初中数学中考试题研究 《方案设计综合试题》
㈠应用方程（组）不等式（组）解决方案设计型
例1．（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
解析：此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用．，以两人的用的总钱数为等量关系，可以列出方程组．第二问注意“不少”的含义可以根据总钱数和钢笔与笔记本的数量关系列出不等式组．
解：（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：???=+=+3152183y x y x 解得：?
??==53y x
所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元 (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本
依题意得：?
??≥-≤-+a a a a 48200
)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案
即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 点评：解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系，（或不等关系）列出相应的方程（或不等式组）．
同步检测:
1 (2009·安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？ 说明理由．
2.（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支
钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；
(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出． 练习参考答案：
1. 解：（1）设成人人数为x 人，则学生人数为(12-x)人． 则 35x +
2
35
（12 –x ）= 350 解得：x = 8 故：学生人数为12 – 8 = 4 人, 成人人数为8人．
（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：35×0．6×16 = 336元
336﹤350 所以，购团体票更省钱．所以，有成人8人，学生4人；购团体票更省钱． 2. 解：（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：???=+=+3152183y x y x 解得：???==5
3
y x
所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元 (2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本 依题意得：??
?≥-≤-+a
a a a 48200
)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案
即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 二、应用函数设计方案问题：
例2．（2009·安徽）（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
解析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析题意，根据：销售利润y =日最高销售量x ×每千克的利润（每千克的利润＝零售价－批发价），由此整理可得到y 关于x 的二次函数，
解：（１）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．
（2）由题意得： 2060 6054m m w m m ?=??≤≤（））
＞（，函数图象略．
由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果． （3）设日最高销售量为x kg （x ＞60）
则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040
x
p -= 销售利润23201
(
4)(80)1604040
x y x x -=-=--+,当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6 即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元 点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应用．
同步检测:
3：（2009·四川省南充市）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：
方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x 分钟，上网费用为y 元． （1）分别写出顾客甲按A 、B 两种方式计费的上网费y 元与上网时间x 分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象； （2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？
练习参考答案：
练习3。（1）方式A ：0.1(0)y x x =≥，
方式B ：0.0620(0)y x x =+≥，两个函数的图象如图所示． （2）解方程组0.10.0620y x y x =??
=+? 得500
50x y =??=?
所以两图象交于点P （500，50）．
由图象可知：当一个月内上网时间少于500分时，选择方式A 省钱；当一个月内上网时间等于500分时，选择方式A 、方式B 一样；当一个月内上网时间多于500分时，选择方式B 省钱．
三、 设计图形剪拼方案
例3．（2009·浙江省温州市）在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．
(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)
解析：本题为图案设计题，在设计前一定要注意到要求,除了要满足所画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上外，还要满足平行四边形的周长是否为整数的要求．
点评：本题考查的是设计图形题，在读清要求后，然后根据要求，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决. 同步检测:
4。 (2009·河南）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的
图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
练习参考答案： 解：下面给出参考方案：
四、 设计测量方案（解直角三角形应用）
例4．（2009·济宁）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子．
（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高． 图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平
地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=
，在A 点和塔之间选择一点B ，
测出看塔顶()M 的仰角45β= ，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度
为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈
，结果保留整数）．
A
B C
D
（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； ②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ ． 解析：本题以解直角三角形为依托，通过设计实际的测量活动，使学生能够灵活的应用所学知识，解决实际生活的问题，第二问是在解决了第一问的基础上让学生另行设计一种测量方案，但是要注意提供的工具和数据的选择使用．
解：（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-． ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-．∴ 1.618.617CE x x =-+=+． ∵
0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.6
0.717
x x -=+,解得45x m =． ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m ．
(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一) 点评：本类试题关键在于画出直角三角形，再分析角边关系，选择合适的三角函数求解，另外要注意设计的方案因为工具的选择不同而方法的多样性，还经常与相似三角形结合． 同步检测:
5。（2009·四川省成都市）某中学九年级学生在学习 “直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度 的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图， 他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°， 然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰
角为45°.请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)
练习参考答案：
解：（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-． ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-．∴ 1.618.617CE x x =-+=+． ∵
0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.6
0.717
x x -=+,解得45x m =． ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m ．
(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一)
练习6.如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在Rt △ABD 中，BD=AB. 又在Rt △ABC 中，tan30°=
BC AB ，∴BC AB =3
3，即BC=3AB. ∵BC=CD ＋BD ，∴3AB=CD ＋AB ，即（3－1）AB=60. ∴AB=
1
360 =30（3＋1）（米）
答：教学楼的高度为30（3＋1）米.
五、设计游戏方案（概率应用）
例5.(2009·重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积． （1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
解析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来． 解：列树形图如下：
由树形图可见共有12种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为
，
，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可
以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢． 点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，游戏公平性方案设计，其关键是保证游戏双方获胜的概率相同．
同步检测:
(2009·广东省梅州市）“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A 、B 、C 三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： （1）前往 A 地的车票有_____张，前往C 地的车票占全部车票的________%；
（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______；
（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
练习参考答案： （1）30；20．（2）
12
．
（3）可能出现的所有结果列表如下：
或画树状图如下：
共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），
∴P（小张获得车票）＝
6
16
＝
3
8
；则P（小李获得车票）1－
3
8
＝
5
8
．
∴这个规则对小张、小李双方不公平．
随堂检测
1．（2009·齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）
A．4种B．3种C．2种D．1种2．（2009·襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？
（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
3．（2009·天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的
宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．
结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：
AB=____________________________cm；
AD=____________________________cm；
矩形ABCD的面积为_____________cm2；
列出方程并完成本题解答．
4．（2009·烟台）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？5．(2009·达州)（6分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具、三角尺、标杆、小平面镜等．
首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30 角）来测量”．于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15㎝，小明的眼睛与地面的距离为1．6㎝，如图9（甲）所示．
然后，小红和小强提出了自己的想法．
小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度．” 小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！” 根据以上情景，解答下列问题：
（1）利用图9（甲），请你帮助小明求出旗杆AB 的高度（结果保留整数．参考数据：5.030sin =?，87.030cos ≈?，58.030tan ≈?，73.130cot ≈?）
；
（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中．．方案在图（乙）中画出测量示意图，并简述．．
测量步骤． 6．(2009·漳州)小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏，他们两人同时各掷一枚壹元硬币． （1）若游戏规则为：当两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢，否则小刚赢．请用画树状图或列表的方法，求小刚赢的概率；
（2）小红认为上面的游戏规则不公平，于是把规则改为：当两枚硬币正面都朝上时，小红得8分，否则小刚得4分．那么，修改后的游戏规则公平吗？请说明理由；若不公平，请你帮他们再修改游戏规则，使游戏规则公平（不必说明理由）．
随堂检测参考答案： 1．C
2．解：（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依
题意得：2230
2205
a b a b +=??
+=?
解之得60
85
a b =??
=?
答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元． （2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则
60851575m n += 173151212
m n =-
+ ∵A 类学校不超过5所 ∴1731551215
n -
+≤ ∴15n ≥
即：B 类学校至少有15所．
（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：
()()50706400
1015670
x x x x +-???
+-??≤≥ 解之得14x ≤≤ ∵x 取整数
∴1234x =，
，， 即：共有4种方案．
3．解（Ⅰ）220630424260600x x x x ---+，
，； （Ⅱ）根据题意，得2124260600120303x x ??-+=-?? ???
．
整理，得2
665500x x -+=．
解方程，得125
106
x x =
=，（不合题意，舍去）． 则552332
x x ==，． 答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，5
2
cm ．
4． 解：（1）根据题意，得(24002000)8450x y x ?
?=--+?
???
， 即2
224320025
y x x =-
++． （2）由题意，得2
2243200480025
x x -++=． 整理，得2300200000x x -+=．解这个方程，得12100200x x ==，． 要使百姓得到实惠，取200x =．所以，每台冰箱应降价200元． （3）对于2
224320025
y x x =-++， 当24
1502225x =-
=???- ???
时， 150(24002000150)8425020500050y ?
?=--+?=?= ???
最大值．
所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元． 5．（1）过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 在Rt △BDE 中，DE=AC=15m ，∠BDE=30° ∴BE=DE·tan30°≈1 5×0 58=8 70(m) ∴AB=BE+AE=8 70m+1 6m=10 3m≈10m （2）小红和小强提出的方案都是可行的 小红的方案： 利用皮尺和标杆： （1）测量旗杆的影长AG （2）测量标杆EF 的长度 （3）测量同一时刻标杆影长FH 小强的方案：
把小平面镜放在适当的位置（如图点P 处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB 的顶端 步骤：
（1）测出AP 的长度 （2）测出NP 的长度
（3）测出小强眼睛离地面的高度MN
6．解：由树形图可见共有4种可能，并且每种可
能出现的机会均等，而小红与小刚的获胜概率分别
为，由此可见游戏不公平，
要使的游戏公平，概率应相等或者得分相同，我们
可以修改为：两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢；若两枚硬币落地后都反面朝上时，小刚赢，（或者当两枚硬币正面都朝上时，小红得3分，否则小刚得1分）