细说圆中的分类讨论题------之两解情况
钱漪由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，有许多问题需要分类讨论，分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况，这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下：
一、根据点与圆的位置分类
例1、点P是圆0所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为8
和2,则该圆的半径为_______________ 。
分析：根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点
在圆外两种情况。
解：过点P和圆心0作直线分别与圆0相交于A、B 两点。PA PB分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短
距离。
(1)当点P在圆内时；
(2)当点P在圆外时；
所以，圆0的直径为2或6。
二、三角形与圆心的位置关系
例2 :已知内接于圆0,
的度数为_________ 。
分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心0可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在的内部和外部两种情况。
解：(1)当点A和圆心0在BC的同侧时，如图3,
B-------------------- C
A
图3
（2）当点A和圆心0在BC的异侧时，如图4,
所以的度数是或
中，AB=AC圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为6cm, 练习：已知圆内接
求腰长AB （两种情况如图5、图6）
C
例3:在半径为1的O O中，弦AB AC的长分别为和，则/ BAC的度数是分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。
解：如图7,当圆心在/ BAC内部时，连接AO并延长交O O于E
在Rt△ ABE中，由勾股定理得：，所
以/ BAE= 30°
同理，在Rt△ CAE中，EC= AC,
所以/ EAC= 45°，
当圆心O在/ BAC的外部时（/ BAC'），由轴对称性
可知：
75° 或15
四、圆中两平行弦与圆心的位置关系所以/ BAC为
C
解：（1）当圆 是大圆时，则圆 的半径等于大圆半径 4cm 减去圆心距1cm,求
得圆
的半径为3cmo
（2）当圆 是小圆时，则圆
的半径等于小圆半径 4cm 加上圆心距1cm,求得圆
的半径为5cm
所以圆
的半径是3cm 或5cm 。
例6、两圆相切，半径分别为
4cm 和6cm,求两圆的圆心距 _________
分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。 解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径， 即
。
（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径， 即 。 所以两圆的圆心距是 2 cm 或10cm 。
例7、相交两圆半径分别为 5 cm 和4cm ，公共弦长6cm 则两圆的圆心距等于 _____________
例4.圆0的直径为10cm 弦AB//CD , AB=6cm ，求AB 和CD 的距
离。
分析：题中的弦AB CD 都比圆0中的直径小，所以 AB 和CD 可能在圆心的同侧，也 可能解：（1 ）当AB CD 在圆心的同侧时，如图 8，过点0 作 交
AB 于点 M 交CD 于N,连结 OB 0D 得
，
，然后由勾股定理求得： ，故AB 和CD 的距离为1cm 。
（2）当
在圆心的异侧时，如图
9，仍可求得
。故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
五、圆与圆的位置关系
例5、已知圆 和圆 相内切，圆心距为
，圆 半径为
，求圆 的半径。 分析：根据两圆相内切的特点： 圆心距等于大圆半径减去小圆半径。 但该题的条件中 没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆 看成大圆，也可把圆
看成小圆。
D
分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况
补充：
1弦所对弧的优劣情况不确定
已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm,求下水道中水的最大深
度。
20cm 或80cm
2、已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。
分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中
没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆看成大圆，也可把圆看成小圆。
解：（1）当圆是大圆时，则圆的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm,求得圆的半径为3cm=
（2）当圆是小圆时，则圆的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm,求得圆
的半径为5cm
所以圆的半径是3cm或5cm=
3、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8,这两个圆的圆心距等于________________
分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。
解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图6，设AB是公共弦，交AB于点C，则，由勾股定理解得，故。
O Q C
(2)当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图 7,可求得 故
A C
O
Q
B
或
..
4
B
中
在
中
在 A
10 q
图10
在公共弦AB 的同侧时,
(2)当圆心
(1)当圆心 如图9 在公共弦 AB 的异侧时，如图
故/ OPB 为 45° 或 135°。
分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。
解：如图9、图10, 所以这两圆的圆心距为 4、如图8，在平面直角坐标系中， P 是经过0( 0, 0), A (0, 2) , B( 2, 0)的圆上的一个动点 (P 与O B 不重合)， 则/ OAB= ________________ 度，/ OPB= __________ 度。 解：依题意可知△ AOB 是等腰直角三角形， 所以/ OAB= 45° 当动点P 在 上时，/ OPB= 180°— 45°= 135
5、已知半径为 4和 的两圆相交，公共弦长为 4，则两圆的圆心距为
当动点P 在 上时，/ OP =/ OAB= 45°
与圆有关的分类讨论题 一．选择题 1．如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分， 用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（） A．B．1 C．1或3 D． 2．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞ b），则此圆的半径为（） A． B．C．或D．a+b或a﹣b 3．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（） A．3 B．C．或D．3或 二．填空题 4．如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为______． 5．已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm． 6．⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程x2﹣（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为______． 7．已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为______． 8.若Rt△ABC的内一个内角为30°，它的外接圆○O的半径为2，OD⊥AC交AC于D，则OD=________ 9、已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为23cm，则弦的中点到这条弦所对弧的中点的距离为_______________cm。 10、已知：⊙O半径OA=1，弦AB、AC长分别为2、1则∠BAC=________________。 11、如图，直线AB、CD相交于点D，∠AOC=300，半径为1cm的⊙ P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的 速度沿由A向B的方向移动，那么____________秒钟后⊙P与直线CD 相切。 12、已知等腰⊿ABC内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为8，则BC边上的高为____________________。 13.已知△ABC内接与圆O，AB=AC=a，BC=b，AE切○O于点A，BC∥AE，在射线AE 上是否存在一点P，使得以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似？若 不存在，请说明理由；若存在，求出AP的长。
第8课时分类讨论题 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略． 分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要. 1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80° 2.(?乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（） A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm 3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.
类型之二 圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等． 4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __． 5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5 B ．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ． 6.（?威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均 为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？
细说圆中的分类讨论题------之两解情况 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况, 这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆的位置分类 例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。 分析：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。 解：过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。 （1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径 ； （2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径 ； 所以，圆O 的直径为2或6。 二、三角形与圆心的位置关系 例２：已知?ABC 内接于圆O ，∠=?O BC 35，则∠A 的度数为________。 分析：因点A 的位置不确定。所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。也可分析为圆心在?ABC 的内部和外部两种情况。 解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3， B P
图3 图4 （2）当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图4， ∠=?O BC 35∴∠=?BO C 110∴∠=?BPC 55∴∠=?BAC 125 所以∠A 的度数是55?或125?。 练习：已知圆内接?ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。（两种情况如图5、图6） A C 图5 图6 三、角与圆心的位置关系 例3:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。 分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中，由勾股定理得：B E A E ==112 , 所以∠BAE ＝30° 同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ， 所以∠EAC ＝45°，∠BAC =?+?=?304575 当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知： ∠BAC '=?-?=?453015 所以∠BAC 为75°或15° C' E C A
初中数学几何图形初步基础测试题及答案(1) 一、选择题 1．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（）cm． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【解析】 【分析】 在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C 即可． 【详解】 解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH， 过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则 AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， ∵AE＝A′E，A′P＝AP， ∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C， ∵CQ＝1 2 ×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm， 在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝22 129 ＝15cm， 故选：B． 【点睛】 本题考查了圆柱的最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图、勾股定理是解题的关键．
2．如图，Ｂ是线段ＡＤ的中点，Ｃ是线段ＢＤ上一点，则下列结论中错误 ．．的是（） A．BC=AB-CD B．BC=1 2 (AD-CD) C．BC= 1 2 AD-CD D．BC=AC-BD 【答案】B 【解析】 试题解析：∵B是线段AD的中点， ∴AB=BD=1 2 AD， A、BC=BD-CD=AB-CD，故本选项正确； B、BC=BD-CD=1 2 AD-CD，故本选项错误； C、BC=BD-CD=1 2 AD-CD，故本选项正确； D、BC=AC-AB=AC-BD，故本选项正确． 故选B． 3．如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则“扫”的对面是（） A．黑B．除C．恶D．☆ 【答案】B 【解析】 【分析】 正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 【详解】 解：将其折成正方体后，则“扫”的对面是除． 故选B． 【点睛】 本题考查了正方体的相对面的问题．能够根据正方体及其表面展开图的特点，找到相对的面是解题的关键．
几何中的分类讨论题 1、有一三角铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把他加工成一个矩形 铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍。问：加工成的铁片的面积为多少平方厘米？ 2、如图所示，现有一边长为12cm的正方形纸片，E为正方形的边AD上一点， AE=10cm，现欲从正方形纸片上剪下等腰三角形AEP（要求该等腰三角形的另一顶点P也在正方形的一边上） 3、正在修建的冬奥会的体育馆外有一块边长为6和8的直角三角形空地需要绿化,从三 角形的直角顶点出发作射线,将△ABC分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草,请你帮助画出图案,并计算出每块面积. 4、为了美化校园，决定把两种花栽种到一块等腰三角形的花圃中，要求一腰上的中线把两种花分开，并把三角形的周长分成9m和15m两部分，求花圃的面积。 5、王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计）请你计算这块等腰三角形菜地的面积。
6、在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cn，宽为16cm的长方形纸板上剪下一个 腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。 7、红光中学有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测到∠A=30°，AC=40米， BC=25米，请你求出这块花圃的面积。 8、美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长10米的等腰三角形绿 地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。9、已知四边形ABCD，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，AD=7，BD=10，∠BOC=120°，画出图形并求四边形面积。 10、一条东西走向的高速公路上有两个加油站A、B，在A的北偏东45度方向还有 一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B、C间的距离是60千米，想到经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P与加油站A的距离（结果可保留根号）。 11、等腰梯形的上底长为2，下底长为3，且梯形的四个顶点都在边长为4的正方形的边上，求这个梯形的面积。
中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题 的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题 例题1：（2011武汉） 解：去分母，得： 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 例题2：（2011郴州） 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题3：（2010上海）已知方程有实数根，求m的取值范围。 （1）当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x= （2）当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且综（1）（2）得， 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。 例题4：（2011益阳）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的 根都是整数。 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即，， 同理，且，又因为m为整数 （1）当m=—1时，第一个方程的根为不是整数，所以m=—1舍去。 （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1. 练习：已知关于ｘ的一元二次方程有实数根，则ｍ的取值范围是： 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5：（2011青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ不能确定 例题6：（2011武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为 15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请 问这条绳子的长度为：60cm或120cm A B C 4：动点问题的分类分类讨论问题 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论； 例题9：（2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。
圆的分类讨论例题及习题
圆中的分类讨论题------之两解情况 一、根据点与圆的位置分类 例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。 解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P 的最长距离和最短距离。 （1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径 （2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - : H . 所以，圆0的直径为2或6。 练习1:若。0所在平面内一点P 到。0上的点的最大距离为a ,最 小距离为b ，则此圆的半径为（ ） 2: P 在。0内，距圆心0的距离为4,。0半径长为5,经过P 点， 有多 少条？ 解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方 根的 2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共 有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。 3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0 有何位置关系？ 二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论 例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。 解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD 于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后 由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。 （2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和 CD 的距离为7cm 。 所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。 例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？ （ 2或8cm ） k _________ 止 ______________ ________ L A P . 定点 交于。O 的弦为整数的 B M D M A N
细说圆中得分类讨论题------之两解情况 钱漪 由于圆既就是轴对称图形,又就是中心对称图形,还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论就是一种同学们应该掌握并且相当重要得数学思想,对于锻炼同学 们得缜密思维与分析问题能力异常得重要,但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意,明白题干得要求,二要有顺序步骤得做。先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆得位置分类 例１、点P 就是圆O 所在平面上一定点,点P 到圆上得最大距离与最短距离分别为８与２,则该圆得半径为 。 分析:根据点与圆得位置关系,这个点P 与圆有两种位置关系。分为点在圆内与点在圆外两种情况。 解:过点P 与圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 得最长距离与最短距离。 (1)当点P 在圆内时; (2)当点P 在圆外时; 所以,圆O 得直径为2或6。 二、三角形与圆心得位置关系 例２:已知内接于圆O, ,则 得度数为________。 分析:因点A 得位置不确定。所以点A 与圆心O 可能在BC 得同侧,也可能在BC 得异侧。也可分析为圆心在得内部与外部两种情况。 解:(1)当点A 与圆心O 在BC 得同侧时,如图3, B P A
(2)当点A 与圆心O 在BC 得异侧时,如图4, 所以 得度数就是 或 。 练习:已知圆内接中,AB=AC,圆心O 到BC 得距离为3cm,圆得半径为6cm,求腰长AB 。(两种情况如图5、图6) A C 图5 图6 三、角与圆心得位置关系 例3:在半径为1得⊙O 中,弦AB 、AC 得长分别为 与 ,则∠BAC 得度数就是____。 分析:角与圆心得位置关系为圆心在角内部与外部两种情况。 解:如图7,当圆心在∠BAC 内部时,连接AO 并延长交⊙O 于E 在Rt △ABE 中,由勾股定理得:,所以 ∠BAE ＝30° 同理,在Rt △CAE 中,EC ＝AC, 所以∠EAC ＝45°, 当圆心O 在∠BAC 得外部时(∠BAC'),由轴对称性可知: 所以∠BAC 为 75°或15° 四、圆中两平行弦与圆心得位置关系 例4、 圆O 得直径为10cm,弦AB//CD,AB=6cm,,求AB 与CD 得距离。 分析:题中得弦AB 、CD 都比圆O 中得直径小,所以AB 与CD 可能在圆心得同侧,也可能在圆心得异侧。 C' E C A
圆中的分类讨论题------之两解情况 一、根据点与圆的位置分类 例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。 解：过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。 （1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径 ； （2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径； 所以，圆O 的直径为2或6。 练习1：若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b ，则此圆的半径为（ ） 2：P 在⊙O 内，距圆心O 的距离为4，⊙O 半径长为5，经过P 点，交于⊙O 的弦为整数的有多少条？ 解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是6cm （该弦垂直于OP ，等于5与4的平方和的平方根的2倍）；最长的是10cm （过O 、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有7、8、9cm ，所以共有8条(其中的7、8、9各有两条，以OP 为对称轴） 。 3：⊙O 的半径为2.5，动点P 到定点O 的距离为2，动点Q 到P 的点的距离为1，则点P 、Q 与⊙O 有何位置关系？ 二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论 例1、圆O 的直径为10cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD cm =8，求AB 和CD 的距离。 解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点O 作OM AB ⊥交AB 于点M ，交CD 于N ，连结OB 、OD ，得Rt OMB ?，Rt OND ?，然后由勾股定理求得：OM cm ON cm ==43，，故AB 和CD 的距离为1cm 。 （2）当AB CD 、在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM cm ON cm ==43，。故AB 和CD 的距离为7cm 。 所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。 例2、 已知弓形的弦长为8cm ，所在圆的半径为5cm ，则弓形的高为多少？（2或8cm ） 例3、 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD ，使AD=1， 并求∠CAD 的度数． 解：连接BC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴BC=1/2AB=1， ∠B=60° 以A 圆心BC 长为半径画弧可得点D ，再连接AD 即可； ∵AD=BC ， 所以弧BCE=弧ADC ∴∠DAB=∠B=60°， ∴∠DAC=60°-30°=30°； P O B A P O B A N M C D O B A N M C D O B A
圆中的分类讨论(多解问题) 一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性 方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况． 【例1】已知点A到⊙O的最近距离和最远距离分别是3 cm和9 cm，求⊙O的半径． 1．点A到圆的最近距离是a，最远距离是b，则该圆的直径是__________． 2.已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm． 3.已知?A B C内接于圆O，∠=? O B C3 5，则∠A的度数为_______ 4.已知△ABC中，AB=15，BC=14，△ABC的面积为84，⊙A的半径为13，则点C与⊙A的位置关系是 _____________________________________________. 二、由于圆的对称性引起的不唯一性 方法归纳：平行弦位于圆心O的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和． 【例2】已知，⊙O的直径是10 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，求AB与CD之间的距离． 5．如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，则AB和CD的距离为________． 6．在半径为5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB⊥CD，垂足为E，那么AE的长为________． 7．如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A，B分别为切点，C为⊙O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________． 8．在半径为1的⊙O中，弦AB＝2，AC＝3，那么∠BAC＝________． 6.已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为______． 三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性 方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补． 【例3】弦AB的长等于半径，则AB所对的圆周角等于多少度？ 9．⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝________． 四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性 方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的． 【例4】如图，P为正比例函数y＝3 2x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．求⊙P 与直线x＝2相切时点P的坐标． 10．(无锡期中)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB 为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s 的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问： (1)t为何值时，P，Q两点之间的距离为10 cm? (2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相离？相交？
圆中的动态问题 【方法点拨】 圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论 【典型例题】 题型一：圆中的折叠问题 例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作． （1）①折叠后的?AB 所在圆的圆心为O ′时，求O ′A 的长度； ②如图2，当折叠后的?AB 经过圆心为O 时，求?AOB 的长度； ③如图3，当弦AB =2时，求圆心O 到弦AB 的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作． ①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）①折叠后的?AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，∴O ′A =OA =2。 ②当?AB 经过圆O 时，折叠后的?AB 所在圆O ′在⊙O 上，如图2所示，连接O ′A ．OA ．O ′B ，OB ，OO ′。 ∵△OO ′A ，△OO ′B 为等边三角形， ∴∠AO ′B =∠AO ′O +∠BO ′O =60°+60°=120°。 ∴?AOB 的长度120241803 ππ ??== 。 ③如图3所示，连接OA ，OB ， ∵OA =OB =AB =2，
∴△AOB 为等边三角形。 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE =OA ?sin 60°=3。 （2）①如图4，当折叠后的?AB 与?CD 所在圆外切于点P 时， 过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交?AEB 于点E ，交CD 于点G 、交?CFD 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。 ∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH = 12PE ，PG =1 2 PF 。 又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d =PH +PG =12PE +12PF =1 2 （PE +PF ）=2。 ②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下： 设O ′，O ″为?APB 和?CPD 所在圆的圆心， ∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。 ∵折叠后的?APB 与?CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。 ∵折叠后的?APB 与?CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM = 12OO ″=ON ，PN =1 2 OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。 【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。 【分析】（1）①折叠后的?AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。 ②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角形，从而 得到?AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。 ③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的 知识可求折叠后求?AOB 所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。
圆的一题多解 【案例】试题来源（浙教版九年级上册练习题） 已知在圆O 中，A 为优弧BC 的中点，且AB=BC,E 为弧BC 上的一点，求AE=BE+CE ． 【分析】本题知识点（1）等边三角形和全等的相关知识；（2）利用截长补短的解题方法． 1.一题多解 （1）利用截长方法的方法解题 解析：在AE 上取点F ，使得AF=BE, (AFC BEC AF BE FAC EBC AC BC ??=?? ∠=∠??=? 在和中 作法可得）（同弧所对的圆周角相等）（等边三角形边相等） AFC ?≌BEC ?(SAS) ∴CF=CE 60AEC ABC ∠=∠=? ∴ECF ?是等边三角形 ∴EF=EC AE=AF+EF ∴AE=BE+CE （2）利用补短的方法解题 解析：延长EB 至点F,使BF=EC, BF ACE B C (ABF ACE ABE B A A F E A C ??=?? ∠=∠∠??=? 在和中 作法可得）（同角的补角相等） （等边三角形边相等） ABF ?≌ACE ?(SAS) ∴BAF=CAE ∠∠ AE=AF CAE+EAB=60∠∠? E F
∴+EAB=60BAF ∠∠? ∴AFE ?是等边三角形 ∴AE=EF=BE+BF 即AE=BE+CE （3）利用旋转的方法解题 解析：将ACE ?顺时针旋转60?，则ABF ?≌ACE ? ∴AEF ?是等边三角形，ACE ABF ∠=∠ +ABE=180ACE ∠∠?(圆内接四边形对角互补) ∴BF+ABE=180A ∠∠? 即点F 、B 、E 三点共线 ∴AE=EB+BF 即：AE=EB+EC （4）利用平行的方法解题 解析：过点C 作AE 的平行线CF 交圆于点F ，连接AF. （5）利用托勒密定理解题 解析：利用托勒密定理可得 +EC AB=AE BC BE AC ??? ABC ?是等边三角形 ∴AB=AC=BC ∴BE+EC=AE 新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”．在数学教学中离不开习题讲解，通过一题多解使学生加深知识的理解与内化，培养学生思维的灵活性、创新性， E CF//AE FCE+18060+CFB=180CE//FG CEGF BEG AFG BE=EG,CF=GF=AG BF+CF=GE+AG=AE CEA BFC CEA FCE ∴∠∠=?∠==?∴∠∠?∴∴??∴∴ 即四边形是平行四边形和是等边三角形 E F E
中考数学专题复习——分类讨论问题 教学目标 1.掌握常见题型分类方法；能够灵活运用一般的分类技巧。 2.明确分类的“界点”、“标准”。 一、 热点再练 1.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 2.已知三角形相邻两边长分别为13cm 和15 cm ，第三边上的高为 12 cm ，则此三角形的面积为________cm 2 A ８４ B ２４ C ８４或２４ D ５４ 3.在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 A （1，1），在x 轴上确定点P ，使得△AOP 为等腰三角形，则符合条件的P 点共有 个。 4.半径为5的圆中，有弦ＡＢ平行ＣＤ，ＡＢ＝８，ＣＤ＝６，则ＡＢ与ＣＤ之间的距离_______ ５.在半径为1的圆中，弦AB 、AC 的长分别是 2 、3 ，则∠BAC 的度数是 。 ６. 已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，则m 的取值范围 。 知识点: １.等腰三角形的角有_____和______其中的底角可以是____________.(按角的类型进行分类) 2.三角形的高可以在________也可以在_______________(按图形的形状进行)
2 p 3.圆是轴对称图形,相等的弦,如平行弦,从一个顶点出发的弦会在对称抽的两侧(按图形的性质) 4.初中阶段的方程有_______,__________.__________(按定义分类) 二、规律剖析 例1正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A 点停止，求点P 运动t 点间的距离。 总结：本题从运动的观点，考查了动点P 与定点D 之间的距离，应根据P 点的不同位置构造出不同的几何图形，关键找出分界点。 练习:
专题一分类讨论 典型应用1、与线段、角有关的分类讨论 1.1.1 如图1.1.1所示，已知矩形ABCD中,AB=3,BC=4。将此矩形绕矩形的顶点旋转，使点A落在直线BC上的A'处，则AA’=___________。 解析:按分别绕点B，点C，点D顺时针和逆时针旋转进行分类讨论。解得AA’= 。 备注:由点的位置的不确定和旋转方向的不确定展开讨论。 1.1.2 如图1.1.2所示，已知∠AOB=52°，以OB为边画∠BOC，使得∠BOC与∠AOB互余，则∠AOC=__________。 解析:如图1.1.3所示，本题分OC在OB上方还是下方两类讨论。 故∠AOC=90°或14°。 1.1.3 已知正方形ABCD的边长为2,∠MAN=45°.开始时,射线AN与射线AB重合,射线AM
位于正方形ABCD的外侧，将∠MAN绕定点A按逆时针旋转，当射线AM与射线AD重合时停止旋转。设旋转角为θ，∠MAN与正方形ABCD的重叠部分面积为S（S>0）. 求S关于θ的函数解析式，并写出θ的变化范围。 典型应用2、与等腰三角形有关的分类讨论 1.2.1 等腰三角形的一个外角为110°，则其顶角为__________。 解析:分为110°是底角的外角和顶角的外角两种情况讨论。用内角和计算可得顶角为70°或40°。 1.2.2 在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A(-2,2),试在x轴上找一点P，使△AOP 为等腰三角形，求符合条件的点P的坐标。
解析:分为OA=OP,OA=AP,OP=AP 三类情况讨论。故点P 的坐标为 ）或或(-2,0)或(-4,0). 1.2.3 △ABC 中，点H 是高AD 与高BE 的交点，若BH=AC,求∠ABC. 解析:三角形高的位置是由三角形的形状决定的。锐角三角形的高在图形内部，钝角三角形有两条高在图形外部。如图1.2.1，图1.2.2所示，可求得∠ABC=45°或135°。 1.2.4 若一个三角形的边长是大于1且小于5的整数，求该三角形的周长。 解析: 当三边长为2、2、4时，无法构成三角形，舍去。故三角形周长可能是6、7、8、9、10、11、12.
2013中考总结复习冲刺练：圆中分类讨论问题归类举例 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。 一、点和圆的位置 凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。 例1.过不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线，交⊙O 于B 、C ，且AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径R 为___________。 解：依题意，点A 与⊙O 的位置关系有两种： （1）点A 在⊙O 内，如图1，延长AO 交⊙O 于F ，则 AE R AF R =-=+1010， 由相交弦定理得：()()R R -+=101064 所以R =241（负值已舍去） （2）点A 在⊙O 外，如图2， 此时AE R AF R =-=+1010， 由割线定理得：()()101064-+=R R 所以R =6（负值已舍去） 故⊙O 的半径R 为241或6。 二、点与弦的相对位置 例2.⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于D ，且∠BOD ＝48°，则∠BAC ＝_________。 解：（1）点A 和圆心O 在弦BC 同侧，如图3，可求得∠BAC ＝∠BOD ＝48°
（2）点A 和圆心O 在弦BC 异侧，如图4，可求得∠BAC ＝132° 三、弦所对的圆周角 例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。 解：弦所对的圆周角有两种情况： （1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°； （2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。 故应填60°或120°。 四、平行弦与圆心的位置 例4.在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB ＝6cm ，弦CD ＝8cm ，且AB ∥CD ，求AB 与CD 之间的距离。 分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。 解：过O 作AB 、CD 的垂线，分别交AB 、CD 于点E 、F ，连接O A 、OC. 在Rt △OAE 中，OE OA AE cm = -=-=2 2 22 53 4() 在Rt △OCF 中，OF OC CF cm =-=-=22 22 54 3() （1）当AB 、CD 在圆心O 的同侧时，如图5，AB 和CD 之间的距离为 EF cm =-=431()
1.如图，弧AB 的度数为m ，弧CD 的度数为n ，则 1()2APB m n ∠=- 1()2 APB m n ∠=+ 2.如图，ABC ?中，BC a =，AC b =，AB c =，则 2b c a AE AF +-== 2 a b c r +-= 2a c b BD BE +-== 1()2 ABC S a b c r ?=++?12ab = 2a b c CD CF +-== ab r a b c =++ 1()2 ABC S a b c r ?=++? （r 为ABC ?内切圆的半径） 3.如图 AD BC AB CD +=+ PCD ?的周长=22PA PB = 12 COD AOB ∠=∠ 外切偶数边形相间各边的和相等 0180AOB P ∠+∠= 4.同一圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距分别为3r 、4r 、6r ，边长分别为3a 、 4a 、6a ，则3r ：4r ：6r 1= 3a ：4a ：6a ：1 正n 多边形的面积：12 n S p r = ? （p 是周长，r 是边心距） 5. 0180A C B D ∠+∠=∠+∠= S 圆环=21()2AB π? 6. 弧长公式： 180 n r l π= 扇形面积公式：2360n r S π=12 l r =? （l 是弧长） 7.圆锥侧面积公式： S 侧=rl π 0360 r n l =（r 是圆锥底面圆的半径，l 是母线长，n 圆锥侧面展开图的圆心角）
如果圆锥的轴截面是等边三角形，那么圆锥的侧面展开图是半圆 8.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心是三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等 六．《圆》中常见分类讨论的填空题 1.⊙O 的直径为50cm ，弦AB CD P ,且40AB cm =,48CD cm =，则AB 与CD 间的 距离是 2.圆内接等腰三角形ABC 中，圆心到BC 的距离为3cm ，圆的半径为7cm ，则腰AB 的长为 3.点O 为ABC ?的外心，若0150BOC ∠=，则BAC ∠= 4.若⊙O 的半径为4，弦AB =AB 所对的圆周角的度数为 5. ⊙O 的半径为1，弦AC ，弦AB =BAC ∠= 6. 已知⊙O 半径为5，⊙O 与⊙P 相切 （1）若6OP =,则⊙P 的半径为 （2）若4OP =,则⊙P 的半径为 7.已知⊙1O 与⊙2O 相交于AB ，⊙1O 的半径为5，⊙2O 的半径为3，4AB =， 则12O O = 8.⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AB=2CD,则弧AB 和弧CD 的大小关系是 9.⊙O 中，AB 、CD 是弦，若弧AB 和弧CD,则AB 2CD
分类讨论思想专题——几何部分（一） 教学目的： 1、让学生识别分类讨论思想应用的相关考点； 2、让学生掌握分类讨论思想在几何中的应用类型。 教学重难点： 1、重点是分类讨论考点的识别； 2、难点是分类讨论思想的掌握应用。 教学内容： 一、分类讨论思想 数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。 二、分类讨论思想应把握的原则 明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。 三、分类讨论思想的应用 [线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。 例1已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为_3：2_或_3：4____。 练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm ，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm ，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长. 解析：(1)点C 在线段AB 上： (2)点C 在线段AB 的延长线上 N M A B C 例2下列说法正确的是（ ） A 、 两条线段相交有且只有一个交点。 B 、如果线段AB=A C 那么点A 是 BC 的中点。 B 、两条射线不平行就相交。D 、不在同一直线上的三条线段两两相交必有 三个交点。 [ OM 平分∠AOB ，ON 平分∠A B C1 C2
[练习] 已知o AOB 60∠=,过O 作一条射线OC ，射线OE 平分A O C ∠，射线OD 平分 这两种情况下，都有o o AO B 60D O E= 30 2 2 ∠∠== 小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然A O C ∠的大小不确定，但是所求的D O E ∠与A O C ∠的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。 [三角形中分类讨论思想的应用] 一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 1、三角形的形状不定需要分类讨论 例4、 在△ABC 中，∠B＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2 =·，则 ∠BC A 的度数为_____________。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当△ABC 的高在形内时，由 AD BD DC 2 =· ， 得△ABD∽△CAD，进而可 以证明△ABC 为直角三角形。由 ∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。 如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。 由 AD BD DC 2 =·，得 △ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25° ∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115° 2、等腰三角形的分类讨论： a 、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。 例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 [练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。