第一节导数的概念及运算
高考概览：1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝
x，y＝1
x，y＝x
2，y＝x3，y＝x的导数；4.能利用基本初等函数的导数
公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．
[知识梳理]
1．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx＝lim
Δx→0
Δy
Δx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导
数，记作f′(x0)或y′|x＝x
，
即f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx.
(2)导函数
当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝y′＝lim
Δx→0 f(x＋Δx)－f(x)
Δx.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点
P (x 0，y 0)处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f _′(x 0)(x －x 0)．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f _′(x )±g ′(x )；
(2)[f (x )·g (x )]′＝f _′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)????
??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数
复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝f _′(u )u ′(x )，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的积．
[辨识巧记]
1．三个注意点
(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与
乘法公式混淆．
(2)f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；[f (x 0)]′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即[f (x 0)]′＝0.
(3)对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零．
2．两个结论
(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
(2)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
[双基自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( )
(2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(4)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x .( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列求导运算正确的是( )
A.? ??
??x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln2 C ．(3x )′＝3x ·log 3e
D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x [解析] 因为? ????x ＋1x ′＝1－1x 2，所以选项A 不正确；因为(log 2x )′
＝1x ln2，所以选项B 正确；因为(3x )′＝3x ln3，所以选项C 不正确；因为(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 不正确．故选B.
[答案] B
3．(2019·陕西安康模拟)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )
A ．e 2
B ．e C.ln22 D ．ln2 [解析] f ′(x )＝1·ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1
＝2，得x 0＝e.故选B. [答案] B
4．(2019·商丘二模)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
[解析] 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则
y 0＝1＋x 0.又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a
＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.
[答案] B
5．(选修2－2P 3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________，加速度a ＝________.
[解析] 由导数的物理意义可知，v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8.
[答案] －9.8t ＋6.5 －9.8
考点一 导数的基本运算
【例1】 求下列各函数的导数：
(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；
(2)y ＝sin x 2? ??
??1－2cos 2x 4； (3)y ＝11－x ＋11＋x
； [思路引导] 先化简解析式→再求导
[解] (1)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，
∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.
(2)由题可得：y ＝sin x 2? ??
??－cos x 2＝－12sin x ， ∴y ′＝? ??
??－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x . (3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x (1－x )(1＋x )＝21－x
， ∴y ′＝? ??
??21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.
导数的运算要点
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
[对点训练]
分别求下列函数的导数：
(1)y ＝e x
ln x ；(2)y ＝x ? ????x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2；(4)y ＝ln 1＋2x .
[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′
＝e x ln x ＋e x
·1x ＝e x ? ??
??ln x ＋1x .
(2)∵y ＝x 3
＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .
(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，
∴y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x
. 考点二 导数的几何意义
导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度较低，属中、低档题．
常见的命题角度有：
(1)求切线方程；
(2)确定切点坐标；
(3)已知切线求参数值或范围．
角度1：求切线方程
【例2－1】 (1)曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( )
A ．x －3y ＋3＝0
B ．x －2y ＋2＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．3x －y ＋1＝0
(2)曲线y ＝13x 3＋43在点P (2,4)处的切线方程为________．
[思路引导] 已知点为切点→求该点处的导数值→利用点斜式求得切线方程
[解析] (1)∵y ＝sin x ＋e x ，
∴y ′＝cos x ＋e x ，
∴y ′|x ＝0＝cos0＋e 0＝2，
∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为
y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.故选C.
(2)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，
∴在点P (2,4)处的切线的斜率为k 1＝4.
∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，
即4x －y －4＝0.
[答案] (1)C (2)4x －y －4＝0
[拓展探究] 若本例(2)中“在点P (2,4)处”改为“过点P (2,4)”，如何求解？
[解] 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点
A ? ??
??x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为k 2＝x 20. ∴切线方程为y －? ??
??13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋4
3.
∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，
即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，
∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，
∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，
故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.
过点P (x 0，y 0)的切线方程的2种求法
(1)点P (x 0，y 0)是切点时：
第一步：求导数f ′(x )；
第二步：求切线斜率k ＝f ′(x 0)；
第三步：写切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；
第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)·(x －
x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
角度2：确定切点坐标
【例2－2】曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y －1＝0，则点P0的坐标是()
A．(0,1) B．(1，－1)
C．(1,3) D．(1,0)
[解析]由题意知y′＝3
x＋1＝4，解得x＝1，则有4×1－y－1
＝0，解得y＝3，所以点P0的坐标是(1,3)故选C.
[答案] C
已知斜率k，求切点P(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k，得出横坐标x1，再确定纵坐标．
角度3：已知切线求参数值或范围
【例2－3】已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a 的值为()
A．1 B．2 C．－1 D．－2
[思路引导]设出切点坐标→得出方程→求出k
[解析]设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．
因为曲线的导函数y′＝
1
x＋a
，所以y′|x
＝x0
＝
1
x0＋a
＝1，即x0＋
a＝1.
又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.故选B.
[答案] B
求参数或参数范围的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程或者参数满足的不等式，注意不要忽略曲线上横坐标的取值范围及切点既在切线上又在曲线上．
[对点训练]
1．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横
坐标为( )
A ．3
B ．2
C ．1 D.12
[解析] 因为y ＝x 24－3ln x ，所以y ′＝x 2－3x .再由导数的几何意义，
令x 2－3x ＝－12，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)．故选B.
[答案] B
2．已知点P ? ??
??2018π3，－1在函数f (x )＝a cos x 的图象上，则该函数图象在x ＝3π4处的切线方程是( )
A ．2x ＋2y ＋4－3π2＝0
B ．2x －2y ＋4－3π2＝0
C ．2x －2y －4－3π2＝0
D ．2x ＋2y －4－3π2＝0
[解析] 由点P 在函数f (x )＝a cos x 的图象上可得f ? ??
??2018π3＝－1，
即a cos ? ????2018π3＝a cos ? ??
??672π＋2π3＝－a 2＝－1，解得a ＝2.故f (x )＝2cos x .
所以f ? ??
??3π4＝2cos 3π4＝－2，f ′(x )＝－2sin x . 由导数的几何意义可知，该函数图象在x ＝3π4处的切线斜率k ＝
f ′? ??
??3π4＝－2sin 3π4＝－ 2. 所以切线方程为y －(－2)＝－2? ??
??x －3π4，即2x ＋y ＋2－32π
4＝0，即2x ＋2y ＋4－3π2＝0.故选A.
[答案] A
3．(2019·银川一中一模)已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围________．
[解析]
[答案] ? ??
??1e ，＋∞ 考点三 切线的综合应用
【例3】 (2019·宁夏育才中学月考)点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )
A ．1 B.32 C.52 D. 2
[思路引导] 求y ′→令y ′＝1得切点横坐标
[解析] 由y ＝x 2－ln x ，得
y ′＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令y ′＝1，则x ＝1，故曲线y ＝x 2－ln x 斜
率为1的切线的切点横坐标x ＝1，纵坐标为y ＝1.切点(1,1)到直线y
＝x －2的距离d ＝|－2|2
＝2为所求．故选D. [答案] D
求直线与曲线上点的最短距离，前提是曲线位于直线的同一侧，且曲线也位于与该直线平行的切线的同一侧，然后求切点到直线的距离即可．
[对点训练]
分别在曲线y ＝e x 与直线y ＝e x －1上各取一点M 与N ，则线段MN 长度的最小值为________．
[解析] 设曲线y ＝e x 在某点处的切线为l ，当切线l 与直线y ＝e x －1平行时，这两条平行直线间的距离就是所求的最小值．因为切线l 与直线y ＝e x －1平行，故切线l 的斜率为e.由y ′＝e x ＝e ，得x ＝1.故点(1，e)到直线y ＝e x －1的距离为线段MN 长度的最小值，其
距离为|e －e －1|e 2＋1
＝e 2＋1e 2＋1. [答案] e 2＋1e 2＋1
纠错系列③——混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线” 素养解读：求曲线的切线方程有两种情况：一是求曲线在某点处的切线方程，该点即为切点，只要求出该点的导函数值即斜率；二是求曲线过某点的切线方程，该点不一定是切点，求解时需设出切点． 【典例】 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2
＋154x －9都相切，则a 等于( )
A ．－1或－2564
B ．－1或214
C ．－74或－2564
D ．－74或7 [易错分析] 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点
而出错．
[规范解答] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，
设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，
则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，
所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30. 又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.
当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2
＋154x －9相切可得a ＝－2564；
当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋
15
4x －9相切，可得a ＝－1.
综上，a 的值为－1或－2564.故选A.
[答案] A
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”，即“求曲线在点P 处的切线方程”和“求曲线过点P 的切线方程”，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．
(2)若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．
[感悟体验]
1．求曲线y ＝x ln x 在点P (e ，e)处的切线方程．
[解] ∵y ′＝ln x ＋1，∴切线的斜率k ＝lne ＋1＝2，
∴所求切线方程为y －e ＝2(x －e)，即2x －y －e ＝0.
2．已知曲线y ＝13x 3上一点P ?
????2，83，求过点P 的切线方程． [解] ①当P 为切点时，由y ′＝? ??
??13x 3′＝x 2， 得y ′|x ＝2＝4，
即过点P 的切线方程的斜率为4.
则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.
②当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)，
则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)，
因为切点过点P ? ??
??2，83，把P 点的坐标代入以上切线方程，求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)，所以切点为Q ? ??
??－1，－13，即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0，
综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.
课后跟踪训练(十四)
基础巩固练
一、选择题
1．已知f (x )＝13x 3＋2xf ′(3)＋ln x ，则f ′(3)＝( )
A.283 B ．－283 C ．9 D ．－9
[解析] 因为f ′(x )＝x 2
＋2f ′(3)＋1x ，所以f ′(3)＝32＋2f ′(3)＋13＝283＋2f ′(3)，解得f ′(3)＝－283，故选B.
[答案] B
2．f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )
A.193
B.163
C.133
D.103
[解析] 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103.故选D.
[答案] D
3．函数f (x )＝e x ln x 在点(1，f (1))处的切线方程是( )
A ．y ＝2e(x －1)
B ．y ＝e x －1
C ．y ＝e(x －1)
D ．y ＝x －e [解析] f (1)＝0，∵f ′(x )＝e x ? ??
??ln x ＋1x ，∴f ′(1)＝e ，∴切线方程是y ＝e(x －1)．故选C.
[答案] C
4．(2019·广州市高三调研测试)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )
A ．ln2
B ．1
C ．1－ln2
D ．1＋ln2
[解析] 由y ＝x ln x 知y ′＝ln x ＋1，设切线为(x 0，x 0ln x 0)，则切点方程为y －y 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，因为切线y ＝kx －2过定点(0，－2)，所以－2－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，解得x 0＝2，则k ＝1＋ln2，故选D.
[答案] D
5．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
[解析] 由题图得f (3)＝1，k ＝f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋
xf ′(x )，∴g ′(3)＝1＋3×? ??
??－13＝0.故选B. [答案] B
二、填空题
6．已知函数f (x )＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，则f ′? ??
??π4＝__________. [解析] f ′(x )＝3－2sin2x ＋2cos2x ，∴f ′? ??
??π4＝1. [答案] 1 7．设曲线y ＝e x
在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．
[解析] y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，
设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点
P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，
所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．
[答案] (1,1)
8．已知直线l 与曲线f (x )＝x 2－3x ＋2＋2ln x 相切，则直线l 倾斜角的最小值为________．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)．由导数的几何意义可知，曲
线上任意一点P (x ，y )处的切线l 的斜率为f ′(x )＝2x －3＋2x ，因为x >0，
故2x ＋2x ≥22x ×2x ＝4(当且仅当2x ＝2x ，即x ＝1时取等号)，所以
f ′(x )＝2x －3＋2x ≥4－3＝1，即切线l 的斜率的最小值为1，此时直
线的倾斜角取得最小值π4. [答案] π4
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.
(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．
[解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.
(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0
－4)，
∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，
∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，
又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，
∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)
＝0，解得x 0＝2或1，
∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.
10．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程
为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所
围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.
当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，
于是????? 2a －b 2＝12，
a ＋
b 4＝74，解得?????
a ＝1，
b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在
点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝? ??
??1＋3x 20(x －x 0)， 即y －? ????x 0－3x 0＝? ??
??1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0
， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为? ??
??0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的
面积为S ＝12????
??－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
能力提升练
11．(2019·河南开封模拟)函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．(－∞，2)
C ．(2，＋∞)
D ．(0，＋∞)
[解析] 直线2x －y ＝0的斜率为2，且f ′(x )＝1x ＋a (x >0)，令1x ＋
a ＝2得a ＝2－1x .因为x >0，则1x >0，所以a <2，故选B.
[答案] B
12．已知曲线y ＝1e x ＋1
，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )
A ．x ＋4y －2＝0
B ．x －4y ＋2＝0
C ．4x ＋2y －1＝0
D ．4x －2y －1＝0 [解析] y ′＝－e x
(e x ＋1)2
＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，
故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2
≥－14且y ′<0，当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为? ??
??0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A.
[答案] A
13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.
[解析] ∵函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，
∴f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4096.
[答案] 4096
14．(2019·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x .
(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切
点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间????
??12，1上？若存在，求
出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵f (1)＝1，又f ′(x )＝2x －1x ，
∴f ′(1)＝2－1＝1，
故所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .
(2)存在．求解如下：
设所求两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1，x 2∈????
??12，1， 不妨设x 1 ∵f ′(x )＝2x －1x ，∴由题意得? ????2x 1－1x 1·? ?? ??2x 2－1x 2＝－1. ∵f ′(x )＝2x －1x 在???? ??12，1上单调递增， ∴－1≤2x 1－1x 1≤1，－1≤2x 2－1x 2 ≤1. 又x 1 解得x 1＝12(x 1＝－1舍)，x 2＝1? ????x 2＝－12舍， ∴存在满足题意的两点，其坐标为? ?? ??12，ln2＋14，(1,1)． 拓展延伸练 15．(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3 D. 3 [解析] 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线 y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1 ，∴22x 0－1 ＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的 距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1 ＝25，故选A. [答案] A 16．(2018·河南商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(3，＋∞) C.??????－23，13 D.??????－13，23 [解析] 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1， ∴1e x ＋1 ∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点 处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则????? －2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.故选D. [答案] D 导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所 以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0 导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4. 课时1 导数的概念及运算 课时目标： 了解导数的概念，理解导数的几何意义，能用导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，2 y x =， 1 y x = 的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 知识梳理： 1.导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作 . (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝ . 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝ f (x )＝x α(α为常数) f ′(x )＝ f (x )＝sin x f ′(x )＝ f (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ f (x )＝ln x f ′(x )＝ f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝ 导数的概念及其运算 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.) 1、函数2 1()ln 2 f x x x =- ,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2、若0()2f x '=,则=--→k x f k x f k 2) ()(lim 000 ( ) A.0 B. 1 C. —1 D.2 3、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( ) A.034=--y x B.034=-+y x C.034=+-y x D.034=++y x 4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( ) A.?30 B.?45 C.?60 D.?120 5、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则 2010()f x =( ) A.x sin B. x sin - C.cos x - D.cos x 6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( ) A.5 B.52 C.53 D.0 7、已知函数2log ,0, ()2,0.x x x f x x >?=?≤? 若'()1f a =,则a =( ) A.2log e 或22log (log )e B.ln 2 C.2log e D.2或22log (log )e 8、下列结论不正确的是( ) A.若3y =,则0y '= B.若3y x =,则1|3x y ='= 第三章导数及其应用 第1讲导数的概念及运算 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设y＝x2e x，则y′＝ () A．x2e x＋2x B．2x e x C．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x 解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x. 答案 C 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于 () A．－e B．－1 C．1 D．e 解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B 3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是 () A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0. 答案 C 4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为 () A．e B．－e C.1 e D．－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x ＝x0＝1 x0 ，切线方程为y－ln x0＝1 x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0 ＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e. 答案 C 5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos x sin x在点? ? ? ? ? π 2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0 平行，则实数a等于 () A．－1 B.1 2 C．－2 D．2 解析∵y′＝－1－cos x sin2x ，∴＝－1. 由条件知1 a ＝－1，∴a＝－1. 答案 A 二、填空题 6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 解析因为y′＝2ax－1 x ，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线 平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2. 答案1 2 7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x) 在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________. 导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=- 导数的概念及运算专题训练 基础巩固组 1.已知函数f(x)=+1,则--的值为() A.- B. C. D.0 2.若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于() A.2 B.0 C.-2 D.-4 3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0 4.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为() A.1 B. C. D. 5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为() A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-3 6.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为() 7.一质点做直线运动,由始点经过t s后的距离为s=t3-6t2+32t,则速度为0的时刻是() A.4 s末 B.8 s末 C.0 s末与8 s末 D.4 s末与8 s末 8.函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x-8,则=. 9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为. 10.已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=. 11.函数f(x)=x e x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是. 12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 综合提升组 13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(- 1)=() A. B.- C. D.-或 15.直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项. 高三数学一轮复习——导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知 识 梳 理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导 函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI- 导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=- 导数的概念及运算、选择题 1.设曲线y= e ax—ln( x + 1)在x = 0处的切线方程为 1 解析??? y= e ax—ln( X+ 1) , ? y，= ae ax—x+1, ???曲线y= e ax—ln( X+ 1)在x = 0处的切线方程为即a= 3.故选D. 答案 D 2.若f(x) = 2xf' (1) + x2，则 f ‘ (0)等于( ) A.2 B.0 C. — 2 D. —4 解析??? f ‘ (x) = 2f ‘ (1) + 2x，?令x = 1,得 f ‘(1) = —2, (0) = 2f ‘ (1) = — 4. 答案 3.(优质试题?西安质测)曲线f(x) = x3—x + 3在点P处的切线平行于直线y = 2x —1,则P点的坐标为( ) A.(1 , 3) B.( —1, 3) C.(1 , 3)和(一1, 3) D.(1 , —3) 解析 f ‘(X)= 3x2—1,令 f ' (x) = 2,则3x2—1= 2,解得x = 1 或x =—1, ? P(1 , 3)或(一1, 3)，经检验，点(1 , 3), ( —1, 3)均不在直线y = 2x— 1 上, 故选C. 答案 C 4.(优质试题?石家庄调研)已知曲线y= In x的切线过原点，则此切线的斜率 为() A.e B. — e 1 c.- e 1 D.—- e 1 解析y = In x 的定义域为(0,+x)，且y‘= x，设切点为(X o, In X o)，则 2x —y + 1= 0,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ???当x = 0 时，ya— 1. 2x—y+ 1 = 0,.?. a— 1 = 2, 导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 - 导数的概念及其运算 考纲导视 （一）考纲要求： 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 1的导数． 4．能利用给出的8个基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数]的导数. （二）考纲研读： 1．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数记为f ′(x 0)，它表示y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处切线的斜率，即k ＝ f ′(x 0)．导数源于物理，位移、速度的导数都有明显的物理意义． 2．对于多项式函数的导数，可先利用导数的运算法则将其转化成若干个与8个基本初等函数有关的和差积商形式，再进行求导. 基础过关 （一）要点梳理： 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率： 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为fx 2－fx 1x 2－x 1 ，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数: (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －fx 0Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． (3)物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是 s ＝s (t )，那么该物体在时刻 t 0 的瞬时速度 v ＝s ′(t 0)；如果物体运动的速度随时间变化的规律是 v ＝v (t )，则该物体在时刻 t 0 的瞬时加速度为 a ＝v ′(t 0)。 3．函数f (x )的导函数:称函数f ′(x )＝lim Δx →0 fx ＋Δx －fx Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)????fx gx ′＝f xgx －fxg x g 2x (g (x )≠0)． 第三篇导数及其应用 第1节导数的概念与计算 【选题明细表】 知识点、方法题号 导数的概念与运算1,2,9,11 导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10 导数的综合12,13,14,15 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016莆田模拟)已知f(x)=ln x,则f′(e)的值为( D ) (A)1 (B)-1 (C)e (D) 解析:因为f(x)=ln x, 所以f′(x)=, 则f′(e)=. 2.(2016榆林模拟)函数y=x2sin x的导数为( A ) (A)y′=2xsin x+x2cos x (B)y′=2xsin x-x2cos x (C)y′=x2sin x+2xcos x (D)y′=x2sin x-2xcos x 解析:y′=(x2)′sin x+x2 (sin x)′=2xsin x+x2cos x. 3.(2016山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A ) (A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2 解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0 得x=2,所以S=e2. 4.(2016北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于( A ) (A) (B)3 (C)4 (D)5 解析:直线过点(0,3),(4,5), 所以直线斜率k=,即f′(4)=. 5.(2016成都模拟)函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是( B ) (A)2 (B)2(C)(D)1 解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a, 所以f′(x)=+2x-b, 所以k=f′(b)=+2b-b=+b≥2, 当且仅当=b时取等号, 即b=时,k取得最小值2. 6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于( A ) (A)-2 (B)1 (C)-1 (D)2 解析:因为y′= =, 导数的概念及运算 要点梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为______________，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为________． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率______________＝____________为函数y ＝f (x )在 x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝________________. (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点______________处的____________．相应地，切线方程为________________． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝____________为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 5.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)????f (x )g (x )′＝__________ (g (x )≠0)． 注意： 1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数； (2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 基础自测 1．(课本改编题)f ′(x )是函数f (x )＝1 3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________． 2．(课本精选题)如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是 y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 4．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于 3x －y ＝0，则点P 的坐标为________． 5．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1 2 ，则切点的横坐标为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D.1 2 题型分类 题型一 利用导数的定义求函数的导数 例1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 探究提高 求函数f (x )平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； ②计算平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了． 变式训练1利用导数的定义求函数的导数： (1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1 x ＋2. 题型二 导数的运算 例2 求下列各函数的导数： (1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ? ???x 2＋1x ＋1x 3； 导数概念与计算 4 2 若函数f(x) ax bx c ，满足f '⑴ 2，贝y f'( 1)( 已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( ) A . (0,0) B . (1,1) C . (0,1) D . (1,0) 已知f(x) xln x ，若 f '(X 。) 2，则 X 。 ( ) 2 In 2 D . In2 A . e B . e C . 2 曲线y e r 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A . 1 B . 2 C . e 1 D .- e 设 f °(x) sin x , f'x) f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x) ,…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X ) 等于( ) A . si n x B . si nx C . cosx D . cosx 已知函数 f (x) 的 勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)( ) A . e B . 1 C . 1 D . e 曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为 _____________________ 过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _____________ ，切线的斜率为 求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (3) f (x) x ^ax 2 ln(1 x) 2 (5)y xe 1 cosx 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & 9. B . 2 C . 2 D . 0 (1) f (x) ax 1 2ln x x (2) f(x) x e 2 1 ax (4) y xcosx sin x (6) y 第15讲 导数的概念及运算 1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为(C) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) x >0，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x >0， 所以x ∈(2，＋∞)． 2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是(B) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A ) 导数的概念及计算、定积分检测题 （试卷满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知函数f (x )＝1 x cos x ，则f (π)＋f ′????π2等于( ) A ．－3 π2 B ．－1π2 C ．－3π D ．－1π 解析：选C 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′????π2＝－1π＋2 π×(－1)＝－3π . 2.(2020·沈阳一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x 解析：选B ∵f (x )＝2e x sin x ，∴f (0)＝0，f ′(x )＝2e x (sin x ＋cos x )，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x . 3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3 2t 2＋2t ，那么速度为 零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 解析：选D ∵s ＝13t 3－3 2t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1 ＝1或t 2＝2. 4.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.1 3 B.310 C.14 D.15 解析：选A 由??? y ＝x 2， y ＝x ， 解得????? x ＝0，y ＝0或????? x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为??0 1 (x － x 2 )d x ＝????23x 32－13x 3??? 1 ＝13 . 第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0导数的概念及运算
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