32
|{a x a
x <
<- ［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
练习二
（5）同步练习：
1．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，
23
）
D ．（
2
3
，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）在
（2，＋∞）上单调递减． 答案：B
2找出下列函数的单调区间.
（1）)1(2
32>=++-a a y x x ； （2）.2
3
22++-=x x y
答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),2
3[+∞上是减函数。 （2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。
3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x
a 且的单调性。
答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。 4．求函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋
，所以函数的值域是R ＋
．因为函数y ＝3
1log （x 2－5x
＋4）是由y ＝3
1
log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝3
1log μ（x ）在其定义域上是单调
递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，
25）上为减函数，在［2
5
，＋∞］上为增函数．考虑到函数
的定义域及复合函数单调性，y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3
1
log μ（x ）为减函数、μ
（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3
1
log μ
（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
变式练习 一、选择题
1．函数f （x ）＝)1(log 2
1－x 的定义域是（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，2）
D ．]21(，
解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以???
??≥0)1(log 0
12
1
－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D
2．函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）
A ．（－∞，1）
B ．（2，＋∞）
C ．（－∞，
23
）
D ．（
2
3
，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2
1log （x 2－3x ＋2）在
（2，＋∞）上单调递减． 答案：B
3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则x
y
的值为（ ） A ．4
B ．1或41
C ．1或4
D ．4
1
错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有x y ＝4
1
或y x ＝1．
答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，2
1
） B ．（0，1） C ．（
2
1
，＋∞）
D ．（0，＋∞）
解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜
2
1
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x
－12
－1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝x
x －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题
已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________．
解析：a ＞0且a ≠1?μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0?a ＜
x
2
（0＜x ＜1）?a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）
7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（3
1）x
的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．
解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝3
1log x
则f （2x －x 2）＝3
1log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．
μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）
］在（0，1）上单调递减；
μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）
］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）
8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （2
1
）＝0， 则不等式f （l og 4x ）＞0的解集是______．
解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （2
1
）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0?l og 4x ＞21或l og 4x ＜－2
1
．
解得x ＞2或0＜x ＜21
．
答案：x ＞2或0＜x ＜2
1
三、解答题
9．求函数y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间．
解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋
，所以函数的值域是R ＋
．因为函数y ＝3
1log （x 2－5x
＋4）是由y ＝3
1
log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数y ＝3
1log μ（x ）在其定义域上是单调
递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，
25）上为减函数，在［2
5
，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3
1log μ（x ）为减函数、μ
（x ）＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3
1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3
1
log μ
（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 10．设函数f （x ）＝
532＋x ＋x
x
2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域；
（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f （x ）的反函数f －
1（x ），问函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点
坐标；若无交点，说明理由． 解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜2
3
． （2）令 （x ）＝
5
32
＋x ，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x
236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．
又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x x 2323lg ＋－是减函数，所以f （x ）＝
5
32
＋x ＋x
x 2323lg ＋－是减函数．
（3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．
设函数f （x ）的反函数f －
1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关
系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝5
2．所以函数y ＝f －
1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（5
2
，0）。
正比例函数与一次函数知识点归纳
正比例函数与一次函数 知识点归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的 直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);
4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b （k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：
2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结：
3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k
总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理
反函数-高中数学知识点讲解
反函数 1．反函数 【知识点归纳】 【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x ＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表 示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记 作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 【性质】 反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线 截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 1/ 1
《正比例函数与一次函数》知识点归纳知识讲解
《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0); 4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”： （1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向 k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； （2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度 ∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大；
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
实变函数论主要知识点.docx
实变函数论主要知识点 第一章集合 1、集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限； 练习：①证明（A-B）-C = A-（BUC）； ②证明E[f>a]=QE[f>a + -]； ?=i n 2、对等与基数的定义及性质； 练习：①证明（0,1）□口； ②证明（0,1）0 [0,1]； 3、可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合 的基数； 练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ?Q =________ ； ④[0,1 ]中有理数集E的相关结论； 4、不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习：?（0J）= _______ ； ②卩= ________ （P为Cantor集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间：设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间)，若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积)，则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间)。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系： ⑴ g(x,y)=g(y,x)； (2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； (3) g(kx,y)=kg(x,y)； (4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法)；开核，导集，闭包的概念、性质及判定(求法); 聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。内点:如果存在点P的某个邻域U(P)eE,则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造; 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：?P=__________ , P' = ______ , P= ________
反比例函数知识点总结(供参考)
反比例函数知识点总结 李苗 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比 例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系 数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数 值的增减情况，如下表： 反比例 函数 x k y =（0k ≠） k 的 符号 0k > 0k < 图像 性质 ① x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k <时，函数图像
二次函数知识点总结及典型题目
二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求： 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求： 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点：一、基本结论： 1、聚点性质§2 中T1聚点原则： P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞） 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2：设A?B，则A ?B ，· Ａ? · Ｂ， － Ａ? － Ｂ。 T3：（A∪B）′=A′∪B′. 3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、 4、5） T1：对任何E?R?，?是开集，E′和― Ｅ都是闭集。（?称为开核，― Ｅ称为闭包的理由也 在于此） T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。 T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F（即Fс ∪ ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a＞0时,二次函数图像向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ）,对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质：上加下减。 y ax c
最新反函数常用知识点总结
精品文档 反函数 定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，-1 -1 (x)y=f (x) 。y=f y=f(x)(x∈A)的反函数，记作反函数这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。（不求过深理解） 引申 一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数-1为y=f (x)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。 注意：上标╜???指的并不是幂。 (n)(x)是用来指f的f n次微分的。在微积分里，若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。 性质 -1（x）图象关于直线fy=x对称；（1）函数f（x）与它的反函数 图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数； （6）反函数是相互的且具有唯一性； （7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）； （8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））； （9）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数 y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。 （10）y=x的反函数是它本身。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有
实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点 第一章 集 合 1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限； 练习： ①证明()()A B C A B C --=-U ； ②证明1 1[][]n E f a E f a n ∞=>=≥+U ； 2、 对等与基数的定义及性质； 练习： ①证明(0,1):?； ②证明(0,1)[0,1]:； 3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数； 练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； ②证明平面上坐标为有理数的点的全体 所成的集合为一可数集； ③Q = ； ④[0,1]中有理数集E 的相关结论； 4、 不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；
第二章点集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V 上的二元实值函数，满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0
时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）； 聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。 内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造； 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习：①P=o，P'=，P=； ②11 1,,,, 2n ' ?? ?? ?? L L= ； 第三章测度论 1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）； 2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数
初二数学一次函数知识点总结
一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定 的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D 3、定义域： 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2 （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4 （5例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．． ． D ． 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523<0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过 二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）
二次函数知识点总结大全一
二次函数知识点总结大全一 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数（R ）。 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 结论：在Y 轴上，上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：在X 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结：
二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴 的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质： 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ?? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -．
实变函数学习心得
实变函数学习心得 实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。下面是为大家准备的实变函数学习心得体会，希望大家喜欢! 实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点： 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学
会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。 所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。 1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义： {x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到mm,使得x也属于m，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。上述
高数重要知识点汇总
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=
