25-(小专题)天体运动中的“四大难点”
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教学目标
教学内容
个性化学习问题解决
教学
重点、难点
教学过程
第6课时(小专题)天体运动中的“四大难点”
突破一近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的比较
1．轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r 近
＝r
物
。
2．运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2π
r3
GM可知，近地卫星
的周期要小于同步卫星的周期，即T
近
同 ＝T 物 。 3．向心加速度：由G Mm r2＝ma知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度。由a＝rω 2 ＝r ? ? ? ? ? 2π T2知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度，即a近>a同>a物。 4．动力学规律 (1)近地卫星和同步卫星满足 GMm r2＝m v2 r＝mω2r＝ma。 (2)赤道上的物体不满足万有引力充当向心力即 GMm r2≠m v2 r。 【典例1】(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球 赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则 下列比例关系中正确的是() A. a1 a2＝ r R B. a1 a2＝( r R)2 C. v1 v2＝ r R D. v1 v2＝ R r 解析 设地球质量为M ，同步卫星的质量为m 1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m 2，根据向心加速度和角速度的关系有 a 1＝ω21r ，a 2＝ω22R ，又 ω1＝ω2，故 a 1 a 2 ＝r R ，选项A 正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm 1r 2＝m 1v 21r ，G Mm 2 R 2＝m 2v 22R ，解 得v 1 v 2 ＝R r ，选项D 正确。 答案 AD 【变式训练】 1．(2014·江西鹰潭市高三第二次模拟考试)有a 、b 、c 、d 四颗卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h ，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图1所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( ) 图1 A ．a 的向心加速度等于重力加速度g B ．c 在4 h 内转过的圆心角为π6 C ．b 在相同的时间内转过的弧长最长 D ．d 的运动周期可能是23 h 解析 在地球赤道表面随地球自转的卫星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a 的向心加速度小于重力加速度g ，选项A 错误；由于c 为同步卫星，所以c 的周期为24 h ，因此4 h 内转过的圆心角为θ＝π 3 ，选项B 错误；由四颗卫星的运行情况可知， b 运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C 正确；d 运行的周期比 c 要长，所以其周期应大于24 h ，选项D 错误。 答案 C 突破二 卫星的变轨问题 1．卫星变轨的原因 (1)由于对接引起的变轨 (2)由于空气阻力引起的变轨 2．卫星变轨的实质 (1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2 r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心 运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r 可知其运行速率比原轨道时减小。 (2)当卫星的速率突然减小时，G Mm r 2>m v 2 r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近 心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GM r 可知其运行速率比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。 【典例2】 (多选)在发射一颗质量为m 的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h 的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆形轨道Ⅰ上运行的加速度为g ，地球半径为R ，图2中PQ 长约为8R ，卫星在变轨过程中质量不变，则( ) 图2 A ．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为(h R ＋h )2 g B ．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v ＝ gR 2 R ＋h C ．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率 D ．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能 第一步：抓住信息→构建运动模型 读题看图――→提取信息①Ⅰ、Ⅲ是圆形轨道②Ⅱ是椭圆轨道 ――→建模 ①卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上做匀速圆周运动 ②卫星在轨道Ⅱ上做变速曲线运动 第二步：找突破口→理清思路 解析 设地球质量为M ，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有G Mm R 2＝mg ，在轨道Ⅲ上 有G Mm (R ＋h )2＝ma ，所以a ＝(R R ＋h )2 g ，A 错；又因a ＝v 2R ＋h ，所以v ＝ gR 2 R ＋h ，B 对；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，即满足GMm r 2＜m v 2 r ，所以卫星在轨道Ⅲ 上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率，C 对；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P 、Q 点各加速一次，但在圆形运行轨道上v ＝GM r ，所以由动 能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D 错。 答案 BC 解题模板 【变式训练】 2．(多选)如图3是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P 点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P 点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q 、高度为15 km ，远地点为P 、高度为100 km 的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( ) 图3 A ．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化 B ．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km 的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期 C ．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的加速率一定大于经过P 点时的加速度 D ．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的速率可能小于经过P 点时的速率 解析 “嫦娥三号”在距离月面高度为100 km 的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A 错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km 的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B 正确；由于在Q 点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的加速度一定大于经过P 点时的加速度，选项C 正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q 点的引力势能小于P 点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q 点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q 点时的速率一定大于经过P 点时的速率，选项D 错误。 答案 BC 突破三 天体运动中的能量问题 1．卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。 2．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足G Mm r 2＝m v 2r ，致使卫星在较 高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率 减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。 【典例3】 (2014·山东卷，20)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图4，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g 月，以月面为零势能面。“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝GMmh R (R ＋h ) ，其中G 为引力常量，M 为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完 成需要对“玉兔”做的功为( ) 图4 A.mg 月R R ＋h (h ＋2R ) B.mg 月R R ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h (h ＋22R ) D.mg 月R R ＋h (h ＋12R ) 解析 设玉兔在高度h 时的速度为v ，则由万有引力定律得，G Mm (R ＋h )2＝m v 2(R ＋h )可知，玉 兔在该轨道上的动能为E k ＝12GMm (R ＋h ) ，由功能关系可知对玉兔做的功为W ＝E p ＋E k ＝ GMmh R (R ＋h )＋12GMm (R ＋h ) ， 结合在月球表面：G Mm R 2＝mg 月， 整理可知W ＝mg 月R R ＋h (h ＋1 2R )，故正确选项为D 。 答案 D 【变式训练】 3．(多选)(2013·新课标全国卷Ⅱ，20)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( ) A ．卫星的动能逐渐减小 GMm r 2＝mω2r ③ 联立①②③得：ω＝ 1 k 3 ω0。 各行星要再次冲日需满足：ω0t －ωt ＝2π， 即t ＝ k k k k －1 T 0，其中k ＝1.5、5.2、9.5、19、30。 根据上式结合k 值并由数学知识可知：行星冲日的时间间隔一定大于1年，并且k 值越大时间间隔越短，所以选项B 、D 正确，A 、C 错误。 答案 BD 【变式训练】 4.如图5所示，甲、乙两颗卫星绕地球做圆周运动，已知甲卫星的周期为N 小时，每过9N 小时，乙卫星都要运动到与甲卫星同居于地球一侧且三者共线的位置上，则甲、乙两颗卫星的线速度之比为( ) 图5 A.3 92 B.3 32 C.233 D.23 9 解析 由? ???? 2πT 1－2πT 29N ＝2π，T 1＝N ，解得：T 2T 1＝98。根据开普勒定律，r 2r 1＝(98)，线速度v ＝2πr T ，则v 1v 2＝r 1r 2·T 2T 1＝(89)23×98＝39 2，A 项正确。 答案 A 1．(多选)如图6所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则 ( ) 图6 A ．该卫星在P 点的速度大于7.9 km/s ，小于11.2 km/s B ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s C ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度 D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 解析 由于卫星的最大环绕速度为7.9 km/s ，故A 错误；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9 km/s ，故B 错误；P 点比Q 点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度，C 正确；卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故D 正确。 答案 CD 2．某卫星在半径为r 的轨道1上做圆周运动，动能为E k ，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了ΔE ，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为( ) A. E k E k －ΔE r B.E k ΔE r C.ΔE E k －ΔE r D. E k －ΔE ΔE r 解析 卫星在轨道1上时，G Mm r 2＝m v 2r ＝2E k r ，因此E k ＝GMm 2r ，同样，在轨道2上，E k －ΔE ＝ GMm 2r 2，因此r 2＝E k E k －ΔE r ，A 项正确。 答案 A 3．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( ) A ．F 1＝F 2>F 3 B ．a 1＝a 2＝g >a 3 C ．v 1＝v 2＝v >v 3 D ．ω1＝ω3<ω2 解析 地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v ＝ωr 和a ＝ω2r 可知，v 1 它们受到的地球的引力提供向心力，即G Mm r 2＝mω2r ＝m v 2r ＝ma 可得v ＝ GM r ，a ＝G M r 2 ，ω＝ GM r 3 ，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v 2>v 3，a 2>a 3，ω2>ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v 2＝v ，其向心加速度等于重力加速度，即a 2＝g ；所以v ＝v 2>v 3>v 1，g ＝a 2>a 3>a 1，ω2>ω3＝ω1，又因为F ＝ma ，所以F 2>F 3>F 1。由以上分析可见，选项A 、B 、C 错误，D 正确。 答案 D 4．(2014·海南卷，6)设地球自转周期为T ，质量为M ，引力常量为G ，假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R 。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( ) A.GMT 2GMT 2－4π2R 3 B.GMT 2GMT 2＋4π2R 3 C.GMT 2－4π2R 3GMT 2 D.GMT 2＋4π2R 3GMT 2 解析 假设物体质量为m ，物体在南极受到的支持力为N 1，则N 1＝ GMm R 2 ；假设物体在赤道受到的支持力为N 2，则GMm R 2－N 2＝m 4π2T 2R ；联立可得N 1N 2＝GMT 2 GMT 2－4π2R 3，故选A 。 答案 A 5．(2014·重庆卷，7)图7为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h 1处悬停(速度为0，h 1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h 2处的速度为v ，此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面，已知探测器总质量为m (不包括燃料)，地球和月球的半径比为k 1，质量比为k 2，地球表面附近的重力加速度为g 。求： 图7 (1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小； (2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。 解析 (1)设地球质量和半径分别为M 和R ，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度 天体运动中的追及相遇问题 信阳高中陈庆威2013.09.17 在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。比如，A、B两物体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻A、B相距最近，问A、B下一次相距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。 而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它也有其自身特点。 根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上实现真正意义上的追及或相遇。天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变得更加复杂，成为同学们学习中的难点。而解决此类问题的关键是就要找好角度、角速度和时间等物理量的关系。 一、追及问题 【例1】如图1所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星M做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则 ①经过多长时间，两行星再次相距最近？ ②经过多长时间，两行星第一次相距最远？ 解析：A、B两颗行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力 ，因此T1 果A 、B 在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时间内，A 比B 多转了 π。所以再次相距最近的时间t 1，由；第一次相 距最远的时间t 2，由。如果在问题中把“再次” 或“第一次”这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。 【例2】如图2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R ，运转周期为T 。地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。若某时刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？ 解析：由题意可得行星的轨道半径θsin R r = 设行星绕太阳的运行周期为T /，由开普勒大三定律有： 23 23T r T R ' =，得：θ3sin T T =' 绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球 θ θπππω33sin )sin 1(222T T T -=-'=? 某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情况：一是 刚看到；二是马上看不到,如图3所示。到下一次处于最佳观察期至少需经历时间分别为 两者都顺时针运转：T t ?--=?-= ) sin 1(2sin )2(2331θπθ θπωθπ 两者都逆时针运转： T t ?-+=?+= )sin 1(2sin )2(2332θπθ θπωθπ 二、相遇问题 【例3】设地球质量为M ，绕太阳做匀速圆周运动，有一质量为m 的飞船由静止 开始从P 点沿PD 方向做加速度为a 的匀加速直线运动，1年后在D 点飞船掠过地球上空，再过3个月又在Q 处掠过地球上空，如图4所示（图中“S ”表示太阳）。根据以上条件，求地球与太阳之间的万有引力大小。 视角 太阳 行星 图2 太阳 行星 地球 图3 θ θ 拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 二、重难点提示： 重点：1. 卫星变轨原理； 2. 不同轨道上速度和加速度的大小关系。 难点：理解变轨前后的能量变化。 一、变轨原理 卫星在运动过程中，受到的合外力为万有引力，F 引＝2 R Mm G 。卫星在运动过程中所需要的向心力为：F 向＝ R m v 2 。当： （1）F 引＝ F 向时，卫星做圆周运动； （2）F 引> F 向时，卫星做近心运动； （3）F 引 运动进入轨道2沿椭圆轨道运动，此过程为离心运动；到达B点，万有引力过剩，供大于求做近心运动，故在轨道2上供需不平衡，轨迹为椭圆，若在B点向后喷气，增大速度可使飞船沿轨道3运动，此轨道供需平衡。 2. 回收变轨 在B点向前喷气减速，供大于需，近心运动由3轨道进入椭圆轨道，在A点再次向前喷气减速，进入圆轨道1，实现变轨，在1轨道再次减速返回地球。 三、卫星变轨中的能量问题 1. 由低轨道到高轨道向后喷气，卫星加速，但在上升过程中，动能减小，势能增加，增加的势能大于减小的动能，故机械能增加。 2. 由高轨道到低轨道向前喷气，卫星减速，但在下降过程中，动能增加，势能减小，增加的动能小于减小的势能，故机械能减小。 注意：变轨时喷气只是一瞬间，目的是破坏供需关系，使卫星变轨。变轨后稳定运行的过程中机械能是守恒的，其速度大小仅取决于卫星所在轨道高度。 3. 卫星变轨中的切点问题 【误区点拨】 近地点加速只能提高远地点高度，不能抬高近地点，切点在近地点；远地点加速可提高近地点高度，切点在远地点。 第二讲天体运动 一、两种对立的学说 1．地心说 (1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；太阳、月亮以及其他行星都绕_地球运动； (2) 地心说的代表人物是古希腊科学家__托勒密__． 2．日心说 (1)__ 太阳_是宇宙的中心，是静止不动的，所有行星都绕太阳做__匀速圆周运动__； (2)日心说的代表人物是_哥白尼_． 二、开普勒三大定律 行星运动的近似处理 在高中阶段的研究中可以按圆周运动处理，开普勒三定律就可以这样表述： (1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心； (2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动； (3)所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即r3 T2＝k. 三、太阳与行星间的引力 1．模型简化：行星以太阳为圆心做__匀速圆周__运动．太阳对行星的引力，就等于行星做_匀速圆周_运动的向心力． 2．太阳对行星的引力：根据牛顿第二定律F ＝m v2r 和开普勒第三定律r3T2∝k 可得：F∝___m r 2__.这表明：太阳对 不同行星的引力，与行星的质量成___正比_，与行星和太阳间距离的二次方成___反比___． 3．行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F′∝_M r 2 4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F ＝F′，所以有F∝Mm r 2_，写成等式就是F ＝_ G Mm r 2__. 四、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比. 2.公式： F=G Mm r 2 (1)G 叫做 引力常量 ， (2)单位：N ·m2/kg2 。在取国际单位时，G 是不变的。 (3)由卡文迪许通过扭秤实验测定的，不是人为规定的。 3.万有引力定律的适用条件 (1)在以下三种情况下可以直接使用公式F ＝G m1m2 r2 计算： ①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r 表示两质点间的距离． ②求两个均匀球体间的万有引力：公式中的r 为两个球心间的距离． ③一个质量分布均匀球体与球外一个质点的万有引力：r 指质点到球心的距离． (2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F ＝G m1m2 r2得出r→0 时F→∞的结论而违背公式的物理含义． 内容 理解 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都 是椭圆，太阳处在椭圆的一个上。 开普勒第一定律又叫轨道定律． 某个行星在一个固定平面的轨道上运动。 不同行星的运动轨道是不同的。 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等. 开普勒第二定律又叫面积定律． 行星运动的速度是在变化的，近日点速率最大，远日点速率最小。 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等 表达式 a 3T 2 =k 第三定律也叫周期定律 K 与中心天体的质量有关，与行星的质量无关。 如果围绕着同一个恒星运动，对于所有行星而言，K 是相同的。如果围绕着不同的恒星，K 不同。 此公式使用于所有天体。 重点：1. 根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量； 2. 双星、三星两种模型的特点。 难点：双星、三星模型的向心力来源。 一、双星模型 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点： （1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供 即 221L m Gm ＝m 1ω21r 1，2 2 1L m Gm ＝m 2ω2 2r 2； （2）两颗星的周期及角速度都相同 即T 1＝T 2，ω1＝ω2； （3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为 r 1＋r 2＝L ； （4）两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比 即 1 2 21r r m m =； （5）双星的运动周期 T ＝2π) (213 m m G L +； （6）双星的总质量公式 m 1＋m 2＝G T L 23 24π。 二、三星模型 第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行。 特点：1. 周期相同； 2. 三星质量相同； 3. 三星间距相等； 4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。 原理：A 、C 对B 的引力充当向心力，即：， 可得： Gm R T 543 π =，同理可得线速度：R GmR 25。 第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行。 特点：1. 运行周期相同； 2. 半径相同； 3. 质量相同； 4. 所需向心力相等。 原理：B 、C 对A 的引力的合力充当向心力，即： r T m R Gm F 2222430cos 2π==? 合，其中R r 33=， 可得：运行周期Gm R R T 32π=。 例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。 （1）求两星球做圆周运动的周期。 （2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位有效数字） 思路分析：（1）A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有 ，，连立解得，。 对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得， 化简得：。 （2）将地月看成双星，由⑴得。 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得 。 化简得：。 所以两种周期的平方比值为 R M r m 22ωω=L R r =+L M m m R += L M m M r +=L m M M T m L GMm +=22)2(π) (23 m M G L T +=π) (23 1m M G L T +=πL T m L GMm 2 2 )2(π=GM L T 3 22π=01.110 98.51035.71098.5)(24 22 24212=??+?=+=M M m T T 2018年高考物理复习天体运动专题练习（含答 案） 天体是天生之体或者天然之体的意思，表示未加任何掩盖。查字典物理网整理了天体运动专题练习，请考生练习。 一、单项选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分.) 1.(2014武威模拟)2013年6月20日上午10点神舟十号航天员首次面向中小学生开展太空授课和天地互动交流等科 普教育活动，这是一大亮点.神舟十号在绕地球做匀速圆周运动的过程中，下列叙述不正确的是() A.指令长聂海胜做了一个太空打坐，是因为他不受力 B.悬浮在轨道舱内的水呈现圆球形 C.航天员在轨道舱内能利用弹簧拉力器进行体能锻炼 D.盛满水的敞口瓶，底部开一小孔，水不会喷出 【解析】在飞船绕地球做匀速圆周运动的过程中，万有引 力充当向心力，飞船及航天员都处于完全失重状态，聂海胜做太空打坐时同样受万有引力作用，处于完全失重状态，所以A错误;由于液体表面张力的作用，处于完全失重状态下的液体将以圆球形状态存在，所以B正确;完全失重状态下并不影响弹簧的弹力规律，所以拉力器可以用来锻炼体能，所以C正确;因为敞口瓶中的水也处于完全失重状态，即水对瓶底部没有压强，所以水不会喷出，故D正确. 【答案】 A 2.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期T.则太阳的质量为() A.B. C. D. 【解析】地球表面质量为m的物体万有引力等于重力，即G=mg，对地球绕太阳做匀速圆周运动有G=m.解得M=，D正确. 【答案】 D 3.(2015温州质检)经国际小行星命名委员会命名的神舟星和杨利伟星的轨道均处在火星和木星轨道之间.已知神舟星平均每天绕太阳运行1.74109 m，杨利伟星平均每天绕太阳运行1.45109 m.假设两行星都绕太阳做匀速圆周运动，则两星相比较() A.神舟星的轨道半径大 B.神舟星的加速度大 C.杨利伟星的公转周期小 D.杨利伟星的公转角速度大 【解析】由万有引力定律有：G=m=ma=m()2r=m2r，得运行速度v=，加速度a=G，公转周期T=2，公转角速度=，由题设知神舟星的运行速度比杨利伟星的运行速度大，神舟星的轨道半径比杨利伟星的轨道半径小，则神舟星的加速度比杨利伟星的加速度大，神舟星的公转周期比杨利伟星的公转周期小，神舟星的公转角速度比杨利伟星的公转角速度大，故选 天体运动 总结 一、处理天体运动的基本思路 1．利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解，即G Mm r 2＝ma ，其中a ＝v 2r ＝ω2r ＝(2π T )2r ，该组公式可称为“天上”公式． 2．利用天体表面的物体的重力约等于万有引力来求解，即G Mm R 2＝m g ，gR2＝GM ，该公式通常被称为黄金代 换式．该式可称为“人间”公式． 合起来称为“天上人间”公式． 二、对开普勒三定律的理解 开普勒行星运动定律 1．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．此比值的大小只与有关，在不 同的星系中，此比值是不同的.(R 3 T 2＝k ) 1．开普勒第一定律说明了不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，但有一个共同的焦点． 2．行星靠近太阳的过程中都是向心运动，速度增加，在近日点速度最大；行星远离太阳的时候都是离心运动，速度减小，在远日点速度最小． 3．开普勒第三定律的表达式为a 3 T 2＝k ，其中a 是椭圆轨道的半长轴，T 是行星绕太阳公转的周期，k 是一个常量，与行星无关但与中心天体的质量有关． 三、开普勒三定律的应用 1．开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转． 2.表达式a 3 T 2＝k 中的常数k 只与中心天体的质量有关．如研究行星绕太阳运动时， 常数k 只与太 阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k 只与地球的质量有关． 四、太阳与行星间的引力 1．模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运一、太阳与行星间的引力 2．万有引力的三个特性 (1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力． (2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足牛顿第三定律． (3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力很小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用． 天体运动中的几个“另类”问题 江苏省靖江市季市中学范晓波 天体运动部分的绝大多数问题，解决的原理及方法比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。 如有必要，可结合黄金代换式简化运算过程。不过，还有几类问题仅依靠 基本思路和方法，会让人感觉力不从心，甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。这就要求我们必须从根本上理解它们的本质，把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以然。 一、变轨问题 例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测 量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、 表示卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（） A．，， B．，， C．，， D．，， 分析：空气阻力作用下，卫星的运行速度首先减小，速度减小后的卫星不能继续沿原轨 道运动，由于而要作近（向）心运动，直到向心力再次供需平衡，即，卫星又做稳定的圆周运动。 如图，近（向）心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直，会让卫星加速，速度增大（从能量角度看，万有引力对卫星做正功，卫星动能增加，速度增大），且增加的数 值超过原先减少的数值。所以、，又由可知。 解：应选C选项。 说明：本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程，很容易错选B选项，因此，分析问题一定要全面，切忌盲目下结论。 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术。 以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图，在轨道远点，万有引力， 要使卫星改做圆周运动，必须满足和，而在远点明显成立，所以 只需增大速度，让速度增大到成立即可，这个任务由卫星自带的推进器完成。“神舟”飞船就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的。 二、双星问题 例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为，质量分别为和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线 速度。 分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。 精心整理 天体运动总结 1. 开普勒三定律 1.1所有绕太阳运动的行星轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（后简化为所有轨道都是圆，太阳在圆心上），注意：第一定律只是描述了一个图像，并没有需要计算的东西，而且太阳究竟在哪个焦点上还得看第二定律 1.2对于某一颗行星来说，它的扫面速度是恒定的。这句话也可以说成是：离太阳越近，速度越大。这是判断近日点远日点的根据。 第二定律有个计算是研究近日点远日点速度与到太阳距离关系的。 ab 2.m 1的错误，将会直接导致后面计算错误。 C.万有引力的方向肯定在两物体之间的连线上而指向对方 D.甲对乙的引力和乙对甲的引力是一对作用力反作用力 2.2万有引力的规律 2.2.1从公式上来看，当两个物体质量一定时，万有引力随着距离的增大而减小，并且 和距离的“平方”成反比。所以一定要养成这样的意识，距离是原来n 倍，力就 变为原来的n 2分之一倍，或者，力变为原来的n 分之一倍，倍。这样会缩短做题时间，一般做题的时候不要在这方面浪费时间。 2.2.2地球对地球表面的物体都有吸引力，这个力就表现在重力上，但要清楚，重力只 是万有引力的一个分力。可以这么想：万有引力首先得提供物体由于随地球自转 而所需的向心力，剩下来的那部分就是重力。这样就需要注意，向心力指向自转 轴，所以重力就不能指向地心了。又由于这个向心力很小，所以重力很接近万有 引力。当然，地球不同纬度所需向心力是不同的，赤道所需向心力最大，两极点 不需要向心力，所以赤道表面的重力加速度最小，两极点重力加速度最大。 2.2.3一个物体受到另一个物体的吸引力和第三个物体无关，所以太空中一个物体所受 吸引力应为所有其他物体对它的吸引力的矢量和，只不过我们现在所考虑的都是 吸引力最大的那个力（其他的引力比起这个引力小的不是一点半点）。不过也有例 外情况，最常见的就是在地球和月球的连线上，肯定会有那么一个点，使得地球 和月球对这一点上的物体的吸引力大小相等方向相反。 3.天体运动 参阅八大行星的公转周期。 3.4关于开普勒第三定律 上面三个公式推导过程都是用了万有引力提供向心力，从 2 2 2 Mm G m r r T π ?? = ? ?? 可知： 3 22 4 r GM Tπ =，只要中心天体质量M一样，那么轨道半径的三次方和周期平方只比就 是固定值，这也就是为什么第三定律在应用时必须绕同一中心天体。 其实我们可以推导出这样的定律： 对于所有绕同一中心天体运动的行星来说，轨道半径的三次方与角速度的平方的乘积是固定值 天体运动专题讲座： 天体运动中的几个“特殊”问题 天体运动部分的绝大多数问题，解决的原理及方法比较单一，处理的基本思路是：将天体的运动近似看成匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的运动学量选择相应的展开形式。 如有必要，可结合黄金代换式简化运算过程。不过，还有几类问题仅依靠基本思路和方法，会让人感觉力不从心，甚至就算找出了结果但仍心存疑惑，不得要领。这就要求我们必须从根本上理解它们的本质，把握解决的关键，不仅要知其然，更要知其所以然。 一、变轨问题 例：某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中 卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为，后来变为，以、表示 卫星在这两个轨道上的线速度大小，、表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（） A．，， B．，， C．，，D．，， 二、双星问题 例：在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为，质量分别为 和，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期； （3）双星的线速度。 分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终 与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相 等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。 三、追及问题 例：两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的 高度等于，卫星离地面高度为，则： （1）、两卫星运行周期之比是多少？ （2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则至少经过多 少个周期与相距最远？ 分析：两卫星周期之比可按基本思路处理；要求与相距最远的最少时间，其实是一个追 及和相遇问题，可借用直线运动部分追及和相遇问题的处理思想，只不过，关键一步应该变换成“利用角位移关系列方程”。或直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁。 四、超失重问题 例：某物体在地面上受到的重力为，将它放置在卫星中，在卫星以加速度 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径，取） 分析：物体具有竖直向上的加速度，处于超重状态，物体对支持物的压力大于自身实际重力；而由于高空重力加速度小于地面重力加速度，同一物体在高空的实际重力又小于在地面的实际重力。 说明：航天器在发射过程中有一个向上加速运动阶段，在返回地球时有一个向下减速阶段，这两个过程中航天器及内部的物体都处于超重状态；航天器进入轨道作匀速圆周运动时，由于万有引力（重力）全部提供向心力，此时航天器及内部的所有物体都处于完全失重状态。 既掌握基本问题的处理方法，又熟悉“特殊”问题的分析要点，这样在面对天体运动问题时才能应付自如。 问题9：会讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况。 例15、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球 的引力作用而产生的重力加速度g ,，则g/g , 为 A 、1； B 、1/9； C 、1/4； D 、1/16。 分析与解：因为g= G 2 R M ,g , = G 2)3(R R M +,所以g/g , =1/16,即D 选项正确。 问题10：会用万有引力定律求天体的质量。 通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。 例16、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49?1011 m, 公转的周期T= 3.16?107 s,求太阳的质量M 。 分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： G 2r Mm =mr(2π/T)2 M=4π2r 3/GT 2=1.96 ?1030 kg. 例17 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。 分析与解：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有 x 2+h 2=L 2 由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得 （2x ）2+h 2=(3L)2 设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得： h= 2 1gt 2 由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G 2R Mm 联立以上各式解得M=2 2 332Gt LR 。 问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。 通过观测卫星的周期T 和行星表面的重力加速度g 及行星的半径R 可以求出卫星的高度。 例18、已知地球半径约为R=6.4?106 m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。 分析与解：因为mg= G 2R Mm ，而G 2 r Mm =mr(2π/T)2 天体运动知识点归类解析 【问题一】行星运动简史 1、两种学说 （1）地心说:地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。支持者托勒密。 （2）.日心说：太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。（3）.两种学说的局限性 都把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完美，最和谐的圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符。 2、开普勒三大定律 开普勒1596年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附近的天文台做研究工作。1600年，到布拉格成为第谷的助手。次年第谷去世，开普勒成为第谷事业的继承人。 第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析火星的公转时发现，无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观测数据不吻合。他坚信观测的结果，于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹，终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行的事实。并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律。 第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫 过的面积相等。 如图某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日 点离太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为a v ，过近日点时的速率为b v 由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间t ?，则有： t bv t av b a ?=?2 1 21① 所以 b a v v a b = ② ②式得出一个推论：行星运动的速率与它距离成反比，也就是我们熟知的近日点快远日点慢的结论。②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式。 第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等。 用a 表示半长轴，T 表示周期，第三定律的数学表达式为k T a =23 ，k 与中心天体的质量有 关即k 是中心天体质量的函数)(23 M k T a =①。不同中心天体k 不同。今天我们可以由万有 引力定律证明：r T m r Mm G 2234π=得2234πGM T r =②即2 4)(π GM M k =可见k 正比与中心天体的质量M 。 ①式)(23 M k T a =是普遍意义下的开普勒第三定律多用于求解椭圆轨道问题。 ②式2 234πGM T r =是站在圆轨道角度下得出多用于解决圆轨道问题。为了方便记忆与区分我 们不妨把①式称为官方版开三，②式成为家庭版开三。 【问题二】：天体的自转模型 1、重力与万有引力的区别 天体运动总结 一、处理天体运动的基本思路 1利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解，即GM2m I ma其中a= V 2 =w2r = ( 丁)},该组公式可称为天上"公式. r T 2. 利用天体表面的物体的重力约等于万有引力来求解，即G R2 = mg, gR2= GM该公式通常被称为黄金代换式. 该 式可称为人间”公式. 合起来称为天上人间”公式. 二、对开普勒三定律的理解 开普勒行星运动定律 1. 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2. 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3. 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.此比值的大小只与有关，在不 同的星系中，此比值是不同的.(T2=k) 1 .开普勒第一定律说明了不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，但有一个共同的焦点. 2. 行星靠近太阳的过程中都是向心运动，速度增加，在近日点速度最大；行星远离太阳的时候都是离心运动， 速度减小，在远日点速度最小. 3 3. 开普勒第三定律的表达式为旱=k,其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k 是一个常 量，与行星无关但与中心天体的质量有关. 三、开普勒三定律的应用 1 .开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转. 3 a 常数k只与太2.表达式T2= k中的常数k只与中心天体的质量有关.如研究行星绕太阳运动时, 阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关. 四、太阳与行星间的引力 1. 模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运一、太阳与行星 间的引力 2. 万有引力的三个特性 (1) 普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在 着这种相互吸引的力. (2) 相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足牛顿第三定律. 解决天体运动问题的方法 一、基本模型 计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体。 二、基本规律 1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运动，由 牛顿第二定律及万有引力定律有：。这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由 于有线速度与角速度关系、角速度与周期关系，这一基本关系式还可表示 为：或。 2．在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力。设天体质量为M，半径为R，其表面的重力加速度 为g，由这一近似关系有：，即。这一关系式的应用，可实现天体表面重力加 速度g与的相互替代，因此称为“黄金代换”。 3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最 大，所需向心力最大。对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律 有：，式中N为天体表面对物体的支持力。如果天体自转角速度过大，赤道上的 物体将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有：，由此式可以计算天 体不瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由 及可计算出天体不瓦解的最小密度。 三、常见题型 1．估算天体质量问题 由关系式可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周 期，可估算出被绕天体的质量。 例1．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km，运行周期为127分钟。若还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件不能求出的是 A．月球表面的重力加速度B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月运行的速度D．卫星绕月运行的加速度 解析：设月球质量为M，半径为R，月面重力加速度为g，卫星高度为h，运行周期为T，线速度为v，加速度为a，月球对卫星的吸引力为F。 对于卫星的绕月运行，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，由此式可 求知月球的质量M。由“黄金代换”有：，由这两式可求知月面重力加速度g。由线速度 的定义式有：，由此式可求知卫星绕月运行的速度。由万有引力定律及牛顿第二定律 有：，由此式可求知绕月运行的加速度。由万有引力定律有：，由于不知也不可求知卫星质量m，因此，不能求出月球对卫星的吸引力。故，本题选B。 2．估算天体密度问题 若已知天体的近“地”卫星（卫星轨道半径等于天体半径）的运行周期，可以估算出天体的密度。 例2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10-11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为 A．1.8×103kg/m3 B．5.6×103kg/m3 C．1.1×104kg/m3 D．2.9×104kg/m3 解析：对于近地卫星饶地球的运动有：，而，代入已知数据解得： ρ=2.9×104kg/m3。本题选D 3．运行轨道参数问题 对于做圆周运动的天体，若已知它的轨道半径，可以计算它的运行线速度、角速度、周期等运行参数，并且可以看出，这些参数取决于轨道半径。 例3．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100陪。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比 C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比 重难点05 天体运动与人造航天器 【知识梳理】 考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 ma r mv r T m r m r Mm G ====222 2)2(πω （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2 R Mm G mg =（g 表示天体表面的重力加速度）． （2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2 R Mm G mg =，所以 2R M G g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得 2 )(h R M G g +=' 2．天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于2R Mm G mg =，故天体质量G gR M 2 = 天体密度：GR g V M πρ43== （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r . ①由万有引力等于向心力，即r T m r Mm G 22)2(π=，得出中心天体质量23 24GT r M π=； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 3 23 3R GT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度 2 3GT V M πρ== .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式 （1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁， 万有引力定律与天体运动知识总结 一、开普勒行星运动定律 1） 轨道定律：近圆，太阳处在圆心（焦点）上 2） 面积定律：对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 K= k 取决于中心天体 3） 周期定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等。 k= ，[r 为轨道半径] 二、万有引力定律 F 引=2r Mm G G=6.67×10-11Nm 2/kg 2 卡文迪许扭秤 测量出来 三、重力加速度 1. 星体表面：F 引≈G =mg 所以：g = GM/ R 2（R 星体体积半径） 2. 距离星体某高度处：F ’引 ≈G’ =mg ’ 3. 其它星体与地球 重力加速度的比值 四、星体（行星 卫星等）匀速圆周运动 状态描述 1. 假设星体轨道近似为圆. 2. 万有引力F 引提供星体圆周运动的向心力Fn F n =r m v 2 F n=22T mr 4π F n = m ω2r Fn=F 引 r m v 2=2r Mm G =2 2T mr 4π = m ω2r r GM v =，r 越大，ν越小； 3r GM =ω，r 越大，ω越小 GM r T 3 24π=，r 越大，T 越大。 23 T a 23T r 3. 计算中心星体质量M 1) 根据 g 求天体质量 mg= M= M 为地球质量，R 为物体到地心的距离 2 ）根据环绕星体的圆周运动状态量， F 引=Fn 2r Mm G =22T mr 4π M= （M 为中心天体质量，m 为行星（绕行天体）质量 4. 根据环绕星体的圆周运动状态量(已知绕行天体周期T ，环绕半径≈星体半径)， 计算中心星体密度ρ ρ=v m =323R GT r 3π [v=3r 34π] 若r≈R ，则ρ=2GT 3π 5. 计算卫星最低发射速度 （第一宇宙速度VI = （近地）= (r 为地球半径 黄金代换公式) 第一宇宙速度（环绕速度）：s km v /9.7=； 第二宇宙速度（脱离速度，飞出地月系）：s km v /2.11=； 第三宇宙速度（逃逸速度，飞出太阳系）：s km v /7.16=。 6. 人造卫星上失重的现象 分析卫星上某物体受合力及圆周运动的状态 F 万 – N = m v 2／r 物体视重 N= F 万 - m v 2／r ( r=R 地 + h ) ∵F 万 = m v 2／r ∴ N=0 即卫星在围绕地球做圆周运动时，它上面物体处于失重状态 7. 同步卫星升轨，全球通信 8. 其它功能人造卫星： 1）全球定位系统 GPS ，由24颗卫星组成 分布在6个轨道平面 2）人造月球卫星 G 2 23 2GT r 4πr GM 天体运动 开普勒行星运动三定律 引力势能 机械能守恒定律 动量守恒 1.根据行星绕日做椭圆运动（开普勒第一定律）的面积速度为恒量（开普勒第二定律），试证明各行星绕日 运行的周期T 与椭圆轨道的半长轴a 之间的关系为C T a =23 （开普勒第三定律），并求出常量C 的表达式。 2.要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为2r 的预定轨道上绕地球做匀速圆 周运动，为此先将卫星发射到半径为1r 的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动，如图所示，在A 点，实际上使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B 时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A 点到达B 点所需的 时间，设万有引力恒量为G ，地球质量为M 。 3.质量为m 的飞船在半径为R 的某行星表面上空高R 处绕行星作圆周运动，飞船在A 点短时间向前喷气，使飞船与行星表面相切地到达B 点，如图所示。设喷气相对飞船的速度大小 为Rg u =，其中g 为该行星表面处的重力加速度。(1)试求飞船在A 点短时 间喷气后的速度；(2)求所喷燃料（即气体）的质量。 4.天文学家在16世纪就观测到了哈雷彗星，天文资料显示：哈雷彗星的近日距为0.59天文单位，远日距为3 5.31天文单位（1天文单位 = 地日距离R ，），地球公转速率为km/s 30。试根据以上资料求： （1）哈雷彗星的回归周期为多少年； （2）哈雷彗星的最大速率v 是多少。 5.卫星沿圆周轨道绕地球运行，轨道半径R r 3=，其中地球半径km 6400=R 。由于制动装置短时间作用，卫星的速度减慢，使它开始沿着与地球表面相切的椭圆轨道运动，如图所示。问：制动后经过多少时间卫星落回到地球上？ 6.宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R ，今设飞船在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的a 倍，因a 量很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示，飞船喷气质量可忽略不计。 （1）试求飞船新轨道的近火星点的高度近h 和远火星点高度远h ； （2）设飞船原来的运动速度为0v ，试计算新轨道的运行周期T 。 7.地球m 绕太阳M （固定）做椭圆运动，已知轨道半长轴为a ，半短轴 为b ，如图所示，试求地球在椭圆各顶点1,2,3的运动速度的大小及其曲 率半径。 精心整理 3．已知地球的同步卫星的轨道半径约为地球半径的6．0倍，根据你知道的常识，可以估算出地球到月球的距离，这个距离最接近（） A ．地球半径的40倍 B ．地球半径的60倍 C ．地球半径的80倍 D ．地球半径的100倍 10据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是 A.运行速度大于7.9 km/s B.离地面高度一定,相对地面静止 C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 4．宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m 的小球（可视为质点），如图所示，当给小球水平初速度υ0时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。已知圆弧轨道半径为r ，月球的半径为R ，万有引力常量为G 。若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为（） A ． Rr r 550 υ B ． Rr r 52 0υ C ． Rr r 50 υ D ． Rr r 552 0υ 3．（6分）（2015?红河州模拟）“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道．已知飞船的质量为m ，地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ．则飞船在上述圆轨道上运行的动能E k （ ） A ． 等于mg （R+h ） B ． 小于mg （R+h ） C ． 大于mg （R+h ） D ． 等于mgh 7(2015沈阳质量检测)．为了探测x 星球，总质量为1m 的探测飞船载着登陆舱在以该星球中心为圆心的圆轨道上运动，轨道半径为1r ，运动周期为1T 。随后质量为2m 的登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为2r 的圆轨道上运动，则 A ．x 星球表面的重力加速度2 11214T r g π= B ．x 星球的质量2 13 124GT r M π= C ．登陆舱在1r 与2r 轨道上运动时的速度大小之比 1 22 121 r m r m v v = D ．登陆舱在半径为2r 轨道上做圆周运动的周期131 3 22T r r T =(完整word版)天体运动中的追及相遇问题
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