<教师备案> 下一讲的内容是《函数的奇偶性（二）与对称性》，对于尖子班来说只有2小时的内容，
对于目标班来还有一个函数的周期性板块，总共是3小时的内容．所以这一讲尖子班与目标班区别不是很大，目标班3小时，尖子班可以作为3.5个小时的课程．
<教师备案> 函数的单调性问题主要集中在三个领域，其中第一与第二领域为基本问题，①告诉你函数
图象或给你一些信息，你能画出函数的草图；②给你常见函数及由这些函数组成的复合函数，你可以自己得到单调性；③仅告诉你一些抽象的条件，如()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，求证()f x 在R 上单调递减．给具体函数时，从①②理解，没有给出具体函数时从③理解．
满分晋级
3.1函数的单调性
第3讲 函数的单调性
与奇偶性（一）
函数11级 函数概念的深入理解
函数12级 函数的单调性 与奇偶性（一）
函数13级 函数的奇偶性
（二）与对称性
所谓的函数的性质都是在描述当自变量变化时，函数值怎样变化．
单调性是指自变量与函数值是否往同一个方向变化，是否同时增大或同时减小； 奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值如何变化；这就可以理解，为什么所有的奇偶性问题处理的核心都是取一对互为相反数的自变量．
1． 一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ?：
⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，
，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，
，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；
2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间
上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．
3．判断函数单调性的基本方法：
⑴ 定义法：任取12x x ，，12x x <，判断12()()f x f x -的正负；
⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； ⑶ 复合函数的单调性——同增异减．
<教师备案> 对于函数的单调性，需要注意的是：
① 任取12x x ，，但任意性不代表不可能用存在性的方式做，也就是当你无法判断函数单调性时，可以取几个点估计一下；当然，要证明单调性，只能任取．
② 也可设12x x >，单调性只取决于12x x ，的大小与12()()f x f x ，的大小关系是否一致； ③ 单调性是建立在某个局部上的关系，我们通常讨论某个区间上的单调性，除非在整个定义域上单调，否则在说单调性时一定要指出单调区间．
④ 1
y x
=的单调区间是(0)-∞，
和(0)+∞，，不能写成并集． ⑤ 高一刚学习单调性时，单调区间包括边界的可以都取闭区间，如二次函数2y x =的单调递减区间为(0]-∞，
，单调递增区间为[0)+∞，； 关于很多概念的说明在暑假时我们也强调过，但因为这些内容比较重要，所以值得再强调一遍．
1．下列函数中，在区间(1)+∞，上为减函数的是（ ）
A ．31y x =-
B ．2y x =-
C ．245y x x =-+
D ．1()1x
f x x
-=+
【解析】 D ；
2．判断下列函数的单调性：
⑴()1|3|f x x =--；⑵21
()23f x x x =++
；⑶()f x
()f x =．
暑假知识回顾
【解析】 ⑴ 单调递减区间是[)3+∞，，单调递增区间为(3]-∞，
． ⑵ ()f x 在(]1-∞-，上单调递增，在[1)-+∞，上单调递减； ⑶ ()f x 在[02]，上单调递增，在[24]，上单调递减． ⑷ ()f x 在(1)-∞，
上单调递减．
3．用定义法证明()a
f x x x
=+（0a >）
在(-∞，
与)+∞上单调递增，
在(0)
与(0
上单调递减．
【解析】 任取12x x ，，12x x <，11121212
()()()x x a
f x f x x x x x --=-?，
120x x -<，12x x ，同时属于这四个区间中的任意一个时，都有120x x >，
当12(x x ∈-∞，，
或12)x x ∈+∞，时，有120x x a ->，此时有12()()f x f x <；
当12(0)x x ∈，
或12(0x x ∈，时，有120x x a -<，此时有12()()f x f x >， 由此得到结论．
并且可以知道，在(0)+∞，上，()f x
在x
；在(0)-∞，上，()f x
在x =
-
【点评】对勾函数
形如()a
f x x x
=+
（0a ≠）的函数称为对勾函数，是我们比较常见的一种函数． 0a <时，()f x 在(0)-∞，与(0)+∞，上单调递增； 0a >时，()f x
在(-∞，
与)+∞上单调递增，
在
(0)
与(0上单调递减．
这两类函数的图象都是关于原点中心对称的，都是奇函数． 在x →+∞时，()f x →+∞；在x →-∞时，()f x →-∞． 并且会越来越接近直线y x =，所以y x =称为这个函数的一条渐
近线．并且，当0a <时，以1
()f x x x
=-为例，当x 是一个很小很
小的正数时，()f x 趋于负无穷；0a >时，以1
()f x x x
=+为例，
当x 是一个很小很小的正数时，()f x 趋于正无穷．如右图．
关于对勾函数的相关结论，后面可以直接使用，把它们当作常见函数的一种．
暑假预习时，我们没有讲单调性的运算，即具有单调性的函数，经过加减乘除运算后的单调性有什么对应的结论，这也是函数单调性的一种判别方式．
单调性的运算：函数间+、-、?、÷的运算的单调性规律：（默认在函数的公共定义域上讨论） ⑴ 函数()f x 与常数k ：
()f x k ±与()f x 的单调性相同；
知识点睛
()kf x ：0k >时，与()f x 单调性相同；0k <时，与()f x 单调性相反；
⑵
函数()f x 与()g x ： ① ()f x 是增函数，()g x 是增函数时，()()f x g x +是增函数；
② ()f x 是增函数，()g x 是减函数时，()()f x g x -是增函数；（这可以由⑴⑵①直接推出）
③ ()f x 是增（减）函数，()g x 是增（减）函数时，()()f x g x ?的单调性不确定．如：函数x x ?． 当()0f x >，且()0g x >时，()()f x g x 是增（减）函数； 当()0f x <，且()0g x <时，()()f x g x 是减（增）函数．
<教师备案> 单调性的运算可以直接由单调性的定义给出证明，我们以下面的结论为例给出证明：
()f x 是增函数，()g x 是增函数，()0f x >，且()0g x >时，()()f x g x 是增函数．
证明：任取12x x ，，12x x >，则()f x 是增函数，()g x 是增函数知： 1212()()()()f x f x g x g x <<，，
于是112211121222()()()()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x -=-+- 112212()[()()]()[()()]f x g x g x g x f x f x =-+-，
则12()0()0f x g x >>，，12()()0g x g x ->，12()()0f x f x ->得： 1122()()()()f x g x f x g x >，即()()f x g x 单调递增．
当然，如果没有()0()0f x g x >>，的条件，显然得不到这个结论．
上面没有涉及到()()f x g x ，因为这个函数可以看成()g x （内层）与1
x （外层）的复合后，再
与()f x 相乘得到的函数．
如：()f x =
()g x
()()f x g x =(210]，上单调递减， 因为()g x ，且()0g x >，
1
()
g x ，且10()g x >，()f x ，()0f x ≥，故1()()
f x
g x ?．
当然，
()()f x g x =
【练习1
⑴()f x x =+1
()2f x
x x
=-；⑶()
f x =()f x x =
【解析】 ⑴()f x 在定义域[0)+∞，上单调递增；
⑵()f x 在(0)-∞，
和(0)+∞，上单调递增； ⑶()f x 在定义域[210]，
上单调递减． ⑷()f x 在定义域[1)+∞，上是增函数．
<教师备案> 讲完单调性的运算，所有判断单调性的方法就都讲完了，但预习时，我们只介绍了比较简
单的复合函数的单调性，对于更复杂的复合函数的单调性见例1．关键点在于划分出单调区间，再对每个区间分别判断．
经典精讲
考点1：复合函数的单调性 【例1】
判断下列函数的单调性： ⑴2()43f x x x =-+；⑵21()32f x x x =
--；
⑶()f x x =-⑷（目标班专用）2
12()x
f x x +=
． 【解析】 ⑴ 在(1]-∞，
，[23]，上单调递减，在[12]，，[3)+∞，上单调递增； 分析：
首先可以先画图观察函数单调性：
当用代数做不清时，画图象找单调性是非常好，非常直观的方法，唯一的麻烦就是不能做
大题，选择填空时，类似于这类问题，若能画出图来是非常好的，没有任何问题． 但事实上，y 是由243u x x =-+和y u =构建起来的． 243u x x =-+，判断单调性时是用x 的范围来判定的；
y u =，在0u <时单调递减，在0u >时单调递增，以0u =为分界点，单调性用u 判定．
而最后得到的结果是由x 判定的，∴要把0u <和0u >转化为2430x x -+<和2430x x -+>，从而x 被分为(1]-∞，、[13]，、[3)+∞，，而2x =时也会有1个分界，
最后的单调区间划分为(1]-∞，
、[12]，、[23]，、[3)+∞，．
【结论】此类题做法：①根据限制条件把x 的区间一个一个划开．
②根据划开的区间，判断每个区间上的单调性．
⑵ 在(3)-∞-，，(31)--，上单调递减；在(11)(1)-+∞，
，，上单调递增；
⑶ ()f x 在[01]，
上单调递减，在[1)+∞，上单调递增．
⑷ ()f x 在(1]-∞-，，(0)+∞，上单调递减，在[10)-，上单调递增．
【拓展】讨论函数22()(1)1f x x =--的单调性．
【解析】 ()f x 在(1]-∞-，与[01]，
上单调递减，在[10]-，与[1)+∞，上单调递增．
【拓展】已知2()21f x x x =--，讨论1()1g x f x x ?
?=++ ??
?的单调性．
【解析】
()g x 在(1]-∞-，与(01]，上单调递减，在[10)-，与[1)+∞，上单调递增．
考点2：函数单调性的应用
【铺垫】⑴ 若函数()||2f x x a =-+在[)0+∞，上为增函数，则a 的取值范围为_________．
⑵ 若函数()||2013f x a x b =-+在[)1+∞，上为增函数，则a ，b 的取值范围为 ． ⑶ 若函数2()21f x ax x =++在[12]，上单调递增，则a 的取值范围为_______．
【解析】 ⑴ 0a ≤．
⑵ 0a >，1b ≤．
⑶ 1
2
a -≥．
【例2】 ⑴
已知函数1
()2
ax f x x +=
+在区间(2)-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围为________． ⑵已知函数()221
21ax x f x x ax x +
，，≥在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为_______．
⑶已知函数()1)f x a =
≠． ① 若0a >，则()f x 的定义域是 ；
② 若()f x 在区间(]01，上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
⑷（目标班专用）若函数()()1f x a x x =--在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
【解析】 ⑴ 1
2
a <
； ⑵ 1
02a <≤
⑶ ① 3a ?
?-∞ ??
?，．
② (](0)13-∞，
，．
⑷ {1}；
<教师备案> 例3是函数不等式的相关问题，遇到函数不等式的问题一般都需要利用函数的性质，这类
问题就是已知函数值的大小，推导自变量的大小关系．
【例3】 ⑴
已知()y f x =是定义在(22)-，上的增函数，若(1)(12)f m f m -<-，则实数m 的取值范 围是_______．
⑵已知函数22
40()40x x x f x x x x ?+?=?-
，≥，，若2
(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1)(2)-∞-+∞，， B ．(12)-， C ．(21)-，
D ．(2)(1)-∞-+∞，，
⑶（目标班专用）已知函数2
20
()0x x f x x x ??=?-
，≥，，若对任意的[2]x a a ∈+,，不等式
()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】 ⑴ 12
23m -<<．
⑵ C
⑶
a
奇偶性引入
单调性虽然是一个局部的性质，但也不是所有函数都存在单调区间的，如常函数在任意区间上都不具有单调性，狄利克雷函数（1()0x f x x ∈?=?∈?R
Q
Q ，，e）在任意区间上也都不具有单调性．
与这个局部性质相对，奇偶性是函数的整体性质，在几何上奇偶性代表整个函数图象是否具有关于y 轴轴对称或者关于原点中心对称；在代数上，需要对任意的x D ∈（D 为定义域），都满足()()f x f x -=或()()f x f x -=-．
<教师备案> 所谓奇偶性的问题，一定要找互为相反数的一对自变量，如果没有互为相反数的一对自变
量，奇偶性的问题往往不能得到解决．
知识点睛
3.2函数的奇偶性（一）
奇偶性的问题有以下一些特点：
特点1：涉及到一对互为相反数的自变量，如已知()3f ，求()3f -就会与奇偶性有关．
比如：()1a
f x bx x
=
++，(1)2013f =，求(1)f -． 则()1f x -是奇函数，(1)12012f -=，故(1)12012f --=-，从而(1)2011f -=-．
同类型问题见例4⑴；
特点2：奇偶性问题往往涉及到区间转换：如题中告诉你函数在()0+∞，上怎么样，让你
求的永远是()0-∞，，这类问题一般会涉及到最值、比大小、求解析式、单调性与解不等式等．
比如知道偶函数在(0)+∞，上单调递增，就可以得到它在(0)-∞，
单调递减．然后就可以比较(3)(π)f f -，，(4)f -的大小．
<教师备案> 奇偶性问题出题的思路是非常简洁的，往往奇偶性单独是很难成题的，奇偶性一定会和单
调性、函数值域、不等式等一系列的问题联系在一起出．因为奇偶性只告诉你一个非常简单的性质：已知a 就知道a -，所以它的题目无非分成两种类型：①a 与a -都不告诉要自己去找，要寻找一对互为相反数的自变量是解决问题的关键；②永远告诉一半，要解决的问题往往在另一半，或要知道函数整体长成什么样子．
单调性之间有时是可以相互转化的，而一般情况下，奇函数和偶函数之间是很难进行转换的，单调增和单调减只需乘个负号就可以改变，但很难说一个奇函数经过什么操作变成偶函数了（但不是没有，比如翻折变换）．因为单调性是一个上升或下降，往往与乘法有密切的关系，而奇偶性是一个函数的整体性质，代表了整个函数的对称性：轴对称和中心对称，两者很难互相转化． 函数奇偶性的操作：
1．乘以任何系数k ，不改变奇偶性，不管是()kf x 还是()f kx ；
2．()f x a ±，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性），奇函数不行； 3．()f x a ±则往往不再具有奇偶性（除非它本身是有周期性）
4．奇函数±奇函数=奇函数，奇函数?奇函数=偶函数，偶函数?偶函数=偶函数； 5．奇函数与偶函数的复合，是有偶函数则复合后为偶函数，否则为奇函数． 但因为奇偶性相对比较容易判断，所以以上这些结论应用较少．
1．判断下列说法正确与否．
⑴ 奇函数的图象一定过原点．（ ） ⑵ 偶函数的图象不一定与y 轴相交．（ ）
⑶ 所有函数都可以表示成一个奇函数和偶函数的和．（ ） ⑷ 有且仅有一个函数既是奇函数又是偶函数．（ ） 【解析】 ⑴ ×； 暑假知识回顾
⑵ √ ⑶ × ⑷ ×
2．判断下列函数的奇偶性
⑴2()1x x
f x x +=+； ⑵03(1)y x x =-；⑶10()10x x f x x x -?=?+
【解析】 ⑴非奇非偶函数；⑵非奇非偶函数．⑶非奇非偶函数．
3．已知()f x 为奇函数，当0x >时，(
)1f x x +，则(0)f =____；当0x <时，()f x =________． 【解析】 0
；1x -．
4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，[)2120()x x x ∈+∞≠，，有2121
()()
0f x f x x x -<-．则（ ）
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【解析】 A ；
考点3：函数奇偶性的应用 【例4】 ⑴
已知53()2013f x x ax bx =++-，且(3)10f =，则(3)f -=____．
⑵
已知()f x 和()g x 都是定义在R 上的奇函数，若()()()2F x af x bg x =++在(0)+∞，上有
最大值5，则()F x 在(0)-∞，
上的最小值为______． ⑶
（目标班专用）函数()52
11
x x
f x x =++的最大值与最小值的和为_______． 【解析】 ⑴ 4036-
⑵ 1-； ⑶ 2；
见到这种长得很奇怪，很难画出图象的函数，就可以从奇偶性出发去考虑了．若将()f x 写成52211x x x x +++甚至522(1)1
x x x x +++就更崩溃了．
考点4：奇偶性与单调性综合
【铺垫】⑴ 已知()f x 为奇函数，在(0)+∞，上单调递增，()10f =，则()20f x ->的解集为______．
⑵ 设偶函数()f x 满足()3()80f x x x =-≥，则()20f x ->的解集为 ．
【解析】 ⑴ (12)
(3)+∞，，；
经典精讲
⑵ {|0x x <或4}x >
【例5】 ⑴
定义在(11)-，上的奇函数()f x 在[)01，上为增函数，则()()210f x f x +-<的解集
为 ． ⑵
已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间(]0-∞，上为减函数，
则满足()1213??
-< ???
f x f 的x 的取值范围是（ ）
A ．1233?? ???，
B ．1233??????，
C ．1223?? ???，
D ．1223??????
，
⑶（目标班专用）若定义在(0)(0)-∞+∞，，上的函数()f x 为奇函数，且在(0)-∞，
上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为____________．
⑷（目标班专用）若()f x 为奇函数，且在(0)+∞，上单调递减，()10f =，则()
32
201
x f x x >-的解集为________．
【解析】 ⑴ 031?
? ??
?，；
⑵ A ； ⑶ ()
()22-∞-+∞，，
⑷ 111122?
???-- ? ??
???，，
；
【拓展】已知奇函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，且()f x 在(0)+∞，上单调递增，则(2)f -，(1)f ，(1)
f -的大小关系是（ ）
A ．(2)(1)(1)f f f -<-=
B ．(2)(1)(1)f f f -<-<
C ．(2)(1)(1)f f f ->->
D ．以上都不正确
【解析】 D
【备注】本题如果直接画草图，可能会得到错误的结果，因为草图不是唯一的，而草图的不同会影响
最后结果，所以画函数草图，对于不影响结论的地方可以“草”一些，对于会影响结论的地方是需要进行思考与处理的．
考点5：抽象函数的奇偶性
<教师备案> 奇偶性的问题涉及到一对互为相反数的自变量，这可以提供一些奇偶性问题思考的方向：
比如已知一个含参函数的奇偶性求参数的问题中，就可以直接取一对互为相反数的自变量，从而得到函数值相关的一个等式．而抽象函数问题中，也可以通过找一对互为相反数的自变量，与奇偶性建立起联系，
比如：()f x 是偶函数，且对任意的x 满足()()()22x f x xf x +=+，求(1)f ． 解：∵已知()f x 是偶函数，∴要使用该条件，就要找互为相反数的一对自变量，
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.
第三讲 函数的单调性、奇偶性 一、知识点归纳 函数的单调性 （1）定义：设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21 ()3 x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3 ()2 x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法） 高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案 1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（） A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－|x| 2.f（x）＝x2＋|x|（） A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数 C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数 3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（） A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数 4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（） A.在[－1,0]上是增函数 B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数 C.在[1,0]上是减函数 D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数 5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（） A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数 B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数 C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数 D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数 6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（） A.f（1）>f（2） B.f（1）>f（－2） C.f（－1）>f（－2） D.f（－1） 7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（） A.f 函数的单调性与奇偶性 1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 A.))(,(a f a -- B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a - D. ))(,(a f a --- 2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 A ．2)()(x x f =是偶函数 B ．2)()(x x f =是奇函数 C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数 D ．23)(x x f -=是偶函数 4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是 A ．(－1,2) B ．(1,4) C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞) D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R，又 f（-x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2）＝- ＝＝． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0，x1+x2＜0， x21+1＞0，x22+1＞0， 得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论． 微专题30 1．答案：－2. 解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－0)＝－f (0)，f (－3)＝－f (3)，所以f (0)＝0，f (3)＝－2，则f (0)＋f (3)＝－2. 2．答案：f (3)＜f (－2)＜f (1)． 解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－2)＝f (2)．又任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1 ＜0恒成立，则任意x 2＞x 1≥0时，f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数．所以，f (3)＜f (－2)＜f (1)． 3．答案：－4. 解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，于是m ＝－1，所以f (－log 35)＝ －f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4. 4．答案：(－1，3)． 解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，所以f (x －1)＞0可化为f (|x －1|)＞f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3. 5．答案：(－2，0)∪(0，2)． 解析：因为函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x )在(0，＋∞)上为增函 数，f (2)＝0，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数，f (－2)＝0.由x ·f (x )＜0得，???x ＜0，f （x ）＞0， 或???x ＞0，f （x ）＜0，，即???x ＜0，－2＜x ＜0，或???x ＞0，0＜x ＜2， 所以原不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)． 6．答案：(2，3)． 解析：f ′(x )＝cos x －1－ln2(2－x ＋2x )≤cos x －1－22－ x ·2x ＝cos x －3＜0，则函数f (x )在R 上 是单调减函数．又f (－x )＝－sin x ＋x ＋1－4－x 2 －x ＝ －? ???sin x －x ＋1－4x 2x ＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，所以f (1－x 2)＋ f (5x －7)＜0可化为f (1－x 2)＜－f (5x －7)＝f (7－5x )，即1－x 2＞7－5x ，解得2＜x ＜3.所以，不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)＜0的解集为(2，3)． 7．答案：(1)奇函数；(2)(－∞，1)∪(4，＋∞)． 解析：(1)函数f (x )是奇函数，证明如下：由x ＋1x －1 ＞0，得x ＜－1，或x ＞1，则函数 f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ? ?? ??x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ ln x 1＋1x 1－1－ln x 2＋1x 2－1＝ln （x 1＋1）·（x 2－1）（x 1－1）·（x 2＋1）＝ln x 1·x 2＋x 2－x 1－1x 1·x 2＋x 1－x 2－1 因为x 2＞x 1＞1，所以x 1·x 2＋x 2－x 1－1＞0，x 1·x 2＋x 1－x 2－1＞0，且(x 1·x 2＋x 2－x 1－1) 函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x x I ∈，当12x x <时，总有 (ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。 (ⅱ) )()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有： 1212 ()() 0f f x x x x ->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（ ★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有： 121 2 ()() 0f f x x x x -<-或1212)[()()]0f f x x x x --<（ 3．函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当 (),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数 (())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，函数1()()()F x f x g x =+、2()()()F x f x g x =?的增减性与()f x (或()g x )相同，3()()()F x f x g x =-、4() ()(()0)() f x F x g x g x = ≠的增减性 —函数的单调性和奇偶性 一、选择题： 1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =3x 2＋1 C ．y = x 2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数， 则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 3．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21 ++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 2 1 ，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数 7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1］∪[2，＋∞） 8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5 －t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ） A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞ 函数的单调性和奇偶性 一、目标认知 学习目标： 1.理解函数的单调性、奇偶性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 4.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 重点、难点： 1.对于函数单调性的理解； 2.函数性质的应用. 二、知识要点梳理 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是增函数； 如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间M上是减函数. 如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调性，M称为函数f(x)的单调区间. 要点诠释： [1]“任意”和“都”； [2]单调区间与定义域的关系----局部性质； [3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； [4]不能随意合并两个单调区间. (2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 基本方法：观察图形或依据定义. 2.函数的奇偶性 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： [1]奇偶性是整体性质； [2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； [3]f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：； 考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 知识梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 函数的单调性、奇偶性综合运用 【学习目标】 1.进一步掌握函数的单调性与奇偶性综合问题； 2.利用单调性、奇偶性来解决相关问题。 【学习过程】 一．复习回顾： 1．函数单调性、奇偶性的定义 2．设()x f 为定义在()+∞∞-,上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上为增函数，则()2-f ，()π-f ，()3f 的大小顺序是 二．例题精讲： 题型一：知单调性求参数的范围 1．若()x f 是偶函数,其定义域为(),-∞+∞,且在 [)+∞,0上是减函数 则)43(-f ，)1(2+-a a f 的大小关系是 。 2．已知()x f 是定义在()1,1-上的奇函数,且在定义域上为增函数,若2(2)(4)0f a f a -+-<,求 a 的取值范围. 【变式】 已知()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在()1,0上为增函数,若 )4()2(2a f a f -<-,求 a 的取值范围。 题型二：单调性的判断与证明： 3．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则f (x ) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论 4．已知f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，并且f (x )<0对一切R x ∈成立，试判断) (1x f -在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论. 【课堂巩固】 1.设()x f 是偶函数，且当[)+∞∈,0x 时， 1)(-=x x f ， 则0)1(<-x f 的解是 . 2. 定义R 在的偶函数()x f 在()0,∞-上是单调递增的,若()122++a a f < ()1232+-a a f ,求a 的取值范围. 3.若奇函数)(x f 是定义域()1,1-上的减函数，且0)1()1(2<-+-m f m f 求实数 m 的取值范围 4．已知f (x )是R 上的奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递减，则f (x) 在(－∞,0)上的单调性，并证明你的结论专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
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