第五章
二次型
1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1） 4x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 ；
2） x 12 2x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3
4x 32 ；
3） x 12 3x 22 2x 1 x 2 2 x 1 x 3 6x 2 x 3 ；
4） 8x 1 x 4 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ；
5） x 1 x 2
x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3
x 2 x 4
x 3 x 4 ；
6） x 12 2x 22 x 42 4x 1x 2
4x 1 x 3 2x 1 x 4 2x 2 x 3 2x 2 x 4 2x 3 x 4 ；
7） x 12 x 22
x 32 x 42 2x 1x 2
2x 2 x 3 2 x 3 x 4 。
解 1 ）已知 f x 1 , x 2 , x 3
4x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3 ，
先作非退化线性替换
x 1 y 1 y 2
x 2 y 1 y 2
（ 1）
x 3
y 3
则
f x 1 , x 2 , x 3
4 y 12 4y 22 4 y 1 y 3
4y 12 4y 1 y 3
y 32 y 32 4y 22
2y 1 y 3 3
y 32 4 y 22 ，
再作非退化线性替换
y 1
1 z 1 1
z 3 2 2 y 2
z 2 （ 2）
y 3
z 3
则原二次型的标准形为
f x 1
, x 2
, x
z 2
4z 2 z 2 ，
3
1
2
3
最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为
x 1 1
z 1 z 2 1
z 3
2 2
x 2 1 z 1 z 2 1
（ 3）
2 z
3 2
x 3
z 3
于是相应的替换矩阵为
1
1 1 0
1
1 1 0
2 2
2
2
T
1 1 0 1 1 1 1
0 0 ，
0 0 1 0
0 1
2 0 2
1
且有
1 0 0 T AT
0 4 0 。
0 1
2）已知 f x 1 , x 2 , x 3 x 12 2x 1 x 2 2x 22 4x 2 x 3 4x 32 ，
由配方法可得
f x 1 , x 2 , x 3
x 12 2x 1 x 2 x 22 x 22
4x 2 x 3
4x 32
x x
2
x
2 2x
2 ， 1
2
3
于是可令
y 1 x 1 x 2
y 2
x 2
2x 3 ，
y 3 x 3
则原二次型的标准形为
f x 1, x 2 , x 3
y 12 y 22 ，
且非退化线性替换为
x 1 y 1 y 2 2 y 3 x 2 y 2 2y 3 ，
x 3
y 3
相应的替换矩阵为
1
1 2
T
0 1 2 ，
1
且有
1 0 0 1 1 0 1 1
2 1 0 0 T AT
1 1 0 1
2 2 0 1 2 0 1 0 。
2
2
1 0
2 4 0
1
0 0 0
（ 3）已知 f x 1 , x 2 , x 3 x 12 3x 22
2x 1 x 2 2x 1 x 3 6x 2 x 3 ，
由配方法可得
f x , x , x
3
x 2
2x x
2 2x x
3 2x 2
x
3
x 2 x 2
4x
2
4x x
x 2
1
2
1
1
1
2
3
2
2 3
3
x 1 x 2
x 3 2
2x 2 x 3 2 ，
于是可令
y 1 x 1 x 2 x 3
y 2 2x 2 x 3
，
y 3
x 3
则原二次型的标准形为
f x , x 2 , x
3
y 2 y 2 ，
1 1
2
且非退化线性替换为
x 1 y 1 1
y 2 3
y 3 2 2 x 2
1 y
2 1 y
3 ， 2 2 x 3
y 3
相应的替换矩阵为
1
1 3
2 2
11
T
，
2 2 0 0 1
且有
1 1
3
1 0 0 1 1 1
2 2 1 0 0
1 1
1
3 3 0 1
1 0 1 0 。 T AT
2 2
2 2 1
3
0 0
0 0
3 1 1 0
1
2
2
（ 4）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 8x 1 x 2 2x 3 x 4 2x 2 x 3 8x 2 x 4 ，
先作非退化线性替换
x 1 y 1 y 4
x 2 y 2 ，
x 3 y 3
x 4
y 4
则
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 8y 1 y 4
8 y 42
2 y
3 y
4 2y 2 y 3 8 y 2 y 4
2
8 y 4
2
2 y 4
1
y 1 1 y 2
1
y 3
1
y 1
1
y 2
1
y 3
2
2
8
2 2 8
8 1
y 1
1 y
2
2 1
y 3
2 y 2 y
3
2 2
8
8 1 y 1
1
y 2
1
y 3
2
1
y 3
2
y 4 2 y 1
y 2
2y 2 y 3 ，
2
2 8
4
再作非退化线性替换
y 1 z 1
y 2 z 2 z
3 ， y 3 z 2 z 3
y 4
z 4
则
8 1 z 1
5
z 2
3
z 3
2
5
z 2
3
z 3 2
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 z 42 z 1
2
8
8
4
4
2z 2
2 z 2 ，
2
3
再令
w 1
z 1
5
x 2 3
x 3
4
4
w 2 z 2
，
w 3 z 3
w 4
1
z 1
5
z 2
3
z 3
z 4
2 8 8
则原二次型的标准形为
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
2w 12 2w 22 2w 32 8w 42 ，
且非退化线性替换为
x 1
1
w 1 5 w 2 3
w 3 w 4
2 4 4 x 2 w 2 w 3
，
x 3 w 2
w 3
x 4
1
w 1 w 4
2
相应的替换矩阵为
1 5 3 1
2 4 4 0 0 1 1 T
1 1 ，
0 0 1 0
1
2
且有
2 0 0 0 0 2 0 0
T AT
0 2
0 。
0 0 0
0 8
（ 5）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 ，
先作非退化线性替换
x 1 2 y 1 y 2
x 2 y 2
，
x 3
y 3
x 4 y 4
则
f x 1 , x 2 , x 3 , x 42 y 1 y 2
y 22
2 y 1 y
3 2 y 2 y 3
2 y 1 y 4 2y 2 y 4 y
3 y 4
1
y 4
2
y 1 y 2 y 3 y 4
2
y 3
3
y 42
y 12 ，
2 4
再作非退化线性替换
z 1 y 1
z 2 y 1 y 2 y 3
y 4
z 3
y 3
1
y 4 ，
2 z 4
y 4
即
y 1 z 1
y 2
z 1 z 2 z 3
1
z 4
2 ，
1
y 3
z 3
z 4
2
y 4
z 4
则原二次型的标准形为
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
z 1
2
z 22
z 32
3
z 42 ，
4
且非退化线性替换为
x 1 z 1 z 2 z 3 1 z 4
2
1
z 4
x 2
z 1
z 2 z 3
，
2
x 3 z 3 1
z 4 x 4
z 4 2
相应的替换矩阵为
1
1
1
1
2
T
1 1
1
1
2
，
0 0 1
1
2
1
且有
1 0 0 0
T AT
0 1 0 0
0 0
1
0 。
3
4
（ 6）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
x 12 2x 22 x 42 4x 1x 2
4x 1x 3 2 x 1 x 4
2x 2 x 3 2x 2 x 4 2x 3 x 4 ，
由配方法可得
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
x 2
2x 2x
2
2x
3
x
2x
2
2x x
2
1
1
4
3
4
2x 2 2x 3 x 4
2
2x 22 x 42
2 x 2 x
3 2x 2 x
4 2x 3 x 4
3
x 3
1
x 4
2
x 1 2x 2 2x 3 x 4
2
2 x 2
1
x 3 x 4
2 ，
2
2 2
于是可令
y 1 x 1 2x 2 2x 3
x 4
y 2
x 2 3
x 3 1
x 4 ，
2 2 y
3 x 3 x 4
y 4
x 4
则原二次型的标准形为
f y 12
2 y 22
1
y 32 ，
2
且非退化线性替换为
x 1 y 1 2 y 2 y 3 y 4 x 2
y 2
3
y 3 y 4 ，
2 x
3 y 3 y 4
x 4
y 4
故替换矩阵为
1 2 1 1 0 1 3 1
2 T
0 ，
1 1 0
1
且有
1 0 0 0 T AT
0 2 0
0 0
1 。
2
0 0
（ 7）已知 f x 1 , x 2 , x 3 , x 4 x 12 x 22 x 32 x 42
2x 1 x 2 2x 2 x 3
2x 3 x 4 ，
由配方法可得
f x 1 , x 2 , x 3 , x 4
x 22 2x 2 x 1
x 3 x 1 x 3 2
2x 1x 3 2x 3 x 4 x 42
x 1 x 2 x 3 2
2 x 1 x
3 x 32 2x 3 x
4 x 4
2
x 32
x x
2
x
2
x x
2
2x x x
2 x 2 x
2
1
3
3
4
1
3
3 1
1
x 12 x 1 x 2
x 3
2
x 3 x 4
2
x 1
x 3 2 ，
于是可令
y 2 x 1 x 2 x
3 ，
y 3
x 3 x 4 y 4
x 1 x 3
则原二次型的标准形为
f
y 12 y 22 y 22 y 42 ，
且非退化线性替换为
x 1 y 1
x 2 y 2 y 4
，
x 3 y 1 y 4
x 4
y 1 y 3 y 4
相应的替换矩阵为
1 0 0 0 0 1 0 1 T
0 0 ，
1 1 1
0 1
1
且有
1 0 0 0 0 1 0 0 T AT
0 1 。
0 0
0 0 0
1
（Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换。
解 1）已求得二次型
f x 1 , x 2 , x 3
4x 1x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 3
的标准形为
f
y 12 4 y 22 3y 32 ，
且非退化线性替换为
x 1
1
y 1 y 2 1
y 3
2 2 x 2
1 y
2 1 y 1 y
3 ，
2 2 x 3
y 3
（ 1） 在实数域上，若作非退化线性替换
1 3 y 2
1
z 2 ，
2 y 3
z 1
可得二次型的规范形为
f
z 12 z 22 z 32 。
（ 2） 在复数域上，若作非退化线性替换
y 1 iz 1
y 2 1
z 2 ，
2
y 3 z 1
可得二次型的规范形为
f
z 12 z 22 z 32 。
2）已求得二次型
f x 1 , x 2 , x 3
x 12 2x 1 x 2 2 x 22 4x 2 x 3 4x 32
的标准形为
f
y 12
y 22 ，
且非退化线性替换为
x 1 y 1 y 2 2y 3 x 2 y 2 2 y 3 ，
x 3
y 3
故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形
f
y 12
y 22 。
3）已求得二次型
f x 1 , x 2 , x 3
x 12 3x 22 2x 1 x 2 2x 1 x 3 6x 2 x 3
的标准形为
f
y 12
y 22 ，
且非退化线性替换为
x 1
y 1
1
y 2 3
y 3
2 2 x 2 1 y 2 1 y
3 ，
2 2
x 3
y 3
（ 1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即
f y12y22。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1z1
y2iz 2。
y3z3
可得二次型的规范形为
f z12z22。
（ 3）已求得二次型
f x1, x2 , x3 , x48x1x22x3 x42x2 x38x2 x4
的标准形为
f 2 y12 2y22 2 y32 8 y42，
且非退化线性替换为
x1 1
y1
5
y2
3
y3 y4 2 4 4
x2 y2 y3
，x3 y2 y3
x4 1
y1 y4 2
（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1 1 z4 2
y2 1 z2
2 ，
1
y3 z3
2
y4 1 z1
2 2
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32 z22。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
i
y1z1
1
y2z2
2
，
i
y3z3
1
y4z4
2 2
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32 z22。
（ 5）已求得二次型
f x1 , x2 , x3 , x4x1 x2x1x3 x1 x4x2 x3x2 x4x3 x4
的标准形为
f y12 y22 y323
y42，4
且非退化线性替换为
x1 y1 y2 y3 1 y4 2
x2 y1 y2 y3 1
y4
，
1 y4 2
x3 y3
2
x4 y4
（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1z2
y2z1
y3z3，
2
y4z4
3
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32 z42。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1iz1
y2z2
y3iz3，
2
y4iz4
3
可得二次型的规范形为
f z2 z 2 z 2 z2 。
1 2 3 4
6）已求得二次型
f x1 , x2 , x3 , x4 x12 2x22 x42 4 x1 x2 4x1 x3 2x1x4
2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4
的标准形为
f y12 2 y22 1
y32，2
且非退化线性替换为
x1 y1 2y2 y3 y4
x2 y2 3
y3 y4
。2
x3 y3 y4
x4 y4
（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换
y1 z2
y2 1 z3
2 ，
y3 2z1
y4 z4
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1 iz1
y2 i z2
2 ，
y3 2z3
y4 z4
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32。
7）已求得二次型
f x1 , x2 , x3 , x4 x12 2x22 x42 4x1 x2 4x1 x3 2x1 x4
2x2 x3 2x2 x4 2x3 x4
的标准形为
f y12 y22 y22 y42，
且非退化线性替换为
x1 y1
x2 y2 y4
。
x3 y1 y4
x4 y1 y3 y4
（ 1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即
f y12 y22 y22 y42。
（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换
y1z1
y2z2
y3z3
，
y4iz4
可得二次型的规范形为
f z12 z22 z32 z42。
2．证明：秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于 1 的对称矩阵之和。
证由题设知 A A 且rank (A) r ，于是存在可逆矩阵 C 使
C AC
D ，
且 D 为对角阵，又因为 C , C 1 , C 1 C 1
均为可逆矩阵，所以有
C AC D1
D 2 D r ，
其中
d1
d 2 0 0
D1 0 , , D r d r
, D 2
0 于是
A C 1 D1 D 2 D r C 1
C 1 D1C 1 C 1 D2C 1 C 1
D r C 1。
因
rank C 1 D i C 1 1i 1,2, , r ，
且
C 1
D i C1C1D i C1 C 1D i C1。
即 C 1 D i C 1都是对称矩阵，故A可表成r个秩为 1 的对称矩阵之和。
3．证明：
1 i1
2
与i2
n i n
合同，其中 i1i 2 i n是 1,2, , n 的一个排列。
证题中两个矩阵分别设为A, B ，与它们相应的二次型分别为
f A 1 x12 2 x22 n x n2，
f B i1 y12 i2 y22 i n y n2，
作非退化的线性替换
y t x
i t t 1,2, ,n ，
则
f B可化成 f A。故A与B合同。
4．设A是一个n阶矩阵，证明：
1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n 维向量X，有X AX 0 。
2）如果A是对称矩阵，且对任一个n 维向量X有X AX 0 ，那么 A 0 。
证1）必要性。因为 A A ，即a ii 0, a ij a ji i j ，所以
X AX
a
ij
x
i
x
j
a
ij
a
ji x i x j i , j i j
由于 a ij a ji 0 ，故
X AX a ij a ji x i x j 0 。
i j
充分性。因为X R n，有 X AX 0 ，即
a11x12 a
12
a
21
x
1
x
2
x
1n
a
n1
x
1
x
n a22 x22
a2 n a n 2 x2 x n a nn x n20 ，这说明原式是一个多元零多项式，故有
a
11a
22
a
nn 0,
a
ij
a
ji i j ，
即 AA 。
2）由于A是对称的，且X AX 0 ，即
a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 x n a22 x22
a x x
n a
nn
x 2
，
2 2 n 2 n 这说明 X AX 为一个多元零多项式，故有
a11 a22 a nn 0 ，
2a ij 0 a
ij
a
ji 0 ，
即 A 0 。
5．如果把实n阶对称矩阵按合同分类，即两个实n 阶对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类
解实对称矩阵 A 与 B 合同的充要条件为存在可逆矩阵T 与 C 使
d1
d2
T BT C AC d r D 。
下面考虑对角矩阵 D 的相应二次型的合同分类情况，在d i i 1,2, , r 中可分为
r 个正，0 个负
r 1 个正， 1 个负
2 个正， r 2 个负
1 个正， r 1 个负
0 个正，r 个负
共计 r 1个合同类。但秩r 又可分别取 n, n 1, ,2,1,0 ，故共有
1 2 3 n n 1 n 1 n 2
2
个合同类。
6．证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条
件是：它的秩等于 2 且符号差等于0，或者秩等于1。
证必要性。设
f x1, x2 , , x n a1 x1a2 x2a n x n b1 x1b2 x2b n x n，其中 a i ,b i i 1,2, , n 均为实数。
1）若上式右边的两个一次式系数成比例，即
b i ka i i 1,2, , n
不失一般性，可设a1 0 ，则可作非退化线性替换
y1 a1 x1 a2 x2 a n x n
y i x i i 2, , n
使二次型化为
f x1 , x2 , , x n ky12，
故二次型 f x1 , x2 , , x n的秩为1。
2）若两个一次式系数不成比例，不妨设a1 a
2，则可作非退化线性替换
b1 b2
y1 a1 x1
y2 b1 x1
y i x i 使a2 x2 a n x n b2 x2 b n x n，i 3, , n
f x1 , x2 , , x n y1 y2。
再令
y1 z1 z2
y2 z1 z2 ，
y i z i i 3, , n
则二次型可化为
f x1 , x2 , , x n y1 y2z12z22，
故二次型 f x1 , x2 , , x n的秩为2，且符号差为0。
充分性。 1）若f x1, x2 , , x n的秩为1，则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为
f x1 , x2 , , x n ky12，
其中 y1为 x1 , x2 , , x n的一次齐次式，即
y1 a1 x1 a2 x2 a n x n，
且
f x1 , x2 , , x n k a1 x1 a2 x2 a n x n 2
ka1 x1 ka2 x2 ka n x n a1 x1 a2 x2 a n x n。
2）若f x1, x2, , x n 的秩为 2，且符号差为0，则可经非退化线性替换Z CY 使二次型化为
f x1 , x2 , , x n y12 y22 y1 y2 y1 y2
a1 x1 a2 x2 a n x n b1 x1 b2 x2 b n x n
，
故 f x1 , x2 , , x n 可表成两个一次齐次式的乘积。
7．判断下列二次型是否正定：
1）99 x12 12 x1 x2 48x1x3 130 x22 60 x2 x3 71x32；
2）10 x12
n
2 3）x i
n
2 4）x i 8x x 24 x x 2x 2 28x
2
x
3
x 2 ；
1 2 1 3 2 3
x i x j；
1 i j n
n 1
x i x i 1。
i 1
解1）二次型的矩阵为
99 6 24
A6 130 30 ，
24 30 71
因为
1 99 0,
99 6
0, 3 A 0 ，2
6 130
故原二次型为正定二次型。
2）二次型的矩阵为
10 4 12
A4 2 14 ，
12 14 1
因为 A 0 ，所以原二次型非正定。
3） 记二次型的矩阵为 A
a ij
n
n ，其中
1,
i j
a
ij
1 , i
j ，
2
即
1 1 1
1
2 2
2
1
1 1
1
2 2
2
1
A 1 1
1 ，
2 2
2
1 1 1
1
2
2 2
由于 A 的任意 k 阶顺序主子式所对应的矩阵
A k 与 A 为同类型的对称矩阵，且
k
A k
1 k 1 0
k
1,2, , n ，
2
故原二次型为正定二次型。
4） 记二次型的矩阵为 A
a
ij
n
n ，则 A 的 k 级顺序主子式为
1 1
2
2 1
1
1
k
1
2
2
1
A k
1
2
1
2 1
2
1
1 2
1
2
2 1 0
0 3 1
2
1 k
4
k
0 0
0 1 0 ，
2
3
k 1
2
0 0 0
k 1
k
故原二次型为正定二次型。
8．t取什么值时，下列二次型是正定的：
1）x 2 x 2 5x 2 2tx
1 x 2x x
3
4x
2
x
3
1 2 3 2 1
2）x12 4x22 x32 2tx1 x2 10 x1 x3 6x2 x3 解1）二次型的矩阵为
1 t 1
A t 1 2 ，
1 2 5
因为 A 的各阶顺序主子式为
110 ，
当原二次型为正定时，有
解上面不等式组，可得
2）二次型的矩阵为
1 t
2
t
，
1
1 t 1
3 A t 1 2 0 ，
1 2 5
1 t
2 0
，
5t 2 4t 0
4
0 。
t
5
1 t 5
At 4 3 ，
5 3 1
当 A 的所有顺序主子式都大于零时，即
1 1 0，
1 t
4 t 2 0 ，
2 t 4
1 t 5
3 A t
4 3 t
2 30t 105 0 ，
5 3 1
由原二次型为正定得
4 t 2 0
，
t 2
30t 105
但此不等式组无解，即不存在
t 值使原二次型为正定。
9．证明：如果 A 是正定矩阵，那么 A 的主子式全大于零。所谓主子式，就是行指标与
列指标相同的子式。
设正定矩阵 A
a
n n
证
n n ，作正定二次型
a ij x i x j ，并令
ij
i 1 j 1
x j
j
k 1 , k 2 , , k i , k 1
k 2
k i ，
则可得新二次型
k i k i
a ij x i x j ，
i k 1 j k 1
由正定二次型的定义知该二次型是正定的，故
A 的一切 i 级主子式 A i
0 i
1,2, , n 。
10．设 A 是实对称矩阵，证明：当实数 t 充分大之后， tE
A 是正定矩阵。
证
t
a
11
a
12
a
1n
tE A
a 21
t a 22
a
2n
，
a
n1
a
n2
t
a
nn
它的 k 级顺序主子式为
t
a 11
a
12
a 1k
k
t
a 21
t
a 22 a
2 k
a
k1
a
k 2
t
a
kk
当 t 充分大时， k t 为严格主对角占优矩阵的行列式，且
t
a
ii
a
ij
i
1,2, , n ，
j i
故 k t 0 k
1,2, , n ，从而 tE A 是正定的。
11．证明：如果 A 是正定矩阵，那么 A 1 也是正定矩阵。
证 因 A 是正定矩阵，故 X AX 为正定二次型，作非退化线性替换
X
A 1Y ，又 A 1
也是对称矩阵，故
Y A 1Y Y A 1 AA 1Y X AX 0 ，
从而 Y A 1 Y 为正定二次型，即证
A 1 为正定矩阵。
12．设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A 0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈，X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V的一组基，并求它的对偶基。 证：设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A 由已知，得 A＝ 110 011 111????????-?? 因为A≠0，所以α1，α2，α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1- ＝（f1,f2,f3） 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：?α∈V，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s＝1时，f1≠0,所以?α∈V，使fi(α)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即?α∈V，使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立，若f 1 k+ (α)＝0，则由f 1 k+ ≠0知，一定?β∈V 使f 1 k+ (β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+，则γ∈V，且
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的，即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有 b K ， ab K ，且当b 0时，a/b K ，则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 K ，且 a 0。于是 进而 最后， m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集，记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集，记做A B 。 的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 B, f (a). 如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像，记做 f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号： 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ） 故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==