2.2.1 条件概率Conditional Probability

2.2.1 条件概率Conditional Probability

萧山八中郭军明

2.2.1条件概率

高中数学条件概率 一、选择题 1.下列式子一定成立的是( ) A.P(B|A)=P(A|B) B.P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A) C.0

A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6 6.一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,则另一个也是女孩的概率为( ) A. B. C. D. 7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A表示“取到的2个数之和为偶数”,事件B表示“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)等于( ) A. B. C. D. 8.某地区气象台统计,该地区下雨的概率是,刮三级以上风的概率为,既刮三级以上风又下雨的概率为,则在下雨天里,刮三级以上风的概率为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.一个袋中有7个大小相同的两种颜色的球,其中白球有4个.从中不放回地摸球四次,一次摸1个,已知前两次摸得白球,则后两次也摸得白球的概率是 . 10.在10张奖券中,其中2张有奖,某人从中抽3次,每次1张,等抽完后再看中奖情况,但此人在抽第二次时,无意中发现有奖,则他第一次抽的奖券也有奖的概率为 .

2016高中数学人教A版选修221《条件概率》课时作业

【与名师对话】2015—2016学年高中数学 2、2、1条件概率课时作 业 新人教A 版选修2—3 一、选择题 1、已知P （AB ）＝错误!,P (A ）＝错误!，则P (B |A ）＝( ) A 、错误! B 、错误! C 、错误! D 、错误! 解析：P (B ｜A )＝P AB P A ＝错误!＝错误!、 答案:B 2、在5道题中有3道数学题与2道物理题、如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到数学题的条件下，第2次抽到数学题的概率就是( ) A 、错误! B 、错误! C 、错误! D 、错误! 解析:设第一次抽到数学题为事件A ,第二次抽到数学题为事件B ，则P (A )＝错误!,P （AB )＝错误!＝错误!， 所以P （B ｜A ）＝错误!＝错误!、 答案:C 3、在10个球中有6个红球与4个白球（各不相同），无放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球的概率为( ) A 、错误! B 、错误! C 、错误! D 、错误! 解析：方法一:设A ＝{第一次摸到红球},B ＝{第二次摸到红球},AB ＝｛两次摸出都就是红球},则由古典概型知P (A ）＝错误!＝错误!，P (AB ）＝错误!＝错误!， ∴P （B |A ）＝错误!＝错误!＝错误!、 方法二:第一次摸出红球后，9个球中有5个红球，此时第二次也摸出红球的概率为错误!、 答案：D 4、一个盒子中有20个大小形状相同的小球,其中5个红的,5个黄的,10个绿的,从盒子中任取一球，若它不就是红球,则它就是绿球的概率就是（ ) A 、错误! B 、错误! C 、错误! D 、错误! 解析：记A :取的球不就是红球，B :取的球就是绿球、则P （A )＝错误!＝错误!，P （AB )＝错误!＝错误!，∴P （B |A ）＝错误!＝错误!＝错误!、

条件概率公式

条件概率（conditional probability）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。 联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为或者或者。 边缘概率是某个事件发生的概率。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P（A），B的边缘概率表示为P（B）。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间序列关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。 例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 换句话说，如果A与B是相互独立的，那么A在B这个前提下的条件概率就是A自身的概率；同样，B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。 考虑概率空间Ω(S, σ(S))，其中σ(S)是集S上的σ代数，Ω上对应于随机变量X的概率测度（可以理解为概率分布）为PX；又A ∈σ(S)，PX(A)≥0（这里可以理解为事件A，A不是零测集）。则?E∈σ(S)，可以定义集函数PX|A如下： PX|A(E)=PX(A∩E)/PX(E)。 易知PX|A也是Ω上的概率测度，此测度称为X在A下的条件测度（条件概率分布）。

独立性：设A，B∈σ(S)，称A，B在概率测度P下为相互独立的，若P(A∩E)=P(A)P(E)。 若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。而且就算在告知他其实是健康的人后，也可能因此对他的人生有负面影响。

高中数学选修2-3 2.2.1条件概率

条件概率 一、知识概述 条件概率的定义： 一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率． 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1． （2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)＋P(C|A)． （3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键． 注：概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系： 联系：事件A，B都发生了． 区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为W． 二、例题讲解： 例1、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出

的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）． ①；②；③事件B与事件A1相互独立； ④是两两互斥的事件； ⑤P（B）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关． 解： 答案：②④ 例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率． 解： 令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．． 则所求概率为Ｐ（B|A）． ，． ．

即所求概率为． 例3、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ （3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？ 解： 记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”． （1）． （2）． （3）． ∴在乙地下雨时甲地也下雨的概率为． 在甲地下雨时乙地也下雨的概率为． 甲、乙两地至少一地下雨的概率为26%．

条件概率公式

条件概率 示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 若只有两个事件A，B，那么，P(A|B) = P(AB)/P(B)。 条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 联合概率：表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P（A∩B）。 边缘概率：是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。条件概率公式例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 定理1

设A，B 是两个事件，且A不是不可能事件，则称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般地，，且它满足以下三条件： （1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。 定理2 设E 为随机试验，Ω为样本空间，A，B 为任意两个事件，设P(A)>0，称 为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。 上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。 设A1，A2，…An为任意n 个事件（n≥2）且P（A1A2…An-1）>0，则P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（An|A1A2…An-1）定理3(全概率公式1) 设B1，B2，…Bn是一组事件,若（1）BiBj≠j，i≠j，i，j=1，2，…，n;（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω则称B1，B2，…Bn样本空间Ω的一个部分，或称为样本空间Ω的一个完备事件组。 定理4(全概率公式2) 设事件组B1，B2是样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…n），则对任一事件B，有

人教A数学选修23课时规范训练：221条件概率 含解析

第二章 2.2 2.2.1 【基础练习】 1．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于( ) A.2 5 B.1 2 C.3 5 D.45 【答案】A 2．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A ．0.2 B ．0.33 C ．0.5 D ．0.6 【答案】A 3.(2019年东莞期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为310，下雨的概率为11 30，既吹东风又下雨的概率为4 15，则在吹东风的条件下下雨的概率为( ) A.89 B.25 C.911 D.811 4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.12 C.25 D.14 【答案】A 5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他周六晚上值班的概率为________． 【答案】1 6 【解析】设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16 C 27，P (AB )＝1C 27 ， ∴P (B |A )＝ P (AB )P (A )＝1 6 .

6．设袋中有3个白球，2个红球．现从袋中随机抽取2次，每次取一个，取后不放回，则第二次取得红球的概率为________． 【答案】2 5 7．从1到100的整数中，任取一个数，已知取出的数是不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率． 【解析】A ＝{任取一数且该数不大于50}，B ＝{取出的该数是2或3的倍数}，则n (A )＝50，n (AB )＝33. ∴P (B |A )＝ n (AB )n (A )＝3350 ，即该数是2或3的倍数的概率为33 50. 8．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？ 【解析】记事件A ＝{最后从2号箱中取出的是红球}， 事件B ＝{从1号箱中取出的是红球}． P (B )＝46＝23，P (B )＝1－P (B )＝1 3. P (A |B )＝49，P (A |B )＝39＝13 . 从而P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝49×23＋13×13＝11 27， 即从2号箱取出红球的概率是11 27 . 【能力提升】 A.34 B.58 C.716 D.916 【答案】B 【解析】记第1球投进为事件A,第2球投进为事件B ，则由题意得P(B|A)=34,P(B|_A)=14,P(A)=3 4，则P(B)=P(A)(B|A)+P(_A)P(B|_A)=34×34+(1-34)×14=5 8.故选B. 10．(2018年深圳模拟)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一

北邮概率论与数理统计条件概率1.3

§1.3 条件概率 条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。 1. 条件概率的定义及计算 在一个随机试验中或随机现象中，当我们已知一个事件B 发生了，这时对另外一个事件A 发生的概率往往需要重新给出度量.称事件A 的这个新概率为在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率,记为)|(B A P .为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给出条件概率的数学定义,我们先看一个例子. 例1 一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如下表 甲车间 乙车间 合计 正品 465 510 975 次品 15 10 25 合计 480 520 1000 从这批产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为 %5.21000 25= 现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是 %5.2，而是 %125.3480 15= 在本例中，设B 表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，A 表示事件“取出的产品是次品”，前面算出的事件A 的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算出的事件A 的概率是在有了 “事件B 发生了”这一信息的情况下得到的.后一个概率就是在事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为无条件概率。经过简单计算有 ) ()(1000/4801000/1548015)|(B P AB P B A P === 这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义.受由启发,我们可以在一般的样本空间中给出条件概率的数学定义. 定义 设B A ,是样本空间Ω中的两个事件，且0)(>B P ，在事件B 发生的条件下，事件A 的条件概率定义为 ) ()()|(B P AB P B A P = 根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理： （1）非负性：对任一事件B ，有0)|(≥A B P ； （2）规范性：1)|(=ΩA P ；

条件概率1

例1： 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率309，下雨的概率为3011，既吹东风又下雨的概率为308.试求在吹东风 的条件下下雨的概率. 例2: （1）10个球有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率是 ； （2）盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是 ； 例2： （1）有一批种子的发芽率为90.，出芽后的幼苗成活率为80.，在这批种子中，

随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为； （2）某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概 0.，继续射击，射中第二个目标的率为8 0.，则这个选手过关的概率概率为5 是； （3）袋中装有形状、大小完全相同的5个球，其中黑球3个、白球2个.从中依次取出2个球，则所取出的两个都是白的概率； （4）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱中，然后从2号箱中随机地取出1个球，则两次都取到红球的概率是；

例4： （1）设某光学仪器厂制造的透镜，第一次下落时打破的概率为21 ，若第一次落下时未打破，第二次落下时打破的概率为107 ，若前两次落下时未打破，第三次下落时打破的概率为109 ，试求透镜落下三次而未打破的概率； （2）8个人抽签，其中只有1张电影票，7张空票，求每个人抽到电影票的概率； （3） （傅立叶模型）已知一个罐中盛有m 个白球，n 个黑球.现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球a 个.试求接连取球3次，3次均为黑球的概率.

数学人教A选修23课前导引：221条件概率 含解析

2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 课前导引 问题导入 为了了解某地区参加会计资格考试的1 005名考生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，现用系统抽样的方法，需要从总体中剔除5个个体，在整个抽样过程中，求 （1）每个个体被剔除的概率； （2）每个个体不被剔除的概率； （3）每个个体被抽取的概率分别是多少？ 思路分析：（1）由于每个个体被剔除的概率是相等的，于是每个个体被剔除的概率为51 005. （2）每个个体不被剔除的概率为1- 10055=1005 1000.（3）一个个体被抽到等价于这个个体不被剔除，并且被抽到.因此每个个体被抽到的概率为10051000×100550100050=. 解析：设事件A ：考生a 被剔除；事件B ：考生a 不被剔除；事件C ：考生a 被抽取.从1 005中随机抽取5个共有51005C 种结果，每一种结果出现的可能性相等. （1）事件A 包含4 1005C 种结果，由等可能事件的概率公式得：P(A)=51005 41005C C =10055; (2)由对立事件的概率的公式得： P （B ）=1-P （A ）=1005 1000； （3）从不被剔除的1 000个考生中抽取50个个体，由等可能事件的概率公式得每个个体被 抽取的概率：P （C ）=1000551000 114999=C C C ，考生a 被抽到是在不被剔除的条件下从1 000个考生中被抽到. 知识预览 1.条件概率的定义： 一般地，设A ，B 为两个事件，且P （A ）＞0,称 P （B|A ）=) ()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率. 2.条件概率的性质：0≤P （B|A ）≤1 3.如果B 和C 是两个互斥事件，则P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）

1条件概率

§2.2.1条件概率 知识点 1.条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。 2.由事件A 和B 所构成的事件D ，称为事件A 和B 的交（或积），记作 3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数 包含的基本事件数A B A = 总数 包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P 一 问题分析 问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件=A “蓝色骰子的点数为3或6”，事件=B “两颗骰子的点数之和大于8”，求： （1）事件A 发生的概率； （2）事件B 发生的概率； （3）已知事件A 发生的情况下，事件再B 发生的概率。 问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考： （1） 三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？ （2） 若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？ （3） 在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？ 二 典型例题分析 例1：抛掷一颗骰子,观察出现的点数 =A {出现的点数是奇数}＝}531{，，，=B {出现的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。 例2：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时 另一个小孩是男孩的概率是多少？ 例3：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （1） 乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2） 甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 例4: 某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

2016-2017学年高中数学第一章统计案例2独立性检验2.1条件概率与独立事件课后演练提升北师大版

2016-2017学年高中数学 第一章 统计案例 2 独立性检验 2.1 条 件概率与独立事件课后演练提升 北师大版选修1-2 一、选择题 1．下面几种概率是条件概率的是( ) A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都命中的概率 B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率 C ．10件产品中有3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2 5，小明在一次上学途中 遇到红灯的概率 解析： 由条件概率定义知选B. 答案： B 2．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( ) A ．0.26 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.72 解析： P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案： A 3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35 B ．34 C.1225 D ．1425 解析： 设甲射击一次中靶为事件A ，乙射击一次中靶为事件B ，则P (A )＝810＝4 5，P (B ) ＝710，P (AB )＝P (A )·P (B )＝45×710＝1425 . 答案： D 4．一袋中有3个红球，2个白球，另一袋中有2个红球，1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到1个白球的概率是( )

A.38 B ．35 C.25 D ．15 解析： 分两大类：1白球1红球或全是白球．P ＝25×23(一白一红)＋35×1 3(一红一白) ＋25×13(两白)＝35或1－35×23＝3 5 . 答案： B 二、填空题 5．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝________；P (A B ) ＝________. 解析： A 、B 是相互独立事件， ∴A 与B ，A 与B 也是相互独立事件． 又∵P (A )＝12，P (B )＝2 3， 故P (A )＝12，P (B )＝1－23＝1 3， ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝12×13＝1 6 ； P (A B )＝P (A )·P (B )＝12×13＝1 6 . 答案： 16 1 6 6．一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为80 81，则该射手一次射 击的命中率为________． 解析： 设命中率为p ，则1－(1－p )4＝8081，(1－p )4 ＝181 ， p ＝23 . 答案： 2 3 三、解答题 7．一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率． 解析： 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B .注意，这里的

条件概率公式

条件概率公式 条件概率： 设A、B是两个事件，在A事件发生的条件下，B事件发生的概率，其中P（A）>0。说明A事件发生的概率大于0,表示A事件是必然发生的。记为：P(B|A)=P(AB)/P(A) 。 注意事件A作为条件，分母必定是条件概率，所以A事件的概率必定在分母上，分子P(AB)表示事件A与B相交的概率，记作P(A∩B)。 举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T. 样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT） 设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH） 设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT） 求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。 （例子来自浙大版概率与统计第四版） 从已知条件可知，总样本Ω为4个，A事件有3个，B事件有2个。 所以可以直接求出A的概率与B的概率。即P(A)=3/4 , A事件与B事件相交事件只有一个即HH。 即P(AB)=1/4.有公式1可知 P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3. 1.2 乘法公式：把式1条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)

把P(AB)相交概率移到式子左边，把P(B|A)条件概率移动式子右边。即得到乘法公式。如式P(AB)=P(B|A) P(A)。 全概率公式： 在条件概率中引入(A∩B)积事件的概念。积事件概率表示相交事件的概率只有在A与B事件同事发生情况下才会发生。P(A∩B)表示A和B相交的概率。而在全概率公式中将引入∪和事件概念. 有个小窍门，其实可以把积事件理解为数字电路的与门、把和事件理解为数字电路的或门。比如样本空间S，可以划分样本B1，B2...B6组成，即S=（B1∪B2∪ (6)

9条件概率公式

条件概率编辑讨论上传视频 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。 条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。条件概率可以用决策树进行计算。条件概率的谬论是假设P(A|B) 大致等于P(B|A)。数学家John Allen Paulos 在他的《数学盲》一书中指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。中文名条件概率外文名Conditional probability分类数学表示P（A|B）计算决策树定理贝叶斯公式 目录 1 基本概念 2 基本定理 3 统计独立性 4 互斥性 5 其它 6 著名谬论 基本概念编辑 条件概率 条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“A在B发生的条件下发生的概率”。若只有两个事件A，B，那么，。

概率测度 如果事件B 的概率P(B) > 0，那么Q(A) = P(A | B) 在所有事件A 上所定义的函数Q 就是概率测度。如果P(B) = 0，P(A | B) 没有定义。条件概率可以用决策树进行计算。[1] 联合概率 表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P(A∩B)。[2] 边缘概率 是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。 条件概率公式 条件概率公式 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。[3] 基本定理编辑 定理1

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 一、背景 一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件 发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的. [例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是. [例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为

对于例1,已知 容易验证在发生的条件下,发生的概率 对于例2,已知 容易验证发生的条件下,发生的概率 对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率, 总是成立的. 在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为

由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义. 二、条件概率 若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称 为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. [例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率 解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)} ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)} ={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)} 由条件概率公式得,

条件概率及全概率公式练习题

二、计算题 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公 式 , , ∴

P(A|B)=1/2. 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .

条件概率公式上传

若只有两bai个事件A，B，那么du 基本性质 统计独立性zhi 当且仅当两个随机事件A与B满足dao P(A∩B)=P(A)P(B) 的时候，它们才是统计独立的，这样联合概率可以表示为各自概率的简单乘积。 同样，对于两个独立事件A与B有 P(A|B)=P(A) 以及 P(B|A)=P(B) 换句话说，如果A与B是相互独立的，那么A在B这个前提下

的条件概率就是A自身的概率；同样，B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。 4互斥性 当且仅当A与B满足 P(A|B)=0 且P(A)≠0，P(B)≠0 的时候，A与B是互斥的。 因此， P(A|B)=0 P(B|A)=0 换句话说，如果B已经发生，由于A不能和B在同一场合下发生，那么A发生的概率为零；同样，如果A已经发生，那么B发生的概率为零。

5其它 如果事件B的概率，P(B)>0 那么Q(A)=P(A|B)在所有事件A上所定义的函数Q就是概率测度。 如果P(B)=0，P(A|B)没有定义。 条件概率可以用决策树进行计算。 6著名谬论 条件概率的谬论是假设P(A|B) 大致等于P(B|A)。数学家John Allen Paulos 在他的《数学盲》一书中指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。 P(A|B) 与P(B|A)的关系如下所示： P(B|A)=P(A|B)(P(B)/P(A))

下面是一个虚构但写实的例子，P(A|B) 与P(B|A)的差距可能令人惊讶，同时也相当明显。 若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。而且就算在告知他其实是健康的人后，也可能因此对他的人生有负面影响。 这个问题的重要性，最适合用条件机率的观点来解释。 假设人群中有1%的人罹患此疾病，而其他人是健康的。我们随机选出任一个体，并将患病以disease、健康以well表示： P(disease) = 1% = 0.01 and P(well) = 99% = 0.99. 假设检验动作实施在未患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阳性（阳性以positive表示）。意即： P(positive | well) = 1%，而且P(negative | well) = 99%. 最后，假设检验动作实施在患病的人身上时，有1%的机率其结果为假阴性

人教新课标版数学高二-人教数学选修2-32.2.1条件概率

1．(2013·芜湖调研)抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )＝( ) A.12 B.15 C.25 D.35 解析：选C.P (B )＝56，P (AB )＝13 ， P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1356 ＝25 . 2．(2013·海口高二检测)抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1、x 2分别表示第一、二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1＞x 2}，则P (B |A )＝________. 解析：P (A )＝336＝112，P (AB )＝136 ， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A ) ＝136112 ＝13. 答案：13 3．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率． 解：设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}． B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}， R ＝{第二次取出的球是红球}， W ＝{第二次取出的球是白球}， 则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310，P (R |A )＝12 ， P (W |A )＝12 ， P (R |B )＝45，P (W |B )＝15 . 事件“试验成功”表示为RA ∪RB ，又事件RA 与事件RB 互斥，故由概率的加法公式，得 P (RA ∪RB ) ＝P (RA )＋P (RB )＝P (R |A )·P (A )＋P (R |B )·P (B ) ＝12×710＋45×310 ＝0.59.

2016高中数学人教A版选修221《条件概率》课时作业

【与名师对话】2015-2016学年高中数学2、2、1条件概率课时作 业新人教A版选修2-3 一、选择题 1、已知P （AB）=错误!，尸（才）=错误！，则P

解析：记川:取的球不就是红球，万:取的球就是绿球、则尸3=错误！=错误！，P（AB） =错误!尸错误！，.?.尸（万川）=错误！=错误!=错误！、 答案:C 5、有一批种子的发芽率为0、9,出芽后的幼苗成活率为0、&在这批种子中，随机抽取 一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率就是（） A、0、72 B、0、8 C、错误！ D、0、9 解析:设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件M（发芽，并成活而成长为幼苗），则尸（0=0、9,又种子发芽后的幼苗成活率为尸（万1月）=0、8,所以PIAB）= 尸C4）尸（万I ￡）=0、9X0、8=0、72、 答案：A 6、从1, 2,3, 4, 5中任取2个不同的数，事件月=“取到的2个数之与为偶数”，事件万 =“取到的2个数均为偶数”，则P{B A）等于（） A、错误！ B、错误！ C、错谋！ D、错谋！ 解析：?.?尸⑷=错误!=错误!，P（AB）=错误!=错误!， P（B I A） = —f —-错误！、 答案:B 二、填空题 7、6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同 学排在第二跑道的概率就是__________ 、 解析：甲排在第一跑道，其她同学共有A s, 5种排法，乙排在第二跑道共有A*,.种排法，所以所求概率为错谋!=错谋!、 答案：错误！ 8、设P{A\B） =P（B A）=错误!，尸（￡）=错误！，则P（5）等于____ 、 p JP 解析：???P3IQ =令斗， P A :.P（AB） =P{B I A）? P（A）=错误！X错误！=错误！， :错误！=错误！=错误！、 答案：错误！ 9、如图，就是以0为圆心、半径为1的圆的内接正三角形、将一颗豆子随机地 扔到该圆内，用川表示事件"豆子落在正三角形磁内"，万表示事件“豆子落在扇形0Q（阴影部分）内”，则（1）P（A）=________ 、（2） I A） = _________ 、 B

1.3条件概率与贝叶斯公式

《概率论与数理统计》课后练习（三） 第一章 §1-3条件概率与贝叶斯公式 班级 姓名 座号 成绩 一．填空题（每小题0.5分,共计2分） 1．设B A ,为两个事件，3.0)(,7.0)(,4.0)(=-=+=B A P B A P A P ，则=)|(B A P 。 2. 某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率0.56，现有一只该动物已经10岁了，那么它能活到12岁的概率为 。 3. 袋中有5只红球与2只白球，每次取一只球，不放回地取两次，设i A 表示第i 次取到红球（2,1=i ），则=-)(12A A P 。 4.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1.一顾客欲买下一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随意查看其中4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，问顾客能买下该箱的概率为 。 二．单项选择题（每小题0.5分,共计1分） 1. 设B A ,为两个事件，0)()(>≠B P A P ，且B A ?,下列正确的是( ) （A ）1)|(=A B P （B ）1)|(=A B P （C ）1)|(=B A P （D ）)()|(A P B A P = 2. 一批产品中有5%的废品，而合格品中有70%是优质品，则该批产品中的优质品率是（ ） （A ）%95 （B ）%70%95? （C ）%70 （D ） % 95%70 三．计算题（每小题1分，共计2分） 1一项血液化验，以概率95%将带菌病人会检出阳性，但也有1%的概率将健康人误检为阳性。已知该种疾病的发病率为0.5%，试求：已知某人被检出阳性的条件下，他确实为带菌病人的概率？