一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算,
这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为
定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、
四则运算
是封闭的，即对K 内任
两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有
b K ， ab
K ，且当b 0时，a/b K ，则称
K 为一个数域。
1.1典型的数域举例：
复数域C ；实数域R ;有理数域
Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?.
1
命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素
K ，且 a 0。于是
进而
最后，
m, n Z
巴K 。这就证明了
n
K 。证毕。
1.1.3
集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为
A 与
B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩
定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则
f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定
若a a'代都有f (a)
第一章代数学的经典课题
§ 1若干准备知识
1.1.1代数系统的概念
个代数系统。
1.1.2数域的定义
定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为
A 与
B 的交集，记作A B ;把A
下的元素组成的集合成为
A 与
B 的差集，记做A B 。
的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为
B, f (a).
如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的
子集称为A 在f 下的像，记做
f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。
f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。
1.1.4 求和号与求积号
1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号：
第一学期第一次课
如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
当然也可以写成
2. 求和号的性质 . 容易证明，
a 1a 2
a n
n
a i .
i1
a 1 a 2
a n
a i
1i n
a 1a 2..
.a n
a i
1i n
n
n
a i
a i
i1
i1
n
n
n
(a i b i )
a i
b i
i1
i 1
i 1
nm
m n
a i j
a j
i 1 j 1
j1i
1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a 11 a 12 ........ a 1m a 21
a 22 ........ a 2m
a
n1 a
n2
.............................. a
nm
分别先按行和列求和，再求总和即可。 第一学期第二次课
§2 一元高次代数方程的基础知识
1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题
1. 高等代数基本定理
设 K 为 数 域 。 以 K[x] 表 示 系 数 在 K 上 的 以 x 为 变 元 的 一 元 多 项 式 的 全 体 。 如
f(x) a °x n a i X n 1
……a n K[x],(a 。0)，则称 n 为 f (x)的次数，记为 deg f (x)。
定理(高等代数基本定理) C [x]的任一元素在 C 中必有零点。
命题 设f(x) a 0x n
a 1x
n 1
…… a n ,(a 0 0， n 1)是C 上一个n 次多项式，a 是一个复数。则存在
上首项系数为a 。的n 1次多项式q(x)，使得
f (x) q(x)(x a) f(a)
证明 对 n 作数学归纳法。
a n a i
i1
推论x°为f(x)的零点，当且仅当(x x°)为f(x)的因式(其中deg f(x) 1)。
则 f(x) g(x)。
命题(高等代数基本定理的等价命题) 设f(x) a 0x n a 1x n 1
............ a n (a 0 0, 项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n 个复数a i ,a 2,……,a n ，使 f (x) a o (x
1
)(x
2)……
(x
n
)
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3,对n 作数学归纳法。 2 ?高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设K 是一个数域，x 是一个未知量，则等式 a °x n a 1x n 1 a n 1x a n 0
(其中a 0,a 1,……，
a n K, a 0 0 )称为数域K 上的一个n 次代数方程；如果以x 成等式，则称 为方程(1 )在K 中的一个根。 定理(高等代数基本定理的另一种表述形式) 数域K 上的n( 1)次代数方程在复数域 命题n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有n 个根(可以重复)。 命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定 C 上两个n 次、m 次多项式 f (x) a 。 a ^ ……a n X n
(a n 0), g(x) b ° dx ……b m x m
(b m 0), 如果存在整整数I ,丨
m, l n ,及I 1个不同的复数 1, 2,……,,,,1，使得 n 1)为C 上的n 次多
(1)
K 带入(1)式后使它变
C 内必有一个根。
f( i ) g( i )
(i 1,2,……,l
1),
1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设 f (x) a °x n a 1x n 1
L a .，其中 a i K, a ° 设 f (x) 0的复根为
n (可能有重复)，则
所以 我们记 1
-f(x) a °
n (x i )
i 1
n
x
(x
1
)(x
n n
)x 2
)L (x n )
L 1 2L
a a °
(1)1(
a
2
a 。
n )
；
(1)2
0 i 1 i
2
i
1
n
i 2
；
a n a °
(1)n 1
2 n
.
0(
1 , 2
, ,
n
) 1
；
1(
1,
2 ,
,
n )
1 2
n ；
1)n
n
).
命题 给定R 上n 次方程
n
a °x
n
a 〔x
a 0 0
，
如果
a b i 是方程的一个根，则共轭复数
b i 也是方程的
根。
证明
由已
知,
n
a o
a i
a n 1 a n
0.
—n
a o
—n a
1
a n 1 a n
0.
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根, 故其中必有一根为实数。
n (
1 ,
2 ,
,n )
1 2 n
（1, 2丄，n 称为1, 2丄
,n 的初等对称多项式）。 于是有
定理2.5 （韦达定理）
设 f(x) a °x n
n 1
a 〔x
L a n ，其中a i K,a 0 0。设f （x ） 0的复根为
1
, 2丄，
n 。则
a 1 (1)1
1 ( 1 ,
2
,,n )
；
a 。
a 2 “ 八2
2 ( 1 ,
2
,,n )
；
(1)
a 。
a n
a o
两边取复共轭，又由于 a °,a 1,……,a n R ，所以
推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
第一学期第三次课
§ 3线性方程组
1.3.1数域K 上的线性方程组的初等变换
举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法。 定义（线性方程组的初等变换） 数域K 上的线性方程组的如下三种变换
（1） 互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘数域 K 内一个非零元素c ； （3） 把某一个方程加上另一个方程的 k 倍，这里k K
的每一种都称为线性方程组的初等变换。
容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解
r (
1 ,
2
,
n
)
0 i i i 2
i 1 i
2 i r
n
i
r