退出操作。 其中上下文表达式是跟在with之后的表达式，该表达式返回一个上下文管理对象。 # 常见with使用场景 with open("test.txt", "r") as my_file: # 注意, 是__enter__()方法的返回值赋值给了my_file, for line in my_file: print line 知道具体原理，我们可以自定义支持上下文管理协议的类，类中实现__enter__和__exit__方法。 #!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- class MyWith(object): def __init__(self): print "__init__ method" def __enter__(self):
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
ASP纯ASP VBscript常用函数： 1.数值型函数： abs(num): 返回绝对值 sgn(num): num>0 1; num=0 0; num<0 -1;判断数值正负 hex(num): 返回十六进制值直接表示：&Hxx 最大8位 oct(num): 返回八进制值直接表示：&Oxx 最大8位 sqr(num): 返回平方根num>0 int(num): 取整int(99.8)=99; int(-99.2)=100 fix(num): 取整fix(99.8)=99; fix(-99.2)=99 round(num,n): 四舍五入取小数位round(3.14159,3)=3.142 中点数值四舍五入为近偶取整round(3.25,1)=3.2 log(num): 取以e为底的对数num>0 exp(n): 取e的n次幂通常用num^n sin(num): 三角函数，以弧度为值计算(角度*Pai)/180=弧度con(num); tan(num); atn(num) 2.字符串函数： len(str)：计算字符串长度中文字符长度也计为一！ mid(str,起始字符,[读取长度])：截取字符串中间子字符串 left(str,nlen)：从左边起截取nlen长度子字符串 right(str,nlen)：从右边起截取nlen长度子字符串 Lcase(str)：字符串转成小写 Ucase(str)：字符串转成大写 trim(str)：去除字符串两端空格 Ltrim(str)：去除字符串左侧空格 Rtrim(str)：去除字符串右侧空格 replace(str,查找字符串,替代字符串,[起始字符,替代次数,比较方法])：替换字符串 注：默认值：起始字符1；替代次数不限；比较方法区分大小写（0）
4.3.2 函数的极大值和极小值 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数 2() 4.9 6.510 h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是 增函数．相应地，' ()()0v t h t =>． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是 减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，
函数导数公式及证明
复合函数导数公式
) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证： ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →，上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++=
12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证： ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=，则有log (1)a x m =-，代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ，则1 0lim(1)m x m e →+=，于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证： '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++===
R-note 一、基本函数 1.函数c()—向量,length()—长度,mode()—众数,rbind()—组合,cbind()— 转置，mode()—属性（数值、字符等） 2.函数mean( )-中位数, sum( )-求和, min( )-最小 值, max( )-最大值, var( )-方差, sd( )-标准差, prod( ) –连乘 3.函数help（）--帮助 4.正态分布函数rnorm( ) 、泊松分布函数rpois( ) 、指数分布函数rexp( ) 、 Gamma分布函数rgamma( ) 、均匀分布函数runif( ) 、二项分布函数rbinom( ) 、几何分布函数rgeom( ) （一）基本函数 1．>2:60*2+1 [1]5 7 9 11……..。。。（共60个数） 2. a[5]:a数列第5个数，a[-5]:删除a数列第5位数 a[-(1:5)]: 删除a数列第1-5位数 a[c(2,4,7)]:a数列第2，4,7位数 a[a<20]:a数列小于20的数 a[a[3]]:先查找a数列第3位数对应数值，然后找第该位数对应数值 5.Seq（）函数---序列数产生器 Seq（5,20）：产生5,6。。。。20的数集 Seq（5,100，by=2）:产生5开始，步长为2的数集，最大值为100 Seq（5,100，length=10）：产生从5开始，从第三个数开始等于第二个数加上第二个数减去第一个数的差值，最后一个数为100. 如：=+（） 6.letters（）：产生字母序列 letters[1:30]:a,b,c,d…..30个字母 （）选择 (a):a数列里面最大数 which（a==2）：查找a数列中等于2的数，并返回该数所对应位置
【学习目标】 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 【重点与难点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤 【学法提示】 讲练结合 【课前预习】 用导数法求下列函数的单调区间. (1) 2()2f x x x =-- (2)311433 y x x = -+ 1.极大值： 2.极小值： 3.极大值与极小值统称为极值 取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若0x 满足 0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数/()f x (2)求方程/()f x =0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，若左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；若左负右
求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为
二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用
字符函数 函数名 功能 示例 ASC 返回一个Integer，代表字符串中首字母的字符代码。 Asc(string) CHR 返回String，其中包含有与指定的字符代码相关的字符 Chr(charcode) Format 返回Variant (String)，其中含有一个表达式，它是根据格式表达式中的指令来格式化的。 Format(expression[, format[, firstdayofweek[, firstweekofyear]]]) Hex 返回代表十六进制数值的String。 Hex(number) InStr 返回Variant (Long)，指定一字符串在另一字符串中最先出现的位置。 InStr([start, ]string1, string2[, compare]) InstrRev 返回一个字符串在另一个字符串中出现的位置，从字符串的末尾算起。 InstrRev(string1, string2[, start[, compare]]) Join 返回一个字符串，该字符串是通过连接某个数组中的多个子字符串而创建的。 Join(list[, delimiter]) LCase 返回转成小写的String。 LCase(string) Left 返回Variant (String)，其中包含字符串中从左边算起指定数量的字符。 Left(string, length) Len 返回Long，其中包含字符串内字符的数目，或是存储一变量所需的字节数。
Len(string | varname) Ltrim Rtrim Trim 返回Variant (String)，其中包含指定字符串的拷贝，没有前导空白(LTrim)、尾随空白(RTrim) 或前导和尾随空白(Trim)。 LTrim(string)RTrim(string)Trim(string) Mid 返回Variant (String)，其中包含字符串中指定数量的字符。 Mid(string, start[, length]) Partition 返回一个Variant (String)，指定一个范围，在一系列计算的范围中指定的数字出现在这个范围内。 Partition(number, start, stop, interval) Replace 返回一个字符串，该字符串中指定的子字符串已被替换成另一子字符串，且替换发生的次数也是指定的。 Replace(expression, find, replacewith[, start[, count[, compare]]]) Right 返回Variant (String)，其中包含从字符串右边取出的指定数量的字符。 Right(string, length) Space 返回特定数目空格的V ariant (String)。 Space(number) Split 返回一个下标从零开始的一维数组，它包含指定数目的子字符串。 Split(expression[, delimiter[, count[, compare]]]) StrComp 返回Variant (Integer)，为字符串比较的结果。 StrComp(string1, string2[, compare]) String 返回Variant (String)，其中包含指定长度重复字符的字符串。 String(number, character) StrReverse 返回一个字符串，其中一个指定子字符串的字符顺序是反向的。 StrReverse(string1)
Intouch函数及语句介绍 R 1: RecipeDelete() 从指定配方模板文件中删除配方名。 句法RecipeDelete（“Filename”,“RecipeName”）; 参数描述 FileName 被函数所作用的配方模板文件。实际字符串或消息标记名。 RecipeName 在将被函数删除的指定配方模板文件中的特定配方。RecipeLoad()、RecipeSave() 和RecipeDelete() 函数需用户提供RecipeName 参数。 RecipeSelectRecipe() 函数返回此参数的值。实际字符串或消息标记名。 实例 下面的语句将配方“Recipel”从recfile.csv 文件中删除： RecipeDelete("c:\recipe\recfile.csv", "Recipe1"); 2: RecipeGetMessage()写给模拟标记名某一错误代码同时写给消息标记名相应的错误代码消息。 句法 RecipeGetMessage(Analog_T ag,Message_T ag,Number); 参数描述 Analog_T ag不带引号或常数的实际整型或实型标记名。 Message_T ag不带引号或常数的实际整型或实型标记名。 Number该参数设置返回给Message_Tag 的最大字符串长度。InTouch,消息标记名有131 字符的最大长度。除非你减小在InTouch 标记名称典中的Message_Tag 的最大字符串长度，该参数值为131。该参数可以是常数或包含一个数值的整型标记名。 实例 在“InTouch 数据更改脚本”中使用RecipeGetMessage() 函数，相应的错误代码可以被写到一个模拟标记名，并且关联的错误代码消息可以被写到一个消息标记名中。 Data Change Script Tagname[.field]:ErrorCode Script body：RecipeGetMessage(ErrorCode, ErrorMessage,131); 当模拟标记名ErrorCode 的值发生变化时，将自动执行此脚本。当此脚本执行时，RecipeGetMessage() 函数将读取标记名ErrorCode 的当前数字值，并且返回与此数字值关联的消息到标记名ErrorMessage。 ErrorCode = RecipeLoad ("c:\App\recipe.csv","Unit1","cookies"); RecipeGetMessage(ErrorCode, ErrorMessage, 131); 3: RecipeLoad() 将指定的配方加载到指定的标记名单元中。 句法 RecipeLoad（“Filename”,“UnitName”,“RecipeName”）; 参数描述 Filename此函数所作用的配方模板文件的名称。FileName 可以是字符串常数或含有配方模板文件的消息标记名。 UnitName此函数使用的指定配方模板文件中指定的单元。RecipeLoad()函数需用户提供UnitName。RecipeSelectUuit() 函数返回此参数的值。UnitName 可以是字符常数或含有该单元名称的消息标记名。 RecipeName此函数使用的指定配方模板文件中指定的配方。RecipeLoad()、RecipeSave() 和RecipeDelete() 函数需用户提供RecipeName。RecipeSelectRecipe() 函数返回此参数的值。RecipeName 可以是字符常数或含有该配方名称的消息标记名。
VB函数大全 Calendar 常数 可在代码中的任何地方用下列常数代替实际值： 常数值描述 vbCalGreg 0 指出使用的是阳历。 vbCalHijri 1 指出使用的是伊斯兰历法。 -------------------------------------------------------------------------------- Color 常数 可在代码中的任何地方用下列常数代替实际值： 常数值描述 vbBlack 0x0 黑色 vbRed 0xFF 红色 vbGreen 0xFF00 绿色 vbYellow 0xFFFF 黄色 vbBlue 0xFF0000 蓝色 vbMagenta 0xFF00FF 紫红色 vbCyan 0xFFFF00 青色 vbWhite 0xFFFFFF 白色 -------------------------------------------------------------------------------- Comparison常数 下列常数由 Visual Basic for Applications 中的类型库定义，可用来在代码中的任何地方代替实际值： 常数值描述 VbUseCompareOption -1 使用Option Compare语句的设置进行比较。VbBinaryCompare 0 进行二进制的比较。 VbTextCompare 1 进行文字的比较。 vbDatabaseCompare 2 用于 Microsoft Access(仅限于Windows)，进行以数据库所含信息为基础的比较。 -------------------------------------------------------------------------------- Compiler 常数
函数证明问题专题训练 ⑴．代数论证问题 ⑴．关于函数性质的论证 ⑵．证明不等式 6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导数()f x '满足0＜()f x '＜1．设a 是方程()f x ＝x 的根． （Ⅰ）当x ＞a 时，求证：()f x ＜x ； （Ⅱ）求证：|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|（x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2）； （Ⅲ）试举一个定义域为R 的函数()f x ，满足0＜()f x '＜1，且()f x '不为常数． 解：（Ⅰ）令g (x )=f (x ) －x ，则g`(x )=f `(x ) －1<0．故g (x )为减函数，又因为g (a )=f(a ）－a =0，所以当x >a 时，g (x )＜g (a )=0，所以f (x ) －x ＜0，即()f x
求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法：已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 2、凑配法 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的 3、待定系数法 若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。 式子，再换元求出)(x f 的式子。 4、赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 5、消元法 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成
方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 典型题例示范讲解 例1 如果45)1(2+-=+x x x f ，那么f(x)=______________________. 例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式。 例 3 设y=f(x)是实数函数，且x x f x f =-)1(2)(，求证：23 2|)(|≥x f 。 例4 已知bx x f x af n n =-+)()(，其中n a ,12≠奇数，试求)(x f 。 例5 已知)12()()(+++=+b a a b f b a f ，且,1)0(=f 求)(x f 的表达式。 解：令0=b ,由已知得：.1)1()0()(2a a a a f a f ++=++= 1)(2++=∴x x x f 例6 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0 第五章常用内部函数 教学目的及要求： 使学生掌握函数的概念，函数的调用格式，VB中的常用内部函数。 重点与难点： 1、学会调用内部函数进行各种运算。 2、掌握调用各种函数时需要的参数、函数的参数类型和函数返回值类型，这也是本章的难点。 主要外语词汇： ANSI 、function randomize、 format 授课内容： 1、函数的分类：（1）内部函数 （2）外部函数（用户自定义函数、函数过程） 2、VB常用的内部函数有：数学函数、字符串函数、转换函数、日期与时间函数、其他函数。 3、函数的一般调用格式为：函数名([参数表]) 注：参数的类型和个数。 若参数类型或个数不匹配，则提示出错信息。 4、方法与函数的区别： （1）方法可以单独作为语句使用，函数不可以。 （2）方法没有返回值，函数有返回值。 （3）方法的格式：[对象名.]方法 [参数列表] 函数的格式：①变量名=函数名([参数列表]) ②[对象名.]属性=函数名([参数列表]) 5、一般将函数值进行输出或赋值给某个变量。 第一节常用函数 一、数学函数： 1、利用Log(N)/Log(10)得到Lg(N)的值。 2、注意函数Int(N)、Fix(N)、Cint(N)和Round(N)之间的区别。 例1：05_1.vbp 二、字符串函数： 1、常用的字符串函数： （1）Len(S)：测试字符串S的字符个数，中西文字符均算1个字符。 （2）LenB(S)：测试字符串S的字节数，中西文字符均占2个字节。 LenB(S)=2*Len(S) （3）Ucase(S)：将字符串S中的小写字母改为大写字母。 （4）Lcase(S)：将字符串S中的大写字母改为小写字母。 （5）String(N,S)：重复输出N个S单个字符 例：Print String(5,“a”) Print String(5,“abcd”) 结果相同 2、在字符串函数名后面可以加“$”符号。 例：Print String(5,“*”) Print String$(5,“*”) 等价 3、字符串的编码方案： （1）ANSI方式： 美国国家标准协会制定，西文字符占用1个字节，汉字占用2个字节。（2）UniCode方式： 国际标准化组织ISO制定，西文字符和汉字统一进行编码，占用2个字节。VB6.0内部采用UniCode编码形式来存储字符串。 4、字符处理函数：针对字符数，中西文字符均算1个字符。 字符处理函数+B：针对字节数，中西文字符均占2个字节。 5、StrConv函数： 格式：StrConv( S,指定格式 ) （1）S：要转换的字符串表达式。 （2）指定格式： ① vbUnicode（64）：ANSI格式 -> UniCode格式 ② vbFromUnicode（128）：UniCode格式 -> ANSI格式 ③ vbUpperCase（1）：将字符串S文字转换成大写 ④ vbLowerCase（2）：将字符串S文字转换成小写 ⑤ vbProperCase（3）：将字符串S每个字的开头字符转换成大写 总结： 1、小写 -> 大写 2、大写 -> 小写 （1）UCase(S) （1）LCase(S) （2）StrConv(S,vbUpperCase) （2）StrConv(S,vbLowerCase) 例：Private Sub Command1_Click( ) Dim x As String ,y As String x = Text1.Text y = UCase(x) ‘ y = StrConv(x,vbUpperCase) Text2.Text = y End Subvb 常用函数
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