矩阵、行列式的概念与运算
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵111213212223a a a a a a ??
???
中的行向量是()111213a a a a =，()2122
23b a a a =；
2、 如：111213111211122122
2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ??
????
=== ?
? ?
??????
，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++????
+== ? ?
++????，
11111221
11121222111312232111222121122222
21132223a c a c
a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++??
= ?+++??
矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有：
,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。
同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。
实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。
矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB ==
()()AB C A BC =
3、 矩阵乘法不满足交换率，如1
11
11
11
122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠
??? ???????????
矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号
2
2
11b a b a 表示算式1221b a b a -,即
2
2
11b a b a =1221b a b a -,其中
2
2
11b a b a 叫做二阶行列式;
算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线
2
2
11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开
的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解
二元一次方程组???=+=+222
1
11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记
2
211b a b a 叫做方程组的系数行
列式;记=x D 2
2
11b c b c ,2
2
11c a c a D y =
即用常数项分别替换行列式D 中x 的系数或y 的系数后
得到的.
(1) 若D ,0≠则方程组有唯一一组解,D
D y D D x y x
==
, ; (2) 若0=D ,且y x D D ,中至少有一个不为零,则方程组无解; (3) 若0===y x D D D ,则方程组有无穷多解. 3。三阶行列式及对角线法则
用333
222
1
11
c b a c b a c b a 表示算式;其结果是231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++.
我们把3
3
3
222
1
11
c b a c b a c b a 叫做三阶行列式; 231312123213132321c b a c b a c b a c b a c b a c b a ---++叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值;i i i c b a ,,(3,2,1=i )都叫做三阶行列式的元素.
4． 三阶行列式按一行(或一列)展开
把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i 行与第j 列的代数余子式的符号为j
i +-)
1(.
三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开. 5.三元一次方程组的解
三元一次方程组???
??=++=++=++3333
22221111d
z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a );)3,2,1(,,((不全为零其中=i c b a i i i
记33
3
222
111
c b a c b a c b a D =为方程组的系数行列式;记33
3222111c b d c b d c b d D x =,3
3
3
222
111c d a c d a c d a D y =
3
3
3
222
1
11
d b a d b a d b a D z =,即用常数项分别替换行列式D 中z y x 或或的系数后得到的. (1) 当0≠D 时,方程组有惟一解????
?
????==
=D
D z D D y D D x z y x
(2) 当0=D 时,方程组有无穷多组解或无解.
举例应用： 一、填空题：
1、已知314012212.341241211A B ???? ? ?
=--=- ? ? ? ?-????，则3A B -= ；
解：3A B -=92103758112?? ?
-- ? ???
；
2、已知1223,2131A B -????
== ? ?????
，则AB = ；BA = 解：122381213175AB --??????==
??? ?-??????；4157BA -??
= ???
3、已知1558534,,10672246A B C ?????? ?
=== ? ? ????? ?
??
，则()AB C = ；()A BC =
解：155********()()10;6722412926AB C ??
??????
?== ??? ? ???????
???
155********()(10)6722412926A BC ??
??????
?== ? ? ? ???????
???
4。矩阵的一种运算,???
?
??++=???? ???????
??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵?
??
? ??d c b a 的作用下变换成点124),,(2
2=++++y xy x dy cx by ax 若曲线在矩阵???? ??11b a 的作用下变换成曲线b a y x +=-则,122
2
的值为 .
解：由题意11a x x ay b y bx y +??????=
? ? ?
+??????，代入22
21x y -=，整理可得令'
'
x ay x bx y y +=??
+=?，22()2()1x ay bx y ∴+-+=， 2222(12)2(2)(2)1b x a b xy a y ∴-+-+-=，用待定系数法
22121
22(2)42022
b a a b a b b a ?-==??
-=??+=??
=??-=?
二、选择题
5、给出下列三个式子：
（1）11121112111211122122212221222122a a b b b b a a a a b b b b a a ????????= ??? ???????????
（2）()1111
12
132111111221133131b a a a b a b a b a b b ??
?
=++ ? ???
（3）()()111111
12132111
12
13213131.b b a a a b a a a b b b λλλ??
??
?? ? ?
?+=+ ? ? ? ? ? ??????
?
其中正确的式子的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解：由于上面各命题都不对，所以选择（A ）
6.下面给出矩阵的一些性质中正确的是（ ）
A.AB=BA
B.若AB=(0),则A=(0)或B=(0)
C.若AB=AC,则B=C
D.(AB)C=A(BC) 解：根据矩阵的性质，知道（A ），（B ），（C ）都不对，所以选取（D ） 7、已知34,,211x y A B y x +-????
==
? ?--????
若A=2B,则x,y 的值分别为（ ）.
A.1,2
B.3
2,
2
C.2,1
D.不存在 解：由2
3438222321121222
x x y x y A B y x y x y =?+-+=-??????
=?=?∴?
? ? ?---=-=??????? 8、下列说确的是（ ）. A.任意两个矩阵都可以相加 B.任意两个矩阵都可以相乘
C.一个m k ?阶矩阵与一个k n ?阶矩阵相乘得到一个m n ?阶矩阵
D.一个k m ?阶矩阵与一个n k ?阶矩阵相乘得到一个m n ?阶矩阵 解：根据矩阵的乘法性质，得到（C ）成立。 三、解答题 9、已知矩阵305211,214221A B -????
==
? ?-????
，求矩阵X ，使23A X B -=
解：设1112
132122
23a a a X a a a ??=
???，则11
121321222363310323432383a a a A X a a a ---??-= ?----??
由23A X B -=，得11111212131321212222
232383
6321
318133103133
34327220323208317
3a a a a a a X a a a a a a ?=?-=-??-??-==??
??- ??-=??=?∴=
???--= ???=--
????
?
-==??-=????=
?
。 10．给出方程组23
2610ax y x y -=-??++=?
有唯一解的充要条件
解：由23
261
ax y x y -=-??
+=-?
即对应823230232326123082308a a a
a a a ?
?-------???? ???+ ? ? ?-+ ?????+?? 即82323(23)8
a y a a x ?
-=--?+??+=?，所以当且仅当2
2303
a a +≠∴≠-
时有唯一解。 11．（1）求2
3
1111,0101????
? ?????的值；
（2）求11(2,)01n
n n N *
??≥∈ ???
解：（1）2
3
11121113;;01010101????????
== ? ? ? ?????????
（2）由此猜想：1110101n
n ????
= ? ?????
，下面用数学归纳法加以证明
证明：（1）当2n =时，等式成立：
（2）当(2,)n k k k N *
=≥∈时，等式成立，即1110101k
k ????= ? ?????，
那么1
11111111111010101010101k k
k k ++????????????=?=?= ?
? ? ? ? ???
??????????
则当1n k =+时，等式成立。
根据（1）、（2）的证明知等式对2,n n N *
≥∈都成立。
12、某电器商场销售的彩电、U 盘和MP3播放器三种产品。该商场的供货渠道主要是甲、乙两个品牌的二级代理商。今年9月份，该商场从每个代理商处各购得彩电100台、U 盘52个、MP3播放器180台。而10月份，该商场从每个代理商处购得的产品数量都是9月份的1.5倍。现知甲、乙两个代理商给出的产品单价（元）入下表所示：
（1） 计算()100521801.5??
???
，并指出结果的实际意义； （2） 用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商的购货费用。
解：（1） 1005218015078270??
???
，第一行表示9月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U 盘、
MP3播放器的数量，第二行表示10月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U 盘、播放器的数量。
（2）2350210010052180432400383840120092015078270648600575760750700??????
?= ? ? ?
????
???
即9月份付给甲代理商的购货费为432400元，付给乙代理商的购货费为383840元；10月份付给甲代理商的购货费为648600元，付给乙代理商的购货费为575760元。 13．关于y x ,的二元方程组20
1x my m mx y m +-=??+-=?
,并讨论解的情况.
解
: )
1)(1(1112m m m m m
D +-=-==
,
)
1()1(21
12m m m m m m m
m D x -=+-=+=
,
)1)(12(211
212m m m m m m m D y -+=-+=+=
(1) 当,0≠D 即,1≠m 且1-≠m 时,方程组有唯一解??
??
?++=
+=1121m m y m m x (2) 当1=m 时,0===y x D D D ,方程组有无穷多组解,此时方程组可化为??
?=-+=-+0
20
2y x y x ,
令)(R t t x ∈=,则原方程组的解可表示为?
??-==t y t
x 2.
(3) 当1-=m 时,,0=D 但02≠-=x D ，方程组无解。 14．已知函数x
x x e
ae e x f 21
)(-+= （1） 当2-=a 时，解不等式7)(≤x f ；
（2） 求a 的取值围，使得)(x f 在[]1,1-上是单调函数。
解（1）：原不等式即为7)12(2)(2≤+-+x
x e e ，解得5ln ≤x ；
（2）2
2
2
2)(22)()(a a e ae e x f x
x
x -++=++=，且,,1??
????∈e e e x
当,e a -≤或e a 1
-≥时，
)(x f 在[]1,1-上是单调函数。
15．解方程组:21
ax y z x ay z a x y az a ++=??
++=??++=?
()R a ∈
解:2211
1
132(1)(2)11a D a a a a a a ==-+=-+
),1()1(111
1122
+--==a a a
a a a
D x 22222
11
11(1),111
1(1)(1),
11y z a D a
a a a
a D a
a a a a ==-==-+
(1) 当1≠a 且2-≠a 时,方程组有唯一解????
?
????++=+=++-=2)1(21212a a z a y a a x
(2) 当2a =-时,原方程组为???
??=-+-=+-=++-4
2221
2z y x z y x z y x 消去x 得???=-=-31z y z y ,所以方程组无解.
(3) 当1=a 时,原方程组为??
?
??=++=++=++111z y x z y x z y x ,所以方程组有无穷多解.
16．已知行列式1
11
ab c
ac b
bc a