3.3.2 极大值与极小值
课时目标 1.了解极大(小)值的概念.2.结合图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.3.能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．
1．若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧__________，右侧________．
我们把f (a )叫做函数的__________；f (b )叫做函数的__________．极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在______________的大小情况，刻画的是函数的________性质． 2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．
3．一般地，求函数f (x )的极值的方法是： 解方程f ′(x )＝0.当f ′(x 0)＝0时：
(1)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是__________； (2)如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是__________； (3)如果f ′(x )在点x 0的左右两侧符号不变，则f (x 0)____________．
一、填空题 1．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处f (x )存在极小值，则成立的结论为________．(填序号)
①当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0； ②当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0； ③当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0； ④当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.
2．已知函数y ＝x 3＋ax 2
＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝______，b ＝______.
3．函数f (x )＝x 3
－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围为________．
4．函数f (x )＝x ＋1
x
在x >0时有________．(填序号)
①极小值； ②极大值；
③既有极大值又有极小值； ④极值不存在．
5．已知f (x )＝x 3＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为________．
6．若函数f (x )＝x 2
＋a
x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.
7．函数f (x )＝ax 3
＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.
8．函数f (x )＝x 3－3a 2
x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________． 二、解答题
9．求下列函数的极值．
(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x e －x
.
10.设函数f (x )＝x 3
－92
x 2＋6x －a .
(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
能力提升
11．已知函数f (x )＝(x －a )2
(x －b )(a ，b ∈R ，a
(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；
(2)设x 1，x 2是f (x )的两个极值点，x 3是f (x )的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.
证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.
1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．
2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．
3．3.2 极大值与极小值
知识梳理
1．f ′(x )<0 f ′(x )>0 f ′(x )>0 f ′(x )<0 极小值 极大值 极值 某一点附近 局部 2．导数为零 不一定 3．(1)f ′(x 0)>0 f ′(x 0)<0 极大值 (2)f ′(x 0)<0 f ′(x 0)>0 极小值 (3)不是极值
作业设计 1．③
解析 ∵f (x )在x ＝1处存在极小值，
∴x <1时，f ′(x )<0，x >1时，f ′(x )>0， 故③成立． 2．－3 －9
解析 由题意y ′＝3x 2
＋2ax ＋b ＝0的两根为－1和3，∴由根与系数的关系得，
－1＋3＝－2a 3，－1×3＝b
3
，∴a ＝－3，b ＝－9.
3．(0,1)
解析 f ′(x )＝3x 2
－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则???
??
f ′0<0f ′
1>0
，即
?
??
??
－3b <03－3b >0，解得0
4．①
解析 ∵f ′(x )＝1－1x
2，
由?????
f ′x >0，x >0得x >1，即在(1，＋∞)内f ′(x )>0， 由?
????
f ′x <0，
x >0得0 ∴f (x )在(0，＋∞)有极小值． 5．(－∞，－3)，(6，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋a ＋6， ∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2 －12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值． ∴4a 2 －12(a ＋6)>0得a >6或a <－3. 6．3 解析 f ′(x )＝2x x ＋1－x 2 ＋a x ＋12＝x 2＋2x －a x ＋12 . ∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a 4 ＝0，∴a ＝3. 7．1 －3 解析 因为f ′(x )＝3ax 2 ＋b ， 所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3. 8.? ?? ?? 22，＋∞ 解析 ∵f ′(x )＝3x 2 －3a 2 (a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－a ∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值． 由题意得：????? a 3－3a 3 ＋a <0，－a 3 ＋3a 3 ＋a >0 a >0， ，解得a > 2 2 . 9．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值，且f (－2)＝(－2)3 －12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数f (x )有极小值， 且f (2)＝23 －12×2＝－16. (2)f ′(x )＝(1－x )e －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1 e . 10．解 (1)f ′(x )＝3x 2 －9x ＋6. 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ， 即3x 2 －9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－3 4 ， 即m 的最大值为－3 4 . (2)因为当x <1时，f ′(x )>0； 当1 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5 2 －a ； 当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ， 故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >5 2 . 11．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2 (x －2)， 因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)， 故f ′(2)＝1，又f (2)＝0， 所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b 3 )， 由于a a ＋2b 3 ， 所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3 . 不妨设x 1＝a ，x 2＝ a ＋2b 3 ， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点， 故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3 )， x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3 ， 此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3 ，b 依次成等差数列， 所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b 3 . 极大值与极小值 一、基础过关 1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个． 2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值； ④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2 班级：高二（ ）班 姓名：____________ 教学目标： 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境．函数极值的定义是什么？ 2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤． 二、建构数学 1．函数的最大值和最小值． 观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象． 图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值． 函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明： （1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的； (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个． 2．利用导数求函数的最值步骤： 由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常 见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 1 《函数的最大（小）值与导数》教案 §1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1） 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习引入： 1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如 下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x ) 在这个根处无极值． 二、讲解新课： 1．函数的最大值和最小值 高中数学经典例题、错 题详解 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么． 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识 《函数的极大值与极小值》同步检测 一、基础过关 1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个． 2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值； ④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2 ①函数y ＝f (x )在区间????－3，－1 2内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间????－1 2，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－1 2时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 二、能力提升 8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________． 9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 10．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－12x ； (2)f (x )＝x 3－2 2(x －1)2 . 11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－5 2，求m 的值． 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值； (2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠2 3 时，求函数f (x )的单调区间与极值． 函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已 经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的 最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优 化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的 教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极 值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数 f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述 函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有 最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能 位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区 间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1) 认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高 学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在 与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主 客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间 上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察 闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的 方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是 进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点, 这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下 的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数 的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使 得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂 高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一 极大值与极小值 【本课目标】 1.理解函数的极大值.极小值的概念； 2.掌握求可导函数极值的方法. 【预习导引】 1.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数的序号有_________. （1）y=x 3 （2）y=x 2+1 （3）y=|x| （4）y=2x 2.函数y=x+x 1的极大值是________，极大值点是__________. 【典型例题】 例1.求下列函数的的极值 （1）1x 3x y 2 3-+= （2）x ln x y 2 = 例2.若函数cx bx ax y +-=2 3的图象过点A （1，4），当2=x 时，此函数有极值0， 求a .b .c 的值. 例3.已知函数2()(3361),x f x x ax x e a R =-++?∈，试确定f(x)的极值点个数. [学习反思] 如果函数)(x f y =在某个区间内有导数，就可以采用如下的方法求它的极值： （1）求导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 的根； （3）规范列表； （4）下结论. 江苏省泰兴中学高二数学课后作业（29） 班级: 姓名: 学号： 【A 组题】 1.函数1y x x =+，当x = 时，y 有极小值 2.函数x y x e -=?的极大值为 . 3.如果函数c x x x f +-=233)(的极小值是3，则c = ，极大值为 . 4.函数3)2a (3ax 3x )x (f 3 ++++=既有极大值又有极小值，则a 的范围是________. 5.函数322()f x x ax bx a =+++在x =1时有极值10，那么a = , b = . 6.函数2 )()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则常数c 的值为 . 7.（1）求函数)1()(2x x x f -=在[0,1]上的极值. 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（ ） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四 位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中 正确的结论是（ ） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1） （3，＋∞） D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角 的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （ ） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα 《函数的单调性与极值》教案 【教学目标】： 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 【教学重点】：利用导数判断函数单调性； 【教学难点】：利用导数判断函数单调性 【教学过程】： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0 x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它 专项训练：导数的极大值与极小值 一、单选题 1．已知函数f(x)＝x ln x－a e x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．B．(0，e) C．D．(－∞，e) 2．函数y＝xe x的最小值是( ) A．－1B．－e C．－D．不存在 3．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 4．已知函数，则（） A．有个零点B．在上为减函数 C．的图象关于点对称D．有个极值点 5．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a>－3B．a<－3 C．a>－D．a<－ 6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．?x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 8．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（） A．,B．,C．,D．, 9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 10．已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． 11．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（） A．B．C．D． 12．若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 13．已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（） A．B．C． D． 14．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D． 15．设，则函数 A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值 C．有无数个极值D．没有极值 16．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（） 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 高中数学经典例题、错题详解 4.3.2 函数的极大值和极小值 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数 2() 4.9 6.510 h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是 增函数．相应地，' ()()0v t h t =>． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是 减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处， §3. 5 函数的极值与最大值最小值 授课次序22 极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法: 设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ? ? ? , x n , 则比较 f (a ), f (x 1), ? ? ? , f (x n ), f (b ) 的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值. 解 ???∈-+-?-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ???∈+-?-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为2 3=x ; 不可导点为x =1和x =2. 由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最 大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0. 例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=. 设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ?CD +3k ?DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100). 现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2 -+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km). 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005 1 1500|+ ==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省. 例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则 y =5k ?CD +3k ?DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005( 2 -+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005 1 1500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当 AD =x =15km 时, 总运费为最省. D C 20km A B 100km导数运用极大值与极小值(含答案)
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