第三章全等三角形
3．2 图案设计
一．预习题纲
（1）学习目标展示
1．了解图案最常见的构图方式：轴对称、平移、旋转，并能灵活运用轴对称、平移、旋转等方法进行图案设计
2．经历对典型图案设计意图的分析，进一步发展自己空间观念，增强审美意识，培养积极进取的生活态度
（2）预习思考
1．到目前为止我们学习了图形变换的几种形式?
2．设计图案的一般步骤是什么?
二．经典例题
例1．如图,用左面的三角形经过怎样的旋转,可以得到右面的图
形?
【分析】观察左右两个图形，可以发现右边的图形是将左边的△ABC为基本图形绕某点旋转一定角度得到的，通过量度旋转角度可以得出图案的形成过程。
【简解】如图,作等边△BOC,然后以△ABC为基本图形,绕点O顺时针旋转120°两次,就可以得到右面的图形.
【规律总结】图案的设计时首先要构思该图案由哪几部分构成，再构思如何运用平移．旋转．轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合。
三．易错例题
例2．下面的图形是由一个基本的图形经过旋转得到的,它可以看作是将基本图形通过怎样的变换得到的？
【错解】可看作是将基本图形绕点O顺时针方向旋转60°，120°，180°，240°，300°，360°等6次旋转得到的
【错解分析】旋转次数和旋转角度错了，旋转6次出现了重叠部分。
【正解】可看作是将基本图形绕点O顺时针方向旋转60°，120°，180°，240°，300°即可得到
【点拨】本题也可将基本图形绕点O逆时针方向旋转60°，120°，180°，240°，300°得到
一．课前预习
1．到目前为止，我们学习了图形变换的三种变换方式是，，
2．现实生活中一个美丽的图案常是由通过得到的
二．当堂训练
知识点一：欣赏并分析图案
1．如图,图2可以看作是由图1绕点O旋转某个角度后,
顺次按这个角度同向旋转而得的.
(1)每次旋转了度；
第1题
图1图2
(2)一共旋转了 次.
2．观察图中的风车,可以由哪个基本图形．经过什么样的旋转得到?
3．图中△DCE 是由△ACB 经一次或两次变换得到的,你能指出用的是什么变换吗?
4．下列图形可以看作是将一个基本图形绕某点旋转形成的吗？如果是,指出其旋转中心和旋转角度
禁止标志 风轮叶片 三叶风扇 正方形 正六边形 正三角形
知识点二： 简单图案设设的一般方法 5．分析图1和图3这两个图形是由什么基本图形经过变化得到的.并将图1中的图案画到图2上,图3中的图案画到图4上.
6．利用角、线段、平行线、三角形、正方形、长方形、圆中的一种或几种为基本图案，借助旋转．平移或轴对称设计一个图案，并简述你的设计意图。
课时测评：（40分钟，满分100分）
一．选择题 （每小题5分，共25分）
1．如图，可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）
图（2）
图（4）
图（1） 图（3） 第2题 第3题
A ．?90
B ．?60
C ．?45
D ．?30
2．如图，在等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△C B A '''，则'
BAC ∠等于（ ）
A ．600
B ． 1200
C ． 1050
D ． 1350
3．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°。以上四位同学的回答中，错误的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 4．在下列图形中，旋转60°能可以与原图形重合的是（） A ．正六边形 B ．正五边形 C ．正方形 D ．正三角形
5．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案自动消失？ A ．顺时针旋转90°，向右平移 B ．逆时针旋转90°，向右平移 C ．顺时针旋转90°，向下平移 D ．逆时针旋转90°，向下平移 二．填空题（每小题5分，共25分）
6．如图。将Rt △COD 绕着顶点O 逆时针方向旋转后得到Rt △AOB ，若∠AOD=11O °，则∠BOD= ．
7．如图,把两个能够完全重合的长方形拼成“L ”形图案,则∠FAC=
8．如图，O 是五个等边三角形公共顶点，正五边形ABCDE 可以看作是由线段 绕点O 旋转 ，且连续旋转 次得到的
第5题
第1题
C ＇
B ＇
C
B
A
第2题
第3题 第6题
G
F E D
C
B
A
第7题
E
A
第8题
9．分析下图中①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律画出图③中的阴影部分为
10．如图，在直角坐标系中，已知点)0,3( A ，)4,0(B ，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①．②．③．④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ．
三．解答题 11．（本题满分12分）如图，把一个直角三角板ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 与CB 的延长线上的点E 重合， （1）．三角板旋转了多少度？
（2）．连结CD ，试判断△CBD 的形状 （3）．求∠BDC 的度数
12．（本题满分12分）如图所示，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，将△ABE 旋转后得到△CBF 。 （1）．指出旋转中心及旋转的角度。 （2）判断AE 与CF 的位置关系。
（3）．如果正方形的面积是182cm ，△BCF 的面积是52
cm ，问四
边形AECD 的面积是多少？
13．（本题满分12分）如图，在正方形网格中有一个四边形图案．
(1)请你画出此图案绕点D 顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
(2)若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点A 的对应点依次为A 1、A 2、A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积；
第10题
E D
C B A 第11题
F E
D C B A 第12题
(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
14．（本题满分14分）（2009山西）已知每个网格中小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成．
（1）填空：图（1）中阴影部分的面积是 （结果保留π）； （2）请你在图（2）中以图（1）为基本图案，借助轴对称．平移或旋转设计 一个完整的花边图案（要求至少含有两种图形变换）．
答案：
一．课前预习
1．平移，旋转，轴对称 2．基本图案，变换 二．当堂训练 1．（1）60；（2）5 2．图中的风车可以看作基本图形以点O 为旋转中心,将基本图形逆时针旋转90°三次得到风车图案 3．左图中,以点C 为旋转中心,顺时针旋转90°.，右图中,以点C 为旋转中心,逆时针旋转90°再以旋转后的线段AC 所在直线为对称轴做轴对称.
4．都可以看作将一个基本图形绕某点旋转形成的，旋转中心和旋转方向略 5．答案略 6．7．答案略 三．课时测评：
1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．20° 7．90° 8．AE 或（ED ．CD ．BC ．BA ）；72°；4 9．图略 10．（36，0） 11．（1）150°；（2）等腰三角形；（3）15° 12．（1）B 点；90；（2）互相垂直且相等；（3）13cm 2 13． 14．1）．S 阴影=
14π×22—14π×12—12—（12—1
4
π×12）=π—2 （2）答案不唯一，以下提供三种图案．
图（2） 图（1）
第13题
第17讲特殊三角形 【测控导航表】 知识点题号 等腰三角形的性质和判定2,5,11,13 等边三角形10,15,16 直角三角形和勾股定理1,3,4,7,8,9,12,14 线段的垂直平分线 6 A层(基础) 1.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( D ) (A)5 (B) (C) (D)5或 解析:当两边均为直角边时,由勾股定理得,第三边为5;当4为斜边时,由勾股定理得,第三边为. 故选D. 2.(2015南宁)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为( A ) (A)35°(B)40° (C)45°(D)50° 解析:∵△ABD中,AB=AD,∠B=70°, ∴∠B=∠ADB=70°, ∴∠ADC=180°-∠ADB=110°, ∵AD=CD, ∴∠C=(180°-∠ADC)÷2=(180°-110°)÷2=35°, 故选A. 3.(2015大连)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为( D ) (A)-1 (B)+1 (C)-1 (D)+1
解析:∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD, ∴∠B=∠DAB, ∴DB=DA=, 在Rt△ADC中, DC===1; ∴BC=+1. 故选D. 4.小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得△ABC,则AC边上的高是( C ) (A)(B) (C)(D) 解析:AC==, S△ABC=S正方形-3个直角三角形面积 =4-×2×1×2-×1×1=, 设AC边上的高为h, ·AC·h=,h=,h=. 故选C. 5.(2015陕西)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有( D ) (A)2个(B)3个 (C)4个(D)5个 解析:根据已知条件分别求出题图中三角形的内角度数,可以发现等腰三角形有△ABC,△BCD,△BDE,△EAD,△DAB共5个,故选D. 6.(2015黄冈)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( C )
第17课时 等腰三角形与直角三角形 1. （2017包头〉若等腰三角形的周长为10cm,其中一边长为2 cm, 则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm 2. （2017长沙）一个三角形三个内角的度数之比为1 ： 2 ： 3,则这个三 角形一定是（ ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 3. （2017 大连〉如图，在ZXABC 中，ZACB=90°, CD 丄AB,垂足 为D,点E 是AB 的中点，CD=DE=a,则AB 的长为（ ） 4. （2017荆州）如图，在厶ABC 中，AB=AC 5ZA=30°, AB 的垂直平 分线/交AC 于点D,则ZCBD 的度数为（） 5. （2017南充）如图，等边△OAB 的边长为2,则点B 的坐标为 C. 3ci A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° D. 4 B C 第4题图
（）
6. （2017台州》如图，已知等腰三角形ABC.AB=AC.若以点B 为圆心, 7. （2017聊城）如图是rfl 8个全等的矩形组成的大正方形，线段 的端点都在小矩形的顶点上?如果点P 是某个小矩形的顶点，连接 PB.那么使为等腰直角三角形的点P 的个数是（） / B A 第7题图 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 & （2017海南》已知ZXABC 的三边长分别为4、4、6,在厶ABC 所 B. (3,1) C.(3, 3) 长为半径画弧, 交腰AC 于点E,则下列结论一定正确的是（） B. AE=BE C. ZEBC=ZBAC D. ZEBC=ZABE A. (1,1) 笫5题图 C A. AE=EC
2019-2020 年八年级数学上册第十七章特殊三角形检测卷新版冀教版 一、选择题 ( 第 1～10 小题，每小题 3 分，第 11～ 16 小题，每小题 2 分，共 42 分) 1．如图，△ 中， ＝ ，若∠ ＝65°，则∠ A 的度数为 ( ) ABC AB AC B A ．70° B ．55° C ．50° D ．40° 2． ( 桂林中考 ) 下列各组线段能构成直角三角形的一组是 ( ) A ． 30，40， 50 B ． 7， 12， 13 C ． 5， 9， 12 D ．3， 4， 6 3．若等腰三角形的一个内角是 30°，则它的顶角是 ( ) A ．120° B ．30° C ．120°或 30° D ．60° AB 4．如图，△ ABC 中，∠ B ＝90°， BC ＝ 2AB ，则 的值为 ( ) AC 5 1 2 5 5 A. B. C. D. 2 2 5 5 第 4 题图 第 6 题图 5．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等 D ．两条直角边对应相等 6．如图，∠ AOB ＝40°， OC 平分∠ AOB ，直尺与 OC 垂直，则∠1 等于 ( ) A ．60° B ．70° C ．50° D ． 40 ° 7． ( 赵县校级月考 ) 如图，在长方形 ABCD 中， CD 与 BC 的长度比为 5∶12，若该长方形的周长为 34，则 BD 的长为 ( ) A ． 13 B ． 12 C ． 8 D ．10
第 7 题图 第 8 题图 8．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， 点 D 在 AB 上， BC ＝ BD ，DE ⊥ AB 交 AC 于 点 E . △ ABC 的周长 为 12，△ ADE 的周长为 6，则 BC 的长 为 ( ) A ． 3 B ． 4 C ．5 D ． 6 9．如图，在等边△ ABC 中， AD 是 BC 边的中 线， DE ⊥ AB ，垂足为 E ，等边△ ABC 的边长 是 6cm ， 则 BE 的长为 ( ) A ． 1cm B ． 1.5cm C ． 2cm D ． 2.5cm 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 10 ．如图，已知△ ABC 中，∠ C ＝90°， D 、 E 分别为 AC 、 AB 上的点．若 DE ＝ DC ， BC ＝ BE ，∠ A ＝40°，则∠ BDC 等于 ( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．65° 11 ．如图，在 Rt △ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，∠ B ＝60°，则图中与 CD ( 本身除外 ) 相等的 线段有 ( ) A ． 1 条 B ． 2 条 C ． 3 条 D ． 4 条 12 ． ( 铜仁中考 ) 如图，在矩形 ABCD 中， BC ＝ 6， CD ＝ 3，将△ BCD 沿对角线 BD 翻折，使点 C 落 在 ′处， ′交 于点 ，则线段 的长为 () C BC AD E DE 15 15 A ． 3 B. 4 C ． 5 D. 2 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 13． ( 唐山市丰润区期中 ) 如图，△ ABC 中， AB ＝AC ， D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交 AC 、AD 、 AB 于 点 E 、 O 、 F ，则图中全等三角形的对数是 ( ) A ． 1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对 14．如图，如果△ ABC 与△ DEF 都是正方形网格中的格点三角 形 ( 顶点在格点上 ) ，那么△ DEF 与
备课笔记 备课时间：20 年月______日课题第16课时：等腰三角形、等边三角形课型新授课 教学设想 学习目标 1．知道等腰三角形的有关概念和性质；2．熟练运用等腰三角形的性质（①轴对称图 形、②等边对等角、③三线合一）和判定方法（①等角对等边、②两条边相等的三角 形）解决等腰三角形内角以及边的证明和计算问题；3．能运用等边三角形的性质和 判定准确解决问题． 教学重点能运用等腰三角形、等边三角形的性质和判定准确解决问题． 教学难点综合运用等腰三角形、等边三角形的性质与判定解决问题． 教学准备导学案、多媒体课件 教学内容三次备课 教学过程一 次 备 课 【教学过程】 【活动一】知识梳理 【设计意图】学生通过独立整理知识点，复习等腰三角形、等边三角形 的定义、性质和判定. 【活动二】基础检测 1、如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的 度数为（） A．30°B．40°C．45°D．60° 2、如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC， 交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（） A．13 B．12 C．15 D．20 3、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P 关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4、（1）等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为． （2）等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为； 一个内角为80°，则另两个角的度数是． 布置学生复习教材： 八上第二章P60-P75 学生活动：组内讨论， 回顾知识点,完善知 识体系. 教师活动：课堂上多 媒体展示知识点，组 织小组讨论，完善知 识体系，建构知识框 架. 学生活动：独立思考， 自主完成. 第1题 第2题
第17课时等腰三角形 1．★等腰三角形的两边长分别为6和8，则这个等腰三角形的周长为( ) A．20 B．22 C．20或22 D．12或16 2．如图Y－27，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( ) 图Y－27 A．70°B．55°C．50°D．40° 3．如图Y－28，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( ) 图Y－28 A．18°B．24°C．30°D．36° 4．如图Y－29，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC 于点E，D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是________． 图Y－29 5．★若(a－1)2＋|b－2|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为________． 6．如图Y－30，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作
等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE. 求证：AE∥BC. 图Y－30 参考答案 1．C [解析] 分情况讨论：若6为底，则这个等腰三角形的周长为22；若8为底，则这个等腰三角形的周长为20.故选C. 2．D [解析] ∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠C＝∠B＝70°.又∵∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠A＝40°.故选D. 3．A [解析] 在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.设∠C＝∠ABC＝x°，∵∠A＝36°，∴x＋x＋36＝180，解得x＝72，∴∠C＝72°.∵BD是AC边上的高，
∴∠BDC＝90°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－72°＝18°.故选A. 4．10 [解析] 由等腰三角形的三线合一，可知AE⊥BC，BE＝CE＝4.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知DE＝BD＝3，所以△BDE的周长是10. 5．5 [解析] ∵(a－1)2＋|b－2|＝0，∴a＝1，b＝2.当a为腰时，三角形的边长为1，1，2，不能构成三角形；当b为腰时，三角形的边长为2，2，1，能构成三角形，∴等腰三角形的周长＝2＋2＋1＝5.此类问题容易出现的错误是：1.不能根据非负数的性质求a，b；2.没有分类讨论． 6．证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC和△EAC中， ∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC(SAS)， ∴∠DBC＝∠EAC. 又∵∠DBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠EAC， ∴AE∥BC.
《特殊三角形》单元测试 答案： 一、选择题 1-5ACCBB 6-10BCBDC 11-16BAADBB 二、我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。填空题 17、三角形中的每一个内角都大于60° 18、45°或135°19、25° 三、解答题 20、 21、 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故 又称“教师”为“教员”。 22、 23、 第1页/共1页
基础回顾范例尝试巩固提高 1、如果三角形的两边长分别为4和9，则第三边的长度a的取值范围是； 2、在△ABC中，∠A－∠C=250,∠B－∠A=100,则∠B＝； 3、如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高， 且CD、BE交于一点P，若∠A＝500，则∠BPC＝； A D E B D P B C A C 4、如图AB=CD，请补充条件（写一个即可），使△ABC ≌△CDA; 5、下列命题错误的是（） A、两角及一边对应相等的两个三角形全等； B、三边对应相等的两个三角形全等； C、一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等； D、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。 6、若△ABC≌△DEF,△DEF的周长为20cm，DE＝8cm，EF＝5 cm，则AB= cm，AC＝cm； 7、如图，AB=AC,AD=AE，则图中全等三角形的对数为（） A、2对 B、3对 E C C、4对 D、5对 A F D 例1如图，在等腰梯形ABCD中， AB∥CD，点E、F在AB上，且 AE=BF，连接CE、DF．求证：CE=DF． 例2、如图，四边形ABCD的对角线AC、DB相交于点O，现 给出如下三个条件： AB DC AC DB OBC OCB ==∠=∠ ①②③. （1）请你再增加一个 ．．条件：________，使得四边形ABCD为 矩形（不添加其它字母和辅助线，只填一个即可，不必证明）； （2）请你从①②③中选择两个条件________（用序号表示， 只填一种情况），使得AOB DOC △≌△，并加以证明. 1、若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个 三角形的最大边长是； 2、如图，∠C＝900,AD为△ABC的角平分线，BC=30,AB=50,若BD ： DC＝5 ：3，则△ADB的周长为； C B D D A B A E C 3、如图D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，则补充一个条件，仍无 法判定△ACD≌△ABE的是（） A、AD=AE B、∠AEB＝∠ADC C、BE=CD D、AB=AC 4、如图，已知点E C ，在线段BF上，CF BE=，请在下列四个等式 中， ①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个 ．．作为 条件，推出ABC DEF △≌△．并予以证明．（写出一种即可） 已知：，． 求证：ABC DEF △≌△． 证明： C E B F D A
第十七章特殊三角形单元测试（二） 一、选择题 1．下列说法中，正确的有（） ①等腰三角形的两腰相等；①等腰三角形的两底角相等；①等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；①等腰三角形是轴对称图形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3．如果一个等腰三角形的两边长分别是4 cm和5 cm，那么此三角形的周长是（） A. 13 cm B. 14 cm C. 15 cm D. 13 cm或14 cm 4．如图，在①ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，①ABD=①DAE=①EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是（） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 5．在①ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，则①ABC的周长为（） A. 42 B. 60 C. 42或60 D. 25 6．如图，AD是①ABC的角平分线，DF①AB，垂足为F，DE=D G，①AD G和①AED的面积分别为50和39，则①EDF的面积为（） A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5 7．如图，在①ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当①APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）秒
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4 二、填空题 8．如图，AC ①BC 于点C ，DE ①BE 于点E ，BC 平分①ABE ，①BDE =58°，则①A =______°． 9．一直角三角形的两条直角边长分别为5、12，则斜边长是______，斜边上的高是______． 10．如图，在Rt ①ABC 与Rt ①DCB 中，已知①A =①D =90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt ①ABC ①Rt ①DCB ，你添加的条件是______． 11．在等腰①ABC 中，①A =30°，AB =8，则AB 边上的高CD 的长是______． 12．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外 作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形①和①′，…，依此类推， 若正方形①的边长为64cm ，则正方形①的边长为______cm ． 三、解答题 13．如图，在ABC ?和DCB ?中，90A D ?∠=∠=，AC BD =，AC 与BD 相交于点O ．
第17章特殊三角形 第1题 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则它的周长为( ) A.16 cm B.17 cm C.20 cm D.16 cm或20 cm 第2题 用反证法证明“已知在△ABC中,∠C=90°,求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设( ) A.∠A>45°,∠B>45° B.∠A≥45°,∠B≥45° C.∠A<45°,∠B<45° D.∠A≤45°,∠B≤45° 第3题 如图17-6-1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其折叠,使点A落在边CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB=( ) 图17-6-1 A.40° B.30° C.20° D.10° 第4题 如图17-6-2,数轴上点A,B分别对应1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴于点M,则点M对应的数是( )
图17-6-2 A. B. C. D. 第5题 在等腰△ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是( ) A.1 cm 第十七章特殊三角形单元测试卷（一） 一、选择题(每小题4分，共32分) 1、下列说法中，正确的有( ) ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、长度为下列四组数据的线段中，可以构成直角三角形的是( ) A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3、如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm和5cm，那么此三角形的周长是( ) A. 13cm B. 14cm C. 15cm D. 13cm或14cm 4、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5、如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为( ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 6、在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，则△ABC的周长为( ) A. 42 B. 60 C. 42或60 D. 25 7、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( ) A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.5 8、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每 秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点P，Q 同时出发，其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角 形时，运动的时间是( ) A. 2.5s B. 3s C. 3.5s D. 4s 二、填空题(每小题4分，共24分) 9、若用反证法证明“三个内角不相等的三角形不是等腰三角形”，可先假设这个三角形 是______． 10、如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE＝58°，则∠A ＝______°. 11、若直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则斜边长为______，斜边上的高为______． 12、如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______． 13、在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是______． 14、如图是一种“羊头形”图案，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②、②′，以此类推．若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为______cm. 三、解答题(共44分) 15、如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O. (1)求证：△ABC≌△DCB； (2)试判断△OBC的形状，并证明你的结论． 章节测试题 1.【答题】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数后，得到的三角形是（） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【分析】 【解答】 2.【答题】将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围为______． 【答案】11＜h＜12 【分析】 【解答】 3.【答题】如图，在一个高为5m、长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是______m． 【答案】17 【分析】 【解答】 4.【题文】如图，有两棵树，一棵高18m，另一棵高10m，两树相距15m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ 【答案】 【分析】 【解答】如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC． 由题意知四边形BDCE是长方形， ∴BE=CD=10m，CE=BD=15m． ∴AE=AB-BE=18-10=8m． 由勾股定理得AC2=AE2+CE2=82+152=172． 故AC=17m． 答：小鸟至少飞行17m． 5.【题文】如图，一棵大树在离地面5m处断裂，大树顶部落在离大树底部12m处，大树断裂之前有多高？ 【答案】 【分析】 【解答】在Rt△ABC中， ∵∠BAC=90°，AB=5m，AC=12m， ∴BC2=AC2+AB2=122+52=132， ∴BC=13m， ∴AB+BC=5+13=18m． 答：大树断裂之前的高度为18m． 6.【题文】如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处的绳子垂到地面B处后还多2m．他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现绳子下端到旗杆下端的距离为6m．请你帮小刚求出旗杆的高度AB． 【答案】 【分析】 第17课时三角形 【课时目标】 1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念及性质，了解三角形的稳定性，会画任意三角形的角平分线、中线、高． 2．探索并证明三角形的三边关系、三角形的内角和定理及外角性质，并会对三角形进行分类，会进行有关证明和计算． 3．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，角平分线的性质定理及逆定理． 4．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理与判定定理；探索等边三角形的性质定理与判定定理，并会进行有关证明和计算． 5．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理． 6．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题． 【知识梳理】 1．三角形中三边的关系： 三角形任意两边之和________第三边；任意两边之差_______第三边． 2．三角形中角的关系： (1)三角形的内角和等于________． (2)三角形的一个外角等于与它_______的两个内角的 (3)三角形的一个外角________与它_______的任何一个内角． 3．三角形中的三条重要线段： (1)三角形的角平分线、中线、高各有_______条，它们都是________． (2)三角形三条角平分线、三条中线均相交于三角形_______部的一点；三角形的三条高相交于一点，这一点可能在三角形的内部（锐角三角形）、顶点（直角三角形）或外部（钝角三角形）． 4．线段垂直平分线的性质与判定：线段垂直平分线上的点到_______相等；到_______的点在这条线段的垂直平分线上． 5．角平分线的性质与判定：角平分线上的点到_______相等；到_______的点在这个角的平分线上． 6．等腰（边）三角形：有______________的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形 第一部分考点研究 第四单元三角形 第17课时三角形的基础知识 浙江近9年中考真题精选 命题点 1 三角形的三边关系（杭州2考，温州2013.4，绍兴2016.22） 1. （2013温州4题4分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（） A 1 ，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 2. （2017嘉兴2题3分）长度分别为2、7、x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以 是（） A 4 B 5 C. 6 D 9 3. （2012 杭州20题10分）有一组互不全等的三角形，它们的三边长均为整数，每个三角 形有两条边的长分别为5和7. （1）请写出其中一个三角形的第三条边的长； ⑵设组中最多有n个三角形，求n的值； （3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率. 4. （2016绍兴22题12分）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形. （1）若固定三根木条AB BC AD不动，AB= AD= 2 cm BC= 5 cm如图，量得第四根木条 CD= 5 cm判断此时/ B与/ D是否相等，并说明理由； ⑵若固定二根木条AB BC不动，AB= 2 cm, BC= 5 cm,量得木条CD= 5 cm / B= 90 °,写出木条AD的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）； （3）若固定一根木条AB不动，AB= 2 cm 量得木条CD= 5 cm如果木条AD BC的长度不变，当 点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A, C, D能构成周长为30 cm的三角形?求出木条AD BC的长度. 章节测试题 1.【答题】如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于（） A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm 【答案】A 【分析】根据角的平分线的性质解答即可． 【解答】解：根据角平分线的性质可得：∠DOC=∠COB，根据平行线的性质可得： ∠DCO=∠COB，则∠DOC=∠DCO，则CD=OD=3cm，选A. 2.【题文】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N， （1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长； （2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数. 【答案】(1)AB=21 (cm)；(2)∠ACB=115° 【分析】(1)本题利用垂直平分线的性质即可解决，(2)利用等腰三角形的性质和外角性质得出. 【解答】解：(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC ∴AM=MC, CN=NB ∵△CMN的周长= CM+CN+MN =21 ∴AB=AM+MN+NB=CM+MN+CN=21 (cm) (2)∵∠MCN=50° ∴∠CMN+∠CNM=180°-50°=130° ∵AM=MC, CN=NE ∴∠A=∠ACM, ∠B=∠BCN ∵∠A+∠ACM=∠CMN, ∠B+∠BCN=∠CNM ∴∠ACM=∠CMN, ∠BCN=∠CNM ∴∠ACM +∠BCN= ( ∠CMN+∠CNM )=65° ∴∠ACB=65°+50°= 115° 3.【题文】如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点． （1）若△CDE的周长为4，求AB的长； （2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数； （3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________. 【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°. 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA，EC=EB，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠A+∠B的度数，根据等腰三角形的性质求出∠DCA+∠ECB，根据题意计算即可； （3）根据（2）的方法解答． 【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点， ∴DC=DA，EC=EB， ∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4， ∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4； （2）∵∠ACB=100°， ∴∠A+∠B=80°， ∵DC=DA，∴∠DCA=∠A， ∵EC=EB，∴∠ECB=∠B， ∴∠DCA+∠ECB=80°， ∴∠DCE=100°-80°=20°； 图1 图2 三角形复习提纲 【知识点一】三角形的有关概念 1、由不在同一 直线 上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做 三角形 . 2、三角形任意的两边之和__大于___第三边，两边之差__小于___第三边. 例1、三角形的三条边长分别是6cm 、7cm ，x cm ，那么x 的取值范围是___1＜x ＜13____. 3、三角形中的角 （1）由三角形的一个内角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做_外角____. （2）在三角形中，与一个内角相邻的外角有__2___个，这两个角的数量关系是__互补___. （3）三角形的内角和等于___180°__，三角形的外角和等于__360°__. （4）三角形的一个外角等于与它___不相邻___的两个内角和. （5）三角形的一个外角大于任何一个与它__不相邻___的内角. 例2、填空 （1）在△ABC 中，已知∠A=100°，∠B=50°，则∠C=_30° . （2）如图1，已知∠A=2∠B ，∠ACD=150°，则∠B=_50°_. （3）如图2，已知AD ∥BC ，BD 平分∠EBC ，∠EAD=70°， 则∠D=_35°_. （4）△ABC 中，2∠A ＝∠B ＋∠C ，则∠A ＝__60°__. 3、三角形的分类 （1）三角形按边的关系分类可分为不等边三角形和等腰三角形两类； 等边三角形是特殊的 等腰三角形 . （2）三角形按角的关系分类可分为 锐角 、 直角 和 钝角 三类. 例3、（1）在△ABC 中，已知∠A:∠B:∠C=1:1:2，则∠C=_90° ，这是一个_直角_三角形. （2）如果一个三角形一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ B ） A . 锐角三角形 B . 钝角三角形 C . 直角三角形 D . 锐角或钝角三角形 3、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交， 顶点到交点 的线段叫做三角形 的角平分线. （2）在三角形中， 顶点到对边中点 的线段叫做三角形的中线. （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线， 顶点到垂足 的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）. （4）三角形的角平分线、中线和高都是_线段_.（填“直线”、“射线”或“线段”） 冀教版八年级第一学期数学单元试卷第十七章特殊三角形 满分：120分，考试时间：100分钟 题号一二三总分 得分 评卷人得分 一、单选题(共30分) 1．(本题3分)以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（） A．6，7，8 B．2，3，4 C．3，4，6D．6，8， 10 2．(本题3分)如图，数轴的原点为O，点A在数轴上表示的数是2，AB＝1， 且AB⊥OA，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表 示的数是（） A． 5 2 B．5 2 +1 C．5D．2+1 3．(本题3分)如图，△ABC中，∠B=∠C，BD=CD，则下列判断不一定正 确的是（） A．AB=AC B．AD⊥BC C．∠BAD=∠CAD D．△ABC是等边三角形 4．(本题3分)已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（） A．12 B．7+7C．12或7+7D．以上都不对 5．(本题3分)若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角 的度数为（） A．80°B．100°C．20°或100°D．20°或80° 6．(本题3分)如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要 在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方 格图中满足条件的点C的个数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 7．(本题3分)若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底 角是（） A．75°或30°B．75°C．15°D．75°和15° 第1页共8页◎第2页共8页 8．(本题3分)如图，∠BAC＝90°，四边形ADEB、BFGC、CHIA均为正方形，若S四边形ADEB＝6，S四边形BFGC=18，四边形CHIA的周长为( ) A．46B．83C．122D．86 9．(本题3分)如图，已知△ABC中，PM、QN分别是AB，AC边上的垂直平分线，∠BAC=100°，AB>AC，则∠PAQ的度数是（） A．10°B．20°C．30°D．40 10．(本题3分)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD=OE；④CE+CD=BC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 评卷人得分 二、填空题(共32分) 11．(本题4分)如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有____m． 12．(本题4分)在△ABC中，AB=AD=CD，且∠C=40°，则∠BAD的度数为__________. 13．(本题4分)如图，在等边ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且AD CE =，则ADC BEA ∠∠ +=______. 14．(本题4分)如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直 第3页共8页◎第4页共8页 章节测试题 1.【题文】某工人拿一个 2.5m的长的梯子，一头放在离墙1.5m处，另一头靠墙，以便去修理梯子另一头的有线电视分线盒（如图）．这个分线盒离地多高？ 【答案】2m 【分析】图中是直角三角形，，根据勾股定理可求出BC的长． 【解答】在直角三角形中，∵，∴．由，得． ∴分线盒离地面2m． 2.【题文】如图，中，，求BC边上的高AD． 【答案】12 【分析】欲求AD，需先知道BD或CD，由于∴可设，则，这样分别在两个直角三角形根据勾股定理把用的代数式表示出来，然后得到关于的方程，求出，问题可解． 【解答】设，则． 在直角三角形中，由勾股定理，得 ．∴ 同理，在直角三角形中，． ∴，解得 在直角三角形中，由勾股定理，得． 3.【题文】如图，P是正方形内一点，将绕B点顺时针旋转90°，到 位置，若，求的长． 【答案】见解答． 【分析】根据题意可知与全等，且，这样由勾股定理可求出． 【解答】由题意可知≌，∴ ∵，∴是等腰直角三角形，∴． ∴ 4.【题文】如图所示，在中，在BC上，且 ，求证： 【答案】见解答． 【分析】本题考查了勾股定理． 【解答】过点C作，使，连结AF、DF， ， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∴， ， ∴， ∴（SAS）． ∴ ∴ 5.【题文】如图所示，在中，为BC边上任意一点． 求证： 【答案】见解答． 【分析】在要证的结论中出现了线段的平方，联想勾股定理，因此作辅助线构造直角三角形． 【解答】过A作于D，则有 在Rt中，由勾股定理，得， 又由勾股定理，有， ∴ 因此 6.【题文】已知路灯需安装在12.5米高的灯柱顶端，电工师傅取了一架长13米的梯子，斜靠在灯柱上（如图），这时梯子的下端距灯柱底端5米． ①你觉得电工师傅能将路灯安上去吗？ 第十七章特殊三角形 一、选择题(每小题4分，共32分) 1．下列说法中，正确的有( ) ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个 2．长度为下列四组数据的线段中，可以构成直角三角形的是( ) A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 3．如果一个等腰三角形的两边长分别是4 cm和5 cm，那么此三角形的周长是( ) A．13 cm B．14 cm C．15 cm D．13 cm或14 cm 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD 的长为( ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 6．在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，则△ABC的周长为( ) A．42 B．60 C．42或60 D．25 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( ) A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P 从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A出发以每秒2 cm 的速度向点C运动，点P，Q同时出发，其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( ) A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s 二、填空题(每小题4分，共24分) 9．若用反证法证明“三个内角不相等的三角形不是等腰三角形”，可先假设这个三角形是____________． 10．如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE ＝58°，则∠A＝________°.初中-数学-冀教版-第十七章 特殊三角形单元测试卷(一)
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