行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用西安文理学院本科毕业论文（设计）开题报告
论文（设计）题目行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用
毕业年份系院数学系专业、班级
学生姓名学号指导教师
一、拟开展研究的价值和意义
高等代数与解析几何不仅是作为数学学科中三大支柱课程中的一部分,也是数学系课程中联系最为密切的两门基础课程,在代数与几何的发展过程中，高等代数与解析几何互相联系、互相促进的关系日趋明显。行列式与矩阵是高等代数的一部分主要内容，讨论行列式与矩阵的知识在解析几何某些问题中的应用，对于未来研究解析几何有着重要的意义。
二、研究的步骤方法
1、查阅书籍学刊，搜集整理材料，熟悉、分析行列式与矩阵在解析几何中的部分应用。
2、通过分析研究，归纳总结出行列式与矩阵对于研究解析几何中有着重要的意思。
三、论文拟定提纲
一摘要，关键词，引言
二正文 1.行列式在解析几何中的应用
1.1两向量共线问题
1.2三向量共面问题
1.3行列式知识在直线一般方程与标准方程互化中的应用
1.4空间两直线的相关位置关系的判定
1.5行列式的知识在有关距离计算中的应用
1.6两直线在同一平面上的判定
2.矩阵知识在解析几何中的应用
2.1矩阵知识在二次曲线的化简中的作用
2.1.1有心二次曲面方程的化简
2.1.2无心二次曲面方程的化简
2.2应用不变量化简二次曲面的方程
2.2.1不变量与半不变量
2.2.2二次曲面五种类型的判别
三结语行列式与矩阵的知识对于我们学习研究解析几何有着很多的帮助。
四、主要参考文献
[1]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2007.
[2]牛兴文.高等代数与解析几何[M].北京：化学工业出版社，2005.
[3]胡国权.几何与代数引导[M].北京：科学出版社，2006.
[4]王心介.高等代数与解析几何[M].北京：科学出版社，2002.
[5]刘仲奎.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.
[6]孟道骥.高等代数与解析几何[M]北京：科学出版社，1998.
[7]田勇.线性代数教材辅导[M].北京：科学技术文献出版社，2005.
[8]杨武茂,李全英.空间解析几何[M].武汉:武汉大学出版社, 2004.
[9]李汉龙，王金宝，朱宝彦.化简二次曲面的一种新方法[J].沈阳：建筑大学学报，2007.
[10]陈志杰.等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社，2000.
[11]王元.华罗庚[M].北京：开明出版社,1994.
指导教师意见及建议
签字：
年月日系（院）主管主任意见及建议
签字
（盖章）：
年月日注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题
行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用
摘要：高等代数与解析几何不仅是作为数学学科中三大支柱课程中的一部分,也是数学系课程
中联系最为密切的两门基础课程,在代数与几何的发展过程中，高等代数与解析几何互相联系、互相促进的关系日趋明显。行列式与矩阵是高等代数的一部分主要内容，本文主要讨论行列式与矩阵的知识在解析几何某些问题中的应用，认为行列式与矩阵的知识对于解析几何的研究有着重要的意义。
关键词：行列式；矩阵；解析几何；应用
The determinant and matrix knowledge in the application of some
problems in analytic geometry
Abstract : higher algebra and analytic geometry as mathematics is not only part of the three pillar
courses in math courses, also is most closely connected, the two basic courses in algebra and geometry of the development process, the higher algebra and analytic geometry connected each other, promote each other relationship has become increasingly evident. The determinant and matrix is higher algebra part of main contents, this article mainly discusses the determinant and matrix knowledge in analytic geometry, and some problems reflect the application for the knowledge with matrix determinant of analytic geometry is of great significance to the study. Keywords : determinant; Matrix; Analytic geometry; application
引言：在解析几何中，许多问题的解决都需要运用高等代数中行列式与矩阵的知识，行列式与矩阵知识是解决解析几何问题的重要桥梁。因此，研究行列式与矩阵知识在解析几何某些问题中的应用这个课题，可以帮助我们更加深入和广泛的研究解析几何。
1.行列式在解析几何中的应用
1.1两向量共线问题
定理：设b a ,为两不共线的向量，证明向量b b a a v b b a a u 2211,+=+=共线的充要条件是
2
12
1b b a a =0
证：由于v u ,两向量共线的充要条件是存在不全为零的数μλ,使 0=+v u μλ即()()02121=+++b b b a a a μλμλ
因为b a ,为两不共线的向量，也就是两向量b a ,线性无关.所以 0,02121=+=+μλμλb b a a
又因为μλ,不全为零，从而得向量u 与v 共线的充要条件为
2
12
1
b b a a =0
1.2三向量共面问题
1.2.1定理 三向量k Z j Y i X a 111++=，k Z j Y i X b 222++=，k Z j Y i X c 333++=共面
的充要条件是()abc ＝3
3
3
222
111
Z Y X Z Y X Z Y X =0
证：我们来研究三向量的混合积是如何表示的 由于
b a ?=
i Z Y Z Y 2
2
11+
j X Z X Z 2
2
11+
k Y X Y X 2
21
1
根据数量积的坐标表示法，得
()abc =()ab ?c
=2
2
113
Z Y Z Y X +2
2
113
X Z X Z Y +2
21
13
Y X Y X Z ,
=3
3
3
222
111
Z Y X Z Y X Z Y X 通过研究混合积我们知道三向量的混合积最终可以表示为一个行列式，要说明三向量共面，我们只需再证明它们的坐标构成的行列式的值为零. 由于三向量c b a ,,共面的充要条件是存在不全为0的数νμλ,,使得 c b a νμλ++=0 由此可得 0111=++Z Y X νμλ 0222=++Z Y X νμλ
0333=++Z Y X νμλ 因为νμλ,,不全为零，所以
0333
222
1
11
=Z Y X Z Y X Z Y X 即：三向量c b a ,,共面的充要条件是()abc ＝03
3
3222
1
11
=Z Y X Z Y X Z Y X
1.2.2四点共面问题
定理：四个点()i
i i i z y x A ,,()
4,3,2,1=i 共面的充要条件是
01
41
41
41313131
21212=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 或 01
11
14
4
4
333
222
111=z y x z y x z y x
z y x 证：取平面π的方向向量()11114232,,,,z y x A A A b A A a ==，那么
()i i i i i z y x OA r ,,==，{}2323232332,,z z y y x x r r A A a ---=-==
{}3434343443,,z z y y x x r r A A b ---=-==，
因此平面π的向量式参数方程为()();141312r r v r r u r r -+-+=（1）
坐标式参数方程为()()()()()()???
??-+-+=-+-+=-+-+=141312
141312141312z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x （2）
从（1）与（2）分别消去参数v u ,得
()0,,1413212=---r r r r r r 与
1
41
41
413131
31
21212z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------=0又可改写为
01
11144
4
333
222111=z y x z y x z y x z y x
1.3行列式知识在直线一般方程与标准方程互化中的应用
设有两个平面1π与2π，存在 ???=+++=+++0:0
:2222211111D z C y B x A D z C y B x A ππ
如果222111::::C B A C B A ≠,即方程组的系数行列式
2
2
11C B C B ,
2
2
11A C A C ,
2
2
11B A B A 不全为零 ，那么平面1π与2π相交，它们的交线设为l
如果我们令()0000,,z y x M 为直线上一点，则2
2
11C B C B ,
2
2
11A C A C ,
2
2
11B A B A 就是直线
的方向向量，于是得直线的标准方程为
2211022110A C A C y y C B C B x x -=
-=2
2110
B A B A z z -
例1 化直线的一般方程 ???=--+=-++0132052z y x z y x 为标准方程
解：因为直线l 的方向数为
3111
-：2
32
1-：121
2=-4:8:0=1：（-2）：0 再设0=x ，解得1,4==z y ，那么（0,4,1）为直线上的一点，所以直线l 的标准方程为
1
241-=--=z y x
1.4空间两直线的相关位置关系的判定
1.4.1空间两直线的位置关系有异面与共面，而在共面中又有相交、平行、重合的三种情况 设两直线11
11111:
Z z z Y y y X x x l -=
-=-, 2
2
22222:
Z z z Y y y X x x l -=
-=-, 这里的直线1l 是由点()1111,,z y x M 与向量{}1111,,Z Y X v =决定的，2l 是由点
()2222,,z y x M 与向量{}2222,,Z Y X v =决定的。
空间两直线（1）与（2）的相关位置有以下几种情形：
o 1异面：
02
2
2
11112121
2≠---=
?Z X X Z Y X z z y y x x ;
o 2相交：
222111::::,0Z Y X Z Y X ≠=?;
1.5行列式的知识在有关距离计算中的应用
定理：设1111111:
Z z z Y y y X x x l -=-=-, 2
2
22222:Z z z Y y y X x x l -=
-=-则它们 之间的距离计算公式是
2
2
21
1
2
2
2
112
2
2
1122
2111
12121
2Y X Y X X Z X Z Z Y Z Y Z Y X Z Y X z z y y x x d ++---=
证：设两异面直线21,l l 与它们的公垂线0l 的交点分别为21,N N ,而21M M 与分别为直线21,l l 上的任意点，于是公垂线的长
()
21210212121,cos 0M M M M l M M M M N N l ≤∠?==影长于是
2
1N N 为两异面
直线的21,l l 的距离，即21210M M N N d l 射影==,其中()()22221111,,,,,z y x M z y x M 分别为两异面直线21,l l 上的已知点，而两异面21,l l 的方向向量{}1111,,Z Y X v =与
{}2222,,Z Y X v =的向量积21v v ?显然平行于公垂线0l ，所以21v v ?是公垂线0l 的一个
方向向量，因此有
()
2
12
1
2
1
21,,21v v v v M M M M d v v ?=
=?射影
如果用坐标表示就是
2
2
21
1
2
2
2
112
2
2
11222111
121212Y X Y X X Z X Z Z Y Z Y Z Y X Z Y X z z y y x x d ++
---=
例2.求通过点()1,1,1p 且与两直线321:1z y x l ==，4
31221:2-=-=-z y x l 都相交的直线的方程。
解： 设所求直线的方向向量为{}Z Y X v ,,=,那么所求直线l 的方程可写成
Z
z Y y X x 1
11-=-=- 因为21,l l l 与都相交，而且1l 过点()0,0,01M ，方向向量为()3,2,11v ，2l 过点()3,2,12M ，方向向量为()4,1,22v 。所以有
()032
1
1
11,,1
1
==Z
Y
X
v v P M ,即02=+-Z Y X ()0412210,,2
2
=--=
Z
Y
X
v v P M ，即02=-+Z Y X 又上两式的2:1:04:2:0::==Z Y X 显然又有3:2:12:1:0≠，即1v v ≠
4:1:22:1:0≠，即2v v ≠
所以所求直线l 的方程为
2
1
1101-=-=-z y x
1.6两直线在同一平面上的判定
定理:直线???=+++=+++00
:222211111D z C y B x A D z C y B x A l 与??
?=+++=+++0
:444433332
D z C y B x A D z C y B x A l
在同一平面上的充要条件是
4
44433332
222
1111D C B A D C B A D C B A D C B A =0 证：因为通过1l 的任意平面()()2222211111D z C y B x A D z C y B x A +++++++λλ=0 其中21,λλ是不全为零的任意实数，而通过2l 的任一平面为
()()4444433333D z C y B x A D z C y B x A +++++++λλ=0其中43.λλ是不全为零的任意
实数。因此两直线在同一平面上的充要条件是存在不全为零的实数21,λλ与43,λλ使得以上两平面表示一个相同的平面，那么就存在一个不为零的数因子m ，即
()()
2222211111D z C y B x A D z C y B x A +++++++λλ[()()]4444433333D z C y B x A D z C y B x A m +++++++≡λλ 化简整理得
()()()()0
44332211443322114433221144332211≡--++--++--++--+D m D m D D z C m C m C C y
B m B m B B x A m A m A A λλλλλλλλλλλλλλλλ
所以 0
00
044332211443322114433221144332211=--+=--+=--+=--+D m D m D D C m C m C C B m B m B B A m A m A A λλλλλλλλλλλλλλλλ
因为4321,,,λλλλ不全为零，所以得
4
3
2
1
43214
3214321m D m D D D m C m C C C m B m B B B m A m A A A --------=0 而0≠m ，因此两直线21l l 与共面的充要条件为
4
3
2
1
4
3214
3214
321D D D D C C C C B B B B A A A A =0 即
4
4
4
4333322221111D C B A D C B A D C B A D C B A =0
以上我们看出了高等代数中的行列式知识在研究向量共线，向量共面，直线的一般方程表示以及判断两直线共面中都有非常重要的应用.
2.矩阵知识在解析几何中的应用
2.1矩阵知识在二次曲线的化简中的作用 2.1.1有心二次曲面方程的化简
我们把二次曲面分为中心二次曲面，线心二次曲面，面心二次曲面和无心二次曲面四种，我们把前三种二次曲面统称为有心二次曲面，现讨论有心二次曲面标准方程的建立。
设02=++c X B AX X T T 是有心二次曲面∑在直角坐标系[]321,,;e e e O =σ下的方程，则0=+B AX 有解，存在一个正交矩阵T ，使得()321,,λλλdiag AT T T =.任
取0=+B AX 的一个解δ.设()δ321/,,e e e OO =，()
()T e e e e e e 321'
3'21',,,,=可得直角坐标系[]
'3
'2'1'',,;e e e O =δ.把δ到'δ的直角坐标变换公式δ+='TX X 带入∑的方程，可得
()022'''=+++++c B A TX B A ATX T X T T T
T T δδδδ
由0=+B A δ，()321,,λλλdiag AT T T =，可得d x x x =++2'332'222'11λλλ
其中c B A d T T ---=δδδ2. 即可化为标准方程. 例3.用直角坐标变换化二次曲面
03828322682028102321323121232221=-++--+++-x x x x x x x x x x x x
为标准方程，写出坐标变换公式，并说明是什么曲面.
解 设 ??????????---=10410421410141A , ??
??
?
?????-=141613B , 38-=c 则方程可记作02=++c X B AX X T T
由0≠A ,可知0=+B AX 有唯一解，方程表示中心二次曲面.
解方程组0=+B AX ，可求出唯一解()T
0,1,1-=δ，进而可得
92=---=c B A d T T δδδ
A 的特征值多项式为
()10
410421410
141--+----=λλλλf =()()()18189+--λλλ
A 的特征值为18,18,9321-===λλλ，分别解方程组()03=-X A I i λ,31≤≤I ,可求出对应的单位特征向量.
??????????-=221311a ，??????????=212312a ，????
?
?????--=122313a . 于是原方程在直角坐标变换
??
??
?
?????-+????????????????????---=??????????01112221222131'3'2'
1321x x x x x x 下化为9181892'32'22'1=-+x x x ，进而得到的标准方程1222
'32'22'1=-+x x x .曲面为单叶双曲面
2.1.2无心二次曲面方程的化简
设02=++c X B AX X T T 是无心二次曲面∑在直角坐标系[]321,,;e e e O =σ下的方程，则0=+B AX 无解，存在正交线性替换TY X = 把二次型AX X T 化为标准形
02223'32'21'1233222211=++++++c y b y b y b y y y λλλ
由0=+B AX 无解，可得0=A ,又有()321,,λλλdiag AT T T =，可得0321==A λλλ.
321,,λλλ中至少有一个不为0，不妨设0,031=≠λλ
（1） 若02≠λ，可配方得到()()3'32
'
2
222
'1112y b d b y b y -=+++λλ 其中c b b d -+=2'222'11λλ.当0'
3≠b 时，可化为()()???
? ??-
-=+++'33'32
'
2
222
'11122b d y b b y b y λλ 令?????????-=+=+='33'3'22'2'11'12,b d y x b y x b y x 则方程经????
?????
-=+=-='3'33'2'22'1'112,b d x y b x y b x y 可化为'
3'32'222'112x b x x -=+λλ
当0'3=b 时，()
()
d b y b y =+++2
'
2
222
'
111λλ可在直角坐标变换?????=+=+=3
'
3'22'
2
'11'1,y x b y x b y x
的逆变换??
???=+=-='33'
2
'22'1'11,x y b x y b x y 下化为d x x =+2'222'11λλ （2）若02=λ,可配方得到()3'32'
2
2
'11122y b y b d b y --=+λ，其中c b d -=2'11λ.当'
3
'2,b b 不全为0时，方程可在直角坐标变换 ()
()
???
?
?
??
??
??++=-++=+=3'22'32'3
2'2'3
'
32'22'32'2'2'11'1121y b y b b b x d y b y b b b x b y x 的逆变换下化为'22'22'12'112x b b x +-=λ 当13
'2,b b 全为0时，方程可在直角坐标变换 ?????==+=3'32
'2'
11'1y x y x b y x 的逆变换?????==-='
33'
22'1'11x y x y b x y 下化为d x =2'11λ
例4.用直角坐标变换化二次曲面032121=----c x bx ax x x 为标准方程，写出坐标变换公式，并说明是什么曲面。
解 设 ?????
??
?????????=00000210210A ， ??????????-=121b a B ，
则原方程可记为02=++c X B AX X T T 由0=+B AX 无解，可知方程表示无心二次曲面
A 的特征多项式为()??? ??+??? ??
-=--=2121000210
21λλλλλλλf A 的特征值为0,2
1
,21321=-==
λλλ，可求出对应的单位特征向量 ????
?
?????=??????????-=??????????=100,01121,01121321a a a .
原方程在正交线性替换?????
????????????
???
??
?
???-
=??????????32
132110
0212102
121y y y x x x 下化为
()()02
121
21213212221=---++-
-c y y b a y b a y y 可经配方化为()()()c ab y b a y b a y ++=??
?
???---??????+-32
12
122121 设()()?????
??
?
??
??????+--+-+??????????=??????????c ab b a b a y y y x x x 21
21221'3'2'
1可化为标准方程'32'22'12x x x =-，表示双曲抛物面.
所做的直角坐标变换()()??
????
?
????????
?+--+-???????????????
?-
+????????????????????
?????
?
-
=??????????c ab b a b a x x x x x x 2
1
2110
0212102
12
110
0212102
121'3'2'
1321
=????????????????
?
?????
?
??
?
-
'3'2
'
110
0212102
121x x x +???????
???--c ab a b
2.2应用不变量化简二次曲面的方程
2.2.1不变量与半不变量
二次曲面（1）
()44342414231312233222211222222,,a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a z y x F +++++++++≡ =0
在空间直角坐标变换下，有四个不变量4321,,,I I I I 与两个半不变量21,K K ，即
,3322111a a a I ++=
33
23
232233
13
131122
12
12112a a a a a a a a a a a a I +
+
=
33
23
13
232212
131211
3a a a a a a a a a I = 44
34
24
14
34332313
24
232212
14131211
4a a a a a a a a a a a a a a a a I =
44
34
24
3433232423224434
14
3433131413114424
14242212
141211
24434
3433
44242422
441414111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a K a a a a a a a a a a a a K ++=++=
2.2.2二次曲面五种类型的判别
二次曲面（1）通过坐标变换总可以化成下面的五个简化方程中的一个：
（I ）0'442''332''222''11=+++a z a y a x a ，;0'
33'22'11≠a a a （II ）02''342''222''11=++z a y a x a ，;0'34'22'11≠a a a （III ）0'442''222''11=++a y a x a ，;0'22'11≠a a （IV ）02''242''11=+y a x a ，;0'24'11≠a a （V ）0'442''11=+a x a ，;0'11
≠a 也就是说任何一个二次曲面，它一定属于这五类曲面中的一类，现在我们介绍如
何应用二次曲面的不变量来判别二次曲面的类型.
1. 当二次曲面（1）是第I 类曲面时，那么有
000
00
'
33'22'11'33
'22
'11
'
33≠===a a a a a a I I
2. 当二次曲面（1）是第II 类曲面时，那么有
000
00
'33
'22
'11
'
33===a a a I I 而
00
0000
00
0002
'34'2211'34
'34'22'11'
44'
≠-==
=a a a a a a a I I
3. 当二次曲面（1）是第III 类曲面时，那么有 0,0'
44'
33====I I I I 而
00
000000'
22'11'
22
'11'
22'11'
22≠=++==a a a a a a I I 4. 当二次曲面（1）是第IV 类曲面时，那么有 0,0,0'
22'44'33======I I I I I I 而
00
00000
00000
00
0002
'24'11'
24
'
24
'11'24
'24'11
'
2
2≠-=++==a a a a a a a a K K
5. 当二次曲面（1）是第V 类曲面时，那么有 .0,0,0,0'
22'
22'
44'
33========K K I I I I I I
以上这些区别五类二次曲面的必要条件，包括了所有可能而且互相排斥的各种情
况，所以它们不仅是必要的而且也是充分的，因此我们得出以下结论； 如果给出了二次曲
()44342414231312233222211222222,,a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a z y x F +++++++++≡ =0
那么用不变量来判别二次曲面为何类型的充要条件是： 第I 类曲面：03≠I ； 第II 类曲面：03=I ，04≠I
第III 类曲面：03=I ，04=I ，02≠I
第IV 类曲面：03=I ，04=I ，02=I ，02≠K 第V 类曲面:03=I ，04=I ，02=I ，02=K
结束语
以上我们足以看出行列式和矩阵在解析几何中的应用是非常广泛的，其实这些只是行列式和矩阵的知识在解析几何中的一部分应用而已，在很多领域解析几何都需要用到行列式和矩阵的知识，所以行列式与矩阵的知识对于我们学习研究解析几何有着很多的帮助。
[参考文献]
[1]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2007. [2]牛兴文.高等代数与解析几何[M].北京：化学工业出版社，2005. [3]胡国权.几何与代数引导[M].北京：科学出版社，2006. [4]王心介.高等代数与解析几何[M].北京：科学出版社，2002. [5]刘仲奎.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003. [6]孟道骥.高等代数与解析几何[M]北京：科学出版社，1998. [7]田勇.线性代数教材辅导[M].北京：科学技术文献出版社，2005. [8]杨武茂,李全英.空间解析几何[M].武汉:武汉大学出版社, 2004.
[9]李汉龙，王金宝，朱宝彦.化简二次曲面的一种新方法[J].沈阳：建筑大学学报，2007. [10]陈志杰.等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社，2000. [11]王元.华罗庚[M].北京：开明出版社,1994.
行列式跟矩阵的关系 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 矩阵由数组成，或更一般的，由某元素组成。就是m×n 矩阵就是mn个数排成m个横行n个竖列的阵式。n×n矩阵的行列式是通过一个定义，得到跟这个矩阵对应的一个数，具体定义可以去看书。注意，矩阵是一个阵式，方阵的行列式是跟一个方阵对应一个数。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。 也可以这样解释：行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定：若逆序数之和为偶数，则该项为正；若逆序数之和为奇数，则该项为负。 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
矩阵、行列式和算法（20131224） 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值围是 ． 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----， 其面积为 .
9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下 变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必 要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- =
【课堂例题】 例1.解关于,,x y z 的方程组：13x y mz x my z m x y z ++=?? ++=??-+=? 例2.已知行列式2 40 2 101 01 D -=--，写出第一列元素的代数余子式.
【知识再现】 1.设关于,,x y z 的三元线性方程组111122223 333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?，其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、 c 2、c 3不全为零. 若记1 11 2 223 3 3 a b c D a b c a b c =， x D = ， y D = ， z D = 当D ，方程组有唯一解：x = ，y = ，z = . 当0D =且,,x y z D D D 至少有一个不为零时，方程组 . 当0x y z D D D D ====时，方程组 . 【基础训练】 1.方程组273514223x y z x y x y -+=?? -=??-=? 的系数行列式为 ，系数行列式的值为 . 2.已知方程组10x my z x my z m mx y z ++=-?? -+=??++=? ， (1)该方程组有唯一解，则实数m 的取值范围是 . (2)若0m =，则该方程组解的情况为 . 3.关于,,x y z 的方程组1111 22223 333(1)a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=?? ++=??++=?中，若记111 2 2233 3 a b c D a b c a b c =，则“0D =” 是“方程组(1)有无穷多组解”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 4.任写两个关于,,x y z 的线性方程组，要求满足0x y z D D D D ====，但第一个方程组要求无解，第二个方程组要求有无穷多解. ， .
矩阵与行列式的相似与不同 学校：长江大学 院系：信息与数学学院 专业：信息与计算科学 姓名：郑洲 辅导老师：谢老师
【摘要】:本文中主要讨论了高等代数中矩阵和行列式的概念，并且从概念，性质以及运算几个方面阐述了行列式与矩阵的相似与不同。 【关键词】:矩阵.行列式.相似与区别 矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。数学上,一个m×n的矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列.矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。其重要的作用是解线性方程组和表示线性变换。 行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式，是由若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵。行列式是一个函数，值是一个标量。其值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负取决于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是基数。 我们先看看矩阵和行列式有哪些相似。 1.形式上比较相似：矩阵和行列式看上去比较相似，主要表现在：它们中的元素都有顺序的排成行列表，表面上看起来很相似，导致很多初学者容易把行列式和矩阵弄混淆；其次，它们中的表示方法一致，比如说行列式和 矩阵中第i行第j列的元素都用a ij表示；并且，它们对行列的称呼一致，从 上到下依次称作第一行，第二行…第n行，记作r1，r2，…r n；从左到右依次称为第一列，第二列，…第n列，记作c1，c2…c n。 2.性质上有相同点：在一个不等于0的数乘行列式或矩阵的某一行或某一列时，等于该数乘以此行或此列的每一个元素；行列式和矩阵中把一个不为0的数乘行列式或矩阵的某一行或列后可以加到另一行或列对应的元素上，即某一行（列）的k倍可以加到另一行（列）上。 3.运算上具有相同点：（1）行列式和矩阵都满足叫法交换率和结合律。可以表示为 D1+D2=D2+D1（D1+D2）+D3=D1+(D2+D3) A+B = B+A (A+B)+C = A+(B+C) (2)行列式和矩阵满足乘法结合律，即 D1D2D3=(D1D2)D3 A（BC）=（AB）C (3)行列式适合乘法分配率，矩阵适合乘法左分配率和右分配率，也就是说 D1（D2+D3）=D1D2+D1D3（D2+D3）D1=D2D1+D3D1 A(B + C) = AB + AC (B + C)A=BA + CA 矩阵和行列式虽然说有很多相同点，但它们始终是两个不同的概念，那么矩阵和行列式有什么区别呢。 1.先从概念上可以看出:（1）n阶行列式D n是n2个数按一定顺序排列成的n行n列的方阵，其实际上是一个数，行列式在数表两端加||；而矩阵是m ×n个数按一定方式排列的m行n列数表，归根结底是一个数表，矩阵在数表两端加（）或[]。行列式是方形数表中定义，对不上方形的数表，不能讨论任何行列式的问题，而矩阵无此限制（2）行列式和矩阵行列之间存在差
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知 ， ，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=
沪教版(上海) 高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行 列式初步本章复习题 一、填空题 (★) 1. 二元一次方程组的增广矩阵是___________． (★) 2. 方程的实数解是________． (★★) 3. 若的三个顶点坐标为，其面积为________． (★★) 4. 设，计算：________． (★★) 5. 若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ______ ． (★★) 6. 将表示成一个三阶行列式为________． (★★) 7. 函数的最大值是_________． (★★) 8. 计算：__________． 二、双空题 (★★) 9. 若，，，，则______，______． (★★)10. 已知矩阵，矩阵，向量经过矩阵A变换为向量_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称． 三、单选题 (★★★) 11. 三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（） A．充分条件B．充要条件C．必要条件D．非充分非必要条件(★★) 12. 若，则 x的值是（）． A．1B．C．D．
(★) 13. 已知，则（）． A．B．C．D． (★) 14. 已知是阶矩阵，，则下列结论中错误的是（）． A．B． C．D． 四、解答题 (★★) 15. 已知矩阵，，，计算： （1）； （2）； （3）． (★★★) 16. 关于的二元一次方程组有唯一一组正解，求实数 a的取值范围．(★★) 17. 用矩阵变换的方法解方程组：. (★★) 18. 已知矩阵，定义其转置矩阵．若 ，写出 A的转置矩阵，并求行列式与．说明两者有什么关系． (★★★) 19. 已知．求证：三点共线的充要条件是 ．
矩阵与行列式知识梳理 一、矩阵的概念 1 将mn 个实数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成m 行n 列的矩形数表(通常用圆括号把数表括起来)： ?? ? ? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211称为一个m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵，用______表示. 简记为_____.数ij a 称为矩阵的元素. 几种特殊类型的矩阵：行矩阵、列矩阵、方阵、单位矩阵、零矩阵. 2 对于关于y x ,的线性方程组?? ?=+=+222111c y b x a c y b x a ，则矩阵??? ? ??2211 b a b a 称为该线性方程组的系数矩阵. 矩阵??? ? ??22 2 111 c b a c b a 称为该线性方程组的增广矩阵. 3 矩阵的三种变换： (1) (2) (3) 4 矩阵变换的目的是将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，其增广矩阵的最后一列就是方程组的解. 二、二阶行列式 1 定义：我们用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -，即 12212 2 11b a b a b a b a -=，记号 2 2 11b a b a 叫做行列式，因为它只有两行两列，所以把它叫做二阶行列式. 1221b a b a -叫做行列式 2 2 11b a b a 的展开式，其计算结果叫做 2 2 11b a b a 的值.1a 、2a 、1b 、2b 都叫做行列式 2 2 11b a b a 的元素. 2 对角线法则：二阶行列式的展开式是主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积. 3作为判别式的二阶行列式：关于x 、y 的二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a ①其中1a 、2a 、 1b 、2b 不全为零，行列式2 2 11b a b a D = 叫做方程组①的系数行列式. 设2 2 11b c b c D x = ，
第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ； 引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-??。 二、概念讲解：
1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列）， 可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余 元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
行列式与矩阵幂迹的代数关系 计算]det[xB A +的公式 （1）递归推导法： ∑=+=i i i x C xB A w ]det[]det[ ... ]det[)(]det[)(]det[]det[)()ln (]det[21)(ln )(ln w v v w w v w ww w w w w tr tr tr tr e tr e x x x tr x tr x x +?=?=?=?=?=?- 001)](det[]det[)(!==+?=?=x i x x n x i tr i C v w w ... 2)()()()()()(3 1 1 1 1 1 1 111122111v ww ww ww w w ww ww w w ww w w w w v v w w ww w w v -=???-??-?=???+???=?-=?-?=??=?-------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()1)..(1 )(()(n m m n x tr n m m m tr ++-----=?v v () m x m n m m n m n x x i x i i i i tr tr tr n m m m tr m tr tr i C x C x )()()()1)..(1)(()()(1)(! det ]det[100 B A v v v v v A B A -=+==+-----=-=?+?= =+∑ （2）直接展开法
∑ ∏∑∑ ∏∑∑∏∑∑∏∑∏∑∑∏∑∑∑∑∑=-+∞ ==+∞ ==∞===∞==∞=+=∞ =+--∑ -=+∑ -=∑=∑==∑=≡-=-=+=++≡+=+=+n jm m m i m i m i n n n jm m m i m i m i n n n jm m i m i n n m i m i jm m i im m i m m m m i im m i m i i i m m i i i i m i i i i j j i i i i i j j i i i i i j j i i i i i i j j i i i i i i i i i i m tr x x i m tr x m P x m P x m x P m x P P x m i tr x m i tr x x tr x x x x x }, {)1(0 }, {)1(0 },{0}{}{0},{1 01101 1!)))((()1(]det[]det[!))(()1(!!!!) (!1))()1((!1) ) ()1(exp())ln(exp(]det[]det[det ]det[det ]det[det ]det[B A A B A D D D D δD δD δA B A δA B A δA B A 111 按照分配
【最新整理，下载后即可编辑】 矩阵和行列式复习 知识梳理 9.1矩阵的概念： 矩阵：像[27]，[ 4202]，[945 354 ]的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、B 、C…表示 三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵； ① 矩阵行的个数在前。 ② 矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 行向量、列向量 单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。 9.2矩阵的运算 【矩阵加法】 不同阶的矩阵不可以相加； 记11122122A A A A A =?? ????，11122122B B B B B =??????，那么 ??? ???++++=+22222121 12121111B A B A B A B A B A ， 【矩阵乘法】， [A 1A 2]×[A 1A 2]=11122122A B A B A B A B ?????? ； ?? ? ? ??++++=2222122121 2211212212121121 121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka == 【矩阵变换】
相似变换的变换矩阵特点：k [10 01]等 轴对称变换的变换矩阵：[?1001]、[100?1]、[01 10]等 旋转变换的变换矩阵：[0?1 10 ]等 9.3二阶行列式 【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。 行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。 二阶行列式的值a d D ac bd b c = =- 展开式ac - bd 【二元线性方程组】 对于二元一次方程组111 222 a x b y c a x b y c +=?? +=?，通过加减消元法转化为方程组 x y D x D D y D ?=??? ?=?? 其中1 11 11 1 2 22 222 ,,x y a b c b a c D D D a b c b a c = == 方程的解为{A = A A A A = A A A 用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。 （I ）0D ≠，方程组（*）有唯一解； （II ）0D = ○1 ,x y D D 中至少有一个不为零，方程组（*）无解； ○2 0x y D D ==，方程组（*）有无穷多解。 系数行列式1122 a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。 9.4三阶行列式
第9章 矩阵和行列式初步 一、 矩阵 9.1 矩阵的概念 矩阵及其相关的概念 1、矩形数表叫做矩阵 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 由个数排成的行列的数表 n m ?m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn m m n n a a a a a a a a a 21 2222111211称为矩阵. n m ?记作?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221 11211n m ij a ?=)( 2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。? ?? ? ??-1321它是2行2列的矩阵，记为 2 2?A ，矩阵 可简记为A n m A ?注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”. 列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 。 等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ???)(,
说明： 通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有 下列三种： （1）互换矩阵的两行 （2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数 （3）某行乘以一个数加到另一行 通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
9.2 矩阵的运算 矩阵 列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ?==?) ,,2,1;,2,1( 11 12121 2221 2 .....................n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 记为列元素。 行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。 ,()m n m n ij A B a ??必要时可记为等，或者A=。 0m n O O ?所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习 定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对 应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。记为：A=B n m ij n m ij b B a A ??==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,) ij ij a b i m j n ===且则A=B 。 ...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算 （一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法 3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。A-B A B +记为或（）。 A B ±即 ()()ij m n ij m n a b ??=±()ij ij m n a b ?=± 定义4以实数乘矩阵A 中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A A α即 ()ij m n a α?=()ij m n a α?=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n m ij a A ?-=-)(即 α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）
第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题 1．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（） A．869 B．870 C．871 D．875
第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、解答题 2．已知矩阵??????=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量?? ? ???=11e ， 求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 3．已知矩阵 10120206A B -???? ==???? ???? ，，求矩阵1.A B - 4．选修4-2：矩阵与变换 已知直线:23l x y -=，若矩阵13a A b -?? = ??? ,a b R ∈所对应的变换σ把直线l 变换为它自身。 （Ⅰ）求矩阵A ； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵. 5．求曲线1x y +=在矩阵M 10103?? ??=?????? 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积． 6．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量??? ? ??=321e 并有特征值 12-=λ及属于特征值－1的一个特征向量???? ??-=112e ， ??? ? ??-=11α （Ⅰ ）求矩阵M ；（Ⅱ ）求5 M αr ． 7．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵00a b ??=????M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α，是非零的平面列向量，11l =，211?? =???? α，求矩阵M . 8．变换T 1是逆时针旋转 2 π 的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝. （1）求点P （2,1）在T 1作用下的点P ′的坐标； （2）求函数y ＝x 2 的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程． 9．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－
矩阵、行列式和算法（） 姓名 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d （,,,{1,1,2}a b c d ∈-）的所有可能值中，最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x >-”能推出命题B :“x a >”，则a 的取值范围是 ． 5.若方程组111 222 a x b y c a x b y c +=?? +=?的解为2,1==y x ，则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ，y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----，其面积为 . 9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 .
图2 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=，则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（ ）. A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- = 15.若,,a b c 表示ABC ?的三边长， 且满足02 22 =++++++c b a c c c b a b b c b a a a ， 则ABC ?是（ ）. A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果S =（ ） A ．20 B. 35 C. 40 D .45
矩阵和行列式复习 知识梳理 9.1矩阵的概念： 矩阵：像 ， ， 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写字母A 、 B 、C…表示 三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵； ① 矩阵行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 行向量、列向量 单位矩阵的定义：主对角线元素为1，其余元素均为0的矩阵 增广矩阵的含义及意义：在系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的值的矩阵。通过矩阵变换，解决多元一次方程的解。 9.2矩阵的运算 【矩阵加法】 不同阶的矩阵不可以相加； 记11 1221 22A A A A A =?? ? ???，11 1221 22B B B B B =?? ???? ，那么 ?? ? ???++++=+22222121121211 11B A B A B A B A B A ， 【矩阵乘法】， =11122122A B A B A B A B ?? ???? ； ?? ? ???++++=22221221212211212212121121 1211 11B A B A B A B A B A B A B A B A AB 【矩阵的数乘】().ij kA Ak ka == 【矩阵变换】 相似变换的变换矩阵特点：k 等 轴对称变换的变换矩阵： 、 、 等 旋转变换的变换矩阵： 等 9.3二阶行列式 【行列式】行列式是由解线性方程组产生的一种算式； 行列式是若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。
行列式行数、列数一定相等；矩阵行数、列数不一定相等。 二阶行列式的值a d D ac bd b c ==- 展开式ac -bd 【二元线性方程组】 对于二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=??+=?，通过加减消元法转化为方程组x y D x D D y D ?=????=?? 其中1 11 11 12 22222 ,,x y a b c b a c D D D a b c b a c = == 方程的解为 用行列式来讨论二元一次方程组解的情况。 （I ）0D ≠，方程组（*）有唯一解； （II ）0D = ○ 1,x y D D 中至少有一个不为零，方程组（*）无解； ○ 20x y D D ==，方程组（*）有无穷多解。 系数行列式11 2 2 a b D a b = 也为二元一次方程组解的判别式。 9.4三阶行列式 三阶行列式展开式及化简12 3 1 231232313121 2 3 a a a D b b b a b c a b c a b c c c c ==++321213132() a b c a b c a b c -++（对角线法则） 三阶行列式的几何意义：直角坐标系中A 、B 、C 三点共线的充要条件(沪教P95) 【余子式】把三阶行列式中某个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按原来位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式；添上符号（-1）i+j 后为代数余子式。