第六章自旋和角动量
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。
在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。
本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。
§6. 1电子自旋
施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图6.1.1，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场中的势能为
U= -M =Mcos (6.1.1)
为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在z方向所受的力是
F z=-=Mcos (6.1.2)
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为:
(1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则
S z=±/2 (6.1.3)
(2) 每个电子均具有自旋磁矩M s，它与自旋角动量之间的关系是
M s=- (SI) 或 M s=-(CGS) (6.1.4.)
式中(SI)表示国际单位，CGS表示CGSE单位。由于在许多量子力学参考
书及文献中常用CGSE单位，为方便读者，我们主要用CGSE单位但将SI
单位的结果也写在这里。(6.1.4)式中，电子带的电荷是—e,质量是m。由
于s取值量子化，因此，M s在空间任意方向上的投影也只能取两个值。
（SI）或（CGS） (6.1.5)
M B是玻尔磁子。由(6.1.5)式可见，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是（SI）；（CGS） (6.1.6）
比值称为电子自旋的回转磁比率。另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足（CGS） (6.1.7)
因而轨道运动的回转磁比率是(SI),或(CGS )。自旋回转磁比率是轨道运
动回转磁比率的两倍。
自旋是电子的一种固有的属性。千万不要认为，电子自旋是因为电子在作机械的自转引起。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀
分布的小球，由于电子的半径约为2.810-13cm，要想使它的磁矩由于自
转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过光速。这当然是不
可能的。(请读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间
运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性.电子的自旋磁矩是内禀磁
矩。事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了时
空自由度还有其他的自由度。例如质子和中子，除时空、自旋外，还有
同位旋。夸克则还具有“味”和“色”等自由度。不过，自旋自由度是除时
空自由度外的第一个新发现。值得指出的是，电子自旋角动量与轨道角
动量不同，电子自旋的取值是±,而不是的整数倍。电子自旋的g因子是2,
轨道的为1.当然，自然界中也存在着自旋取整数值的粒子。我们在全同
粒子一章中再作讨论。
§6. 2 电子的自旋算符和自旋函数
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色:
(1)它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。
(2)它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当时，自
旋效应消失这可以从(6.1.3)式看出。
(3)它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋
在空间中任何方向的投影只取±两个值。
根据电子自旋的上述特点，可以找出自旋算符的矩阵表示，以及自旋算符的本征函数。首先，自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该
用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满
足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符J满足的
对易关系是
(6.2.1)
在量子力学中，千万不要有一种误解，即角动量就是，只是轨道角动
量，是角动量的一种，它也满足(6.2.1)式。在量子力学中，角动量的定
义是通过对易子给出的。按定义，凡满足对易关系(6.2.1)式的算符称为
角动量。自旋既然是角动量，自旋算符必须满足
(6.2.2)
写成分量形式是
(6.2.3)
由于在空间中任意方向的投影只能取±两个值。因此，任意选定x、y、z
坐标后，、、三个算符的本征值都是±；、、的值都是，即
(6.2.4)
(6.2.5)若将任何角动量平方算符的
本征值记为，称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s满足
(6.2.6)为方便起见，引入算符，令
(6.2.7)
即
，， (6.2.8)
由公式(6.2.2)及(6.2.7)式可得满足的对应关系是
(6.2.9)写成分量形式
是
(6.2.10)
由(6.2.7)式可见，、、的本征值为，而且
===1 （6.2.11）
定义任何算符和的反对易关系为
（6.2.12）
由(6.2.10)式得
= （6.2.13）同理，
(6.2.14)
(6.2.15)
、、之间相互反对易。
现在来找在特定表象下，、、算符的矩阵形式。由于与对易（或称与
对易），在它们的共同表象中，的矩阵必然是
(6.2.16)
这是因为只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2×2的矩阵，而且
在自身表象中，对应对角矩阵，且矩阵对角线上的元素就是它的本征
值。由于(6.2.7)式，的矩阵是
(6.2.17) 为求出、在表象的矩阵形式，注意与反对易，与也只能是矩
阵，令
(6.2.18)
a、b、c、是待求的矩阵元。由于厄米，因此也厄米，在(6.2.18)式中必
有,再由
==0 (6.2.19)
得
（6.2.20）
又因, 故有
(6.2.21)
即=1，,若取，则
(6.2.22)
利用(6.2.17)式、(6.2.22)及 (6.2.10)式,可求得为
(6.2.23)
综合上述,最后得出
, , (6.2.24)相应地
,, (6.2.25)
表示式(6.2.24)的、、称为泡利矩阵。
应该指出，泡利矩阵只是满足算符对易关系(6.2.9)式，在表象中给出
的一种可能的矩阵。它不是唯一的。在(6.2.21)式中，泡利矩阵固定了，
这只是一种最方便的取法，而不是唯一的取法。事实上，只取定，只固
定了z轴，在x-y平面中没有确定,还具有相角不确定性。角度是相角不确
定性的反映。泡利矩阵选定了，是一种特定的选择。
另外，还应该指出，泡利矩阵非常有用。因为任何2×2的厄米矩阵都
可以表示为单位矩阵及、、三个矩阵的线性组合。这些矩阵在处理自旋
问题以及相对论性的狄拉克方程中特别有用。
例1试在(，)的共同表象中求算符、、对应的矩阵。
解注意z本来就是空间中任意给定的方向，如果将原来的二轴看成
新的x轴，仍保持右手坐标系，则原来的x轴变为新的y轴，原来的y轴变
为新的z轴，在这个新的坐标系，或者说，在新的表象中、、对应的矩
阵是
, , (6.2.26)同样的方法还可以用来求出(,)共同表象中、、对应的矩阵。
再来求电子自旋算符对应的本征函数,在表象中,由本征及
可见5，的本征函数为
公式省略
它们分别对应于h 12及一h12两个本征值。介和告是两个彼此正交而且各自归一的本征函数。
由于电子自旋算符可用(6.2. 25)式表示，因此电子自旋算符的函数G也可以表示成2X2的矩阵
7~ (6.2.30)
表示。包含自旋在内的电子波函数可表示为
公式省略 (6. 2.31)
其中
jb, (x，y，z,t)~O(x，y，-,h 12，t) (6 .2.32)
322 叻:〔x, y,x,t〕=少(x,y?z，一方/2,t) (6.2.33)
电子波函数(6.2.31)式的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和，即
f (6.2.34)
由沪所给出的概率密度
(6.2.35)
表示在:时刻，在{x,y,x}点周围单位体积内找到电子的几率。其中!0112和10"{’分别表示在(x,y,x)点周围单位体积内找到自旋人和自旋S,誉的电子的几率。在略去自旋和轨道运动之间的相互作用的条件下，(6-2.32)及(6.2.33)式的必:和叭对r有相同的函数形式。如果存在自旋一轨道藕合，必，和沪:对r的函数形式可以不同。
算符G在自旋态中的平均值是
公式省略
(6 .2.36)
当然，如果只对自旋作平均，而不对空间作平均，则(6.2.36)式简化为公式省略 (6.2.37)
最后，应该特别强调指出，本节的讨论只适用于自旋为112的体系，比如电子。对于自旋取其他数值的粒子，比方自旋为1.自旋算符要用3X3矩阵表示。但可仿照本节的方法另行讨论。
§6.5两个角动量的耦合
在同一个原子内，电子既有自旋角动量，也有轨道角动量，因此很自
然地，总要讨论两个角动量之问的耦合。对于由多个粒子组成的体系，
只要粒子具有角动量，总存在角动量之间藕合的问题。而且，有许多问
题，在耦合后得出的总角动量表象中讨论会更方便。
1. 角动量升降算符
在讨论两个角动量耦合之前，先介绍一些角动量算符的基本性质.这
些性质对角动量运算会带来许多方便。
设为角动量算符，满足对易子
（6.5.1）
对和的共同本征函数，的本征值是l（l+1）, 的本征值是m,l和m是角动
量量子数和相应的角动量z分量的量子数。显然，在(，)的共同表象中，
和的矩阵元分别是
（） = l（l+1）（6.5.2）（）=m (6.5.3)
引入算符和,令
=+ （6.5.4）
=- （6.5.5）
则有
=
=
= （6.5.6）
即
（6.5.7）
（6.5.8）
（6.5.8）表明，也是的本征函数，但本征值为(m+1)。因此与，最多
只能相差一个常数，即有
= (6.5.9)
同理，可以证明
（6.5.10）
(6.5.11)
(6.5.12)
，.和是待定的常数。为了求出和，注意到矩阵元
（6.5.13）
（6.5.14）
又因
（6.5.15）
（6.5.16）
即
l(l+1)=(6.5.17)
=
另外，由于和是厄米的，所以有
=
=
= （6.5.18）
将(6. 5. 18)式代入(6.5. 17)式，得
l(l+1)=
或者写成
（6.5.19）
即
(6.5-20)
由(6.5.9)，(6.5.12)及(6.5.20)式，我们最后得出
（6.5.21）
（6.5.22）
利用这些结果，可以求出在和:的共同表象中，和的矩阵元是
，
（6.5.23）
(6.5.24)
应该指出，上述各式并非只对轨道角动量才成立。对于轨道角动量，就是球谐函数，对于其他角动量，虽然不是球谐函数，但只要满足角动量定义(6.5.1)式，并把l和m理解为相应的角动量平方和角动量Z分量量子数，(6.5.21)---(6.5.24)式恒成立。例如对电子自旋角动量,S=1/2，m=1/2,由(6.5.23)及(6.5.24)式得
(6.5.25)
( 6. 5.26)
因此有:,,这正是自旋矩阵的泡利表示。
2.无耦合表象和耦合表象
讨论两个角动量和的耦合，和既可以是自旋角动量，也可以是轨道角动量或其他角动量。按定义和满足
= (6. 5.27)
(6.5.28)
以及对易关系
(I=x,y,z) (6.5.29)
（I=x,y,z） (6.5.30)
假定和是两个独立的角动量，因此和对易
[,]=0 (6.5.31)
是四个两两相互对易的算符，可以用它们的共同的本征函数系构成一个表象，称为无耦合表象。这个无耦合表象的基矢必定是的共同本征矢与的共同本征矢的乘积.。
即若
，(6.5. 32)
，(6.5.33)
则无耦合表象中的基矢是
（6.5.34）
现在转而讨论耦合表象。角动量和:之和是
(6.5.35)
容易证明，也是角动量，也满足
(6.5.36)
而且和与、等满足下述对易关系式
(6 .5.37)
因为与向量的任何分量对易。同理
(6.5.38)
另外显然还存在
， (6 .5.39)
(6.5.40)
这些对易关系表明这四个算符两两对易，它们具有共同的正交、归一、完备、封闭的本征函数系。记相应于量子数的本征函数为有
(6.5.41)
(6.5.42)
显然，总角动量量子数j，它的z分量量子数m与有关，为了找出它们之间的关系，首先必须将耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢按无耦合表象的基矢展开，得
(6.5.43)式中的系数称为矢童辆合系数或克莱布希一高登(Clebsch一Gordon)系数。(6.5-43)式中的求
和只对。;和二:进行。
以算符乡二分别作用于(6.5.43)式的两端，得
于是有
(6.5.45)
(6.5.43)式可写成
(6.5.46)
公式(6.5. 43)或者(6. 5.46)式其实就是将耦合表象和无耦合表象联系起来的表象变换公式。表象变换是个么正变换。克莱布希-戈尔登系数其实就是幺正变换所对应的幺正矩阵的矩阵元。我们已经找出m和,之间的关系(6.5.45)式，进一步，我们来求量子数j和
,之间的关系。
由于j,
,的最大值依次分别为m,,而,因此j的最大值必然是
(6. 5. 47)
为求出当,给定时j的最小值，可以这样考虑：当给定时，可取共(2 + 1)个值。同徉，当
给定时, 可取共( 2十1)个值。因此，当和同时给定时，无耦合表象中基矢的数目是(2 + 1) ( 2十1)个，这些基矢构成一个(2 + 1) ( 2十1)维的子空间。作表象变换，从无耦合表象变换到耦合表象后，子空间的维数不变。公式(6-5-43)无非是将无耦合表象中的基矢用克莱布希-戈尔登系重新组合后变成祸合耦合表象中的基矢，耦合表象中基矢的数目与无耦合表象中基矢的数目相
同，只有这样，才能保证变换是幺正的，各个基矢是线性无关的，而且彼此正交。另外，再注意到对于确定的j,rn的取值()是共(2j十1)个值，于是有
(2 + 1) ( 2十1) (6.5.48)
(6. 5.48)式左端是个等差级数，可以用等差级数的求和公式求出，结果是
(6 .5.49)
将(6-5-49)，(6.5.47)式代入(6-5. 48)式，得
(6. 5.50)
由此得出，当给定时,.j可能取的值是
(6. 5. 51)
在耦合表象中，总角动量平方和总角动量二分量的本征值就全部给定了，它们分别为
,及，而j和m分别由（6.5.51）和（6.5.45）式给出。
§6.7 光谱线的精细结构
作为角动量藕合计算的一个例子，本节讨论在无外场情况下，电子自旋对类氢原子的能级和谱线的影响。
对于类氢原子，电子的波函数在不考虑自旋时可用三个量子数n,l,m表征。但能级只与n有关，存在n2度简并。若考虑自旋，但略去自旋和轨道之间的藕合，即略去哈密顿量中S和L之间的藕合项，则
(6.7.I)
若不考虑屏蔽，，能级，本征函数显然是
(6.7.2)
(6.7.2)式中，为区分轨道和自旋，轨道角动量z分量的量子数用m l表示，自旋角动量z分量的量子数用m s表示, ,表示s2和s z的共同本征态。显然，(6.7.2)式表示的本征函数是```共同本征函数，可作为无耦合表象的基矢。注意算符，对应对角矩阵，它与任何算符均对易，实际上相当于一个常数，因此，我们选算符代替。进一步.为考虑自旋和轨道的耦合，引入耦合表象。令
(6.7.3)
由于{ 0}这四个算符相互对易，它们构成一个完备系。记这四个算符的共同本征函数是
(6.7.4)
是藕合表象的基矢，与式之间满足(6.6.15)及(6.6.16)式。上面的所有讨论是在略去自旋和轨道之间的辐合能的基础上给出的。
在相对论量子力学一章中将证明.自旋和轨道之间的相互作用能是
(6.7.5)
即,U是电子的势能，它仅是r的函数。因此，若考虑自旋轨道祸合能，体系的哈密顿算符是
(6.7.6)
(6.7.7)
注意H'中含项，而;与不对易, 与不对易，因此与不对易。m l与m s不再是好量子数。无辐合表象在处理这个问题时不再是好的表象。另一方面，由
(6.7. 8)
(6.7. 9)
可见，都和对易。的本征函数就是耦合表象的基矢，
j,m,l仍是好量子数。
但是，必须指出，这里指的是的本征函数而不是H。的本征函数。事实上，由于中含有，与中的动量算符不对易，因而与也不对易。的本征值和本征函数应该由的本征方程
(6.7 .10)
求出。与的本征函数不同。不过，由于H'实际上是相对论修正，在一般情况下，H'《H。，我们可以用微扰论的办法求解(6.7.10)式。由于的本征值简并,须要用简并微扰论讨论。将按的本征态展开。考虑到与对易，与不对易，显然用H。在祸合表象中的本征态展开必然比用Ho在无藕合表象中的本征态展开计算时要方便得多，因为更易于使H/的矩阵对角化。令
(6-7. 11)
简并微扰论中的久期方程是
(6 .7.10)
其中
(6.7.13)
而
(6.7.14)
在( 6. 7. 14)式的最后一步.我们考虑了是和的本征态。(6.7. 14)式是对角的，这正是用荆合表象优越的地方，它可以让H/矩阵更易于对角化。令为
(6 .7.15)
并将(6. 7. 13)和(6. 7. 15)式代入(6.7. 10)式，得
(6 .7.16)
于是得出
(6. 7.17)
表示微扰对能量的一级修正值。注意到只与n,d,j量子数有关，而与m无关，因此简并只是被部分地消除，仍存在对量子数m的2j十1度简并。由于当n ,l给定后,的取值为j =l士1/2(除l=0外)，因此，自旋轨道根合也消除了部分简并，使原来对应于n,l量子数的能级分裂为两个能级，由于两个
能级之间的差别很小，从而导致光谱线出现精细结沟。以表示(P),j=3/2
的能级,P的左上角的2表示属于二重线的项。我们来计算类氢原子2P项
的精细结构时的积分
(6.7.18)
其中，代入(6.7.17)式后得
(6.7.19)
(6 .7.20)
式中称为猜细结构v数。
用(6. 7.19)及(6.7.20)式算出的钠原子2P能级的精细结构如图6. 7. 1所示.2P能级分裂为
22P1/2,及22P3/2两个能级。在上面的计算中只考虑了L,S耦合，严格说
来，应该考虑所有相对论修正项才能得出与实验符合得很的结果。
由于H'l/j/m/,ljm是对角矩阵，因此在耦合表象中的基矢无须重新组合即
可以作为零级近似作微扰计算。因此，零级波函数是，用无耦合表象的
波函数表示是
(6.7.22)
从无耦合表象到耦合表象波函数的变换，也可以认为是简并微扰中零级波函数的重新组合.以使得H'在简并子空间中对应的矩阵对角化。
§6. 8塞曼效应
碱金属，氢原子和类氢原子的最外层有一个价电子。在磁场中，由于磁场对电子的作用，将使这些原子的光谱线发生分裂。具体的分裂情况
与所考虑的自旋在磁场中的附加能量、自旋与轨道相互作用能等有关。
下面分两种情况讨论。
1.简单塞受(Zeennan)效应
先考虑磁场的附加能量远大于自旋轨道相互作用能的情况。在这种情况下，略去自旋轨道相互作用能。在实验室范围内，磁场可近似视为
均匀磁场，记为H。选磁场方向为z轴，得
(6.8.1)
相应的矢势A和标势是
(6.8.2)
记一价金属的价电子在其他电子屏蔽下与原子核的库仑场为V (r),外加磁场具有(6.7.2)式的形式.电子的电荷为一e,质量为m e，则体系的哈密顿函数为:
(6.8.3)
在(6.8. 3)式中，，a是原子的大小，实验室磁场B一般小于10T，(6.8.3)中
(6.8.4)
因而(6.8.3)式右端正比于B2的项可以略去，得
(6 .8.5)
(6. 8.5)式右端的第三项实际上就是轨道磁矩与外磁场的相互作用
. 的本征方程为
(6.8.6)
式中是的共同本征函数, 是本征值.如果是纯粹的库仑场，则能量E=E n。只与主量子数有关，一般情况下，由于V (r)是屏蔽的库仑势，能量仅依赖于n,L两个量子数，E=E nl。
显然，由于是的本征函数，因而也是H的本征函数，相应的本征值是 (6.8.7)
(6.8.7)式表明:加上外磁场后，对m的21+1度简并被消除，原来的E nl能级分裂为21+1条能级，相邻两个能级之间的间隔是称为拉摩(Lamor)频率。光谱线在外磁场中的分裂的现象称为塞至效应。实验上，钠原子黄线在强磁场中的分裂为简单塞曼效应提供了实验证据。实验证明:原来的一条钠黄线，波长分裂为三条，对应的角频率分别是，与(6.8.7)式的结论一致。
上述计算中并未考虑电子的自旋。现在考虑电子的自旋。泡利方程(6.3.28)式在现在情况下变为
（6.8.8）
式中。式可以分解为两个方程
（6.8.9）
比较(6.8.6)及(6.8.9)式可见，相应的能谱是
(6.8.10)
(6.8.11)
在外磁场中，能级与m有关，原来由于。而引起的简并被消除，而且，能量与自旋有关。图6.8.1表示原子从2P至1S态的跃迁和能级的分裂。对于S态，l=m=0，原来的能级分裂为两个，分别相应于及,对于P态，对时,分裂
为三个能级，对时，也分裂为三个能级，但能级的相对位置不同，由
(6.8.10)及(6.8.11)式决定。但由于偶极跃迁的选择定则由坐标矩阵决定，与自旋无关，只有自旋量子数相同的能级才能跃迁。因此仍然是原来对应于相同s二的一根谱线在外磁场中分裂为三根谱线。谱线的角频率是
（6.8.12）
式中是无外磁场时的跃迁频率，是跃迁中磁量子数的改变。根据选择定则
(6.8.13)
所以
(6.8.14)
2.反常塞曼效应
在强磁场下，不考虑自旋轨道耦合，原子光谱发生分裂的现象称为简单塞曼效应或正常塞曼效应。在磁场较弱时，要考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献，这时原子光谱线的分裂现象，称为一般塞曼效应或反常塞曼效应。哈密顿量为
(6 .8.15)
式中由(6.7-5)式表示。在藕合表象中，令，(6.8.15)式可表示为
(6 .8. 16)
在（6.8.16）式中，如果不考虑右端最后一项，比较(6.8.16)式及(6.7.6)式后可知，这时可以用和处理光谱线的双线分裂同样的方法求出它的能量一级修正和零级波函数。由于这时的守恒量仍然是L2,J2,J z，因此相应的波函数仍是，能量经一级修正后的值是，其中由(6. 7.19)及(6.7-20)式表示,项来自(6.8.16)式中的。于是,m j的简并由于存在后已被完全消除，原来的能级进一步分裂为2j+1个能级，是半奇数，2j+1是偶数，的能级分裂为偶数个能级。
6. 9自旋单态和自旋三重态
前面两节讨论了自旋和轨道的耦合，研究了类氢原子的精细
结构和在磁场中的塞曼效应。在这一节里，我们将讨论两个自旋都
是1/2的粒子，自旋和自旋之间的耦合，它适用于两个电子的耦
合，也适用于一个电子和另一个自旋为1/2的粒子的藕合。当然，
如果是两个电子，还要考虑全同性。我们在多体问题一章中要再深
入讨论这个问题。
当两粒子体系的哈密顿算符不含自旋时，两个自旋为1/2的
粒子的总的自旋波函数是每个粒子自旋波函数的乘积。
（6.9.1）
事实上，利用单个粒子的自旋波函数.可以按以下四种方式构成两
个粒子的总自旋波函数；
脚标S表示波函数是对称的，交换两个粒子.将变作S.-后，波函
数不变号。脚标A表示波函数是反对称的，交换两个粒子，将，.，变作S2二后，波函数反号。两个自旋为合的k子组成的体系具有三个
对称的自旋波函数，是自旋三重态，一个反对称的自旋波函数，是自旋单态。
现在来计算耦合表象中算符和的本征值。令S=s1+s2,
S z=s1z+s2z (6.9.6)
S2=(s1+s2)2
=s12+ s22+2s1·s2 (6.9.7)
= (6.9.8)
又因
(6.9.9)
(6.9.10)
(6.9.11)
(6.9.12)
（6.9.13）
（6.9.14）
由此直接给出
=
（6.9.15）
= （6.9.16）
类似的计算得
（6.9.17）
（6.9.18）
（6.9.19）
（6.9.20）
（6.9.21）
（6.9.22）
综合(6. 9. 15)至(6. 9. 22)式得出，作用在对称波函数对称波函数上时，其本征值均为，若将的本征值表示为s(s十1)即得总自旋角动量最子数
s=1,这正是
耦合的结果。同理，将作用在反对称波函数上，其本征值为零，相应的s=0,
这是耦合的结果。
但是，应该指出，态、和是不同的。表现在作用在
这些波函数上时，分别得出。三个、、0不同的值。这表示虽然两
个自旋平行，但对这三个态各有不同.在态，两个粒子自旋不
但平行，而且都平行于z袖，它们的方向都朝上。在态，两个粒
子自旋也平行，但都反平行于z轴，它们的方向都朝下。在态，
两个粒子虽则仍然平行，但合成后的总自旋角动量与z轴垂直。对
于态，由于和的本征值均为零，因此两个粒子的自旋是反
平行的，它们的总自旋为零。
图6.9.1是两个自旋为1/2的粒子自旋角动量耦合的形象化
的示意图。在图中，用沿锥面旋转的矢量来表示的本征态。矢量
沿z轴的投影等于定值，但沿x,y轴的投影却不固定,表示S x、S y
没有确定值。这种表示的好处之一在于可以较形象地将、、
这三个算符的不对易性表示出来。图中的(a),(b),(c),(d)分别
表示、、和态。前三个是三重态. 是单态。
第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系
总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，
大学物理动量与角动量练习题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸 缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． m m 0 图3-11 ? 30v 2 图3-15 θ m v R
第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为 cos U M H MH θ=-=- （6.1.1） θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为 cos z U H F M z z θ??=- =?? （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ① 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间 的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ② 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s s e e M S M S m mc =-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4） s M 在空间任意方向上的投影只能取两个值：
一、选择题 ［ A ］1.（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为 m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 【提示】设m 0相对于地面以V 运动。依题意，m 静止于斜面上，跟着 m 0一起运动。根据水平方向动量守恒，得：00m V mV +=所以0V =，斜面保持静止。 ［ C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π (D) 0． 【提示】2 2T G T I mgdt mg ==? ? ， 而 v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图 3-15射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒： 2sin 30()mv l M m lV ?=+；其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为摆 线长度。(或者：系统水平方向动量守恒。) ［ D ］4.（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力。现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 【提示】①下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。②因为是“突然向下拉一下”，作用时间极短，上面的细线并没有因此而进一步形变，因此，拉力不变，细线也不断。 二、填空题 1．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一 图3-11 图3-15
第三章 动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C 。 简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=m d v +v d m =v d m 。因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。 ; 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 ￥ 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（） 选择题4图
A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 ; 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒： 02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球：（） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 《 解：答案是C 。 简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。 7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是：（） A. 用力蹬冰面 B. 不断划动手臂 C. 躺在冰面上爬行 D. 用力将书包抛出 解：答案是D 。 二填空题 { 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N s ，则两船分离的相对
第三章《动量和角动量》习题 动量守恒和角动量守恒是物理学中各种运动所遵循的普遍规律，本章的主要内容有质点和质点系的动量定理、角动量定理，及动量守恒定律和角动量守恒定律。 基本要求： 掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的力学问题。 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。 理解质心的概念和质心运动定律。 作业题： 1 质量为m 的铁锤竖直从高度h 处自由下落，打在桩上而静止，设打击时间为t ?，则铁锤所受的平均冲力大小为（ ） （A ）mg （B ）t gh m ?2 （C ） mg t gh m +?2 （D ）mg t gh m -?2 2 一个质量为m 的物体以初速为 0v 、抛射角为o 30=θ从地面斜上抛出。若不计空气阻力，当物体落地时， 其动量增量的大小和方向为（ ） （A ）增量为零，动量保持不变 （B ）增量大小等于 0mv ，方向竖直向上 （C ）增量大小等于0mv ，方向竖直向下 （D ）增量大小等于03mv ，方向竖直向下 3 停在空中的气球的质量为m ，另有一质量m 的人站在一竖直挂在气球的绳梯上，若不计绳梯的质量，人沿梯向上爬高1m ，则气球将（ ） （A ）向上移动1m （B ）向下移动1m （C ）向上移动0.5m （D ）向下移动0.5m 4 有两个同样的木块，从同高度自由下落，在下落中，其中一木块被水平飞来的子弹击中，并使子弹陷于其中，子弹的质量不能忽略，不计空气阻力，则（ ） （A ）两木块同时到达地面 （B ）被击木块先到达地面 （C ）被击木块后到达地面 （D ）条件不足，无法确定 5 用锤压钉不易将钉压入木块内，用锤击钉则很容易将钉击入木块，这是因为（ ） （A ）前者遇到的阻力大，后者遇到的阻力小 （B ）前者动量守恒，后者动量不守恒 （C ）后者动量变化大，给钉的作用力就大 （D ）后者动量变化率大，给钉的作 用冲力就大 6 质量为20×10-3kg 的子弹以4001 s m -?的速率沿图示方向击入一原来静止的质量为980×10-3 kg 的摆球中，摆线长为1. 0m ，不可伸缩，则子弹击入后摆球的速度大小为（ ） （A ）41s m -? （B ）81s m -? （C ）21s m -? （D ）8π1s m -?
散射简介 散射实验在近代物理学的发展中起了特别重要的作用。 特别是在认识原子、分子、核及粒子的结构性质方面，Rutherford的粒子散射→原子的结构。 从此揭开了原子结构的新篇章，夫兰克赫兹实验证明了玻尔关于原子有定态的假设，原子很小，很难看到其微观结构，只能通过粒子与其作用，探测其性质，结构,就像用石头探水深，投石问路的方式探测其结构。 散射现象也称为碰撞现象 通过散射表现出的宏观现象，研究靶的结构性质 散射过程的一些基本概念 ①一个粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能变换，粒子内部状态无改变态，则称为弹性碰撞（散射）若碰撞中粒子内部状态有所改变，如原子被激发或电离，则为非弹性碰撞，注意和经典物理中物体碰撞的比较。 ②粒子和另一粒子的散射实质是粒子与力场的作用，微观原子为靶时，实质是粒子与原子的作用，场电、电场、核力确定 原子、粒子很小靶粒子称为散射中心，当靶A的质量能入射粒子质量大得多时，可忽略靶的运动。这样以来入射粒了受A的作用偏离原来运动方向，发生散
射于原来方向的夹解θ，为散射角，如以极坐标描述，取入射粒子流方向为z 轴，则θ用就为散射角。 研究dn 单位时间内散射到面积元ds 上的粒子数dn ，当r 一定时，取求面上面积元ds 则，当r 变化时2ds r ∞ ∴2ds dn d r ∞ =Ω 即与ds 所张的立体角成正比，同时dn 与入射粒子流强度N 成正比 N 定义，单位时间穿过单位横截面的粒子数 d n N d ∞Ω 一般情下，不同方向(,)θ?散射到的粒了数不同 (,)d N q N d θ?=Ω (,)dn q Nd θ?=Ω 当N 一定时，单位时间散射到(,)θ?方向立体角ds 内的 粒子数dn 由(,)q θ?确定，(,)q θ?与入射粒子，散射中心的性质等有关 (,)q θ?的量纲为2L 面积 (,)dn q Nd θ?= Ω (,)q θ?称为微分散射截面 一个粒子(,)q d θ?Ω散到(,)θ?方向d Ω立体内的几率 N 个粒子 (,)q Nd θ?Ω散到(,)θ?方向d Ω立体内的个数 N 为单位时间入射粒子则(,)q Nd θ?Ω单位时 个数 将(,)q d θ?Ω对所有方向积分 2(,)(,)sin o o Q q d q d dp ππ θ?θ?θθ=Ω=??? 称为总截面 取散射中心为坐标原点，用()U r 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用
动量与角动量习题解答公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-
第三章 动量与动量守恒定律习题 一 选择题 1. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有： （ ） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 2. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（ ） A ． mg t m +?v B ．mg C ． mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。
简要提示：v m t F =?? 3. 质量为20 g 的子弹沿x 轴正向以 500 m s –1 的速率射 入一木块后，与木块一起仍沿x 轴正向以50 m s –1 的速率前 进，在此过程中木块所受冲量的大小为：( ) A ． 9 N·s B ．–9 N·s C. 10 N·s D.–10 N·s 解：答案是A 。 简要提示：子弹和木块组成的系统的动量守恒，所以木块受到的冲量与子弹受到的冲量大小相等，方向相反。根据动量定理，子弹受到的冲量为： s N 9)(12?-=-=v v m I 所以木块受到的冲量为9 N·s 。 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人 选择题4
从板的两端以相对于板相同的速率相向行走，则板的运动状况是： （ ） A. 静止不动； B. 朝质量大的人的一端移动； C. 朝质量小的人的一端移动； D. 无法确定。 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，板的运动速度为v ，由系统的动量守恒： 0021='+'+'+v v)-v ()v (v m m m ，得：v v 0 211 2m m m m m ++-= ' 如果m 2> m 1，则v ′> 0; 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 ( ) A. 甲先到达； B. 乙先到达； C. 同时到达； D. 谁先到达不能确定．
第3单元 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ A ]1．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 [ C ]2． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ E ]3. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将 绳从小孔缓慢往下拉，则物体 动能不变，动量改变。 动量不变，动能改变。 角动量不变，动量不变。 角动量改变，动量改变。 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正 确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]5．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相
同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]6．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ C ]7．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_ 。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____ 的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O 轴转动，则当杆转到水平位置时，该系统所受的合外力矩的大小M = mgl 21 ，此时该系统角加速度的大小β= l g 32 。 4．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上，如果从静 止开始作匀角加速运动且在4s 内绳被展开10m ，则飞轮的角加速度为2 /5.2s rad 。 ５．决定刚体转动惯量的因素是 ___刚体的质量____ __；__刚体的质量分布____
第七章电子自旋角动量 实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。 本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger 方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是，现在从Schrodinger 方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger 方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻1。 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子21 的跃迁存在两条彼此很靠 p s 近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年 155
156 年反常Zeeman 效应，特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重；1922年Stern —Gerlach 实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为 B ±μ，数值为 Bohr 磁子。 在上述难以解释的实验现象的压力下，1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设：电子有一种内禀的（相对 于轨道角动量而言）角动量,s ，其数值大小为2 ，这种内禀 角动量在任意方向都只能取两个值，于是有2 z s =± 。他们认 为这个角动量起源于电子的旋转，因此他们称之为自旋。为 使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且 和自旋角动量s 之间的关系为（电子电荷为-e ） （7.1） 这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电 子便具有了m,e,s,μ 共四个内禀的物理量。根据实验事实用外
一、选择题 ［ C ］1.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量 的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2 (v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 【提示】2 2T G T I mgdt mg ==?? ， 而v R T π2= ［ C ］2．（自测提高1）质量为m 的质点，以不变速率v 沿图3-16中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 (A) m v ． (B) ． (C) ． (D) 2m v ． 【提示】如图，21 21t t I fdt mv mv ==-? ， 21I mv mv ∴=-= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15 射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后 开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒： 2sin30()mv l M m lV ?=+；其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为摆线长度。 ［ C ］4．（附录E 考研模拟题2）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． 【提示】以地面为参考系，系统的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒：0Rmv Rmv v v =-=甲地乙地甲地乙地，所以对对对对 ，因此，从地面观察，两人永远同一高度。 图3-15 图3-16
第三章 动量和角动量 一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练3] 如图3－12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 【提示】重力为恒力，故： I=ν πνπR mg R mg T mg dt T ? =?=?=??222mg 20 ［ C ］2、[基础训练4] 机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率为800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为 (A) 0.267 N ． (B) 16 N ． (C)240 N ． (D) 14400 N ． 【提示】 N s s P F 240600/m 800kg 02.0900t =-??=??= ） （ ［ B ］3、[自测提高2] 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-17射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［ C ］4、（自测提高3）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． ?30v ? 2 图3-17 m v ? R
第六章自旋和角动量 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。 §6. 1电子自旋 施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图6.1.1，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场中的势能为 U= -M =Mcos (6.1.1) 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在z方向所受的力是 F z=-=Mcos (6.1.2) 实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。 为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为: (1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则 S z=±/2 (6.1.3) (2) 每个电子均具有自旋磁矩M s，它与自旋角动量之间的关系是
一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练3] 如图3－12所示，圆锥摆的摆球质量为 m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 【提示】重力为恒力，故： I=ν πνπR mg R mg T mg dt T ?=?=?=??222mg 20 ［ C ］2、[基础训练4] 机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率 为800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为 (A) 0.267 N ． (B) 16 N ． (C)240 N ． (D) 14400 N ． 【提示】 N s s P F 240600/m 800kg 02.0900t =-??=??= ） （ ［ B ］3、[自测提高2] 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-17射入一原来静 止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［ C ］4、（自测提高3）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． 【提示】取甲乙两人、绳子、滑轮作为系统。该系统对滑轮中心点合外力矩为零，系统对滑轮中心点角动量守恒，12rmv rmv =，所以：12v v =，（其中r 为滑轮半径）故甲乙两人相对地面速度大小在任意时刻均相等。从而两人同时到达顶点。 图3-17
第五节-角动量角动量 守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定 理，熟练进行有关计算。 6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即： I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量
力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）： 即： 大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用 摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。 关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用 Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application. 引言 在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的 情况。例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不 断变化。在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守 恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。 角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。角动量在20
一、选择题 ［C］1.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为 v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大 小为 (A) 2 m v．(B) 2 2) / ( ) 2( v v R mg mπ + (C) v/ Rmg π．(D) 0． ［C v沿图3-16中正三角形 ABC的水平光滑轨道运动．质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小 为 (B)2m v． m dt=) mv [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-15射入 一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始 与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2 sin30() mv l M m lV ?=+;其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为 摆线长度。 ［C］4．（附录E考研模拟题2）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达．(B)乙先到达． (C)同时到达．(D)谁先到达不能确定． 提示：取轻滑轮中心为坐标原点。 1122 M r m g r m g =?+?=， 1122 =0 r mv r mv ?+?=常矢量（开始时） 二、填空题 5.（基础训练7）设作用在质量为1 kg的物体上的力F＝6t＋3（SI）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s?． 图3-15
角动量定理及角动量守恒定律 一、力对点的力矩： 如图所示，定义力F 对O 点的力矩为： F r M ?= 大小为： θsin Fr M ＝ 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩： 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1）力与轴平行，则0=M ； 2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之 间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力F 对 转轴的力矩，用M 表示。力矩的大小为： Fd M ＝ 或： θsin Fr M ＝ 其中θ是F 与r 的夹角。 3）若力F 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一 个与转轴平行的分力1F ，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力 ∑=i F F 合外力矩 ∑∑∑=?=?=?i i i M F r F r F r M ＝ 即 ∑i M M ＝ 四、质点的角动量定理及角动量守恒定律 在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。 在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。 下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。 1．质点的角动量（Angular Momentum ）——描述转动特征的物理量 1）概念 一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐标原点O 的位置矢量