第三篇导数及其应用
第1节导数的概念与计算
【选题明细表】
知识点、方法题号
导数的概念与运算1,2,9,11
导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10
导数的综合12,13,14,15
基础对点练(时间:30分钟)
1.(2016莆田模拟)已知f(x)=ln x,则f′(e)的值为( D )
(A)1 (B)-1 (C)e (D)
解析:因为f(x)=ln x,
所以f′(x)=,
则f′(e)=.
2.(2016榆林模拟)函数y=x2sin x的导数为( A )
(A)y′=2xsin x+x2cos x (B)y′=2xsin x-x2cos x
(C)y′=x2sin x+2xcos x (D)y′=x2sin x-2xcos x
解析:y′=(x2)′sin x+x2 (sin x)′=2xsin x+x2cos x.
3.(2016山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A )
(A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2
解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0
得x=2,所以S=e2.
4.(2016北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于( A )
(A) (B)3
(C)4 (D)5
解析:直线过点(0,3),(4,5),
所以直线斜率k=,即f′(4)=.
5.(2016成都模拟)函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是( B )
(A)2 (B)2(C)(D)1
解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a,
所以f′(x)=+2x-b,
所以k=f′(b)=+2b-b=+b≥2,
当且仅当=b时取等号,
即b=时,k取得最小值2.
6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于( A )
(A)-2 (B)1 (C)-1 (D)2
解析:因为y′=
=,
所以y′=-1,
由条件知=-1,所以a=-1.
7.(2015三明质检)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( D )
(A)[0,) (B)[,)
(C)(,] (D)[,π)
解析:函数导数y′==-4×,
因为e x+≥2,
所以y′∈[-1,0),
所以α∈[π,π).
8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为.
解析:设切点为(x0,y0),y′=4x,
则4x0=4?x0=1,所以y0=2,
所以切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
答案:4x-y-2=0
9.已知函数f(x)=sin x+cos x,且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则= . 解析:f′(x)=cos x-sin x,
由f′(x)=2f(x)得-cos x=3sin x,即tan x=-.
=
=
==.
答案:
10.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:
(1)斜率最小的切线方程;
(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
解:(1)y′=x2-4x+3= (x-2)2-1≥-1,
所以当x=2时,y′=-1,y=,
所以斜率最小的切线过(2,),斜率为-1,
所以切线方程为x+y-=0.
(2)由(1)得k≥-1,
所以tan α≥-1,所以α∈[0,)∪[,π).
能力提升练(时间:15分钟)
11.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为( C )
解析:根据题意得g(x)=cos x,
所以y=x2g(x)=x2cos x为偶函数.
又x=0时,y=0.故选C.
12.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是( C )
(A)y=2x-1 (B)y=x
(C)y=3x-2 (D)y=-2x+3
解析:令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)
·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
13.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.
解析:f′(x)=x-a+.
因为f(x)存在垂直于y轴的切线,
所以x+-a=0有解,
所以a=x+≥2.
答案:[2,+∞)
14.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是.
解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增
函数,
由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),
而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得(,5)为所求
范围.
答案:(,5)
15.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.
解:(1)f′(x)=a-,
于是
解得或
因a,b∈Z,故f(x)=x+.
(2)在曲线上任取一点(x0,x0+).
由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为
y-=[1-](x-x0).
令x=1得y=,
即切线与直线x=1交点为(1,).
令y=x,得y=2x0-1,
即切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围成的三角形的面积为
|-1||2x0-1-1|
=|||2x0-2|=2.
所以,所围成的三角形的面积为定值2.
精彩5分钟
1.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是( B )
(A)(-∞,-1)∪(-1,0) (B)(-∞,-1)∪(0,+∞)
(C)(-1,0)∪(0,+∞) (D)a∈R且a≠0,a≠-1
解题关键:转化为方程f′(x)=-1无解,其中-1为直线l的斜率.
解析:f′(x)=2sin xcos x+2a=sin 2x+2a,直线l的斜率为-1,
由题意知关于x的方程sin 2x+2a=-1无解,
所以|2a+1|>1,
解得a<-1或a>0.
2.(2015长春模拟)已知曲线y=-3ln x+1的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( A )
(A)3 (B)2 (C) 1 (D)
解题关键:设切点的横坐标为x 0,由方程y′=求得x0.
解析:设切点的横坐标为x0,
则y′=-=,
解得x0=3或x0=-2.
又x0>0,
所以x0=3.
故选A.
3.曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是.
解题关键:转化为求两平行线的距离.
解析:如图,所求最小值即曲线的斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,
也即切点到直线y=2x的距离.
由y=ln(2x),
得y′==2,
得x=,y=ln(2×)=0,
即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是(,0),y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.
导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.
课时1 导数的概念及运算 课时目标： 了解导数的概念，理解导数的几何意义，能用导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，2 y x =， 1 y x = 的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 知识梳理： 1.导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作 . (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.记作f ′(x )或y ′. 2.导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝ . 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝ f (x )＝x α(α为常数) f ′(x )＝ f (x )＝sin x f ′(x )＝ f (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ f (x )＝ln x f ′(x )＝ f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝
导数的概念及其运算 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.) 1、函数2 1()ln 2 f x x x =- ,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2、若0()2f x '=,则=--→k x f k x f k 2) ()(lim 000 ( ) A.0 B. 1 C. —1 D.2 3、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( ) A.034=--y x B.034=-+y x C.034=+-y x D.034=++y x 4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( ) A.?30 B.?45 C.?60 D.?120 5、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则 2010()f x =( ) A.x sin B. x sin - C.cos x - D.cos x 6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( ) A.5 B.52 C.53 D.0 7、已知函数2log ,0, ()2,0.x x x f x x >?=?≤? 若'()1f a =,则a =( ) A.2log e 或22log (log )e B.ln 2 C.2log e D.2或22log (log )e 8、下列结论不正确的是( ) A.若3y =,则0y '= B.若3y x =,则1|3x y ='=
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
高三数学一轮复习——导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知 识 梳 理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导 函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0
导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
导数的概念及运算、选择题 1.设曲线y= e ax—ln( x + 1)在x = 0处的切线方程为 1 解析??? y= e ax—ln( X+ 1) , ? y，= ae ax—x+1, ???曲线y= e ax—ln( X+ 1)在x = 0处的切线方程为即a= 3.故选D. 答案 D 2.若f(x) = 2xf' (1) + x2，则 f ‘ (0)等于( ) A.2 B.0 C. — 2 D. —4 解析??? f ‘ (x) = 2f ‘ (1) + 2x，?令x = 1,得 f ‘(1) = —2, (0) = 2f ‘ (1) = — 4. 答案 3.(优质试题?西安质测)曲线f(x) = x3—x + 3在点P处的切线平行于直线y = 2x —1,则P点的坐标为( ) A.(1 , 3) B.( —1, 3) C.(1 , 3)和(一1, 3) D.(1 , —3) 解析 f ‘(X)= 3x2—1,令 f ' (x) = 2,则3x2—1= 2,解得x = 1 或x =—1, ? P(1 , 3)或(一1, 3)，经检验，点(1 , 3), ( —1, 3)均不在直线y = 2x— 1 上, 故选C. 答案 C 4.(优质试题?石家庄调研)已知曲线y= In x的切线过原点，则此切线的斜率 为() A.e B. — e 1 c.- e 1 D.—- e 1 解析y = In x 的定义域为(0,+x)，且y‘= x，设切点为(X o, In X o)，则 2x —y + 1= 0,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ???当x = 0 时，ya— 1. 2x—y+ 1 = 0,.?. a— 1 = 2,
导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -
专题3.1 导数的概念及运算、定积分 【考情分析】 1.了解导数概念的实际背景； 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1 x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数； 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数； 5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义； 6.了解微积分基本定理的含义。 【重点知识梳理】 知识点1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′（x ）＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 。 【特别提醒】函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。 (2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)。 【特别提醒】曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线。 (3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数。 (4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0。 知识点2．基本初等函数的导数公式
第三篇导数及其应用 第1节导数的概念与计算 【选题明细表】 知识点、方法题号 导数的概念与运算1,2,9,11 导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10 导数的综合12,13,14,15 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016莆田模拟)已知f(x)=ln x,则f′(e)的值为( D ) (A)1 (B)-1 (C)e (D) 解析:因为f(x)=ln x, 所以f′(x)=, 则f′(e)=. 2.(2016榆林模拟)函数y=x2sin x的导数为( A ) (A)y′=2xsin x+x2cos x (B)y′=2xsin x-x2cos x (C)y′=x2sin x+2xcos x (D)y′=x2sin x-2xcos x 解析:y′=(x2)′sin x+x2 (sin x)′=2xsin x+x2cos x. 3.(2016山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A ) (A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2 解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0
得x=2,所以S=e2. 4.(2016北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于( A ) (A) (B)3 (C)4 (D)5 解析:直线过点(0,3),(4,5), 所以直线斜率k=,即f′(4)=. 5.(2016成都模拟)函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是( B ) (A)2 (B)2(C)(D)1 解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a, 所以f′(x)=+2x-b, 所以k=f′(b)=+2b-b=+b≥2, 当且仅当=b时取等号, 即b=时,k取得最小值2. 6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于( A ) (A)-2 (B)1 (C)-1 (D)2 解析:因为y′= =,
导数的概念及运算 要点梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为______________，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为________． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率______________＝____________为函数y ＝f (x )在 x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝________________. (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点______________处的____________．相应地，切线方程为________________． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝____________为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 5.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)????f (x )g (x )′＝__________ (g (x )≠0)． 注意： 1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数；
(2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 基础自测 1．(课本改编题)f ′(x )是函数f (x )＝1 3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________． 2．(课本精选题)如图，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是 y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 3．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________. 4．已知点P 在曲线f (x )＝x 4－x 上，曲线在点P 处的切线平行于 3x －y ＝0，则点P 的坐标为________． 5．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1 2 ，则切点的横坐标为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D.1 2 题型分类 题型一 利用导数的定义求函数的导数 例1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 探究提高 求函数f (x )平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf ＝f (x 2)－f (x 1)； ②计算平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . 解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了． 变式训练1利用导数的定义求函数的导数： (1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1 x ＋2. 题型二 导数的运算 例2 求下列各函数的导数： (1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ? ???x 2＋1x ＋1x 3；
导数概念与计算 4 2 若函数f(x) ax bx c ，满足f '⑴ 2，贝y f'( 1)( 已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( ) A . (0,0) B . (1,1) C . (0,1) D . (1,0) 已知f(x) xln x ，若 f '(X 。) 2，则 X 。 ( ) 2 In 2 D . In2 A . e B . e C . 2 曲线y e r 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A . 1 B . 2 C . e 1 D .- e 设 f °(x) sin x , f'x) f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x) ,…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X ) 等于( ) A . si n x B . si nx C . cosx D . cosx 已知函数 f (x) 的 勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)( ) A . e B . 1 C . 1 D . e 曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为 _____________________ 过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _____________ ，切线的斜率为 求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (3) f (x) x ^ax 2 ln(1 x) 2 (5)y xe 1 cosx 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & 9. B . 2 C . 2 D . 0 (1) f (x) ax 1 2ln x x (2) f(x) x e 2 1 ax (4) y xcosx sin x (6) y
第15讲 导数的概念及运算 1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为(C) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0) x >0，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x >0， 所以x ∈(2，＋∞)． 2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是(B) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )
第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0
2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》 导数的概念及运算 1．导数与导函数的概念 (1)一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－ 1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝1 x ln a 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
导数概念及其意义 自主梳理 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－ y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________________＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即______________________________． (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________．导函数y ＝f ′(x )的值域即为_切线斜率的取值范围． 3．函数f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作____________． 4．基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝______ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝______ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝__________ F (x )＝cos x f ′(x )＝____________ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝____________(a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝__________(a >0， a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝__________ 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )g (x )]′＝______________； (3)????f (x )g (x )′＝______________ [g (x )≠0]．
第10节导数的概念与计算 课时训练练题感提知能【选题明细表】 知识点、方法题号 导数的概念及运算1、2、3、12 导数的几何意义4、5、7、8、9、13 导数的综合问题6、10、11、14 一、选择题 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则 为( C ) (A)Δx++2 (B)Δx--2 (C)Δx+2 (D)Δx-+2 解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2 =(Δx)2+2·(Δx), ∴=Δx+2,选C. 2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( D ) (A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4 解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x, ∴f′(1)=2f′(1)+2,
∴f′(1)=-2,
∴f′(x)=2x-4, ∴f′(0)=-4. 故选D. 3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x=1处的导数是( B ) (A)0 (B)2cos 1-sin 1 (C)cos 1-sin 1 (D)1 解析:∵y′=(x2cos x)′ =(x2)′cos x+x2(cos x)′ =2xcos x-x2sin x, ∴在x=1处的导数为2cos 1-sin 1, 故选B. 4.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为( C ) (A)y=-x-1 (B)y=-x+3 (C)y=x+1 (D)y=x-1 解析:y′=2-, 所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1, 因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1, 即y=x+1,故选C.
§3.1 导数的概念及运算 1．导数与导函数的概念 ，那么这个值就是函数 平均变化率趋于一个固定的值时，如果0趋于x Δ，即0x 趋于1x 当(1)y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常 用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x1→x0 错误!＝错误!错误!. (2)如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝ lim Δx→0错误!，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜 ． )0x ′(f ＝k ，即k 率 3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[错误!]′＝错误!(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))的导数为y x′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． 知识拓展 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ×) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ×) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ×) (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ×) 题组二教材改编 2．若f(x)＝x·e x，则f′(1)＝. 答案2e 解析∵f′(x)＝e x＋x e x，∴f′(1)＝2e.