数值分析上机第四次作业
实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组
实验容：用共轭梯度法求解下面方程组
(1) 123421003131020141100155x x x x -?????? ? ? ?--- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ?-????
?? 迭代20次或满足()(1)
1110k k x x --∞-<时停止计算。
(2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵，
A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n
b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1
迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。
（3）*考虑模型问题，方程为 222222(),(,)(0,1)(0,1)(0,)1,(1,),01(,0)1,(,1),01
xy y x u u x y e x y D x y
u y u y e y u x u x e x ??+=+∈=???==≤≤==≤≤
用正方形网格离散化，若取1/,10h N N ==，得到100n =的线性方程组，并用共轭梯度法（CG 法）求解，并对解作图。
实验要求：迭代初值可以取01(,1,...,)ij u i j N ==，计算到32||||10k r -≤停止．本
题有精确解(,)xy u x y e =，这里k u 表示以k ij u 为分量的向量，
u 表示在相应点(,)i j 上取值作为分量的向量．
实验一：
（1）
编制函数子程序CGmethod 。
function [x,k]=CGmethod(A,b)
n=length(A);x=zeros(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r;
k=0;
while rho>10^(-12) & k<20
k=k+1;
if k==1
p=r;
else
beta=rho/rho1;
p=r+beta*p;
end
w=A*p;
alpha=rho/(p'*w);
x=x+alpha*p;
r=r-alpha*w;
rho1=rho;
rho=r'*r;
end
编制主程序shiyan1_1：
clear,clc
A=[2,-1,0,0;-1,3,-1,0;0,-1,4,1;0,0,-1,5]; b=[3,-2,1,5]';
[x,k]=CGmethod(A,b)
运行结果为：
x =
1.3882
-0.2855
-0.0222
0.9367
k =
20
（2）
编制函数子程序CGmethod_1
function [x,k]=CGmethod_1(A,b)
n=length(A);x(1:n,1)=0;r=b-A*x;r1=r;
k=0;
while norm(r1,1)>=10^(-7)&k<10^4
k=k+1;
if k==1
p=r;
else
beta=(r1'*r1)/(r'*r);p=r1+beta*p;
end
r=r1;
w=A*p;
alpha=(r'*r)/(p'*w);
x=x+alpha*p;
r1=r-alpha*w;
end
编制主程序shiyan1_2:
clear,clc
n=1000;
A=hilb(n);
b=sum(A')';
[x,k]=CGmethod_1(A,b)
运行结果为：x 的值,均接近1，迭代次数k=32
实验二
实验目的：用复化Simpson 方法、自适应复化梯形方法和Romberg 方法求数值积分。
实验容：计算下列定积分 (1) dx x x x ????? ??+-2
02610 (2)?10dx x x (3) ?20051dx x 实验要求：
（1）分别用复化Simpson 公式、自适应复化梯形公式计算要求绝对误差限为7102
1-?=ε，输出每种方法所需的节点数和积分近似值，对于自适应方法，显示实际计算节点上离散函数值的分布图；
（2）分析比较计算结果。
2、实验目的：高斯数值积分方法用于积分方程求解。
实验容：线性的积分方程的数值求解，可以被转化为线性代数方程组的求解问题。而线性代数方程组所含未知数的个数，与用来离散积分的数值方法的节点个数相同。在节点数相同的前提下，高斯数值积分方法有较高的代数精度，用它通常会得到较好的结果。对第二类Fredholm 积分方程
b t a t f ds s y s t k t y b
a ≤≤+=?),()(),()( 首先将积分区间[a,b]等分成n 份，在每个子区间上离散方程中的积分就得到线性代数方程组。
实验要求：分别使用如下方法，离散积分方程中的积分
1.复化梯形方法；
2.复化辛甫森方法；
3.复化高斯方法。求解如下的积分方程
t t e ds s y e e t y --=?10)(1
2)(，方程的准确解为t e ， 并比较各算法的优劣。
实验二
1、复化Simpson 方法）
输入积分区间下限0
输入积分区间上限2
输入等分份数20
输入被积函数（以x 为自变量）x^6/10-x^2+x
S =
1.1619
输入积分区间下限0
输入积分区间上限1
输入等分份数20
输入被积函数（以x为自变量）x*sqrt(x)
S =
0.4000
输入积分区间下限5
输入积分区间上限200
输入等分份数20
输入被积函数（以x为自变量）1/sqrt(x)
S =
23.8218
2、自动变步长Simpson方法
函数1：
输入积分区间下限0
输入积分区间上限2
输入为课本的第几个函数（第一个这输入1）：1
S =1.619（过程省略）
i =
19
函数2：
输入积分区间下限0
输入积分区间上限1
输入为课本的第几个函数（第一个这输入1）：2 S =0.4（过程省略）
i =
17
函数3：
输入积分区间下限5
输入积分区间上限200
输入为课本的第几个函数（第一个这输入1）：3
S=23.8121(过程省略)
i =
111
编制程序如下：
Clear，clc
syms x
a=input('输入积分区间下限');
b=input('输入积分区间上限');
n=input('输入等分份数');
ff=input('输入被积函数（以x为自变量）');
h=(b-a)/n;
f=inline(ff,'x');
sum1=0;
for i=0:n-1
sum1=sum1+f(a+i*h+0.5*h);
end
for i=1:n-1
sum2=sum2+f(a+i*h);
end
for i=0:2*n
X(i+1,1)=f((b-a)*i/(n*2)+a); end
S=h/6*(f(a)+4*sum1+2*sum2+f(b))
function S = zdsps( n )
a=0;
b=1;
h=(b-a)/4;
f=inline('x^(3/2)','x');
sum1=0;
sum2=0;
for i=0:n-1
sum1=sum1+f(a+i*h+0.5*h);
end
for i=1:n-1
sum2=sum2+f(a+i*h);
end
for i=0:2*n
x(i+1,1)=f((b-a)*i/(n*2)+a); end
S=h/6*(f(a)+4*sum1+2*sum2+f(b)); end
function S = zpsgs(a,b,n,ff )
h=(b-a)/n;
sum1=0;
sum2=0;
sum3=0;
sum4=0;
if ff==1
f=inline('x^6/10-x^2+x','x'); end
if ff==2
f=inline('x^(3/2)','x');
end
if ff==3
f=inline('1/sqrt(x)','x');
for i=0:n-1
sum1=sum1+f(a+i*h+0.25*h);
sum2=sum2+f(a+i*h+0.75*h);
sum4=sum4+f(a+i*h+0.5*h);
end
for i=1:n-1
sum3=sum3+f(a+i*h);
end
for i=0:4*n
x(i+1,1)=f((b-a)*i/(n*4)+a);
end
S=h/(6*2)*(f(a)+4*sum1+4*sum2+2*(sum3+sum4)+f(b));
end
clear ， clc
a=input('输入积分区间下限');
b=input('输入积分区间上限');
ff=input('输入为课本的第几个函数（第一个这输入1）：');
for i=2:300
S(i)=zpsgs(a,b,(i),ff);
S(i+1)=zpsgs(a,b,(i+1),ff);
if abs(S(i+1)-S(i))<0.5*10^(-7)
break
end
end
S %所求积分值
i %所分份数
实验三
1、对常微分方程初值问题
2cos (0)1y y x y '=-+??=?
(0)x π<< 分别使用Euler 显示方法、改进的Euler 方法和经典RK 法和四阶Adams 预测-校正算法，求解常微分方程数值解，并与其精确解cos sin y x x =+进行作图比较。其中多步法需要的初值由经典RK 法提供。
2、实验目的：Lorenz 问题与混沌
实验容：考虑著名的Lorenz 方程
昆明理工大学工科研究生《数值分析》上机实验 学院：材料科学与工程学院 专业：材料物理与化学 学号：2011230024 姓名: 郑录 任课教师：胡杰
P277-E1 1.已知矩阵A= 10787 7565 86109 75910 ?? ?? ?? ?? ?? ??,B= 23456 44567 03678 00289 00010 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ,错误！未找到引用源。 = 11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11?????????????????? （1）用MA TLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。 （2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。解：MA TLAB程序如下： 求矩阵A的特征值： clear; A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; E=eig(A) 输出结果： 求矩阵B的特征值： clear; B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0]; E=eig(B) 输出结果：
求矩阵错误！未找到引用源。的特征值： clear; 错误！未找到引用源。=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。) 输出结果： （2）A= 10 7877565861097 5 9 10 第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到： 第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1
数值分析上机实验报告 选题：曲线拟合的最小二乘法 指导老师： 专业： 学号： 姓名：
课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j t y 的误差，12,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式 对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为 ∑==m j j j x a x y 0)()(? 特别的，取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…，m )
则根据最小二乘法原理，可以构造泛函 ∑∑==-=n i m j i j j i m x a f a a a H 1 10))((),,,(? 令 0=??k a H (k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程 ???? ??????? ?=????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ????????????????????? 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二乘解 ∑=≈m j j j x a x f 0)()(? 曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。
东南大学数值分析上机作业 汇总 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
数值分析上机报告 院系： 学号： 姓名：
目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件cxdd.m (1) 2、函数文件cddx.m (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (3) 2、局部收敛性 (4) （1）最大δ值文件 (4) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (6) 作业3、列主元素Gauss消去法 (7) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (7) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (9) 作业4、三次样条插值函数 (10) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (10) 2、数据输入及计算结果 (12)
作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序1 1 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么？ 程序： 1、函数文件cxdd.m function S=cxdd(N) S=0; i=2.0; while (i<=N) S=S+1.0/(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 0.737577 2、函数文件cddx.m function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 0.737577 3、两种方法有效位数对比
第一章 一、题目 设∑ =-= N N j S 2 j 2 1 1，其精确值为)11 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序1 1 13112122 2-+??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N); fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________')
三、结果 从结果可以看出有效位数是6位。 感想：可以得出，算法对误差的传播有一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数所得到的结果才比较准确。
Matlab作业3（数值分析） 机电工程学院（院、系）专业班组 学号姓名实验日期教师评定 1.计算多项式乘法(x2+2x+2)(x2+5x+4)。 答： 2. （1）将(x-6)(x-3)(x-8)展开为系数多项式的形式。（2）求解在x=8时多项 式(x-1)(x-2) (x-3)(x-4)的值。 答：（1） （2）
3. y=sin(x)，x从0到2π，?x=0.02π，求y的最大值、最小值、均值和标准差。 4.设ｘ＝[0.00.30.8 1.1 1.6 2.3]'，y=[0.500.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'，试求二次多项式拟合系数，并据此计算x1=[0.9 1.2]时对应的y1。解：x=[0.0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]'; %输入变量数据x y=[0.50 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'; %输入变量数据y p=polyfit(x,y,2) %对x,y用二次多项式拟合,得到系数p x1=[0.9 1.2]; %输入点x1 y1=polyval(p,x1) %估计x1处对应的y1 p = -0.2387 0.9191 0.5318 y1 = a) 1.2909
5.实验数据处理：已知某压力传感器的测试数据如下表 p为压力值，u为电压值，试用多项式 d cp bp ap p u+ + + =2 3 ) ( 来拟 合其特性函数，求出a,b,c,d，并把拟合曲线和各个测试数据点画在同一幅图上。解： >> p=[0.0,1.1,2.1,2.8,4.2,5.0,6.1,6.9,8.1,9.0,9.9]; u=[10,11,13,14,17,18,22,24,29,34,39]; x=polyfit(p,u,3) %得多项式系数 t=linspace(0,10,100); y=polyval(x,t); %求多项式得值 plot(p,u,'*',t,y,'r') %画拟和曲线 x = 0.0195 -0.0412 1.4469 9.8267
数值计算方法I 上机实验考试题（两题任选一题） １．小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）．重力加速度取9.8米/秒2. A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）； B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度． ２．小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k ，火箭升空过程的数学模型为 0)0(,0,01222==≤≤-+?? ? ??-==t dt dx x t t mg T dt dx k dt x d m 其中)(t x 为火箭在时刻t 的高度，m =1200-15t 为火箭在时刻t 的质量，T （=30000牛顿）为推力，g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t 1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻． 今测得一组数据如下（t ~时间（秒），x ~高度（米），v ~速度（米/秒））： 现有两种估计比例系数k 的方法： 1．用每一个数据(t,x,v )计算一个k 的估计值（共11个），再用它们来估计k 。 2．用这组数据拟合一个k ． 请你分别用这两种方法给出k 的估计值，对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5（说明理由）．
《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学 实验名称数值il?算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级：电力实08学生姓名：李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期：2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一. 各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程 *对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶 xxfx ()0, fx ()xkk 泰勒公式 "f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2! 忽略高次项，有 ，fxfxfxxx 0 ()()()，，, kkk 右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的 **根代入，即fx ()0, X ，* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkk fx 0 fx 0 0,
解出 fX 0 *k XX,, k' fx 0 k 水将右端取为，则是比更接近于的近似值，即xxxxk, Ik, Ik fx ()k 八XX, Ikk* fx()k 这就是牛顿迭代公式。 ,2,计算机程序框图:，见, ,3,输入变量、输出变量说明: X输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数，\0 输出变量:当前迭代次数，当前迭代值xkl ,4,具体算例及求解结果: 2/16 华北电力大学实验报吿 开始 读入 l>k /fx()0?,0 fx 0 Oxx，，01* fx ()0 XX,,，?10 kk, ,1，kN, ?xx, 10 输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志
,3,输入变量、输出变量说明: 结束 例：导出计算的牛顿迭代公式，并il ?算。（课本P39例2-16） 115cc （0）, 求解结果: 10. 750000 10.723837 10. 723805 10. 723805 2、列主元素消去法求解线性方程组，1,算法原理: 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上 对上三角 3/16 华北电力大学实验报告方程组求解。 列选主元是当高斯消元到第步时，从列的以下（包括）的各元素中选出绝 aakkkkkk 对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的 两行（包括常ekk 数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:，见下页, 输入变量:系数矩阵元素，常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n
2015.1.9 上机作业题报告 JONMMX 2000
1.Chapter 1 1.1题目 设S N =∑1j 2?1 N j=2 ，其精确值为 )1 1 123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 131121222-+ ??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果
1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter 2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序
实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;
高等数值分析上机作业
目录 上机作业1 (1) 上机作业2 (5) 上机作业3 (10) 上机作业4 (13) 上机作业5 (16) 上机作业6 (19) 上机作业7 (20) 上机作业8 (29)
第8章 函数逼近与曲线拟合 上机作业1： 最佳平方逼近 8-11.设()[]1,1,arcsin -∈=x x x f ， （1） 在{}32,,,1x x x span =φ中求()x f 的最佳平方逼近多项式； （2） 在{})(),(),(),(3210x T x T x T x T span =φ中求()x f 的最佳平方逼近多项式。 解：（1） 基于幂函数的最佳平方逼近 简单原理： 对于],[)(b a C x f ∈及一个线性无关函数组的集合 {}],,[)(,),(),(10b a C x x x span n ?=???φ 若存在,φ∈*S 使得 ()dx x S x f x x S x f x S x f b a x S x S ?-=-=-∈∈* 2)(2 2)(2 2 )]()([min )()(min )()(ρφ φ ，则称()x S *是 ()x f 在子集[]b a ,?φ中的最佳平方逼近函数。 取(),,,1,0,n j x x j j ==?就有{}n x x x span ,,,,12 =φ。对于任意的()φ∈x S ，有()∑==n j j j x a x S 0，()x S 为次数n ≤的多项式。 令)(x f 在},,,1{32x x x span =φ中的最佳平方逼近函数为 φ∈+++=3 *2**1*0*3 2)(x a x a x a a x S 通过求解法方程 ???? ? ? ? ??=??????? ????????? ??),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),() ,(321032103323130 3322212023121110130201000????????????????????????????????????f f f f a a a a 其中.arcsin )(,)(,)(,)(,1)(332210x x f x x x x x x x =====????
数值计算方法上机实习题 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+ -=-，从I 0=0.1824, 0=0.1823I 出发，计算20I ； （2） 20=0I ，20=10000I , 用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 答：第一个算法可得出 e 0=|I 0?I 0 ?| e n =|I n ?I n ?|=5n |e 0| 易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍，n 次计算后更是放大了5n 倍，可靠性低。 第二个算法可得出 e n =|I n ?I n ?| e 0=(15 )n |e n | 可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍，n 次后缩小了5n 倍，可靠性高。
2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求41105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 计算根与步数程序： fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x; f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1); fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n); 计算结果显示： root=0.09057617 ,n=11 （2） 取初值00=x ，并用迭代10 21 x k e x -=+；
（3） 加速迭代的结果; （4） 取初值00 x ，并用牛顿迭代法；
数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式 ∏=-= ---=20 1)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1） 显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简 单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动 0)(19 =+x x p ε (E1-2) 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19 x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数 u ＝roots （a ） 其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 0...1121=++++-n n n n a x a x a x a 的全部根，而函数 b=poly(v) 的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数. ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve) 上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（E1-2）中的扰动项改成18 x ε或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？
数值分析上机题(matlab版)(东南大学)
数值分析上机报告
第一章 一、题目 精确值为)1 1 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序 1 1 131121222-+??+-+-= N S N ，计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序 1 21 1)1(111222-+??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算6 42 10,10, 10S S S ,并指出有效位 数。（编制程序时用单精度） 4) 通过本次上机题，你明白了什么？ 二、通用程序 clear N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn using different algorithms (N=%d)\n',N); disp('____________________________________________________') fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2);
第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err
p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。
数值分析上机第四次作业 实验项目：共轭梯度法求解对称正定的线性方程组 实验内容：用共轭梯度法求解下面方程组 (1) 123421003131020141100155x x x x -?????? ? ? ?--- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ?-???? ?? 迭代20次或满足()(1) 1110k k x x --∞-<时停止计算。 (2) Ax b =,A 是1000阶的Hilbert 矩阵或如下的三对角矩阵， A[i,i]=4，A[i,i-1]=A[i-1,i]=-1，i=2,3,..,n b[1]=3, b[n]=3, b[i]=2，i=2,3,…,n-1 迭代10000次或满足()()710k k r b Ax -=-≤时停止计算。 （3）*考虑模型问题，方程为 222222(),(,)(0,1)(0,1)(0,)1,(1,),01(,0)1,(,1),01 xy y x u u x y e x y D x y u y u y e y u x u x e x ??+=+∈=???==≤≤==≤≤ 用正方形网格离散化，若取1/,10h N N ==，得到100n =的线性方程组，并用共轭梯度法（CG 法）求解，并对解作图。 实验要求：迭代初值可以取01(,1,...,)ij u i j N ==，计算到32||||10k r -≤停止．本 题有精确解(,)xy u x y e =，这里k u 表示以k ij u 为分量的向量， u 表示在相应点(,)i j 上取值作为分量的向量． 实验一： （1） 编制函数子程序CGmethod 。 function [x,k]=CGmethod(A,b) n=length(A);x=zeros(n,1);r=b-A*x;rho=r'*r; k=0; while rho>10^(-12) & k<20 k=k+1; if k==1 p=r; else beta=rho/rho1; p=r+beta*p; end
数值计算方法上机实验报告 班级：农电0801 姓名：杨 昆 学号：200801090122 算法原理以及程序框图 ①牛顿法求非线性方程 ● 算法原理： 对于非线性方程()0f x =，若已知跟*x 的一个近似值k x ，将()f x 在k x 处展开成一阶泰勒公式： "' 2() ()()()()()2! k k k k f f x f x f x x x x x ξ=+-+- 忽略高次项，有 '()()()()k k k f x f x f x x x ≈+- 右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程()f x 。将非线性方程 ()0f x =的根*x 代入*()0f x =，即 '*()()()0k k k f x f x x x +-≈ 解出 *'() () k k k f x x x f x ≈- 将右端取为1k x +，则1k x +是比k x 更接近于*x 的近似值，即 1' () () k k k k f x x x f x +=- 这就是牛顿迭代公式。 ● 程序框图：
●具体算例及求解结果： 导出计算(0) c c>的牛顿迭代公式，并计算115。 迭代结果： 10.750000 10.723837 10.723805 ●输入变量、输出变量说明： 输入变量：0x迭代初值，ε迭代精度，N迭代最大次数 输出变量：k当前迭代次数， x当前迭代值 1 ②列主元消去法求解线性方程组 ●算法原理： 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数 乘一个方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下
而上对上三角方程组求解。 列选住院是当高斯消元到第k 步时，从k 列的kk a 以下（包括kk a ）的各元素中选出绝对值最大的，然后通过行交换将其交换到kk a 的位置上。交换系数矩阵中的两行（包括常数项），只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。 ● 程序框图： ● 具体算例及求解结果： 用列选主元法求解下列线性方程组 1231231 232315410030.12 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 求解结果：
数值分析上机报告 《 院系： 学号： 姓名：
目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件 (1) 2、函数文件 (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (2) 2、局部收敛性 (3) （1）最大δ值文件 (3) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (5) 作业3、列主元素Gauss消去法 (6) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (6) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (8) 作业4、三次样条插值函数 (8) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (8) 2、数据输入及计算结果 (10)
作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序11 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么 程序： 1、函数文件 function S=cxdd(N) S=0; i=; while (i<=N) S=S+(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 2、函数文件 function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 3、两种方法有效位数对比 精确值函数： function S=jqz(N) S=*运行结果（省略>>）
数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？ 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、 取 ，计算 ，下列方法中哪种最好？为什么？ （1）()3 322 -，（2）() 2 752-，（3） () 3 1 322+，（4） () 6 121 +，（5）99702- 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss 消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss 消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式 r e x x e x x ***** -== 2141.≈()6 21-
数值计算方法上机实习题 1 1 (2)丨20=0, 120 = 10000,用 I n 」 I n 」 一，计算丨0 ； 5 5n 答：第一个算法可得出 易知第一个算法每一步计算都把误差放大了 5倍，n 次计算后更是放大了 5n 倍，可靠性低。 第二个算法可得出 (1 ) 由递推公式I n = -51心-，从 n I o =O.1823出发，计算* ; (3) 分析结果的可靠性及产生此现象的原因 重点分析原因。
可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍，n次后缩小了5n倍，可靠性高。
2.求方程e^+IOx —2=0的近似根，要求 x k *—x k <^10-，并比较计算量。 (1) 在［0 , 1］上用二分法； (1) [0, 1]上的二分法 二分法子程序： function [root,n]=EFF3(f,x1,x2) %第二题⑴二分法 f1= subs(f,symvar(f),x1);% 函数在 x=x1 的值 f2=subs(f,symvar(f),x2);%x=x2 n=0;%步数 er=5*10A-4;% 误差 if(f1==0) root=x1; return; elseif(f2==0) root=x2; return; elseif(f1*f2>0) disp('两端点函数值乘积大于 0！'); return; else while(abs(x1-x2)>er)% 循环 x3=(x1+x2)/2; f3=subs(f,symvar(f),x3); n=n+1; if(f3==0) root=x3; break; elseif(f1*f3>0) x1=x3; else x2=x3; end end root=(x1+x2)/2;%while 循环少一步需加上 end 、 2 _e (2) 取初值x 0 =0，并用迭代x k d : 10 (2)初值x o =O 迭代 计算根与步数程序： 迭代法子程序： syms x; function [root,n]=DDF(g,x0,err,max) (接下页) f=(2-exp(x))/10;(接下页) 计算根与步数程序： fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x; f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1); fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n); 计算结果显示： root=0.09057617 ,n=11