第2章动量和角动量
思考题
2-1 在什么情况下，力的冲量和力的方向相同？
答：冲量是矢量，元冲量的方向总是与力的方向相同．至于在一段较长时间内，力的冲量等于这段时间内各无穷小时间间隔元冲量的矢量和，因此，力的冲量方向决定于这段时间诸元冲量矢量和的方向，不一定和某时刻力的方向相同．当在一段时间内，各无穷小时间间隔元冲量方向都相同时，则这段时间内力的冲量和力的方向相同．另外冲量和平均力的方向总是一致的．
2-2 用细线把一重球悬挂起来，球下系一同样的细线，用力拉球下细线并逐渐加大力量，哪段细线先断？为什么？如用较大力量突然拉球下细线，哪段细线先断？为什么？
答：无论何种拉法，细线之所以断，是因其所受拉力大于它所能承受的极限张力．缓慢的加大力量拉球下细线时，拉力通过重球均匀的作用于球上方的细线，而上方的细线除受拉力外，还受球对对它的作用力(大小等于球的重力)．因此在逐渐加大拉力的过程中，球上方细线中的张力因先达到极限而被拉断．
用较大力量突然拉下面细线，意味着作用力较大而作用时间较短，该拉力就是冲力．冲力通过细线首先作用于重球，但由于重球质量很大，动量改变极小，在冲力尚未通过重球的位移传给球上之细线前，球下细线所受冲力已大于其所能承受的极限，因此先断．2-3 棒球运动员在接球时为何要戴厚而软的手套？篮球运动员接急球时往往持球缩手，这是为什么？
答：这样做是为了增加手与球的作用时间，从而减小球对手的冲力。
2-4 跳伞运动员临着陆时用力向下拉降落伞，这是为什么？
答，人用力向下拉降落伞时，降落伞对人可以产生一个向上的作用力，以致可达到减少人着陆的速度，减轻地面对人的冲力．
2-5 悬浮在空气中的气球下面吊有软梯，有一人站在上面．最初软梯和人均处于静止，后来人开始向上爬，问气球是否运动？将怎样运动？
答：取人、气球和软梯为系统来分析．当人相对软梯静止时，系统所受重力和浮力的合力为零，垂直方向上，系统的动量为零并守恒，系统的质心将保持原有的静止状态不变．当人沿
软梯往上爬时，人与软梯间的相互作用力是内力，而内力不改变系统的总动量，系统所受合外力仍为零，系统的质心位置仍保持不变，总动量也不变所以，根据动量守恒定律可知，当人沿软梯往上爬时，气球和软梯将向下运动．
2-6 能否利用装在小船上的风扇搧动空气使小船前进?
答：假定风扇固定在小船上．当船上的风扇持续地向船尾搧动空气时，风扇同时也受到了空气的反作用力．该反作用力是向着船头、通过风扇作用于船身的．根据动量定理可知，该力持续作用于船身的效果，使船向前运动的动量获得增量．若该作用力大于船向前运动时所受的阻力，小船就可向前运动．
若将风扇转向船头搧动空气，则将使小船后退．
2-7 物体m被放在斜面M上，如把m与M看成一个系统，在下列几种情形下，系统的水平方向分动量是否守恒？
⑴m与M间无摩擦，而M与地面向有摩擦；
⑵m与M间有摩擦，而M与地面间无摩擦；
⑶两处都没有摩擦；
⑷两处都有摩擦．
答：(1)对于系统而言，地面摩擦力是水平方向的外力，它的存在，系统的水平方向分动量不守恒．
(2)不论滑动还是不滑动，m与M间的摩擦力都是系统的内力，它不改变系统的动量．对系统，无水平方向的外力，因而系统的水平方向动量守恒．
(3)对系统，水平方向无外力，水平方向系统的分动量守恒．
(4)不动，显然动量为零且不变．如下滑，水平方向摩擦力为外力，系统水平方向分动量不守恒．
2-8 有人说：“质心是质量集中之处，因此在质心处必定要有质量”，这话对吗?
答：这话不对．质心是表征物体系统质量分布的一个几何点．质心的位置在平均意义上表示质量分布的中心，质心所在处不一定有质量分布．例如：质量均匀分布的细圆环，其质心在环心，但质量却均匀分布于细圆环上．
2-9 物体的质心和重心有何区别？
答：物体的质心和重心是两个不同的概念．重心是地球对物体各部分引力的合力(即重力)的作用点．不受重力，也就无所谓重心，在失重环境中，重心自然失去意义，而质心是有意义的．对于地球体积不太大的物体，重心和质心的位置可认为是重合的．
2-10 质量为1m 和2m 的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方．开始时静止，相距为l ，问他们将在何处相遇？
答：有质心定理可知，两人在他们的共同质心处相遇。即在110220
C 12
m x m x x m m +=
+处相遇。
2-11试分析下面的叙述是否正确？
⑴ 作用于质点的力不为零，质点所受的力矩也总不为零．
答，不是．作用于质点的力不为零，质点所受的力矩是不一定不为零．因为力矩是位矢和力的矢积，所以，作用于质点的力不为零，质点所受的力矩是不一定不为零．
⑵ 一定质量的质点，在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定了．同时，作用于质点的力矩也可以确定了．
答．错误．一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定了，但是作用于质点的力矩却不能确定．因为作用于质点的力矩与力相对空间点或轴有关，不同的空间定点或轴，力矩不同．
⑶ 作用于质点系的外力矢量和为零，外力矩之和也为零．
答：作用于质点系的外力矢量和为零，外力矩之和不一定为零．因为，外力矩和力相对空间点的位矢有关，外力矩不一定为零．
⑷ 质点系的动量为零，则质点系的角动量也为零；质点系的角动量为零，则质点系的动量也为零．
答：错误．角动量不但与动量有关，还与动量相对空间点（和轴）的位置有关，所以质点系的动量为零，质点系的角动量不一定零；质点系的角动量为零，质点系的动量也不一定零
⑸ 质点作圆周运动必受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩作用． 答，错误．质点做匀速圆周运动，质点可以不受力矩作用．质点做直线运动所受的力矩与所选的定点有关．如果定点不在原点，则质点所受的力矩不为零．
2-12 作匀速直线运动的物体有没有角动量？动量是否守恒？角动量是否守恒？
答：要确定其是对空间点的位置，则角动量就可以确定．例如直线运动的物体对直线外一点的角动量就不为零。
匀速直线运动的物体的速度的大小、方向均不变，所以其动量守恒。匀速直线运动的物 体对空间某一定点的角动量为一常量，故其角动量亦守恒。
2-13 在匀速圆周运动中，质点的动量是否守恒？角动量呢？
答：在匀速圆周运动中，质点的速度大小不变但方向始终在变，具有向心加速度，质点受到的合外力不为零，因此它的动量不守恒．
在匀速圆周运动中，由于质点所受到的合外力指向圆心，合外力对圆心的力矩为零，因此．质点对圆心的角动量守恒．作匀速圆周运动的质点，对除圆心外的其他点的角动量是不守恒的．
2-14 质点的动量与角动量守恒的条件各是什么？质点的动量与角动量能否同时守恒？ 答：质点动量守恒的条件是：质点所受到的合力为零；角动量守恒的条件是：质点在运动过程中所受到的合力对某参考点的合力矩为零．
动量和角动量是两个从不同角度描述物体运动规律的物理量．动量守恒和角动量守恒是两个彼此独立的基本规律，不能相互替代．就某个具体物理过程而言，质点的动量守恒而角动量可以不守恒，或者反之；但也可以同时守恒，或者都不守恒．例如：在惯性系中作匀速直线运动的一个质点，其动量守恒；对空间除直线轨迹外的任一参考点有确定的角动量，对该点的角动量也守恒．
2-15 质点在有心力场中的运动具有什么性质？
答：有心力的方向始终指向或背离一个给定点，即力心．若质点在运动过程中仅受有心力的作用，则因有心力对力心的力矩为零，质点对力心的角动量守恒；又由于有心力是保守力，可以引进势能的概念，因此在有心力场中运动时，系统机械能也守恒．
习题
2-1 某飞船的返回舱质量3
410kg m =?，在着陆前先后采用引伞、减速伞和主伞进行减速．已知弹出引伞时返回舱的下落速度180m υ=，在前16s 内，下落速度降为
80m s υ'=．求在此过程中：
⑴ 返回舱所受重力的冲量；
⑵ 返回舱所受合力的冲量及平均冲力； ⑶ 返回舱所受阻力的冲量．
解：动量、冲量和力都是矢量，本题只考虑简单的—维问题，物体只在竖直方向受力和运动，设竖直向下为正方向。
⑴ 在此回收阶段，返回舱离地面仅约10 km ，所受重力G 可视为恒力，根据恒力的冲量的定义，则返回舱所受重力的冲量为
35ΔΔ4109.816N s =6.2710N s I G t mg t ===????重 方向竖直向下
⑵ 根据动量定理，返回舱所受合力的冲量为
()2
1
35d 41080180N s 410N s t t I F t =m υ'm υ-=??-=-??= 方向竖直向上
返回舱所受的平均冲力为
()3
441080180N = 2.510N Δ16
m υ'm υF t ??--==-? 方向竖直向上 ⑶ 因I I I =+重阻，则返回舱所受阻力的冲量为
555410 6.2710N s 10.2710N s I I I =-=-?-?=-?阻重 方向竖直向上
2-2 某物体上有一变力F 作用，它随时间变化的关系如下：在0.1s 内，F 均匀地由0增加到20N ；又在以后0.2s 内，F 保持不变；再经0.1s ，F 又从20N 均匀地减少到0．
⑴ 画出F - t 图；
⑵ 求这段时间内力的冲量及力的平均值；
⑶ 如果物体的质量为3 kg ，开始速度为1m/s ，且与力的方向一致，问在力刚变为0时，物体的速度为多大？
解：⑴
⑵ 根据定积分的定义，用计算面积的方法，可得这段时间内力的冲量为
01
d (0.20.4)20N s 6N s 2
t
I F t ==+?=?
力的平均值为
6
N 15N Δ0.4
I F t =
== ⑶ 根据动量定理，有
0I m υ'm υ=-
所以
0631
m s 3m s 3
I m υυ'm ++?=
== 2-3 力(102)N t =+F i 作用在质量为10 kg 的物体上，式中t 的单位为秒(s )．若物体原来静止，求：
⑴ 4 s 时力对物体的冲量以及物体的动量和速度的变化；
⑵ 为了使此力的冲量为200N s ，此力应在这物体上作用多长时间． 解：⑴ 由冲量的定义式，得
()4
420
d (102)d 1056N s t t =t t =t t ++=??I =F i i i 沿x 轴正向
根据动量定理，物体的动量为
56N s =?p I =i 沿x 轴正向
物体原来静止，故速度的变化为
56m s 5.6m s 10
=m ??=
=p i υi 沿x 轴正向 ⑵ 由题意知
210200I =t t +=
解得 10s t =
2-4 一颗子弹由枪口射出时速率为0m υ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
()N F a bt -=（a ，b 为常数），其中t 的单位为秒(s )．
⑴ 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需的时间；
⑵ 求子弹所受的冲量； ⑶ 求子弹的质量．
解：⑴ 子弹走完枪筒全长所需的时间t ，由题意，得()0F a bt =-=，所以
a t b
=
⑵ 子弹所受的冲量
?-=-=t
bt at dt bt a I 022
1
)(
将t=
b
a
代入，得 b
a I 22=
⑶ 由动量定理可求得子弹的质量 2
00
2I a m υb υ==
2-5 在光滑水平面上，一质量为m 的质点以角速度ω沿半径为R 的圆周作匀速圆周运动．试分别根据冲量的定义式和动量定理，求θ从0到π
2
的过程中外力的冲量． 解：由题意知，质点的运动方程为
cos sin cos sin R θR θR ωt R ωt =++r i j =i j
可得所受力为
()222d cos sin d m m ωR θθt
=--r
F =i j
由冲量定义式，可得
()()()()
22
1
1
2π220
π20
d cos sin d d cos sin d d cos sin d t t t t =t =m ωR θθt
t =m ωR θθθθ
=m ωR θθθ
=m ωR -----+-+????
I F i j i j i j i j
θ从0到π
2
的过程中，其速度由υj 变为υ-i ，根据动量定理得
ω
()()21==m υm υm ωR ---=-+I p p i j i j
2-6 假如一质量为50 kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来．已知此时人离原处的距离为2.0m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s ．求安全带对人的平均冲力．
解：以人为研究对象，分两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中，人跌落至2.0m 处时的速度为
1υ=在缓冲过程中．人受重力和安全带冲力的作用，根据动量定理，有
()2
1Δm t m m +=-F g υ
υ
其中20υ=，所以安全带对人的平均冲力大小为
31.1210N F mg ==
? 2-7 一架以300m s 的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.2m 、质量为0.5kg 的飞鸟相碰．设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有相同的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以略去不计．试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)．
解 以飞鸟为研究对象，取飞机运动方向为x 轴正向．由动量定理得
Δ0F't m υ=-
式中F'为飞机对鸟的平均冲力，而身长为20 cm 的飞鸟与飞机碰撞时间约为Δl
t υ
=，此代入上式可得
2
52.2510N Δm υm υF'=t l
==?
鸟对飞机的平均冲力为
52.2510N F F'==--?
式中负号表示飞机受到的冲力与其飞行方向相反．
2-8 一质量均匀的柔软绳竖直悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面．如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上．试证明：在绳下落过程中的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳的重量的3倍．
证明：取如图所示坐标，设柔绳总长为L ，总质量为M ．将柔绳视为质点系，t 时刻已有x 长的柔绳落至桌面，随后d t 时间内将有质量为d x ρ（d M x L )的柔绳（质点）以d d x
t
的速率碰到桌面而停止，它的动量变变化率为：
d d d d d d x x P t t
t
-?=ρ
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
2d d d d d d x
ρx P
t F F ρυt
t
-?'=-=
＝＝－
柔绳对桌面的冲力F F '=-′即：
22
M F ρυυL
==
又 2
2υgx =， 所以
2/F Mgx L =
而已落到桌面上的柔绳的重量为/mg Mgx L = 所以作用于桌面上的压力N 为
2//3N F mg Mgx L Mgx L mg =+=+=
2-9 质量为M 的人手里拿着一个质量为m 的物体，此人用与水平面成α角的速率0υ向前跳去．当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u 的水平速率向后抛出．问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点)
x
解：取如图所示坐标．把人与物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物的过程中．满足动量守恒，故有
()()0cos M m υαM υm υu +=+-
式中υ为人抛物后相对地面的水平速率，υu -为抛出物对地面的水平速率．得
0cos m
υυαu M m =+
+
的水平速率的增量为
0Δcos m
υυυαu M m
=-=
+
而人从最高点到地面的运动时间为
0sin υα
t g
=
所以，人跳跃后增加的距离
()0sin ΔΔm υα
x υt u M m g
==
+
2-10 一静止的物体炸裂成三块，其中两块具有相等的质量，且以相同速率30m/s 沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于前两块质量之和，求第三块的速度．
解：物体的动量原等于零。炸裂时，爆炸力是内力，它远大于重力，所以在爆炸过程中，可认为动量守恒。根据动量守恒定律知道，物体分裂为三块后，这三块碎片的动量的动量总和仍然等于零，即
1122330m m m ++=υυυ
所以这三个动量必处于同一个平面内，且第三块的动量必和第一、二块的合动量大小相等、方向相反，如图所示。因为1υ和2υ相互垂直，所以
()
()()2
22
331122m υ
m υm υ=+
由于123,2m m m m m ===，所以3υ的大小为
321.2m/s υ=
=≈ 3υ与1υ所成之角α由0180αθ=-决定。因为2
1
tan 1,45υθθυ=
==，所以 0135α=
即3υ与1υ及2υ都成0
135，且三者在同一平面内。
2-11 如图2-22所示，一质量为m 的滑块在
1
4
圆弧形滑槽中从静止滑下．设圆弧形滑槽的质量为M 、半径为R ，略去所有摩擦力．求当滑块m 滑到槽底时，滑槽M 在水平方向移动的距离．
解：以m 和M 为研究系统，所受的外力为重力mg 、Mg 与地面对滑槽的支持力N ，如图所示，系统在水平方向不受外力，因此在水平方向动量守恒。设在下滑过程中，m 相对于M 的速度为υ，M 相对地的速度为V 。在水平方向有
()0x m υV MV --=
求解上式，得
x m M
υV m
+=
设m 在滑槽上滑行的时间为t ，在水平方向相对于M 移动的距离为R ，即
d d t
t
x m M
R υt V t m
+==
??
滑槽在水平方向移动的距离为
图2-22 习题2-11用图
m
s R m M
=
+
2-12 求一质量为m 、半径为R 的均匀半圆盘的质心． 解：如图所示，设薄板半径为R ，质量为m ．面密度2
2πm
σR
=．有质量分布的对称性可得板的质心在x 轴上而
C
d 143π
R
x m R
x x σx m
m ==
=
?? 2-13 一枚炮弹发射的初速度为0υ，发射角为θ，在它飞行的最高点炸裂成质量均为m 的两块．一块在炸裂后竖直下落，另一块则继续向前飞行．求这两块的着地点以及质心的位置（略去空气的阻力）．
解：选如图所示的坐标系。如果炮弹没有炸裂，则它的着地点的横坐标就应等于它的射程，即
20sin 2υθX g
=
最高点的横坐标应为2X 。由于第一部分在最高点竖直下落，所以它的着地点应为
201sin 22υθx g
=
炮弹炸裂时，内力使两部分分开。但因外力是重力，始终保持不变，所以质心的运动仍将和未炸裂时的炮弹一样，它的的着地点的横坐标仍是X ，即
20sin 2C υθx g
=
第二部分的着地点又可根据质心的定义由同一时刻第一部分和质心的坐标求出。由于第二部分与第一部分同时着地，所以着地时
1212
22
C mx mx x x x m ++=
=
由此得
2
0213sin 222C υθ
x x x g
=-=
2-14 质量2.0kg 的质点位于 2.0m, 1.0m x y ==处时，速度为()1.0 3.0m -υ=i j ，作用在质点上的力为()2.0 3.0N +F =i j ，求力F 对原点O 的力矩及质点对原点O 的角动量．
解：由题意知，质点的对原点O 的位置矢量为
2.0 1.0=+r i j
由力矩定义式得质点对原点O 的角动量为
()()()2.0 1.0 2.0 3.06.0 2.0N m 4.0N m
?+?+=-M =r F =i j i j k =k
由角动量定义式得力F 对原点O 的力矩
()()()2.0 1.0 2.0 1.0 3.02.0 6.0 1.0kg m s 14.0kg m s
m ?+??-=?---L =r υ=i j i j k =k
2-15 一圆锥摆的锥角为θ，摆球的质量为m ，圆周运动的半径为R ，运动速率为υ，如图2-23所示．求：
⑴ 重力、拉力及合力对悬点A 和圆周中心O 的力矩；
⑵ 摆球对悬点A 和圆周中心O 的角动量． 解：⑴ 根据力矩的定义式F r M ?=分别求解。 重力对悬点A 的力矩的大小为：
()G s i n 180M l m g θR m g =-=，方向与υ同向。 拉力T 通过点A ，因此其对悬点A 的力矩的大小为零。
因为合力对悬点A 力矩等于重力和拉力对悬点A 的力矩的矢量和，所以合力对悬点A 力矩为，
M Rmg =合，方向与υ同向。
重力对圆心O 的力矩的大小为：G M Rmg =，方向与υ同向。
拉力对圆心O 的力矩的大小为：()
T sin 90cos M RT θRT θRmg =-==,方向与υ反向。
G
图2-23 习题2-15用图
因为合力对悬点O 的力矩等于重力和拉力对悬点O 的力矩的矢量和，又重力对圆心O 的力矩与拉力对圆心O 的力矩的大小相等，方向相反。所以合力对悬点O 力矩为零。
⑵ 当质点m 运动到图所示的位置时，质点m 对A 点的角动量为
A m =?L l υ
其大小为：sin A m υR
L m υl θ
==
，其方向方向垂直于摆线与υ确定的平面． 质点m 对O 点的角动量为
O m =?L R υ
其大小为：O L Rm υ=，方向竖直向上。
2-16 一质量为m 的质点在xoy 平面上运动，其位置矢量为cos sin a ωt b ωt =+r i j ，其中a b ω、、均为常数，求：
⑴ 质点对原点O 的角动量； ⑵ 质点所受的对原点O 的力矩． 解：⑴ 由d d t
=
r
υ，得 sin cos a ωωt b ωωt =-+υi j
所以，质点对原点O 的角动量
()()()222cos sin sin cos cos sin kg m s kg m s
m a ωt b ωt m a ωωt b ωωt mab ωωt ωt mab ω?+?-+=+L =r υ=i j i j k =k
⑵ 由角动量定理得，质点所受的对原点O 的力矩
()d d d d mab ωt t
=
=k L M 由于L 为恒量，所以0M =
2-17 如图2-24所示，质量为m 、线长为l 的单摆，可绕点O 在竖直平面内面内摆动，初始时刻摆线被拉至水平，然后自由落下，求：
⑴ 摆线与水平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量； ⑵ 摆球到达B 时角速度的大小．
解：摆球受力如图2-24所示。摆线的张力T 通过点O ，因此其力矩为零；重力G 对点O 产生力矩，其大小为
cos M mgl θ=
可见M 随θ角而变化，其方向垂直纸面向里。
由角动量定理，得
d cos d L
M mgl θt
=
= 又d d θωt
=
，2
L ml ω=代入上式，并积分，得 230
d cos d L
θ
L L m gl θθ=?
?
摆线与水平线成θ角时，摆球对点O 的角动量为
L =⑵ 当摆球摆到B 时，π2θ=，因此摆球角动量
B L ml ==摆球到达B 时角速度的大小
2B B L ωml =
=
2-18 光滑水平台面上有一质量为m 的质点系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过台面上的小孔被一只手拉紧，并使物体以初始角速度0ω做半径为0r 的圆周运动，如图2-25所示．手拉着绳
图2-24 习题2-17用图
G
A
图2-25 习题2-18用图
以匀速率'υ向下运动，使半径逐渐减小，求半径减小为r 时物体的角速度ω；若以向下拉动时计时(0t =)，求角速度与时间的关系．
解：在水平方向上，物体m 只受绳的拉力作用，拉力对小孔的力矩为零．物体对小孔的角动量守恒．
00mr υmr υ=
因为000υr ω=， υr ω=所以有
2200mr ωmr ω=
即 2
002r ωωr
=
又由于0'r r υt =-，代入上式得
()
2
002
0r ωωr υ't =
-
2-19 一质子以速度0υ进入一静止不动的重原子核所产生的排斥力场中，已知0υ的方向到重核的垂直距离为b ，质子的运动轨迹如图2-26所示．若质子到重核的最短距离为r ，求此时质子 的运动速度υ的大小．
解：质子在静止重核的排斥力场中运动，所受的合外力的作用线始终通过重核，是有心力，故合外力矩为零，角动量守恒。
设质子的质量为m ，速度为0υ时的位矢为0r ，如图所示。由角动量守恒定律，得
00sin mr υθmr υ=
式中 ()
00
s i n
s i n 180b
θθr =-= 所以有 0b υυr
=
2-20 平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M 1
的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为r 0时重物达到平衡．今在M 1的下方再挂一质量为M 2的物体，如图2-27所示．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少？
解：在只挂重物M 1时，小球作圆周运动的向心力为M 1g ，即
21M g mr ω= ①
挂上M 2后，则有
()212'
M M g mr'ω+=
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒，则有 即
2200mr ωmr'ω'= ③
联立①、②、③得
2
123001
(),
M M ωωr r M +''===
图2-26 习题2-19用图
图2-27 习题2-20用图
习题2 2.1 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [答案：C] (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 [答案：C] (3) 对功的概念有以下几种说法： ①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 ②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 ③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。 [答案：C] 2.2填空题 (1) 某质点在力i x F )54(+=（SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m 的过程中，力F 所做功为 。 [答案：290J ] (2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。 [答案：2 2 ;22v v s gs ] (3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。
1、如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的 角速度 在半径为R的圆周上绕O旋转，今将绳从小孔缓慢往 下拉．则物体 (A) 动能不变，动量改变． (B) 动量不变，动能改变． (C) 角动量不变，动量不变． (D) 角动量改变，动量改变． (E) 角动量不变，动能、动量都改变．［ E ］ 难度：易 2、一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距离分别是R A和R B．设卫星对应的角动量分别是L A、L B，动能分别是E KA、E KB，则应有 (A) L B > L A，E KA > E KB． (B) L B > L A，E KA = E KB． (C) L B = L A，E KA = E KB． (D) L B < L A，E KA = E KB． (E) L B = L A，E KA < E KB． ［ E ］ 难度：中 3、假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的 (A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒． (C) 角动量不守恒，动能守恒． (D) 角动量不守恒，动量也不守恒． (E) 角动量守恒，动量也守恒． ［ A ］ 难度：易 4、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则这种情况下一定守恒的物理量是： (A) 动量． (B) 角动量． (C) 机械能． ［ A ］ 难度：易 5、在水平面内作匀速圆周运动的物体，下列各种论述中正确的是： (A) 在圆轨道的各点上它的速度相等．
(B ) 在圆轨道的各点上它受的力相等． (C) 在圆轨道的各点上它的动量相等． (D) 在圆轨道的各点上它对圆心的角动量相等． ［ D ］ 难度：易 6、在水平面内作匀速圆周运动的物体，下列各种论述中错误的是： (A) 在圆轨道的各点上它受的力不相等． (B) 在圆轨道的各点上它的动量不相等． (C) 在圆轨道的各点上它的速度不相等． (D) 在圆轨道的各点上它的动能不相等． ［ D ］ 难度：易 7、一单摆，在摆动过程中，若不计空气阻力，则： (A) 摆球的动能守恒． (B) 摆球对悬点的角动量守恒． (C) 摆球的动量守恒． (D) 摆球的机械能守恒． ［ D ］ 难度：易 8、一物体质量为10 kg，在力F＝3＋4t(SI)作用下从静止开始作直线运动，则3s末物体速度的大小： (A) 1.8m/s．(B) 2.7m/s． (C) 3.6m/s．(D) 4.5m/s． ［ B ］ 难度：中9、足球运动员用头顶球，球的质量约为0.5kg，迎面飞来的球的速率为5m/s，顶回的速率为4m/s，若运动员与球接触的时间为0.25s，那么，运动员头部受到的平均冲力大小为： (A) 1 N．(B) 2 N． (C) 9 N．(D) 18 N． ［ D ］ 难度：中
习题2 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [答案：C] (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 [答案：C] (3) 对功的概念有以下几种说法： ①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 ②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 ③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。 [答案：C] 填空题 (1) 某质点在力i x F )54( （SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m 的过程中，力F 所做功为 。 [答案：290J ] (2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。 [答案：2 2 ;22v v s gs ] (3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。
[答案：2; 3 k k E E ] 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零； （2）所受合力为大小、方向均保持不变的力，其方向与运动方向相反； （3）所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力； （4）所受合力为大小和方向均不断变化的力，其切向力的方向与运动方向相同，大小恒定；法向力方向指向圆心。 举例说明以下两种说法是不正确的： （1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反； （2）摩擦力总是阻碍物体运动的。 解：（1）人走路时，所受地面的摩擦力与人的运动方向相同； （2）车作加速运动时，放在车上的物体受到车子对它的摩擦力，该摩擦力是引起物体相对地面运动的原因。 质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？ 解：质点系动量守恒的条件是质点系所受合外力为零。当系统只受有限大小的外力作用，且作用时间很短时，有限大小外力的冲量可忽略，故也可用动量守恒定律近似求解。 在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？ 解：在经典力学中，动量、动能、势能、功与参考系的选取有关。 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a 下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a ，其对于2m 则为牵连加速度，又知2m 对绳子的相对加速度为a ，故2m 对地加速度， 题图 由图(b)可知，为 a a a 12 ① 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f 在数值上等于绳的张力T ，由牛顿定律，
第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系
总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，
第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为 cos U M H MH θ=-=- （6.1.1） θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为 cos z U H F M z z θ??=- =?? （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ① 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间 的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ② 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s s e e M S M S m mc =-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4） s M 在空间任意方向上的投影只能取两个值：
第二章 自我检测题 1.单项选择题（每题3分，共30分） （1）质量分别为m 1和m 2的两个滑块M 和N 通过一根轻弹簧连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F 作用下作匀速直线运动，如图2-20所示。在突然撤去拉力的瞬间，二者的加速度a 1和a 2分别为［ D ］ (A) a 1=0 , a 2=0； (B) a 1<0 , a 2>0 ； (C) a 1>0 , a 2<0； (D) a 1<0 , a 2=0。 （2）如图2-21所示，在光滑平面上有一个运动物体P ，在P 的正前方有一个连有弹簧和挡板N 的静止物体Q ，弹簧和挡板N 的质量均忽略不计，P 与Q 的质量相同。物体P 与Q 碰 撞以后P 停止，Q 以碰前P 的速度运动。在此碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是［ B ］ (A) Q 恰好开始运动时； (B) P 与Q 速度相等时； (C) P 的速度恰好变为零时； (D) Q 恰好达到原来P 的速度时。 （3）如图2-22所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为α的固定的光滑斜面上，则斜面对物体的支持力为[ B ] (A) αcos mg ； (B) αcos mg ； (C) αsin mg ； (D) α sin mg 。 （4）如图2-23所示，一个小物体P 置于光滑的水平桌面上，与一根绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中心的小孔O 。该物体原来以角速度ω 在半径为R 的圆周上绕O 旋转，如果将绳从小孔缓慢往下拉，则物体［ D ］ (A) 动能不变，动量改变； (B) 动量不变，动能改变； (C) 角动量不变，动量不变； (D) 角动量不变，动能、动量都改变。 （5）一个小球可在半径为R 的竖直圆环上无摩擦地滑动，并且圆环能以其竖直直径为轴转动。当圆环以适当的恒定的角速度ω 转动时，小球偏离圆环转轴且相对圆环静止，小球所在处的圆环半径偏离竖直方向的角度θ为［ C ］ 图2-20 图2-21 图2-22 图2-23
《大学物理》综合练习(二) ——刚体定轴转动 班级学号： 姓 名： 日 期： 一、选择题(把正确答案的序号填入括号内) 1．两个小球质量分别为m 和m 3，用一轻的刚性细杆相连。对于通过细杆并与之垂直的轴来说，轴应在图中什么位置处物体系对该轴转动惯量最小? (A)cm 10=x 处； (B)cm 20=x 处； (C)cm 5.22=x 处； (D)cm 25=x 处。 [ C ] 2．一匀质杆质量为m ，长为l ，绕通过一端并与杆成θ角的轴的转动惯量为 (A)3/2ml ； (B) 12/2ml ； (C) 3/sin 22θml ； (D) 2/cos 22θml 。 [ C ] 3．一正方形均匀薄板，已知它对通过中心并与板面垂直的轴的转动惯量为J 。若以其一条对角线为轴，它的转动惯量为 (A)3/2J ； (B)2/J ； (C)J ； (D)不能判定。 [ B ] 4．如图所示，A 、B 为两个相同的定滑轮，A 滑轮挂一质量为m 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且mg F =，设A 、B 两滑轮的角加速度分别为A β和B β，不计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角 加速度的大小比较是 (A)B A ββ=； (B)B A ββ>； (C)B A ββ<； (D)无法比较。 [ C ] 5．关于力距有以下几种说法： B 题1图 题4图
(1)内力矩不会改变刚体对某个定轴的角动量； (2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零； (3)质量相等形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩作用下，它们的角加速度一定相等。 在上述说法中: (A)只有(2)是正确的； (B)(1)、(2)是正确的； (C)(2)、(3)是正确的； (D)(1)、(2)、(3)都是正确的。 [ B ] 6．一水平圆盘可绕固定的铅直中心轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状 态，忽略轴的摩擦，当此人在盘上随意走动时，此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒； (C)对中心轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。 [ C ] 7．一质量为kg 60的人站在一质量为kg 60、半径为1ｍ的均匀圆盘的边缘，圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动，系统原来是静止的。后来人沿圆盘边缘走动，当他相对圆盘的走动速度为m /s 2时，圆盘角速度为 (A)rad/s 1； (B)rad/s 2； (C)rad/s 3/2； (D)rad/s 3/4。 [ B ] 8．水平刚性轻细杆上对称地串着两个质量均匀为m 的小球，如图所示。在外力作用下细杆绕通过中心的竖直轴转动，当转速达到0ω时两球开始向杆的两端滑动，此时使撤去外力任杆自行转动(不考虑转轴和空气的摩擦)。 (1)此后过程中球、杆系统 E (A)动能和动量守恒； (B)动能和角动量守恒； (C)只有动量守恒； (D)只有角动量守恒； (E)动量和角动量守恒。 (2)当两球都滑至杆端时系统的角速度为 (A)0ω； (B)02ω； (C)016.0ω； (D) ] 二、填充题(单位制为SI) cm 4=d cm 20=l 题8图
第三章 动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C 。 简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=m d v +v d m =v d m 。因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（） 选择题4图
A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒： 02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球：（） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 解：答案是C 。 简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。 7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是：（） A. 用力蹬冰面 B. 不断划动手臂 C. 躺在冰面上爬行 D. 用力将书包抛出 解：答案是D 。 二填空题 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600Ns ，则两船分离的相对速率为ms –1。 解：答案为：5/6 ms –1
) s 习题4 4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量T I 。 解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，12v v = ，由I mv =? ， ∴旋转一周的冲量0I = ； （2）如图该质点受的外力有重力和拉力， 且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量： 2cos T I T j mg j πθτω =?=? 所以拉力产生的冲量为2mg πω ，方向竖直向上。 4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。已知其中一力 F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求： （1）力F 在1s 到3s 间所做的功； （2）其他力在1s 到3s 间所做的功。 解：（1）半椭圆面积?====?=????v t F v t Fv x F x F A d d d d J 6.125402012 1 4==???=ππ （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的 总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。 4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为 cos sin r a t i b t j ωω=+ ，求： （1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：P mv = ，而dr v dt == sin cos a t i b t j ωωωω-+ ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ；
冲量 动量与角动量 3-1-1. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上 运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率 向右与B 碰撞，其结果A 以 0.1 m/s 的速率弹回， B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向 右运动，如图．则A 和B 的质量分别为 (A) m A =2 kg , m B =1 kg (B) m A =1 kg , m B =2 kg (C) m A =3 kg , m B =4 kg (D) m A =4 kg, m B =3 kg ［ ］ 3-1-2. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为 (A) 9 N·s . (B) -9 N·s ． (C)10 N·s ． (D) -10 N·s ． ［ ］ 3-1-3. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则 (A) A 的动量增量的绝对值比B 的小． (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大． (C) A 、B 的动量增量相等． (D) A 、B 的速度增量相等． ［ ］ 3-1-4. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒． (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒． (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒． (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒． 3-1-5. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． ［ ］ 3-1-6. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上， 如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运
第2章 动量和角动量 思考题 2-1 在什么情况下，力的冲量和力的方向相同？ 答：冲量是矢量，元冲量的方向总是与力的方向相同．至于在一段较长时间内，力的冲量等于这段时间内各无穷小时间间隔元冲量的矢量和，因此，力的冲量方向决定于这段时间诸元冲量矢量和的方向，不一定和某时刻力的方向相同．当在一段时间内，各无穷小时间间隔元冲量方向都相同时，则这段时间内力的冲量和力的方向相同．另外冲量和平均力的方向总是一致的． 2-2 用细线把一重球悬挂起来，球下系一同样的细线，用力拉球下细线并逐渐加大力量，哪段细线先断？为什么？如用较大力量突然拉球下细线，哪段细线先断？为什么？ 答：无论何种拉法，细线之所以断，是因其所受拉力大于它所能承受的极限张力．缓慢的加大力量拉球下细线时，拉力通过重球均匀的作用于球上方的细线，而上方的细线除受拉力外，还受球对对它的作用力(大小等于球的重力)．因此在逐渐加大拉力的过程中，球上方细线中的张力因先达到极限而被拉断． 用较大力量突然拉下面细线，意味着作用力较大而作用时间较短，该拉力就是冲力．冲力通过细线首先作用于重球，但由于重球质量很大，动量改变极小，在冲力尚未通过重球的位移传给球上之细线前，球下细线所受冲力已大于其所能承受的极限，因此先断． 2-3 棒球运动员在接球时为何要戴厚而软的手套？篮球运动员接急球时往往持球缩手，这是为什么？ 答：这样做是为了增加手与球的作用时间，从而减小球对手的冲力。 2-4 跳伞运动员临着陆时用力向下拉降落伞，这是为什么？ 答，人用力向下拉降落伞时，降落伞对人可以产生一个向上的作用力，
以致可达到减少人着陆的速度，减轻地面对人的冲力． 2-5 悬浮在空气中的气球下面吊有软梯，有一人站在上面．最初软梯和人均处于静止，后来人开始向上爬，问气球是否运动？将怎样运动？ 答：取人、气球和软梯为系统来分析．当人相对软梯静止时，系统所受重力和浮力的合力为零，垂直方向上，系统的动量为零并守恒，系统的质心将保持原有的静止状态不变．当人沿软梯往上爬时，人与软梯间的相互作用力是内力，而内力不改变系统的总动量，系统所受合外力仍为零，系统的质心位置仍保持不变，总动量也不变所以，根据动量守恒定律可知，当人沿软梯往上爬时，气球和软梯将向下运动． 2-6 能否利用装在小船上的风扇搧动空气使小船前进? 答：假定风扇固定在小船上．当船上的风扇持续地向船尾搧动空气时，风扇同时也受到了空气的反作用力．该反作用力是向着船头、通过风扇作用于船身的．根据动量定理可知，该力持续作用于船身的效果，使船向前运动的动量获得增量．若该作用力大于船向前运动时所受的阻力，小船就可向前运动． 若将风扇转向船头搧动空气，则将使小船后退． 2-7 物体m被放在斜面M上，如把m与M看成一个系统，在下列几种情形下，系统的水平方向分动量是否守恒？ ⑴ m与M间无摩擦，而M与地面向有摩擦； ⑵ m与M间有摩擦，而M与地面间无摩擦； ⑶ 两处都没有摩擦； ⑷ 两处都有摩擦． 答：(1)对于系统而言，地面摩擦力是水平方向的外力，它的存在，系统的水平方向分动量不守恒． (2)不论滑动还是不滑动，m与M间的摩擦力都是系统的内力，它不改变系统的动量．对系统，无水平方向的外力，因而系统的水平方向动量守恒．
第3单元 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ A ]1．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 [ C ]2． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ E ]3. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将 绳从小孔缓慢往下拉，则物体 动能不变，动量改变。 动量不变，动能改变。 角动量不变，动量不变。 角动量改变，动量改变。 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正 确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]5．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相
同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]6．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ C ]7．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_ 。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____ 的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O 轴转动，则当杆转到水平位置时，该系统所受的合外力矩的大小M = mgl 21 ，此时该系统角加速度的大小β= l g 32 。 4．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上，如果从静 止开始作匀角加速运动且在4s 内绳被展开10m ，则飞轮的角加速度为2 /5.2s rad 。 ５．决定刚体转动惯量的因素是 ___刚体的质量____ __；__刚体的质量分布____
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
动量、角动量 一．选择题： 1．动能为E k 的Ａ物体与静止的Ｂ物体碰撞，设Ａ物体的质量为Ｂ物体的二倍，m B A m 2=。若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为 （Ａ）E k （Ｂ）k E 21 （Ｃ）k E 31 （Ｄ）k E 32 [ ] ２．质量为m 的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为Ｒ、速率为v 的 匀速圆周运动，如图所示。小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为： （Ａ）2m v (B)-2m v (C)i mv 2 (D) i mv 2- [ ] ３．Ａ、Ｂ两木块质量分别为m A 和m B ，且A B m m 2=，两者用一轻弹簧连 接后静止于光滑水平面上，如图所示。若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块动能之比E kA /E kB 为 (Ａ)21 （Ｂ）２ （Ｃ）2 （Ｄ）22 [ ] ４．质量分别为m 和m 4的两个质点分别以动能E 和4E 沿一直线相向运动， 它们的总动量大小为 （Ａ）2mE 2 (B) 3mE 2 (C) 5mE 2 (D) (2mE 2)12- [ ] 5.力i t F 12=（ＳＩ）作用在质量kg m 2=的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在３秒末的动量应为： （A ）s m kg i /54?- (B) s m kg i /54? (C) s m kg i /27?- (D) s m kg i /27? [ ] B v
6.粒子Ｂ的质量是粒子Ａ的质量的４倍。开始时粒子Ａ的速度为（34+）， B 粒子的速度为（2j i 7-），由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为（7j i 4-），此时粒子B 的速度等于 （A ）j i 5- （B ） j i 72- （C ）0 （D ）j i 35- [ ] 7．一质点作匀速率圆周运动时， （A ） 它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B ） 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [ ] 8．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用L 和E k 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A)L B A L >,E kB kA E > （B ）L kB kA B A E E L <=, （C ）L kA B A E L ,=>E kB （D ）L kB kA B A E E L <<, [ ] 9．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常 数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 （A ）m GMR （B ） R GMm （C ）Mm R G （D ）R GMm 2 [ ] 10．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子两端。 当他们向上爬时，在某同一高度，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是 （A ）甲先到达。 （B ）乙先到达。 （C ）同时到达。 （D ）谁先到达不能确定。 [ ] 11．一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外 力的矢量和为零，则此系统 (A)动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒。 (B)动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定。 (C)动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定。
第七章电子自旋角动量 实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。 本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger 方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是，现在从Schrodinger 方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger 方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻1。 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子21 的跃迁存在两条彼此很靠 p s 近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年 155
156 年反常Zeeman 效应，特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重；1922年Stern —Gerlach 实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为 B ±μ，数值为 Bohr 磁子。 在上述难以解释的实验现象的压力下，1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设：电子有一种内禀的（相对 于轨道角动量而言）角动量,s ，其数值大小为2 ，这种内禀 角动量在任意方向都只能取两个值，于是有2 z s =± 。他们认 为这个角动量起源于电子的旋转，因此他们称之为自旋。为 使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且 和自旋角动量s 之间的关系为（电子电荷为-e ） （7.1） 这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电 子便具有了m,e,s,μ 共四个内禀的物理量。根据实验事实用外
第二章（二） 动量、角动量和能量 班号 学号 姓名 日期 一、 选择题 1．A 、B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示。若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动能之比KB KA E E 为 (A) 2 1 ； (B) 2/2； (C) 2； (D) 2 。 （ ） 2．质量为20 g 的子弹，以400 m ?s -1 的速率沿图示方向射入一原来静止的摆球中，摆球的质量为980 g ，摆线长度不可伸缩。子弹射入后开 始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m ?s -1确 ； (B) 4 m ?s -1 ； (C) 7 m ?s -1 ； (D) 8 m ?s -1 。 ( ) 3．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A) L A >L B ，E K A >E kB ； (B) L A =L B ，E K A
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