龙文教育学科导学案
教师: 学生: 年级 日期: 10. 星期: 时段:
学情分析
课 题 菱形 学习目标与 考点分析 1、菱形的概念；
2、菱形的性质及判定；
3、能够利用菱形的性质和判定解决简单问题。 学习重点 重点：菱形的性质和判定定理 难点：菱形性质的灵活应用 学习方法
讲练结合
学习内容与过程 知识点一：菱形的性质
【例1】 ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是
【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，
则
1∠= 度．
图2
1
C
B
A
⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=?，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．
E F D
B
C
A
【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，
证明：AB 与EF 互相平分．
P H
F
E D
C
B
A
【例4】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的
周长为24，则OH 的长等于 ．
图1
H
O D
C B
A
【巩固】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为
【例5】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为
【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）
A ．5
B ．10
C ．6
D ．8
图2
D
C
B
A
【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=?，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，
则FPC ∠=（ ）
A ．35?
B ．45?
C ．50?
D ．55?
图3
E D
P C
F B
A
【例6】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60?的菱形，剪
口与折痕所成的角α的度数应为（ ）
A ．15?或30?
B ．30?或45?
C ．45?或60?
D ．30?或60?
【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于
．
【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚
线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A ．210cm
B ．220cm
C ．240cm
D ．280cm
图1
D
C
B
A
【例7】 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是
【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=?，?沿着菱形的对角线修建了两条小路AC
和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．
图2
O
D
C B A
【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．
F
E
D
C
B
A
知识点二：菱形的判定
【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是
．
D
C
A
B
【例11】 ☆如图，在ABC ?中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四
边形BEDF 是菱形
F
E
D
C
B
A
【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .
求证：四边形AFCE 是菱形.
O
D
E
F
C
A
B
【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落
在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．
C'D
C
B A E
【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，
证明：AB 与EF 互相平分
A
B C
D
E
F P P
F E
D
C B A
【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ?沿BC 方向平移，使点
E 与点C 重合，得GFC ?．若60B ∠=?，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．
G
F E D
C
B
A
【例14】 如图，在ABC ?中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，
DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．
P
M
F E D
G C
B
A
【例15】 如图，ABC ?中，90ACB ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，
交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．
H
F D
E
C
B
A
【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ?沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M
移动到点'M 的位置
⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；
⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？
M'
M
D
C B
A
知识点三、与菱形相关的几何综合题 【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .
⑴求证四边形AEPM 为菱形
⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？
M
P
F
A
B
C
D
E
课内练习与训练
1、如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
2、如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且∠B ＝∠EAF ＝60°，若∠BAE ＝20°，求∠CEF 的度数。
3、如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：四边形AEDF 是菱形。
4、如图，在ABCD 中，BC ＝2AB ，AE ＝AB ＝BF ，且点E 、F 在直线AB 上， 求证：CE ⊥DF 。
H G
F
E
D
C B
A F E
D
C
B A
F
E
D
C B
A
N
M
F
E D C
B
A F
E D
C
B
A
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ，求证：四边形ACEF 是菱形。
6、菱形两邻角的比为1∶2，边长为2，求该菱形的面积。
7、已知4
4
4
4
4a b c d abcd +++=，判定以a 、b 、c 、d 为边的四边形的形状。
8、如图，过ABCD 的对角线交点O ，作互相垂直的两条直线EG 、FH 与ABCD 各边分别相交于点E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 是菱形。
9、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4，求：（1）∠ABC 的度数；（2）菱形ABCD 的面积。
O H
G
F
E D
C B A
E
D
C B A
P
E D
C
B
A
10、如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，且∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，在BD 上求点P ，使PC ＋PE 取最小值，并求这个最小值。
11、如图，在ABCD 中，AB ＝2BC ，BE ⊥AD 于E ，F 为CD 中点，设∠DEF ＝α，∠EFC ＝β，求证：β＝3α
12、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点B 与D 重合，求折痕EF 的长。
13、如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ＝CB ，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，且∠DEA ＝∠ACB ＝45°，BG ⊥AE 于G ，求证：（1）四边形AFGD 是菱形；（2）若AC ＝BC ＝10，求菱形的面积。
F E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
G
F E
D
C
B
A
菱形ABCD 的对角线交于O ，AO =1，且∠ABC ∶∠BAD =1∶2，∠ABO =300，则下列结论：①．∠ABC =600；②．AC =2；③．BD =4；④．S ABCD =23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ）
A ．①②③④⑤
B ．①②④⑤
C ．②③④⑤
D ．①②③⑤ 菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm ，则菱形的周长是（ ） A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm
学生收获
你这次课一定有不少收获吧，请写下来： 教学反思
本次课后作业
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字： 教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、 学生本次上课情况评价：○非常 好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 教师签字：
学科组长签字：
龙文教育教务处
A B
C
D
O
菱形的判定专项练习30题（有答案） 1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD． 求证：BC=2DN． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长． 4．如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F； （2）?ABCD是菱形． 菱形的判定--- 1
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：AF=DC； （2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形． 6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形． 7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形． （2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作?ADFE交BC于点G，H，且EH=EC． 求证：（1）∠B=∠C； （2）?ADFE是菱形． 菱形的判定--- 2
培优专题和梯形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 练习1 1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________． (1) (2) (3) 2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________．
例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图， 若折痕EF 长为6，求另一边长． 分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求AB的长的问题． 解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y． 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2． 得y= 2 25 10 x - ，AE=5-y= 2 25 10 x + ． 又在Rt△AOE中，AO=1 2 AC= 2 25 2 x + ，EO= 1 2 EF= 6 2 ． 代入AE2=AO2+OE2得， （ 2 25 10 x + ）2=（ 2 25 2 x + ）2+（ 6 2 ）2． 即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去） ∴x=5． 练习2 1．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，?设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________． (4) (5) 2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF?交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．
- - 优质资料 绝密★启用前 乐学教育菱形证明专题训练 1. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 为对角线AC 上两点,且AE =CF ,DF ∥BE ,AC 平分∠ BAD.求证:四边形ABCD 为菱形. 【答案】∵AB ∥CD , ∴∠BAE =∠DCF. ∵DF ∥BE , ∴∠BEF =∠DFE , ∴∠AEB =∠CFD. 又∵AE =CF , ∴△AEB ≌∠CFD , ∴AB =CD. ∵AB ∥CD , ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵AC 平分∠BAD , ∴∠BAE =∠DAF. 又∠BAE =∠DCF , ∴∠DAF =∠DCF , ∴ AD =CD , ∴四边形ABCD 是菱形. 2. 如图，矩形ABCD 中，点O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连 接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO .若∠COB =60°，FO =FC . 求证: (1)四边形EBFD 是菱形; 【答案】连接OD .∵点O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点， ∴B ,D , O 三点共线且BD =DO =CO =AO . 在矩形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =DC ，∴∠FCO =∠EAO . 在△CFO 和△AEO 中，
第2页共20页※ ※ 请 ※ ※ 不 ※ ※ 要 ※ ※ 在 ※ ※ 装 ※ ※ 订 ※ ※ 线 ※ ※ 内 ※ ※ 答 ※ ※ 题 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 外 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 装 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 订 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 线 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. .. o .. .. .. .. .. .. .. o .. .. .. .. .. .. .. o .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO. 又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形. ∵BO=CO，∠COB=60°， ∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°. ∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°. ∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°. ∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°. ∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形. (2)MB∶OE=3∶2. 【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上. ∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上. ∴BF是线段OC的垂直平分线. ∴∠FMO=∠OMB=90°. ∴∠OBM=30°.∴OF=BF. ∵∠FOC=30°，∴FM=OF. ∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF. 即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2. 3. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD是菱形. 【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形. ∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC, ∴平行四边形BGFD是菱形.
菱形（提高） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．
矩形、菱形与正方形专题训练(含答案) 班级________姓名________成绩________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°， 则矩形ABCD的面积是( ) A．12 B．24 C．12 3 D．163 第1题图第2题图第3题图第4题图 2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE， 则四边形ADCF一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．如图，?ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 第6题图第9题图第10题图 7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( ) A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等 腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( ) A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋ S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积 为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )
培优专题7 菱形、矩形、正方形和梯形 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由 题意知：
△GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 练习1 1．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________． (1) (2) (3) 2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________．
例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图，若折痕EF 长为 6，求另一边长． 分析 关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD 中，已知AD=5，过对角线AC 的中点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 于F ，BC 于E ，若EF=6 ， 求AB 的长的问题． 解：设AB=x ，BE=y ，连结AE ．则AE=CE=5-y ． 在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即x 2+y 2=（5-y ）2． 得 y= 2 2510 x -，AE=5-y= 2 2510 x +． 又在Rt △AOE 中，AO=1 2 AC= 225x +，EO=12 EF= 6． 代入AE 2=AO 2+OE 2得， （ 2 2510 x +）2 =（ 225x +）2+（ 6 ）2． 即x 4+25x 2-150=0．解之得，x 2=5，x 2=-30（舍去） ∴x= 5． 练习2
矩形和菱形专题拔高训练 例1：如图，矩形ＡBCD中,E是AD上一点，F是AB上一点,EF＝EC，且EF⊥ＥＣ，ＤＥ=２cm，矩形ABＣD周长为1６ｃｍ，求AE及CＦ的长。 分析与解答： 例2：矩形ＡBCD，E、F分别在ＢC、AD上，且ＥF垂直平分AC于Ｏ, （1）求证：四边形ＡECF为菱形; （2）若AD=8，AB＝6,求AE的长。 分析与解答: 例３:如图：以△AＢC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△AＢD、△BCＥ、△ＡCＦ.请回答下列问题：（１）四边形ADEF是什么四边形?（２)当△ＡBC满足什么条件时，四边形AＤEＦ是矩形？（3）当△AＢＣ满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？(不要求证明) 分析与解答: --
-- 例4：如图，矩形ABCG 中，点Ｄ是AG 的中点,点Ｅ是A Ｂ上一点，且BE ＝BC ，D Ｅ⊥DC ，CE 交BD 于F, （1）求证:BD 平分∠CDE ； （2） 求EF EA 的值。 分析与解答: 例5：如图；矩形ＡＢC Ｄ中，点Ｈ在对角线BD 上，HC ⊥BD,ＨC 的延长线交∠BAD 的平分线于点Ｅ,说明CE 与ＢＤ的数量关系。 分析与解答： 例６:如图,在△A ＢC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D,DE ∥AC 交BC 于点E ，ＤF ∥BC 交ＡＣ于点F 。 （1）点Ｄ是△ABC 的________心; （2）求证：四边形DEC Ｆ是菱形。 分析与解答：
1.填空题 （1）如图，Ｐ是矩形ＡBCD内一点,PＡ=３,ＰD＝4，PＣ=５，则PB=_＿_＿＿_. （2）若矩形的两邻边之比是3：4，周长为42cm,则它的边长分别是＿______． （3）矩形的对角线相交成120角，其较短边长4ｃm,则对角线长__＿___cｍ. （4）在矩形AＢCＤ中，点E为AB边的中点，且ＤE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_＿_＿___, AD=＿＿___＿_. （5）从矩形的一个顶点向对角线引垂线，此垂线分对角线所成的两部分比为1:3，已知两对角线交点到矩形较长边的距离为3.６cm，则矩形的对角线长为＿___. （6）已知，如图△ABC中,BC=15，Ｅ、F分ＢＣ为三等分点,AＥ=13，AF＝12,G、Ｈ分别为AＣ、AＢ的中点,则四边形EFGＨ的周长为＿____，面积为______. （7）如图，在矩形AＢCD中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积,其面积是＿＿_＿__． 第6题第７题 （8）如图,矩形ABＣD面积为5,它的两条对角线交于点O1,以AＢ、AO１为两邻边作平行四边形AＢC１O１，平行四边形ABC1O1,的对角线交于O２,同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABＣ２O2，……依此类推，则平行四边形ＡBCｎＯｎ的面积为＿__＿__. （9）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形ＥＦGH，若EH＝3,ＥF=4，则边AD的长为＿______. 第8题第9题 （10）如图,矩形纸片ABCＤ，AB＝2,点E在BC上，且AＥ=EC.若将纸片AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长为_______． （11）如图,矩形AＢCD，ＡB=２,ＢＣ=3，对角线AC的垂直平分线交AＤ，BC于E、F,连接CE,则CＥ长＿＿_＿_＿__. 第1０题第11题 --
D C B A E P B D A (P )C 矩形、菱形、正方形习题汇编 一、 填空题 1.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _ 2.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______ 3.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ， 对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________ 4.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____ 5、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为___ 6、已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。 7．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm ． 8．若菱形的周长为24 cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm 2 。 9 ．已知：菱形的周长为40cm ，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是 。 10、已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm ，则菱形的周长为 . 11、如图，P 为菱形ABCD 的对角线上 一 点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点 F ，PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是_____ cm 12、如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_______． 13、□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， （1）若AB=AD ，则□ABCD 是 形； （2）若AC=BD ，则□ABCD 是 形； （3）若∠ABC 是直角，则□ABCD 是 形； （4）若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是 形。 14.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ． 15．如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）． 16. 如图，正方形ABCD 边长为1，动，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P 所在位置为______；当点P 所在位置为D 点时，点P 的运动路程为______（用含自然数n 的式子表示）． B C O 第4题 第12题 第11题 第14题 第21题 第20题 第16题 第15题
菱形证明专题训练
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绝密★启用前 乐学教育菱形证明专题训练 1.已知:如图，在四边形ABCD中,AＢ∥CD，E,Ｆ为对角线AC上两点,且 AＥ＝CF，DF∥BE,AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形．? 【答案】∵AＢ∥ＣＤ， ∴∠BＡＥ=∠ＤCF.?∵DＦ∥ＢE, ∴∠BEF＝∠ＤFE，?∴∠AEＢ＝∠CFD. 又∵AE=ＣF,?∴△AEＢ≌∠CFD, ∴AB=CD．?∵ＡB∥CＤ，?∴四边形ABＣD是平行四边形. ∵ＡＣ平分∠BAD, ∴∠BAE＝∠DAF.?又∠BAE=∠DＣＦ, ∴∠DAＦ=∠ＤCF,?∴ＡD=ＣD， ∴四边形ABCD是菱形. 2．如图，矩形AＢCD中，点O为AＣ的中点，过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F，连接BF交AC于点M,连接DＥ，ＢＯ.若∠ＣOB=６0°,FO=FC. 求证: (１)四边形EＢＦD是菱形; 【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCＤ的对角线AC的中点， ∴B,D, O三点共线且BD＝DO=CＯ=ＡO． 在矩形AＢCD中,ＡB∥ＤC,AB=DC，∴∠FCO＝∠EAＯ. 在△ＣFO和△AEＯ中,?∴△CFＯ≌△AEO,∴ＦO=EＯ.?又∵BO=DO,∴四边形BＥFD是平行四边形. ∵BＯ=CＯ,∠ＣOB=６0°，?∴△COB是等边三角 形.∴∠OCＢ=6０°.?∴∠FＣＯ=∠DCB-∠ＯCＢ=30°.?∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.?∴∠FOB=∠FOＣ+∠ＣOB＝90°. ∴EF⊥BD．∴平行四边形EＢFＤ是菱形. （2)MB∶OE=3∶2. 【答案】∵BＯ=ＢC,∴点Ｂ在线段ＯＣ的垂直平分线上． ∵FO=FC,∴点Ｆ在线段OC的垂直平分线上． ∴BF是线段OC的垂直平分线.?∴∠FＭO=∠OＭＢ=90°．?∴∠OBＭ=30°.∴OＦ=ＢF．?
梯形专题培优训练 一．选择题 1．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于（） A．6B．8C．4D．4 2．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，BE⊥CD，AD=3，AB=5，则BC的长为（） A．6B．7C．8D．9 3．如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段AC的长为（） A．3B．6C．D． 4．直角梯形的中位线为a，一腰长为b，这个腰与底边所成的角为30°，则它的面积为（） A．a b B． ab C． ab D． ab 5．如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB=CD，AC丄BD于点O，∠BAC=60°，若BC=，则此梯形的面积为（） A．2B．1+C．D．2+ 6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（） A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b 7．活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需要（） A．30cm B．60cm C．45cm D．90cm 8．已知一个梯形的4条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（） A．4B．6C．8D． 二．填空题 9．等腰梯形的对角线所夹锐角为60°，如图所示，若梯形上下底之和为2，则该梯形的高为_________．
10．如图把直角梯形ABCD沿射线AD方向平移到梯形EFGH，DC=10，WG=2，CW=3，则阴影部分面积为 _________． 11．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，E是BC的中点，则DE的长为_________． 12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，CD=5，AB=11，点M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN=_________． 13．如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10= _________． 14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为_________． 15．①如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD=3，AB=5，则AC的长为_________． ②如图2，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为_________cm2． ③如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于_________． 16．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________． 三．解答题 17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=65°，∠C=25°，AD=2，BC=8，AB=3，求梯形ABCD的面积．
M N O D C B A 矩形，菱形的性质及判定专项练习 1.在下列命题中，真命题是（） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为___________. 3.将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分 的面积的最大值为________________. 4.一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是___________. 6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1： 3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长。 7.如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。 8.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2， BC=1，求AG。 O F E D C B A G E D C B A
9. 已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。 10. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩 形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长． 11. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后的三角形，其平移的方 向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。 12. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。
H 同步练习2图 D B C A O E 同步练习1图 A C D B O 八年级数学下册菱形培优专题练习 考点1：菱形对角线问题 例1、如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，BC AE ⊥于点E ，则AE 的长是（ ） A 、35 B 、52 C 、 524 D 、5 48 【同步练习】 1、如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边中点，OE 的长等于4，则菱形ABCD 的周长为（ ） A 、16 B 、20 C 、24 D 、32 2、如图，四边形ABCD 是菱形，?=∠50DAB ，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB DH ⊥于H ，连接OH ，则______=∠DHO 度。 考点2：菱形最值问题 例2、如图，在周长为12的菱形ABCD 中，1=AE ，2=AF ，若P 为对角线BD 上一动点， 则FP EP +的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 D B E C A O
P F E 例2图D B A P C E 同步练习 2图 D A 例3图 同步练习1图 【同步练习】 1、如图，在菱形ABCD中，2 = AB，? = ∠60 BAD，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PB PE+的最小值为（） A、1 B、3 C、2 D、5 例3、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是. 【同步练习】 1、如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值12，那么菱形周长的最大值是. 2、如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（） A、15 B、16 C、19 D、20 考点3：菱形与直角坐标系问题
人教版初二数学 菱形 专项训练(附答案) 1．把菱形 ABCD 沿对角线 AC 的方向移动到菱形 A ′B ′C ′ D ′的位置，它们重叠部分的四边形 A ′ FCE 是 ( ) D 6．如图，在三角形 ABC 中， AB >AC ，D 、E 分别是 AB 、 AC 上的点， △ ADE 沿线段 DE D D 翻折，使点 A 落在边 BC 上，记为 A ．若四边形 ADA E 是菱形，则下列说法正确的是 ( ) A ． DE 是△ ABC 的中位线 ． AA 是 BC 边上的中线 A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．不确定 2．如图，菱形 ABCD 中，∠ B＝60°，AB ＝2， E 、 F 分别是 B C ．CD 的中点，连接 AE 、EF 、AF ，则△ AEF 的周长为( ) A ． 2 3 B ． 3 3 C ． 4 3 D ． 3 C ． AA 是 BC 边上的高 ． AA 是△ ABC 的角平分线 3．已知菱形的周长为 96 ㎝，两个邻角的比是 1︰ 2，这个菱形的较短对角线的长是 ( ) A ． 21 ㎝ B ．22 ㎝ C ． 23 ㎝ D ． 24 ㎝ 4．若菱形周长为 52cm ，一条对角线长为 10cm ，则其面积为 ( ) 2 2 2 2 A ．240 cm 2 B ．120 cm 2 C ．60 cm 2 D ．30 cm 2 5．如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为( ) ① AC BD ② BAD 90o ③ AB BC ④ AC BD A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ A 7．如图，将一个长为 10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线 线) 剪下，再打开，得到的菱形的面积为 2 A ． 10cm 2 B ． 20cm 2 D ． 80cm 2 C ． 40cm 2 8．若菱形的边长 为 1cm ，其中一内角 为 60°，则它的面积为 ( ) (虚 C A ． 3 cm 2 B 2 ． 3cm 2 C ． 2cm 2 D ． 2 3cm 2 9．一个菱形两条对角线之比为 1︰ 2， 一条较短的对角线长为 4cm ，那么菱形的边长为 ( ) A ． 2cm ．4cm C ． (2 2 5)cm D ． 2 5cm
专题21 菱形 1．菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3.菱形的判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 4．菱形的面积：S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 【例题1】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ） A ．2.5 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD 为菱形， ∴CD ＝BC =204=5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点， 专题知识回顾 专题典型题考法及解析
∴OE 为△BCD 的中位线， ∴OE =12CB ＝2.5 【例题2】（2019广西梧州）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=?，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是 ． 1 【解析】连接BD 交AC 于O ，如图所示： Q 四边形ABCD 是菱形， 2CD AB ∴==，60BCD BAD ∠=∠=?，1302 ACD BAC BAD ∠=∠=∠=?，OA OC =，AC BD ⊥， 112 OB AB ∴==， OA ∴= AC ∴=， 由旋转的性质得：2AE AB ==，60EAG BAD ∠=∠=?， 2CE AC AE ∴=-=， Q 四边形AEFG 是菱形，//EF AG ∴， 60CEP EAG ∴∠=∠=?，
人教版初二数学 菱形 专项训练（附答案） 1．把菱形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到菱形A ′B ′C ′D ′的位置，它们重叠部分的四边形A ′ FCE 是( ) A B C D E A ′ B ′ C ′ D ′ F A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．不确定 2．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是B C ．CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△ AEF 的周长为（ ） A ． 32 B ． 33 C ． 34 D ． 3 A D F E B 3．已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( ) A ．21㎝ B ．22㎝ C ．23㎝ D ．24㎝ 4．若菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为( ) A ．240 cm 2 B ．120 cm 2 C ．60 cm 2 D ．30 cm 2 5．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠=o ③AB BC = ④AC BD = A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ 6．如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A ．DE 是△ABC 的中位线 B ．AA '是B C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高 D ．AA '是△ABC 的角平分线 A B D E A ' 7．如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( ) A ．2 10cm B ．2 20cm C ．2 40cm D ．2 80cm A B D 8．若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为 ( ) A ． 22 B 2 C ．22cm D ．2 9．一个菱形两条对角线之比为 1︰2，一条较短的对角线长为4cm ，那么菱形的边长为( ) A ．2cm B ． 4cm C ．(2+ D ． A B C D
备战2019八下期中亮点好题分类汇编——专题10—菱形（提高）－26题 谢晓娟整理 微专题一：菱形中的折叠问题 1.(2017·赤峰) 如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处， 若折痕EF＝23，则∠A＝( ) A．120° B．100° C．60° D．30° 【解答】 A 2.(2018广西柳州市) 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为( ) A．1 B．2C．22 - -D．222 【解答】 C 3.（学科网人教版） 如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点C'处,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为__________. 【解答】 75° 解：如图,连接BD,由菱形的性质及∠A=60°,得到三角形ABD为等边三角形. P为AB的中点,利用等腰三角形三线合一的性质得到∠ADP=30°. 由题意易得∠ADC=120°,∠C=60°,进而求出∠PDC=90°, 由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°, 利用三角形的内角和定理即可求出∠DEC=75°.
1.(2018天津市和平区) 如图，已知菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( ) A ．(1，-1) B ．(-1，-1) C ．(2，0) D ．(0，-2) 【解答】 B 2.（2018天津市红桥区） 菱形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为(0,3),动点P 从点A 出发,沿A →B →C →D →A →B →……的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动,移动到第2 016秒时,点P 的坐标为 . 【解答】 (1,0) 3.(2017重庆市綦江中学) 如图，菱形111AB C D 的边长为1，160B ∠=o ；作211AD B C ⊥于点2D ，以2AD 为一边，做第二个菱形222AB C D ，使260B ∠=o ；作322AD B C ⊥于点3D ，以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ，使360B ∠=o ；L L 依此类推，这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 。 【解答】 2 2 4.（学科网人教版） 如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠FAC=60°．连1 D B A C 2 B 2 C 3 D 3 B 1 D 2 C 1
初二数学菱形专项训练(附答案)
__________________________________________________ 人教版初二数学 菱形 专项训练（附答案） 1．把菱形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到菱形A ′B ′C ′D ′的位置，它们重叠部分的四边形A ′FCE 是( ) A B C D E A ′ B ′ C ′ D ′ F A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．不确定 2．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是 B C ．CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ． 32 B ． 33 C ． 34 D ． 3 A D F C E B 3．已知菱形的周长为96㎝，两个邻角的比是1︰2，这个菱形的较短对角线的长是( ) A ．21㎝ B ．22㎝ C ．23㎝ D ．24㎝ 4．若菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为( ) A ．240 cm 2 B ．120 cm 2 C ．60 cm 2 D ．30 cm 2 5．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ 6．如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A ．DE 是△ABC 的中位线 B ．AA '是B C 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高 D ．AA '是△ABC 的角平分线 A B C D E A 7．如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( ) A B C D
第25讲 矩形、菱形 【思维入门】 1．如图8－25－1所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于 ( ) A ．3.5 B ．4 C ．7 D ．14 2．有4个命题： (1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； (3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形； (4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形． 其中正确的命题个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如图8－25－2，在?ABCD 中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是 ( ) 图8－25－2 ①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°； ③AB ＝BC ；④AC ＝BD . A ．①或③ B ．②或③ C ．③或④ D ．①或②或③ 4．如图8－25－3，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连结BE ，DF ，EF ，BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE ＋FC ，则边BC 的长为 ( ) 图8－25－1
图8－25－3 A．2 3 B．3 3 C．6 3 D.9 2 3 5．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积等于____． 6．已知：如图8－25－4，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF. (1)求证：△DOE≌△BOF； (2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由． 图8－25－4 【思维拓展】 7．如图8－25－5，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝1 3AB.将矩 形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q.对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是() 图8－25－5 A．①②B．②③ C．①③D．①④ 8．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋2 3CD，则BC＝______．