第一章集合与常用逻辑用语
1.集合
(1)集合的含义与表示
①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
2．常用逻辑用语
(1)理解命题的概念．
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
(5)理解全称量词和存在量词的意义．
(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.
§1.1集合及其运算
1．集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．
(2)集合中元素的三个特性：________，________，________.
(3)集合常用的表示方法：________和________．
3.元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a ________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．
?
?
)
结论：集合{a1，a2，…，a n}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．
5.集合运算中常用的结论
(1)①A∩B________A；②A∩B________B；
③A∩A＝________；④A∩?＝________；
⑤A∩B________B∩A.
(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；
③A∪A＝________；④A∪?＝________；
⑤A∪B________B∪A.
(3)①?U(?U A)＝________；②?U U＝________；
③?U?＝________；
④A∩(?U A)＝____________；
⑤A∪(?U A)＝____________.
(4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B；
②A∩B＝A∪B?____________.
(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：
card(A∪B)＝____________________________；
card[?U(A∪B)]＝________________________.
自查自纠
1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性
(3)列举法描述法
2．N N*(N＋)Z Q R C
3．(1)属于a∈A不属于a?A
(2)A?B且B?A A?B B?A A B B A
非空集合2n2n－12n－2
4．A∪B A∩B?U A{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}
5．(1)①?②?③A④?⑤＝
(2)①?②?③A④A⑤＝
(3)①A②?③U④?⑤U
(4)①A?B②A＝B
(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)
card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)
(2015·安徽)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(?U B)＝() A．{1，2，5，6} B．{1}
C．{2} D．{1，2，3，4}
解：∵?U B＝{1，5，6}，∴A∩(?U B)＝{1}．故选B.
(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x ≤0}，则M∪N＝()
A．[0，1] B．(0，1]
C．[0，1) D．(－∞，1]
解：∵M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝[0，1]．故选A.
(2015·全国Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝() A．{－1，0} B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{0，1，2}
解：由已知得B＝{x|－2＜x＜1}，∴A∩B＝{－1，0}．故选A.
已知集合A＝{1，2，3}，B＝{(x，y)|x∈A，y ∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．解：根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，有3个元素．故填3.
设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．
解：A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，
设函数f(x)＝x2－2ax－1，则其对称轴x＝a＞0，由对称性知，若A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，∴f(2)≤0且f(3)>0，即
??
?
??4－4a－1≤0，
9－6a－1＞0，
得
3
4≤a＜
4
3.故填?
?
?
?
3
4，
4
3.
类型一集合的概念
(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()
A．4 B．2 C．0 D．0或4
解：由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解；
当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.故选A.
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－
3
2，当m＝1时，m＋2＝3，2m
2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－
3
2时，m＋2＝
1
2，2m
2＋m＝
3，综上知，m＝－
3
2.故填－
3
2.
【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
(1)(2015·苏州一模)集合?
?
?
?
?
?
x∈N*|12x∈Z中含有的元素个数为()
A．4 B．6 C．8 D．12
解：令x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，代入验证，得x＝1，2，3，4，6，12时，
12
x∈Z，即集合中有6个元素．故选B.
(2)已知a∈R，b∈R，若
?
?
?
?
?
?
a，
b
a，1＝{a
2，a＋b，0}，则a2 017＋b2 017＝________.
解：由已知得b
a ＝0及a ≠0，∴
b ＝0，于是a 2＝1，
即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝－1，∴a 2 017＋b 2 017＝－1.故填－1.
类型二 集合间的关系
已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}． (1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ?A ，求实数m 的取值范围；
(2)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围；
(3)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ?B ，求实数m 的取值范围．
解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，
(1)若B ?A ，则
①当B ＝?，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ?A ；
②当B ≠?，有????
?m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5， 解得2≤m ≤3.
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A ＝B ，则必有?????m －6＝－2，
2m －1＝5， 解得m ∈?，
即不存在实数m 使得A ＝B .
(3)若A ?B ，则????
?2m －1＞m －6，
m －6≤－2，
2m －1≥5，
解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3，4]． 【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ?A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．
集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋
1≤x ≤2m －1}．
(1)若B ?A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝?，求实数m 的取值范围．
解：(1)①当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝?，满
足B ?A .
②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ?A 成
立，则?
????m ＋1≥－2，2m －1≤5， 可得2≤m ≤3.
综上，m 的取值范围是(－∞，3]．
(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
∴A 的非空真子集个数为28－2＝254. (3)∵x ∈R ，且A ∩B ＝?，
∴当B ＝?时，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，满足条件；
当B ≠?时， 有?????m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或?????m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2， 解得m ＞4.
综上，m 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．
类型三 集合的运算
(1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，
B ＝{x |2x ≤3
2}，则A ∪B ＝( )
A ．?
B.????0，13
C.????
13，1
D ．(－∞，1]
解：由题意知，A ＝(0，1]，B ＝????－∞，1
3， ∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D .
(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且?U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(?U B )＝________.
解：∵U ＝{1，2，3，4}，?U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1，2，3}．又∵B ＝{1，2}，∴{3}?A ?{1，2，3}．又?U B ＝{3，4}，∴A ∩(?U B )＝{3}．故填{3}．
(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.
解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5 数轴，可得m ＝－1，n ＝1. 故填－1，1. 【点拨】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．(2)在解决有关A ∩B ＝?的问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑A (或B )＝?是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用． (1)已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝{x| 12 <2x <4}，则(?R A )∩B 等于( ) A ．{x |－1 B ．{x |－1 C ．{x |x <1} D ．{x |－2 解：∵A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，∴?R A ＝ {x |x <0}．又B ＝?????? x|12<2x <4＝{x |－1 ＝{x |－1 (2)(2015·唐山模拟)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1，3} C ．{0，2，3} D ．{1，2，3} 解：∵M ∩N ＝{1}，∴log 3a ＝1，即a ＝3，∴b ＝1.∴M ＝{2，1}，N ＝{3，1}，M ∪N ＝{1，2，3}．故选D . (3)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1 A ．{a |0≤a ≤6} B ．{a |a ≤2或a ≥4} C ．{a |a ≤0或a ≥6} D ．{a |2≤a ≤4} 解：|x －a |<1?－1 类型四 Venn 图及其应用 设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ?P }，则M －(M －P ) 等于( ) A ．P B ．M ∩P C ．M ∪P D ．M 解：作出Venn 图．当M ∩P ≠?时，由图知，M －P 为图中的阴影部分，则M －(M －P )显然是M ∩P .当M ∩P ＝?时，M －(M －P )＝M －M ＝{x |x ∈M ，且x ?M }＝?＝M ∩P .故选B . 【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M －P ”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn 图将问题简单化． 已知集合A ＝{－1，0，4}，集合B ＝{x |x 2 －2x －3≤0，x ∈N }，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是________． 解：B ＝{x |x 2 －2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3， x ∈N }＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，该集合为{－1，4}．故填{－1，4}． 类型五 和集合有关的创新试题 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的 所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论： ①2 017∈[2]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪ [3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：∵2 017＝403×5＋2，∴2 017∈[2]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，∴－3∈[2]，－3?[3]，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并 集就是整数集，即Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”，则a ＝5n ＋k ，b ＝5m ＋k ，a －b ＝5(n －m )＋0∈[0]，反之，若a －b ∈[0]，则a ，b 被5除有相同的余数，故a ，b 属于 同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C. 【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础． 设S为复数集C的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，下列命题： ①集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 解：①对，当a，b为整数时，对任意x，y∈S，x＋y，x－y，xy的实部与虚部均为整数；②对，当x ＝y时，0∈S；③错，当S＝{0}时，是封闭集，但不是无限集；④错，设S＝{0}?T，T＝{0，1}，显然T 不是封闭集．因此，真命题为①②.故填①②. 1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的． 2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错． 3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集． 5．五个关系式A?B，A∩B＝A，A∪B＝B，?U B ??U A以及A∩(?U B)＝?是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则 对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围． 这个问题的反面即是三个集合全为空集， 即 ?? ? ?? 1－4a＜0， 1－4（2a－1）≤0， a＞4a－9， 解得 5 8≤a＜3， 从而所求a的取值范围为 ? ? ? ? ? ? a|a＜58或a≥3. 1．(2015·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n ∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为() A．5 B．4 C．3 D．2 解：A∩B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}∩{6，8，10，12，14}＝{8，14}．故选D. 2．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M ∩N＝() A．{0} B．{0，1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 解：∵N＝{x|0≤x≤1}，M＝{－1，0，1}， ∴M∩N＝{0，1}．故选B. 3．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0 A.() 0，1 B.(] 0，2 C.()1，2 D.(]1，2 解：易知A ＝{}x |1 4．(2013·山东)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 解：由题意知，x －y ＝0，－1，－2，1，2.故B 中元素个数为5，故选C . 5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1 ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2 －6}＝{x ∈N |7x －x 2 －6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C . 6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合； ③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：①(－4)＋(－2)＝－6?A ，不正确； ②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，正确； ③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B . 7．(2014·重庆)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(?U A )∩B ＝________. 解：∵U ＝{1，2，3，…，9，10}，A ＝{1，2，3，5，8}，∴?U A ＝{4，6，7，9，10}．∴(?U A )∩B ＝{7，9}．故填{7，9}． 8．已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1?A ，且x ＋1?A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个． 解：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有 “孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}这样的集合，共有6个．故填6. 9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n － 1，x i ∈M ，i ＝1，2，…， n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A . 解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1 ＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． 10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(?R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)A ＝??? ? ??x | 1 2≤x ≤3， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}， A ∩ B ＝?????? x |12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}． (2)?R A ＝???? ??x | x ＜12或x ＞3， 当(?R A )∩B ＝B 时，B ??R A ，即A ∩B ＝?. ①当B ＝?，即a ≥0时，满足B ??R A ； ②当B ≠?，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }， 要使B ??R A ，只须－a ≤12，解得－1 4 ≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是? ?????a | a ≥－1 4. 11．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2 ＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ?A ，求实数a 的取值范围． 解：易知A ＝{0，－4}，若B ?A ，则可分以下三种情况： ①当B ＝?时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1； ②当?≠B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程 x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系， 得???? ?Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2 －1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0， 解得a ＝1. 综上所述，a 的取值范围为{}a |a ≤－1或a ＝1 . (2015·杭州模拟)已知集合A ＝{x |x 2 － 3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)<0}，B ＝?????? ????x | x －2a x －（a 2 ＋1）＜0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ； (2)求使B ?A 时实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |x 2 －9x ＋14<0}＝(2，7)， B ＝?????? ????x | x －4x －5＜0＝(4，5)，∴A ∩B ＝(4，5)． (2)当a ≠1时，B ＝(2a ，a 2＋1)；当a ＝1时，B ＝?. 又A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}， ①当3a ＋1<2，即a <1 3时，A ＝(3a ＋1，2)，要使 B ?A 成立，只须满足? ????2a ≥3a ＋1， a 2＋1≤2， 解得a ＝－1； ②当a ＝1 3 时，A ＝?，B ＝????23，109，B ?A 不成立； ③当3a ＋1>2，即a >1 3 时， A ＝(2，3a ＋1)，要使 B ?A 成立， 只须满足?????2a ≥2， a 2 ＋1≤3a ＋1，或a ＝1，a ≠1， 解得 1≤a ≤3. 综上可知，使B ?A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}． §1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________． (5)一般地，设“若p ，则q ”为原命题，那么____________就叫做原命题的逆命题；_____________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题． 2．四种命题间的相互关系 (1)四种命题间的相互关系图(请你补全 ) (2)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________． 3．充分条件和必要条件 (1)如果p ?q ，则称p 是q 的________，q 是p 的_________． (2)如果__________，且__________，那么称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的______________，记作__________． (3)如果p ?q ，但 q p ，那么称p 是q 的 ______________条件． (4)如果________，但________，那么称p 是q 的必要不充分条件． (5)如果________，且________，那么称p 是q 的既不充分也不必要条件． 自查自纠 1．(1)判断真假 判断为真 判断为假 (2)互逆命题 (3)互否命题 (4)互为逆否命题 (5)若q ，则p 若綈p ，则綈q 若綈q ，则綈p 2．(1) (2)①相同 ②没有关系 3．(1)充分条件 必要条件 (2)p ?q q ?p 充要条件 p ?q (3)充分不必要 (4)p q q ?p (5)p q q p 下列语句为命题的是( ) A ．对角线相等的四边形 B ．a ＜5 C ．x 2－x ＋1＝0 D ．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 解：只有选项D 是可以判断真假的陈述句，故选D . (2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝ 0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：若sin α＝cos α，则cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0，充分性成立；反之，若cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0，则sin α＝±cos α，必要性不成立．因此，“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．故选A . (2015·天津)设x ∈R ，则“||x －2<1”是“x 2 ＋x －2>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：∵|x －2|＜1?－1＜x －2＜1?1＜x ＜3，x 2＋x －2＞0?x ＜－2或x ＞1，∴“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分不必要条件．故选A . 命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是 ______________． 解：根据互为逆否命题的概念得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故填若x ≤y ，则x 2≤y 2. “m <14”是“一元二次方程x 2＋ x ＋m ＝0有实 数解”的________条件． 解：∵x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－ 4m ≥0，得m ≤14，∴“m <1 4”是“一元二次方程x 2＋ x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．故填充分不必要． 类型一 四种命题及其相互关系 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否 命题，并分别判断四种命题的真假： (1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ； (3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3. 解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数． 逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0. 否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数． 逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB ＞AC . 否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC . 这里，四种命题都是真命题． (3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0. 否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3. 逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题． 【点拨】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”． 写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数． 解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零． 否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零． (2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零． 否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． (3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等． 否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等． (4)否定形式：有理数不都能写成分数． 否命题：非有理数不都能写成分数． 类型二 充要条件的判定 “sin α＝12”是“cos2α＝1 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解法一：(定义法) 若sin α＝12 ，则cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×????122＝12，充分性成立；反之，若cos2α＝12，则有1－2sin 2 α＝12，得sin 2α＝14，sin α＝±12 ，必要性不成立． 因此，“sin α＝12”是“cos2α＝1 2”的充分不必要 条件． 解法二：(集合法) 令A ＝{α|p (α)}，B ＝{α|q (α)}， 则可得A ＝??? ? ??α|sin α＝12， B ＝??????α|cos2α＝12＝???? ??α|1－2sin 2 α＝12 ＝? ?? ???α|sin α＝±12. 显然，A B ，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A . 【点拨】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ?q ，q ?p 进行判断； (2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件． (1)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2 ＋y 2 ≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：设A ＝??????????（x ，y ）|?????x ≥2，y ≥2， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≥4}，通过画草图可知A B ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件，故选A . 注：此题也可采用定义法来判断． (2)(2013·山东)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴綈q 是p 的必要而不充分条件，从而得出p 是綈q 的充分而不必要条件，故选A . 类型三 充要条件的证明与探求 数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的什么条件？ 解：当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝2An ＋B －A ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝A ＋B ，适合a n ＝2An ＋B －A . 所以a n ＝2An ＋B －A ，显然{a n }是等差数列，故充分性成立． 反之，若{a n }是等差数列，则有S n ＝na 1＋ n （n －1）2d (d 为公差)，即S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2 ，即得S n ＝An 2＋Bn ， 因此，必要性成立． 所以S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的充要条件． 【点拨】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p ”(或“q ”)分别作为条件，推出“q ”(或“p ”)． 已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程 x 2－4x ＋4m ＝0， ① x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，② 求方程①②的根都是整数的充要条件． 解：方程①有实数根?Δ＝16－16m ≥0，即m ≤1， 方程②有实数根?Δ＝16m ＋20≥0，即m ≥－5 4 ， ∴方程①②都有实数根?－5 4≤m ≤1. ∵m ∈Z ，∴m ＝－1，0，1. 当m ＝－1时，方程①可化为x 2－4x －4＝0，无整数解； 当m ＝0时，方程②可化为x 2 －5＝0，无整数解； 当m ＝1时，方程①②都有整数解． 综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m ＝1. 类型四 充要条件的应用 (1)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2 －(2a ＋1)x ＋ a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A.????0，12 B.??? ?0，12 C ．(－∞，0]∪????12，＋∞ D ．(－∞，0)∪????1 2，＋∞ 解：由|4x －3|≤1得1 2≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋ a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1， ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，有?????a ≤12， a ＋1＞1， 或 ?????a ＜12，a ＋1≥1， 得0≤a ≤12 .故选A . (2)已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－3] 解：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，有a ≥1.故选A . 【点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的情形． (1)(2015·湖南高三质检)函数f (x )＝ ? ????log 2x ，x ＞0，－2x ＋a ，x ≤0 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．0 2 C.1 2