阶段强化练(四)
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
答案 B
解析对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
2．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，且(b＋λa)⊥a，则实数λ的值为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 D
解析已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，b＋λa＝(2,1＋λ)，(b＋λa)⊥a，即(b＋λa)·a ＝1＋λ＝0?λ＝－1. 故选D.
3．(2019·四省联考诊断)若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2) B．(－∞ ,2)
C．(－2,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案 D
解析a－b＝(0,2－m)，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得
a－b b |a－b||b|
＝
2m－m2
|2－m|·1＋m2
<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.故选D.
4．(2019·成都七中诊断)已知向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)，则a－2b在b方向上的投影为( )
A．2 B．－2 C．－2 5 D．2 5
答案 B
解析向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)，
∴a－2b＝(－2,1)，
∴(a－2b)·b＝(－2,1)·(3，－4)＝－10，
|b|＝32＋－2＝5，
∴向量a －2b 在向量b 方向上的投影为 |a －2b |cos 〈(a －2b )，b 〉＝a －2b b
|b |
＝－10
5
＝－2.
故选B.
5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 B
解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12
(AB →＋AC →)
＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n
2＝1，
∴m ＋n ＝2.
6．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若
P 为底边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →
)( )
A ．有最大值8
B ．是定值2
C ．有最小值1
D ．是定值4
答案 D
解析 如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD →
＋DP →)·2AD →＝2AD →2＋2DP →·AD →＝2AD →2＝2×(2)2
＝4.故选D.
7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e 1，e 2对于任意实数λ，都有?
?????e 1＋12e 2≤|e 1
－λe 2|成立，则向量e 1，e 2的夹角为( ) A.π6 B.2π3 C.π3 D.5π6 答案 B
解析 设单位向量e 1，e 2的夹角为θ，
∵对于任意实数λ都有??????e 1＋12e 2≤|e 1－λe 2|成立，
∴对于任意实数λ都有??????e 1＋12e 22≤|e 1－λe 2|2
成立，
即e 21＋14e 22＋|e 1||e 2|cos θ≤e 21＋λ2e 2
2－2λ|e 1||e 2|cos θ，
即1＋14
＋cos θ≤1＋λ2
－2λcos θ ，
即λ2
－2λcos θ－? ????14＋cos θ≥0恒成立，
∴Δ＝4cos 2
θ＋4? ??
??14＋cos θ≤0 ，
整理可得?
????cos θ＋122≤0, 再由? ????cos θ＋122≥0，可得? ????cos θ＋122＝0 ， 故cos θ＝－12，∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π
3.
故选B.
8．(2019·赣州十四县(市)期中联考)如图，正六边形ABCDEF 中，AC →·BD →
的值为18，则此正六边形的边长为( )
A ．2
B ．2 2
C ．3
D ．2 3
答案 D
解析 设正六边形的边长为a ，由余弦定理得AC ＝BD ＝a 2
＋a 2
－2·a ·a ·cos 120°＝3a ，由图得AC →，BD →的夹角为60°，所以AC →·BD →
＝3a ·3a ·cos 60°＝18，∴a ＝2 3.故选D.
9．(2019·凉山诊断)设△ABC 是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则AB →
·(FB →＋FC →
)的值为( )
A ．3
B ．2 3
C ．4
D ．3 3 答案 A
解析 AB →·(FB →＋FC →)＝AB →·2FE →＝AB →·AE →＝AB →·12(AB →＋AC →)＝12
(AB →2＋AB →·AC →)
＝12? ????22
＋2×2×cos π3＝3，
故选A.
10．(2019·安徽皖南八校联考)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，则AC →·AB →
的值为( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－8
答案 D
解析 因为AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，所以AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝(AB →＋3BD →)·AB →＝AB →2
＋3BD →·AB →＝4－3|AB →||BD →|cos∠ABD ＝4－3|AB →|2
＝－8，故选D.
11．(2019·晋江四校期中)点M 是△ABC 的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且AN →＝xAB →
＋
yAC →
，若x ＋y ＝13
，则△NBC 的面积与△ABC 的面积的比值是( )
A.12
B.13
C.23
D.14 答案 C
解析 如图，设BM →＝λBC →
(0<λ<1)，
AM →
＝μAN →
(μ≥1)，
∴AN →＝1μAM →＝1μ(AB →＋BM →)＝1μ
(AB →＋λBC →
)
＝1μ(AB →＋λAC →－λAB →)＝1－λμAB →＋λμ
AC →，
∵AN →＝xAB →＋yAC →
，且x ＋y ＝13，
∴
1－λμ＋λμ＝1μ＝1
3
，则μ＝3. ∴AM →＝3AN →，则AM →＝32
NM →，
又∵△NBC 与△ABC 的底边BC 相等，
∴△NBC 的面积与△ABC 的面积的比值是|NM →
||AM →|＝2
3.
故选C.
12．(2019·长沙长郡中学调研)已知△ABC 中，2AB →＋AC →－5AD →
＝0，延长BD 交AC 于E ，则
|AE →||AC →|等于( ) A.14 B.23 C.12 D.13 答案 D
解析 取特殊三角形，令A (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，
则有D ? ??
??25，15，直线BD 的方程为y －015－0＝x －125
－1，
化简得y ＝－13x ＋13，令x ＝0，解得y ＝1
3，
所以E ? ????0，13，
|AE →
||AC →|
＝1
31＝13，故选D. 二、填空题
13．(2019·山师大附中模拟)单位向量a ，b 的夹角为60°，则|a －2b |＝__________. 答案
3
解析 因为|a －2b |2
＝a 2
＋4b 2
－4a ·b ＝3， 所以|a －2b |＝ 3.
14．△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝60°，E 为边AC 的中点，AD →＝23AB →＋13AC →，则CD →·BE →
的
值为________． 答案 －4
解析 ∵AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝60°， ∴CB →·CA →
＝3×4×12
＝6，
∵E 为边AC 的中点，∴BE →＝CE →－CB →＝12CA →－CB →
，
∵AD →＝23AB →＋13
AC →，
∴CD →＝AD →－AC →＝23AB →－23AC →＝23CB →，
∴CD →·BE →＝23CB →·? ????
12CA →－CB →
＝13CB →·CA →－23
CB →2
＝2－6＝－4. 15．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若等边△ABC 的边长为2，平面内一点M 满足CM →＝12CB →－
13CA →，则AM →·BM →
的值为________． 答案
169
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，C (－1,0)，B (0，3)，
CA →
＝(2,0)，CB →
＝(1，3)，
所以CM →＝12CB →－13CA →＝1
2(1，3)－13(2,0)＝? ????－16，32，
所以AM →＝AC →＋CM →
＝(－2,0)＋? ????－16，32
＝? ??
??－13
6，32， 所以BM →＝BC →＋CM →
＝(－1，－3)＋? ??
??－16，32
＝? ????－7
6
，－32，
所以AM →·BM →＝? ????－13
6，32·? ????－76
，－32＝169.
16．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)P 为等腰直角三角形ABO 内一点，O 为直角顶点，|AO →|＝1，则|PA →|2＋|PB →|2＋|PO →|2
的最小值为________． 答案 43
解析 建立如图坐标系， 设点P (x ，y )，A (1,0)，B (0,1)．
根据点和点的距离公式得到|PA →|2＋|PB →|2＋|PO →|2＝x 2＋y 2＋x 2＋(y －1)2＋(x －1)2＋y 2＝3x 2
＋3y 2
－2(x ＋y )＋2
＝3??????? ????x －132＋? ????y －132＋43
， 当x ＝13，y ＝13时取得最小值43.
三、解答题
17．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角； (2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)， ∴cos〈a ＋b ，a －b 〉＝
－2，
，－
40×20
＝
－20
40×20
＝－2
2.
又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π
4
. (2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0,
∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0， ∴λ＝－1.
18．(2019·吉林通榆一中期中)已知OA →＝(2a sin 2
x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →
＋b ，b >a . (1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；
(2)若函数y ＝f (x )的定义域为????
??π2，π，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值． 解 (1)f (x )＝－2a sin 2
x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ?
????2x ＋π6＋b ，
∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2，
得k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z .
∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是
????
??k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．
(2)当x ∈??????π2，π时，2x ＋π6∈??????7π6，13π6，
sin ?
????2x ＋π6∈??????－1，12.
当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ]，
∴????? －2a ＋b ＝2，
a ＋
b ＝5，
得?????
a ＝1，
b ＝4.
当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ]，
∴???
??
a ＋
b ＝2，
－2a ＋b ＝5，得???
?? a ＝－1，
b ＝3.
综上知?
??
??
a ＝－1，
b ＝3或?
??
??
a ＝1，
b ＝4.
数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?
最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁， 在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一 平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数 问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 数系的扩充
O A P Q B a b 第4题 法. 第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若，则；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是 且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简得 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线， 则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若＝a ，＝b ，则＝， ＝ (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：. 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由和可得， （1） 由和可得， （2） （1）+（2）得， （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴，， =a b =a b DC AB =,==a b b c =a c =a b =a b //a b //a b //b c //a c AC -BD +CD -AB 0AB BC CD OA OB OP 21 33+a b OQ 12 33 +a b 2AB DC EF +=EA AB EB +=EF FB EB +=EA AB EF FB +=+ED DC EC +=EF FC EC +=ED DC EF FC +=+2EA ED AB DC EF FB FC +++=++0EA ED +=0FB FC += D C E F A 例1
高考微点二 复数、平面向量与算法 牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z － ＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定
数学思维与训练 高中（三） ------------向量复习专题 向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。 附Ⅰ、平面向量知识结构表 1． 考查平面向量的基本概念和运算律 此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷) | a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2．(江西卷·理6文6) 已知向量 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．(重庆卷·理4)已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向 量与 的夹角为 （ C ） A ． B ． C ． D ．－ 4．(浙江卷)已知向量≠，||＝1，对任意t ∈R ，恒有| －t |≥| －|，则 （ ） 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 定比分点公式 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用
第六章 平面向量与复数 , 第32课 向量的概念与线性运算 激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC → ＝________． 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________． 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件． (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC → |，则△ABC 的形状是________． 知识梳理 1. 向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________． (3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线． (4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量． 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量．
§5.4复数 最新考纲考情考向分析 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数 形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复 平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示. 4.能进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 主要考查复数的基本概念(复数的实部、 虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相 等的充要条件，考查复数的代数形式的 四则运算，重点考查复数的除法运算， 突出考查运算能力与数形结合思想.一 般以选择题、填空题的形式出现，难度 为低档. 1.复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类a＋b i为实数?b＝0
(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ). (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R ). (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R ). 2.复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系. 3.复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.
高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）
A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
历年平面向量高考试 题汇集
高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12
第06练-平面向量与复数 一、单选题 1．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1 2 D ．-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-，∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y x 取值范围为（ ） A ．???? B ．???? ?? ???? U C ．?? D ．)( ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠， y x 表示圆上点（去掉与x 轴交
点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】 虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1， 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠， y x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y x 取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= ， 切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - ， 所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】 本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题. 4．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ?=u u u v u u u v （ ） A ．1 2 - B ．0
§5.2平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数 乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、 数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向 量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能 力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查， 突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形 式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解 答题，属于中档题.
1.平面向量基本定理 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量及向量的模的坐标表示 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)平面向量的坐标运算 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1). 3.平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线?x 1y 2－x 2y 1＝0.
一、多选题 1．下列说法中错误的为（ ） A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ?? =- ??? 不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b B a =，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 4．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 5．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33??-- ??? D ．(7，9) 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
高考数学专题练习：平面向量与复数 1．已知向量a ＝(－1,2),b ＝(3,m ),m ∈R ,则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：由题意得a ＋b ＝(2,2＋m ),由a ∥(a ＋b ),得－1×(2＋m )＝2×2,解得m ＝－6,则m ＝－6时,a ＝(－1,2),a ＋b ＝(2,－4),所以a ∥(a ＋b ),则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件,故选A. 答案：A 2．在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,已知AD ＝4,BC ＝6,若CD →＝mBA →＋nBC →(m ,n ∈R ),则m n ＝( ) A ．－3 B ．－13 C.13 D ．3 解析：过点A 作AE ∥CD ,交BC 于点E ,则BE ＝2,CE ＝4,所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝ －26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →,所以m n ＝1－13 ＝－3. 答案：A 3．已知向量a ＝(x ,3),b ＝(x ,－3),若(2a ＋b )⊥b ,则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：因为(2a ＋b )⊥b ,所以(2a ＋b )·b ＝0,即(3x ,3)·(x ,－3)＝3x 2－3＝0,解得x ＝±1,所以a ＝(±1,3),|a |＝ ±12＋32＝2,故选D. 答案：D 4．已知向量a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),且|a ＋b |＝|a －b |,则|a |＝( ) A ．1 B.62 C. 2 D ．4 解析：∵a ＝(m,1),b ＝(m ,－1),∴a ＋b ＝(2m,0),a －b ＝(0,2),又|a ＋b |＝|a －b |,∴|2m |＝2,∴m ＝
高中数学复习讲义第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1） 由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ， 代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1
平面向量高考真题精选（一） 一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、
BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N
平面向量 一、向量 1、即有大小又有方向的量叫向量 2、O 方向是任意的 3、单位向量a =1 4、平行向量?共线向量 ?//,a b a b ? 方向相同或相反。（注意//o a ） 5、相反向量,a a - 6、相等向量——方向相同，长度相等。 注：//,////a b b c a c ?/ （当b o = 不成立）。 二、向量的运算 1．加法 （1）平行四边形法则（共起点、对角线） （2）三角形法则（首尾相连，起点到终点） 122311n n n A A A A A A A A -+++= 2．减法，共起点，终点指向被减数向量 3．实数与向量的积 （1）a λ 仍是一个向量|||||| 0000a a a a a a a λλλλλλλλ=?? >??
①a b b a ?=? ②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ③()a b c a c b a +?=?+? 但 ()()a b c a b c ??≠?? a b a c b c ?=??=/ ()0a b a o b o ?=?==/ 或（可能a ⊥b ） (4)cos ||||a b a b θ?==? (5) ||||||a b a b ?≤? 三、平面向量的基本定理 12,e e 不共线，在平面内任一向量a ，有且仅有唯一12,R λλ∈，使1122a e e λλ=+ 。当12,e e 为i ，j 时，12(,)λλ即为直角坐标 四、平面向量的坐标运算 1. 11222121(,)(,)(,)A x y B x y AB x x y y =-- 则 2. 1212(,)a b x x y y ±=±± 3. 1212a b x x y y ?=+ 4. 12120a b x x y y ⊥?+= 5. 1221//0a b x y x y ?-= ?=λ（)R ∈λ cos θ= 7. a b 在五、定比分点公式 AP AP PB PB λλ=?= 000,1P P P A P λλλλ>??
平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ） A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一：对于非零向量→ →b a ,，“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得 → → =a b λ D 若存在实数λ，使得→ → =a b λ，则→ → → → =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线， 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→ →21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数 k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP += 则（ ） A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示) 例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+
第四章 平面向量与复数第4课时 复 数 1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2i i (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限． 答案：三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ） ＝－2－3i. 2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案：1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝0－5i 5＝－i ，故|z|＝1. 3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________． 答案：－3 解析：由a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3. 4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z －z －z －＝________． 答案：－i 解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i ＝－i. 5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai 1－i ＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________． 答案：2 解析：由2＋ai 1－i ＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2. 6. 若z －·z ＋z ＝154 ＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 答案：－12 ＋2i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154 ＋2i ，所以?????x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得?????x ＝－12，y ＝2， 所以z ＝－12 ＋2i. 7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________． 答案：2 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2. 8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________. 答案：19
重视复平面上复数与向量的联系作用 平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情. 一 复数商与内积的联系 复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系. 例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2). 然后复数作商: 代数式作商: 21z z =2221122121||)()(z i b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商： 21z z =| || |21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得 ||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z b b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112| |z b a b a -………(4) 则从中可得下列变式： (1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ1-θ2| |||212121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ 1-θ2 |∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|). (2) 向量内积: 1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2). 若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b 2 -a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|, 这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式. 复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=,