傅里叶变换与傅里叶级数

重温傅里叶—笔记篇

本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明）

重温傅里叶—笔记篇

一、傅里叶级数

$关于三角函数系的正交性：

三角函数系包括：

1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,……

“正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。

不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。

同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。

三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。

$

上公式!

①当周期为2π时：

式（1）：

上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件：

1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点；

2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）

式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。

第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。

②当周期为2L时（这也是最一般的情形）：

式（2）：

第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值；

第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。

$傅里叶级数的复数表达方式

同样设周期为2L。根据欧拉公式，正余弦函数都可以用复指数表示出来。这样上面式（2）中的第一行：

可以表示为：

令：

c n与c-n互为共轭。这样式（4）变为：

由式（5）和式（2）中对a0 b0a n b n c0 c-n的定义，可以发现c n可统一表达为：

将傅里叶级数用复数表示后，就是式（6）和式（7）这样简洁的形式。

简单分析：

②若f(x)为偶（或奇）函数，则所有的b n(或a n)将为0，此时的c n将变为实数（或纯虚数），且a n(或b n)是转换后所得的c n的2（或2i）倍，而c-n与c n相等（或纯虚共轭）。

二、复变函数中的傅里叶变换

$先上公式：

定理：若f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，即f(t)的绝对值在（-∞,+∞）上收敛，则F(ω)在（-∞,+∞）上存在且连续（F(ω)的连续性在复变函数的教科书中一般都有证明）。F(ω)是实变复值函数，即变量ω是在实数区间（-∞,+∞）定义，而函数值F(ω)却在复数空间。

式（9）的条件是：f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，并在任一有限区间满足狄立克雷充分条件。

$若f(t)为偶函数，则F(ω)将为纯实数，且同为偶函数；

若f(t)为奇函数，则F(ω)将为纯虚数，且同为奇函数；

而对任意f(t)，F(ω) 与F(-ω)始终共轭，这意味着|F(ω)| 与| F(-ω)| 恒相等，即F(ω)的绝对值是偶函数。

$由于要求f(t)绝对可积，所以对于周期函数一般是不能用傅里叶变换的，只能用傅里叶级数分析。（周期函数往往不能收敛）。

三、总结性说明

周期函数可以看成由很多频率是原函数频率整数倍的正余弦波叠加而成，每个频率的波都有各自的振幅和相位，必须将所有频率的振幅和相位同时记录才能准确表达原函数。但从上面的公式来看，我们好像从没涉及到相位？其实不然，从式（2）来看，我们将每个频率的波分成了一个正弦分量和一个余弦分量，同时记录了这两个分量的振幅a n、b n其实就已经包含了这个频率的波的相位信息；而对于式（6a），每个频率的波被分成了正负两个频率的复数“波”，这种方式其实比正余弦形式更加直观，因为复振幅c n恰好同时记录了这个频率的振幅和相位，它的物理意义很明显：c n的幅值|c n| 即为该频率的振幅（准确的说是振幅的一半），而其辐角恰好就是相位（准确的说是反相的相位，c-n的辐角才恰好代表该频率波分量的相位）。

傅里叶变换针对的是非周期函数，或者说，周期为无穷的函数。它是傅里叶级数的一个特例（好吧，我曾经一直以为傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例，正好相反，刚前几天才想通透）。当傅里叶级数的周期L趋于无穷时，自然就变成了上面的傅里叶变换。这种关系从二者的表达式中大概能看出点端倪，但是也不是特别明显，毕竟它们的表达形式差别还挺大。如果不把傅里叶级数表达成复数形式，那就更加难看出二者之间的联系了，这也是为什么本文中详细列出了复数形式的傅里叶级数。傅里叶变换要求f(t)在（-∞,+∞）上绝对可积，其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内的积分必须收敛”。在深入篇中，我再好好说说二者是如何联系的。

傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换

傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o

)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

傅里叶变换与傅里叶级数

重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。

$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）

式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里

叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭

基于傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示

基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示 一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示 傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。 经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为： 其中u=0,1,2,...,M-1和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u和v用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u和v用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。 傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman原图像及其频谱分布图： cameraman原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。 图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR）对图像进行评价，公式如下： PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)

MSE是原图像与处理后图像之间均方误差，n是每个采样值的比特数。通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时： N=1 PSNR=12.2353所取频谱系数对应图 单独取第9个系数时： N=1 PSNR=6.3108第9个频谱系数对应图

N=2 PSNR= 13.1553所取频谱系数对应图 N=10 PSNR=15.4961 所取频谱系数对应图 N=50 PSNR=17.1111 所取频谱系数对应图

拉氏变换和傅里叶变换的关系

拉氏变换和傅里叶变换的关系 一、拉氏变换 1、拉氏变换的定义： 如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为 ()()()0e d st F s L f t f t t ∞ -=?????? (2.10) s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ?∞-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。 2、拉氏变换的意义 工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。 在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用 二、傅里叶变换 1、傅里叶变换的定义： f(t ）是t 的函数，如果t 满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t ）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F （ω）的傅立叶逆变换。F （ω）叫做f(t ）的像函数，f(t ）叫做 F （ω）的像原函数。F （ω）是f(t ）的像。f(t ）是F （ω）原像。 ① 傅里叶变换 ②

傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题

1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题 由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。 第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即 ()∞

吉布斯现象： 当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。 2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题 假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有 ()()∑∞-∞=-= r rN n x n x ~ 或表示为()()()N n x n x =~。于是()n x ~ 与()n x 的关系表示为： ()()()N n x n x =~ ()()()n R n x n x N ~= 将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有： ()()kn N N n W k X N n x --=?=∑10~~ 1 ()()kn N N n W n x k X ?=∑-=10~ ~ 其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将()k X ~的主值周期记为()k X ，10-≤≤N k ，由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1，在次区间内()n x ~ =()n x ，因此可以得到： ()()kn N N n W n x k X ∑-==10~， 10-≤≤N k ()()kn N N n W k X N n x --=∑=10~1， 10-≤≤N n 表明时域N 点有限长序列()n x 可以变换成频域N 点有限长序列()k X 。显然，DFT 与DFS 之间存在以下关系： ()()()N k X k X =~

详解傅里叶变换与小波变换

详解傅里叶变换与小波变化 希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代

数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换 的对比异同 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢b取多少才合适呢于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件,就是

傅里叶级数与傅里叶变换关系与应用

论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 目录 摘要： 0 关键词 0 Abstract 0 1绪论 (1) 2傅里叶级数的概念 (1) 2.1周期函数 (2) 2.2傅里叶级数的定义 (2) 3 傅里叶变换的概念及性质 (10) 3.1傅里叶变换的概念 (10) 3.2傅立叶变换的性质 (11) 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12) 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12) 5.1傅里叶级数的应用 (12) 5.2傅里叶变换的应用 (13) 参考文献 (15)

傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。 傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性 Fourier series And Fourier Transforms Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms. Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications. Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features. Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述

傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述（更正版） ——老师不会这么讲，书上也不会讲 注：原来上传到百度文库的文档有较多问题，或者阐述不清楚，因原文档无法删除，只能重新上传一次了。此为更正版。 很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，傅里叶变换到底是怎样一种变换？具体又怎么变换？有没有确切一点，或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试从以一种可理解的、物理的方式来解释，并尽量形象地讲出来，形式是探究、渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？书上说：这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基上的投影很好理解，因为各矢量正交基在空间是垂直关系，原矢量在各正交基上的投影就是其模值乘以与各正交基夹角余弦值。那么，傅里叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？投影也是取余弦值么？

几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换

几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换 夏巨伟 (浙江大学空间结构研究中心) 摘要：传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。 关键词：傅里叶变换；小波变换；时频分析技术； 1 傅里叶变换（Fourier Transform ） 1 2/201 22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞ --∞∞--∞?=??=??????????→????=?=??? ∑??∑离散化(离散取样) 周期化（时频域截断） 2 小波变换（Wavelet Transform ） 2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/） 从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ?∈?=? ∈??，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由 于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连 续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点， D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。 22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt h t df g t G f e d T ππτττττ +∞ --∞ +∞+∞ -∞ -∞ =-=-??? ：：

初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换,拉氏变换,Z变换三者之间的关系

初学者-从信号与系统角度浅谈傅里叶变换，拉氏变换，Z 变换三者之间的关系 一 傅里叶级数展开与傅里叶变换 之所以要将一个信号f(t)进行傅里叶级数展开或傅里叶变换是因为一般自然界信号都非常复杂，且表面上并不能直观的表现出频率与幅值的关系，而一个信号的大部分有效信息恰藏于其频谱上，即其幅频关系和相频关系上。通过傅里叶级数展开或傅里叶变换，可将自然界中复杂的信号分解成简单的，有规律的基本信号之和或积分的形式，并且可以明确表达出周期信号的离散频谱和非周期信号的连续频谱函数。 傅里叶级数展开是对于周期信号而言，如果该周期信号满足狄利克雷条件（在电子和通讯中大部分周期信号均满足），周期信号就能展开成一组正交函数的无穷级数之和，三角函数集在一个周期内是完备的正交函数集，使用三角函数集的周期函数展开就是傅里叶级数展开，而欧拉公式是将三角函数和复指数连接了起来，所以傅里叶级数可展开成三角函数或复指数两种形式，此时就可画出信号的频谱图，便可直观的看到频率与幅值和相位的关系。 既然是级数和展开，则上述频谱图中横轴表示n 倍的角频率，是一个离散频谱图，那么由离散频谱的间隔与周期的反比关系知当f(t)的周期T 趋近于无穷大时，周期信号变成了非周期信号，谱线间隔趋近于无穷小，谱线无限的密集而变成为连续频谱，该连续频谱即为频谱密度函数，简称频谱函数，该表达式即是我们熟悉的傅里叶变换，傅里叶变换将信号的时间函数变为频率函数，则其反变换是将频率函数变为时间函数，所以傅里叶变换建立了信号的时域与频域表示之间的关系，而傅里叶变换的性质则揭示了信号的时域变换相应地引起频域变换的关系。 二 傅里叶变换与拉氏变换 上述的傅里叶变换必须是在一个信号满足绝对可积的条件下才成立，那么对于不可积的信号，我们要将它从时域移到频域上，就要将原始信号乘上一个衰减信号将其变为绝对可积信号再做傅里叶变换，即为 f t e ?σt e ?j ωt ∞?∞dt = f(t)e ?(σ+j ω)t dt ∞?∞= f(t)e ?st ∞ ?∞ dt s=σ+j ω 变为拉氏变换，如令σ=0则拉氏变换就变成了傅里叶变换，所以傅里叶变换是S 域仅在虚轴上取值的拉氏变换，拉氏变换是傅里叶的推广，拉氏变换的收敛域就是f t e ?σt 满足绝对可积条件的σ值的范围，在收敛域内可积，拉氏变换存在，在收敛域外不可积，拉氏变换不存在。拉氏变换针对于连续时间信号，主要用于连续时间系统的分析中，对一个线性微分方程两边同时进行拉氏变换，可将微分方程转化成简单的代数运算，可方便求出系统的传递函数，简化了运算。

傅里叶Fourier级数的指数形式与傅里叶变换

(4) 2 T 2 T f (t)dt 傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。 通过对描述实际对象数学模型的数学分析、 求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。 傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。 我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有 2 2 数。在连续点处 有限个第一类间断点; 2。 只有有限个极值点。 那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级 f(t) a 0 ,. (a n cosn ?t b n sin n ?t) (1) 其中 a n T 2 f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)， _2 根据欧拉（Euler ）公式: b n ；认）州艸（n=1,2,3,）， (3) e" - cos ： j si ， （1）式化为 f(t)二色二 a 2 J e jn e" n jn ? ￡ j jn ? t +b e —e M n 2j 若令 a n - j b n 一 2 jn ;.-：t . a n jb n ?弓曲 2 」，

傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换复习过程

傅里叶(F o u r i e r)级数的指数形式与傅里 叶变换

傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就 可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ，

和输出 y[n] 的傅里叶变换关系如下

马萨诸塞州技术学院 电气工程与计算机科学系 6.341：离散时间信号处理 开放课程课件 2006 第2讲 背景知识复习 相位、群延迟和广义线性相位 ——————————————————————————————————————— 阅读： Oppenheim ，Schafer & Buck （OSB ）中的5.1，5.3和5.7部分。 ——————————————————————————————————————— 相位 一个 LTI 系统的频率响应 H (e )(z H j ω ) 可在单位圆 z = 1 上求得。 H (e j ω ) = ω j e z z H =)(系统输入x [n ] 和输出 y [n ] 的傅里叶变换关系如下 Y (e j ω ) = H (e j ω ) X (e j ω ) 通过观察幅度-相位表达式，可以更详细地理解输入-输出关系。 幅度/相位表示 例子： 在幅度/相位表示中，频率响应是实数不能充分意味着系统是零相位。 利用这个表达式， 且 则)(ωj e H 和 一般分别指系统增益和相移。

在幅度和相位图中，当ω通过单位圆上的零点时，幅度为零，相位跳变π，如下图所示。 椭圆型低通滤波器的幅度和相位响应 如果H(e jω )是实数且双极性的，经常更简单自然地用另一种表达式来移除相位图中π的 这些跳变。 振幅/相位表示 A(e jω ) 是实数但不一定是正数，这样θ2(ω) 不同于上面的θ1(ω)。A(e jω ) 存在符号的变 化，且在θ2(ω) 不存在π的跳变。 例子： 考虑下图给出的h[n]。 在幅度/相位表示中，θ1(ω) 在符号变化处有π的跳变。 在振幅/相位表示中，θ2(ω) = －ω(N－1)/2，斜率为－(N－1)/2的直线，而且在这个表达式中，无论A