数值分析上机实验报告
选题：曲线拟合的最小二乘法
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课题八 曲线拟合的最小二乘法
一、问题提出
从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。
二、要求
1、用最小二乘法进行曲线拟合；
2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?；
3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j t y 的误差，12,,2,1Λ=j ；
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、*绘制出曲线拟合图*。
三、目的和意义
1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、计算公式
对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为
∑==m
j j j x a x y 0)()(?
特别的，取)(x j ?为多项式
j j x x =)(? (j=0, 1,…，m )
则根据最小二乘法原理，可以构造泛函
∑∑==-=n
i m
j i j j i m x a f a a a H 1
10))((),,,(?Λ
令
0=??k
a H
(k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程
?
?
???
?
??????=???????????????????
?????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111
000100m m m m m m m m f f f a a a ?????????????????????M M Λ
M M M Λ
Λ 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10Λ，因此可得到数据的最小二乘解
∑=≈m
j j j x a x f 0)()(?
曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
五、结构程序设计
在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。
5.1用一元三次多项式
()3
3221t a t a t a t ++=?进行拟合
计算解析表达式系数： a1, a2, a3
t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];
y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];
>> n=length(xi);
f=0.34364.*10.^(-4)*x.^3-5.2156.*10.^(-3)*x.^2+0.26340.*x+0.017839;
x=0:0.01:55;
F=0.34364.*10.^(-4)*x.^3-5.2156.*10.^(-3)*x.^2+0.26340.*x+0.017839;
fy=abs(f-y);
fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'t*'), hold on, plot(t,F,'b-'), hold off
所得函数为
4332
(t)0.3436410 5.2156100.26340.013839t t t ?--=?-?++ 运行后屏幕显示数据
)
,(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew ，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点
)
,(i i y x 和拟合曲线y=f(x)的图形如图5.1.
Ew =0.4243
E1 =0.0911
E2 =0.1467
图5.1一元三次多项式拟合曲线误差图
5.2用一元四次多项式()4433221t a t a t a t a t +++=?进行拟合：
计算多项式系数：a 1, a 2, a 3, a 4
xi=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];
y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];
n=length(xi);
x=0:0.01:55;
f=0.6026.*10.^(-6)*x.^4-0.31918.*10.^(-4)*x.^3-0.0029323.*x.^2+0.23807.*x+0.060449;
x=0:0.01:55;
F=0.6026.*10.^(-6)*x.^4-0.31918.*10.^(-4)*x.^3-0.0029323.*x.^2+0.23807.*x+0.060449;
fy=abs(f-y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold off
所得函数为
644332(t)0.6026100.3191810 2.9323100.238070.060449t t t t ?---=?-?-?++
运行后屏幕显示数据
)
,(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew ，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点
)
,(i i y x 和拟合曲线y=f(x)的图形如图5.2。
Ew = 0.3897 E1 = 0.1034、 E2 =0.1429
图5.2一元四次多项式拟合曲线误差图
5.3用一元二次多项式()23
2
1t
a
t
a
a
t+
+
=
?进行拟合：
计算多项式系数：a
1, a
2
, a
3
输入程序：
>> syms a1 a2 a3
x=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; fi=a1.*x.^2+ a2.*x+ a3
运行后屏幕显示关于a
1,a
2
和a
3
的线性方程组：
fi=[ a3, 25*a1 + 5*a2 + a3, 100*a1 + 10*a2 + a3, 225*a1 + 15*a2 + a3, 400*a1 + 20*a2 + a3, 625*a1 + 25*a2 + a3, 900*a1 + 30*a2 + a3, 1225*a1 + 35*a2 + a3, 1600*a1 + 40*a2 + a3, 2025*a1 + 45*a2 + a3, 2500*a1 + 50*a2 + a3, 3025*a1 + 55*a2 + a3]
编写构造误差平方和的MATLAB程序：
y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];
fi =[ a3, 25*a1 + 5*a2 + a3, 100*a1 + 10*a2 + a3, 225*a1 + 15*a2 + a3, 400*a1 + 20*a2 + a3, 625*a1 + 25*a2 + a3, 900*a1 + 30*a2 + a3, 1225*a1 + 35*a2 + a3, 1600*a1 + 40*a2 + a3, 2025*a1 + 45*a2 + a3,
2500*a1 + 50*a2 + a3, 3025*a1 + 55*a2 + a3];
fy=fi-y;fy2=fy.^2;J=sum(fy.^2) 运行后屏幕显示误差平方和如下：
J =(100*a1 + 10*a2 + a3 - 54/25)^2 + (25*a1 + 5*a2 + a3 - 127/100)^2 + (225*a1 + 15*a2 + a3 - 143/50)^2 + (400*a1 + 20*a2 + a3 - 86/25)^2 + (900*a1 + 30*a2 + a3 - 83/20)^2 + (625*a1 + 25*a2 + a3 - 387/100)^2 + (1225*a1 + 35*a2 + a3 - 437/100)^2 + (1600*a1 + 40*a2 + a3 - 451/100)^2 + (2025*a1 + 45*a2 + a3 - 229/50)^2 + (2500*a1 + 50*a2 + a3 - 201/50)^2 + (3025*a1 + 55*a2 + a3 - 116/25)^2 + a3^2
为求4321,,,a
a a a 使J 达到最小，只需利用极值的必要条件0
=??k a J
)4,3,2,1(=k ，得到关于4321,,,a a a a 的线性方程组，这可以由下面的MATLAB 程序完成，即输入程序 ：
>> syms a1 a2 a3
J =(100*a1 + 10*a2 + a3 - 54/25)^2 + (25*a1 + 5*a2 + a3 - 127/100)^2 + (225*a1 + 15*a2 + a3 - 143/50)^2 + (400*a1 + 20*a2 + a3 - 86/25)^2 + (900*a1 + 30*a2 + a3 - 83/20)^2 + (625*a1 + 25*a2 + a3 - 387/100)^2 + (1225*a1 + 35*a2 + a3 - 437/100)^2 + (1600*a1 + 40*a2 + a3 - 451/100)^2 + (2025*a1 + 45*a2 + a3 - 229/50)^2 + (2500*a1 + 50*a2 + a3 - 201/50)^2 + (3025*a1 + 55*a2 + a3 - 116/25)^2 + a3^2;
Ja1=diff(J,a1);Ja2=diff(J,a2);Ja3=diff(J,a3); Ja11=simple(Ja1),Ja21=simple(Ja2),Ja31=simple(Ja3), 运行后屏幕显示J 分别对a1, a2 ,a3的偏导数如下： Ja11 =49967500*a1 + 1089000*a2 + 25300*a3 - 217403/2 Ja21 = 1089000*a1 + 25300*a2 + 660*a3 - 27131/10 Ja31 = 25300*a1 + 660*a2 + 24*a3 - 3987/50
解线性方程组Ja11 =0，Ja21 =0，Ja31 =0输入下列程序：
>>A=[49967500,1089000,25300;1089000, 25300,660;25300,660,24]; B=[217403/2,27131/10,3987/50];
C=B/A, F=poly2sym(C)
运行后屏幕显示拟合函数f 及其系数C 如下： C =-0.0024 0.2037 0.2305
F = (64133*x)/ - (52799*x^2)/52 + 32545/ 故所求的拟合曲线为：
0.230470.203690.0023805)(22++-=x x x f
编写下面的MATLAB 程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形。输入程序：
>> xi=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];y=[0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64];
n=length(xi);
f=-0.0023805.*x.^2+0.20369.*x+0.23047;
x=0:0.01:55;F=-0.0023805.*x.^2+0.20369.*x+0.23047; fy=abs(f-y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold off legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线
y=f(x)'),xlabel('x'),ylabel('y'),title('数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')
运行后屏幕显示数据
)
,(i i y x 与拟合函数f 的最大误差Ew ，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点
)
,(i i y x 和拟合曲线y=f(x)的图形如图5.3所示：
Ew =0.4437 E1 = 0.1426 E2 =0.1983。
图5.3一元二次多项式拟合曲线误差图
六、结果讨论和分析：
由以上结果可知，拟合方程的选取至关重要，它决定了最大误差、平均误差以及均方根误差的大小，即拟合曲线的接近程度。本次实验，最初所选取的拟合解析方程
()3
3221t a t a t a t ++=?获得较好的拟合，选用解析方程为
()4
433221t a t a t a t a t +++=?的曲线拟合时，精确度有所下降。由此，拟合函数的
选择和拟合精度致密相关，最小二乘法如果想将曲线拟合的比较完美，必须应用适当的模拟曲线，如果模拟曲线选择不够适当，那么用最小二乘法计算完后，会发现拟合曲线误差比较大，均方误差也比较大，而如果拟合曲线选择适当，那么效果较好，且根据本次结果可见，当采用更高次的多项式拟合数据，其结果的误差会更小。因此，需要对已知点根据分布规律选取多个可能的近似拟合曲线，算出后比较误差与均方误差，得到最佳拟合曲线。但是如果已知点分布非常不规律，无法观察或是无确观察出其近似曲线，那么根本无法使用最小二乘法进行曲线拟合，我们只能使用其它方法进行逼近。
通过这次实验，我学习并实践了最小二乘法进行的曲线拟合的知识，认识
到数值分析这一分析方法在实际应用中的重要作用。而且通过在实际操作发现了各种问题，并寻找到解决问题的方法，使我获益良多。
昆明理工大学工科研究生《数值分析》上机实验 学院：材料科学与工程学院 专业：材料物理与化学 学号：2011230024 姓名: 郑录 任课教师：胡杰
P277-E1 1.已知矩阵A= 10787 7565 86109 75910 ?? ?? ?? ?? ?? ??,B= 23456 44567 03678 00289 00010 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ,错误！未找到引用源。 = 11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11?????????????????? （1）用MA TLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。 （2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。解：MA TLAB程序如下： 求矩阵A的特征值： clear; A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; E=eig(A) 输出结果： 求矩阵B的特征值： clear; B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0]; E=eig(B) 输出结果：
求矩阵错误！未找到引用源。的特征值： clear; 错误！未找到引用源。=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。) 输出结果： （2）A= 10 7877565861097 5 9 10 第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到： 第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1
数值分析上机题 第一章 17.（上机题）舍入误差与有效数 设∑=-= N j N j S 2 2 11 ，其精确值为）111-23（21+-N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 -1 ···1-311-21222N S N +++=，计算N S 的通用 程序； （2）编制按从小到大的顺序1 21 ···1)1(111 222-++--+ -=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算210S ,410S ,610S ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）； （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： 程序： （1）从大到小的顺序计算1 -1 ···1-311-21222N S N +++= ： function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long ; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end （2）从小到大计算1 21 ···1)1(111 2 22 -++--+-= N N S N function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long ; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end （3） 总的编程程序为： function p203()
clear all format long; n=input('please enter a number as the n:') sn=1/2*(3/2-1/n-1/(n+1));%精确值为sn fprintf('精确值为%f\n',sn); sn1=fromlarge(n); fprintf('从大到小计算的值为%f\n',sn1); sn2=fromsmall(n); fprintf('从小到大计算的值为%f\n',sn2); function sn1=fromlarge(n) %从大到小计算sn1 format long; sn1=single(0); for m=2:1:n sn1=sn1+1/(m^2-1); end end function sn2=fromsmall(n) %从小到大计算sn2 format long; sn2=single(0); for m=n:-1:2 sn2=sn2+1/(m^2-1); end end end 运行结果：
数值分析上机实验报告 选题：曲线拟合的最小二乘法 指导老师： 专业： 学号： 姓名：
课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j t y 的误差，12,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式 对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为 ∑==m j j j x a x y 0)()(? 特别的，取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…，m )
则根据最小二乘法原理，可以构造泛函 ∑∑==-=n i m j i j j i m x a f a a a H 1 10))((),,,(? 令 0=??k a H (k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程 ???? ??????? ?=????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ????????????????????? 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二乘解 ∑=≈m j j j x a x f 0)()(? 曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。
东南大学数值分析上机作业 汇总 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数值分析上机报告 院系： 学号： 姓名：
目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件cxdd.m (1) 2、函数文件cddx.m (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (3) 2、局部收敛性 (4) （1）最大δ值文件 (4) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (6) 作业3、列主元素Gauss消去法 (7) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (7) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (9) 作业4、三次样条插值函数 (10) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (10) 2、数据输入及计算结果 (12)
作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序1 1 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么？ 程序： 1、函数文件cxdd.m function S=cxdd(N) S=0; i=2.0; while (i<=N) S=S+1.0/(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 0.737577 2、函数文件cddx.m function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 0.737577 3、两种方法有效位数对比
2015.1.9 上机作业题报告 USER
1.Chapter1 1.1题目 设S N = 1 j 2?1 N j =2 ，其精确值为 )1 1123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 1311212 22-+??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果
1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序
Matlab作业3（数值分析） 机电工程学院（院、系）专业班组 学号姓名实验日期教师评定 1.计算多项式乘法(x2+2x+2)(x2+5x+4)。 答： 2. （1）将(x-6)(x-3)(x-8)展开为系数多项式的形式。（2）求解在x=8时多项 式(x-1)(x-2) (x-3)(x-4)的值。 答：（1） （2）
3. y=sin(x)，x从0到2π，?x=0.02π，求y的最大值、最小值、均值和标准差。 4.设ｘ＝[0.00.30.8 1.1 1.6 2.3]'，y=[0.500.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'，试求二次多项式拟合系数，并据此计算x1=[0.9 1.2]时对应的y1。解：x=[0.0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]'; %输入变量数据x y=[0.50 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'; %输入变量数据y p=polyfit(x,y,2) %对x,y用二次多项式拟合,得到系数p x1=[0.9 1.2]; %输入点x1 y1=polyval(p,x1) %估计x1处对应的y1 p = -0.2387 0.9191 0.5318 y1 = a) 1.2909
5.实验数据处理：已知某压力传感器的测试数据如下表 p为压力值，u为电压值，试用多项式 d cp bp ap p u+ + + =2 3 ) ( 来拟 合其特性函数，求出a,b,c,d，并把拟合曲线和各个测试数据点画在同一幅图上。解： >> p=[0.0,1.1,2.1,2.8,4.2,5.0,6.1,6.9,8.1,9.0,9.9]; u=[10,11,13,14,17,18,22,24,29,34,39]; x=polyfit(p,u,3) %得多项式系数 t=linspace(0,10,100); y=polyval(x,t); %求多项式得值 plot(p,u,'*',t,y,'r') %画拟和曲线 x = 0.0195 -0.0412 1.4469 9.8267
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61
数值分析上机题1 设2 21 1N N j S j ==-∑ ，其精确值为1311221N N ??-- ?+?? 。 （1）编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序22 21111(1)121 N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 程序代码（matlab 编程）： clc clear a=single(1./([2:10^7].^2-1)); S1(1)=single(0); S1(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S1(N)=a(1); for i=2:N-1 S1(N)=S1(N)+a(i); end end S2(1)=single(0); S2(2)=1/(2^2-1); for N=3:10^2 S2(N)=a(N-1); for i=linspace(N-2,1,N-2) S2(N)=S2(N)+a(i); end end S1表示按从大到小的顺序的S N S2表示按从小到大的顺序的S N 计算结果
通过本上机题，看出按两种不同的顺序计算的结果是不相同的，按从大到小的顺序计算的值与精确值有较大的误差，而按从小到大的顺序计算的值与精确值吻合。从大到小的顺序计算得到的结果的有效位数少。计算机在进行数值计算时会出现“大数吃小数”的现象，导致计算结果的精度有所降低，我们在计算机中进行同号数的加法时，采用绝对值较小者先加的算法，其结果的相对误差较小。
1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;
高等数值分析上机作业
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第8章 函数逼近与曲线拟合 上机作业1： 最佳平方逼近 8-11.设()[]1,1,arcsin -∈=x x x f ， （1） 在{}32,,,1x x x span =φ中求()x f 的最佳平方逼近多项式； （2） 在{})(),(),(),(3210x T x T x T x T span =φ中求()x f 的最佳平方逼近多项式。 解：（1） 基于幂函数的最佳平方逼近 简单原理： 对于],[)(b a C x f ∈及一个线性无关函数组的集合 {}],,[)(,),(),(10b a C x x x span n ?=???φ 若存在,φ∈*S 使得 ()dx x S x f x x S x f x S x f b a x S x S ?-=-=-∈∈* 2)(2 2)(2 2 )]()([min )()(min )()(ρφ φ ，则称()x S *是 ()x f 在子集[]b a ,?φ中的最佳平方逼近函数。 取(),,,1,0,n j x x j j ==?就有{}n x x x span ,,,,12 =φ。对于任意的()φ∈x S ，有()∑==n j j j x a x S 0，()x S 为次数n ≤的多项式。 令)(x f 在},,,1{32x x x span =φ中的最佳平方逼近函数为 φ∈+++=3 *2**1*0*3 2)(x a x a x a a x S 通过求解法方程 ???? ? ? ? ??=??????? ????????? ??),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),() ,(321032103323130 3322212023121110130201000????????????????????????????????????f f f f a a a a 其中.arcsin )(,)(,)(,)(,1)(332210x x f x x x x x x x =====????
第一章 一、题目 设∑ =-=N j N j S 22 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算SN 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-=N N S N ，计算SN 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 二、MATLAB 程序 N=input('请输入N(N>1)：'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); %single 使其为单精度 Sn1=single(0); %从小到大的顺序 for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); %从大到小的顺序 for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('Sn 的值 (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('精确值 %f\n',AccurateValue); fprintf('从大到小计算的结果 %f\n',Sn1); fprintf('从小到大计算的结果 %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________')
数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式 ∏=-= ---=20 1)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1） 显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简 单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动 0)(19 =+x x p ε (E1-2) 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19 x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数 u ＝roots （a ） 其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 0...1121=++++-n n n n a x a x a x a 的全部根，而函数 b=poly(v) 的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数. ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve) 上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（E1-2）中的扰动项改成18 x ε或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？
数值分析上机题(matlab版)(东南大学)
数值分析上机报告
第一章 一、题目 精确值为)1 1 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序 1 1 131121222-+??+-+-= N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序 1 21 1)1(111222-+??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算6 42 10,10, 10S S S ,并指出有效位 数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 clear N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn using different algorithms (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2);
第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err
p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。
研究生《数值分析》课程作业（二） 姓名： 学号： 专业： 1、据如下函数值表，建立二次的Lagrange 插值多项式及Newton 插值多项式。 20012222()()()()()()() (1)(2)(0)(2)(-0)(1)59 3143 (01)(02)(10)(12(20)(21)22 L x f x l x f x l x f x l x x x x x x x x x =++-----=? +?+?=-+------解： 二次 l agr ange插值 ） Newton 插值多项式： 200100120122()()[,](-)[,,](-)(-) 5559 32(0)(0)(1)32()3 2222 N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x =++=-?-+--=-+-=-+ ()y f x =2、已知单调连续函数在如下采样点处的函数值 *()0[2,4],f x x =求方程在内根的近似值使误差尽可能小。 解：1 ()()y f x x f y -==解： 对的反函数进行二次插值
1110201122012010210122021(0)(0)(0)(0)(0)(0) (0)() ()() ()()()()()() (0 2.25)(05)(03)(05)(03)(0 2.25) 2 3.54( 3 2.25)(35)(2.253)(2.255)(53)(5 2.25) y y y y y y L f y f y f y y y y y y y y y y y y y ---------=++--------+-+-=? +?+? ----+-+- 2.945 ≈()(1)01(1)1()[,]()(,),()[,],() ()()()() (1)! ,n n n n n n n n f x a b f x a b a x x x b L x x a b f R x f x L x x n a b x ξωξ+++≤<<<≤∈=-=+∈ 3、证明：设在上连续，在内存在，节点是满足拉格朗日插值条件的多项式，则对任何插值余项 这里（）且依赖于。 0110101(0,1,,)()()0()()()()()()()()[,]()()()()()()() (),,,(k n n k n n n n n n x k n R x R x R x K x x x x x x x K x x K x x x a b t f t L t K x t x t x t x t x x x x t ωφφφ+===---==----- 证由条件知节点是的零点，即。于是其中是与有关的待定函数。 现把看成上的固定点，作函数 根据插值条件和余项定义，知在点及处均为零。故明：1111)[,]2()[,]1()()[,]()(,)(,),()()(1)!()0 ()()(,),(1)! n n n n a b n t a b n t t a b n t a b a b f n K x f K x a b x n φφφφξφξξξξ++++'+'''+∈=-+==∈+（） （） （）（）在上有个零点，根据罗尔定理，在内至少有个零点。对再应用罗尔定理，可知在内至少 有个零点。依次类推，在上至少有一个零点，记为 使 于是 ， 且依赖于于是得到插值余项。 证毕。 44、试用数据表建立不超过次的埃尔米特插值多项式。 解：（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）
数值分析上机报告
第一章 一、题目 精确值为)1 1123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序11 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序
三、求解结果 四、结果分析 可以得出，算法对误差的传播又一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数算所得到的结果才比较准确。
第二章 一、题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*- =*x x x a) 由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收 敛于根x 2*。试确定尽可能大的δ。 b)试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 二、通用程序
1.运行search.m 文件 结果为： The maximum delta is 0.774597 即得最大的δ为0.774597，Newton 迭代序列收敛于根* 2x =0的最大区间为 （-0.774597，0.774597）。 2.运行Newton.m 文件 在区间(,1),(1,),(,),(,1),(1,)δδδδ-∞----++∞上各输入若干个数，计算结果如下： 区间(,1)-∞-上取-1000，-100，-50，-30，-10，-8，-7，-5，-3，-1.5
数值分析上机第四次作业 实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组 实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组 (1) 123421003131020141100155x x x x -?????? ? ? ?--- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ?-???? ?? 迭代20次或满足()(1) 1110k k x x --∞-<时停止计算。 (2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵， A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1 迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。 （3）*考虑模型问题，方程为 222222(),(,)(0,1)(0,1)(0,)1,(1,),01(,0)1,(,1),01 xy y x u u x y e x y D x y u y u y e y u x u x e x ??+=+∈=???==≤≤==≤≤ 用正方形网格离散化，若取1/,10h N N ==，得到100n =的线性方程组，并用共轭梯度法（CG 法）求解，并对解作图。 实验要求：迭代初值可以取01(,1,...,)ij u i j N ==，计算到32||||10k r -≤停止．本 题有精确解(,)xy u x y e =，这里k u 表示以k ij u 为分量的向量， u 表示在相应点(,)i j 上取值作为分量的向量． 实验一： （1） 编制函数子程序CGmethod 。 function [x,k]=CGmethod(A,b) n=length(A);x=zeros(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r; k=0; while rho>10^(-12) & k<20 k=k+1; if k==1 p=r; else beta=rho/rho1; p=r+beta*p; end
第一章 误差与算法 1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____，___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 . 2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。 3. 0.2499作为1/4的近似值，有几位有效数字？ 00.24990.249910,0m =?=即， 031 |0.2499|0.00010.5100.510,34 m n n ---=
1 1()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==- 111n n I I n n -=-， 10110I = 5. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_. 6. 时间复杂度是指：.算法需耗费时间的度量， 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 3n , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂 度为3()O n . 二 代数插值 1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。 x 0 1 4 f(x) 1 9 3 Lagrange: 设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应i x 的标准基函数)(x l i 为： 1200102 ()()(1)(x 4)1 ()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x = 2()...l x = 因此，所求插值多项式为： 2 20 ()()()....i i i P x f x l x ===∑
数值分析上机报告 姓名： 学号： 专业： 2013年10月27日
第一章 舍入误差与有效数 设2 21 1N N j S j ==-∑ ，其精确值为1311221N N ??-- ? +?? 。 （1）编制按从大到小的顺序222 111 21311 N S N = +++---，计算N S 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序2221111(1)121N S N N =+++----，计算N S 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算210S ，410S ，610S ，并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本上机题，你明白了什么？ 解： （1） #include
410S =0.749900 有效位数6位 610S =0.749999 有效位数6位 (4)通过上述实验数据可以看出此次算法使用从小到大的顺序进行得到的数据相对而言更精确，可以得到这样的启示：在计算数值时，要先分析不同算法对结果的影响，避免大数吃小数的现象，找出能得到更精确的结果的算法。 第二章 （上机题）Newton 迭代法 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制Newton 法解方程()0f x =根的通用程序。 （2）给定方程3 ()/30f x x x =-=，易知其有三个根1x *=，20x * =，3x * = 1．由Newton 方法的局部收敛性可知存在0δ>，当0(,)x δδ∈-时，Newton 迭代序列收敛于根2x * 。试确定尽可能大的δ。 2．试取若干初始值，观察当0(,1)x ∈-∞-，(1,)δ--，(,)δδ-，(,1)δ，(1,)∞时Newton 序列是否收敛以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 解： （1）#include