双曲线重难点复习
一．知识点总结
双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）
1 a 半实轴长；b 半虚轴长；c 半焦距；a 、b 、c 之间满足c a b =+. e 叫做椭
圆的离心率，c
e a
=且1e >.e 越大，双曲线的张口就越大.
2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e =渐近线方程为y x =±
3.y y=0b a
x x y x a b
±=±焦点在轴上和在轴上的渐近线方程分别为和，容所以常把双曲线标准方程右边的常数写成，分解因式即得渐近易记错，
线方程。
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
122
ta 5n
2
.PF F S b θ= 焦点三角形的面积
2222
22222222
22226.1010x y x y a b a b x y x y b a b a
λλλλ-=-=≠-=-=≠与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）；
与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）.
1.已知F 为双曲线C ：
116
92
2=-y x 的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A （5,0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 44
2．已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>
的焦距为20x y +=垂直，则双曲线的方程为
A. 2214x y -=
B. 22
14y x -= C. 22331205x y -= D. 22331520
x y -= 【答案】A
【解析】由题可知2c =
，则c =．渐近线方程为12y x =
，则1
2
b a =．又2
2
2
c a b =+可得，2
2
4,1a b ==．
所以双曲线的方程为2
214
x y -=；故本题答案选A ．
视频
3．已知
O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2?y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 1
2
【答案】A
【解析】延长F 1H 交PF 2于点Q ，由角分线性质可知|PF 1|=|PQ |,根据双曲线的定义，||PF 1|?|PF 2||=2，从而|QF 2|=2，在ΔF 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |=1.故选A.
点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.
4.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2
＝16x 的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为( ) A ．．4 D ．8
5.设双曲线
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1
AF 的距离为11
3
OF ，则渐近线的斜率为
（A （B （C ）1或1-
（D ）
2或2
- D
6．已知双曲线x 2
－2
3
y ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则
1PA ·2PF
的最小值为________．
-2
7.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )
A.x 23－y 26＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 26－y 23＝1
D.x 25－y 24＝1 答案 B
解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，则有?
??
x 21a 2－y 21
b 2＝1，x 22a 2－y 22
b
2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得
y 1－y 2
x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 2
5a
2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B. 8与双曲线622=-y x
的左支交于不同的两点，（）
A ．()11-， C
【答案】C
试题分析：联立方程22
26
y kx x y =+??-=?得()2214100k x kx ---
=…① 若直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负
根
k 9．经过双曲线
4
?y 2=1右焦点的直线与双曲线交于A ,B 两点，若 AB =4，则这样的
直线的条数为（ ）
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条 【答案】B
【解析】由双曲线x 2
4?y 2=1，可得a =2,b =1，若AB 只与双曲线右支相交时，AB 的最小值距离是通径长度为
2b 2a
=1,∵AB =4>1,∴此时有两条直线符合条件；若AB 只与
双曲线两支相交时，此时AB 的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2a =4，距离无
最大值；∵AB =4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.
10．P 是双曲线C :x 2?y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ,F 2是双曲线C 的右焦点，则 PF 2 + PQ 的最小值为（ ） A.
22
B. 2
C. 3 2
D. 2+
22
【答案】C
【解析】
由题知|PF 2|?|PF 1|=2a =2 2，则|PF 2|+|PQ |=|PF 1|+|PQ |+2 2，由对称性，当F 1,P ,Q 在同一直线上时|PF 1|+|PQ |最小，由渐近线方程y =x ，|F 1O |=2知|F 1Q |= 2 则|PF 2|+|PQ |的最小值为3 2．故本题答案选C ．
11．点P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上的点，12,F F 是其焦点，双曲线的离心
率是5
4
，且12?0PF PF = ，若12F PF ?的面积是9，则a b +的值等于（） A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B
【解析】双曲线的离心率是53
44
c b a a ==?=，120PF PF ?=
1212
,PF PF PFF ∴⊥∴ 的面积12121
9182
S PF PF PF PF =?=∴?=，． 在12PF F 中，由勾股定理可得
222222*********||2?4369c PF PF PF PF PF PF a a b a =+=-+=+∴+=+（），，
34b a ∴=∴=，，7a b ∴+=，故选 C ．
12．若双曲线C :
x 2a
2?
y 2b 2
=1（a >0，b >0）的一条渐近线被圆 x ?2 2+y 2=4所截
得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 2 33
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线x 2a 2?
y 2
b 2
=1 a >0,b >0 的渐近线方程为bx ±ay =0，圆心 2,0 到渐近线距离为d = 2?12
= 3，则点 2,0 到直线bx +ay =0的距离为
d =22=
2b c
= 3，
即
4(c 2?a 2)
c =3，整理可得c 2=4a 2，双曲线的离心率e = c 2
a = 4=2．故选A ．
13．右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率
是（）
C. 2
D.
【答案】A
双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心 率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通 径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,
双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二章 2.3 双曲线
① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
双曲线基础知识练习题 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．双曲线22 1169 x y -=的焦点坐标为( ) A.( B.(0, ， C.(5,0)-， (5,0) D.(0,5)-，(0,5) 2. 双曲线的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ． 4 D ．4 2 3.双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 4.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 6.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（ ） A ．2 B ．18 C ．2或18 D ．16 7.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则实数=a （ ） A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 8.已知1F ，2F 为双曲线C ：222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则 =∠21cos PF F ( ) A ．14 B ．35 C ．54 D ．4 3 2228x y -=11 22 2=+++m y m x m )1,2(--),1()2,(+∞---∞ )1,1(-)2,3(--
9．椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n -=有公共焦点，则椭圆的离心率是( ) A B C D 10.设椭圆C 1的离心率为13 5，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.1342222=-y x B.15132222=-y x C.1432222=-y x D. 112132 2 22=-y x 11.已知双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.22 1520 x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.22 33110025 x y -= 12.直线(:l y k x =与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D. 1或-1或0 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.双曲线 －y 2＝1的顶点坐标是 14.已知P 是双曲线 上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2| 的值为________ 15.双曲线2212x y m m -=与椭圆22 1530 x y +=有共同的焦点，则m = 16.与双曲线x 2－ ＝1有共同渐近线且经过点(2, 2)的双曲线方程 三、解答题 17.求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点在x 轴上，实轴长是10，虚轴长是6 （2）焦点（-5,0），离心率是2
第二章 2.3 双曲线
① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向
右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一 条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ
双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+
双曲线知识点总结复习 1. 双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n - =>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点， 且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2. 双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心 率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通 径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________
双曲线知识点 知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且） 的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，， 对称性关于x轴、y轴和原点对称 顶点
轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率 渐近线方 程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线 根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
双曲线知识点总结班级姓名 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上， 双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得， 所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。 （5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线 围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，，
双曲线基础知识练习题 2 2 1 .双曲线L 16 9 1的焦点坐标为( ) D .4,2 2.5 x 5 2 2 6.设P 是双曲线 务 上 1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 3x 4y 0 , F 1, F 2分 a 9 别是双曲线的左、右焦点，若 PF 1 10，则 PF ? 等于( ) A . 2 B . 18 C .2 或 18 D .16 2 2 7.已知双曲线 笃 厶 1(a 0)的离心率为2，则实数a ( ) a 2 3 、选择题(本题共 12道小题，每小题5分，共 60分) A. (「7,0) ,("0) B. (0, . 7) ,(0,、,7) C. (5,0) , (5,0) D. (0, 5) ,(0,5) 2.双曲线2x 2 y 8的实轴长是( 3.双曲线 1的渐近线方程为( A . 2 A . y 4.如果方程 X 2 2 丄 1表示双曲线, m 1 则实数 m 的取值范围是( A. ( 2, 1) B. (,2) ( 1, C. (1,1) D. (3, 2) 5.动点P 到点 M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为 2，则点P 的轨迹是 A.双曲线 B .双曲线的一支 .两条射线 .一条射线
30 ~6~ 2 2 笃-与=1 （a> 0,b> 0）的一条渐近线平行于直线 a b ' 曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） 2 A.x_- 2 y =1 B. 2 x 2 1 = 1 5 20 20 5 C. 3 ^ - 3y 2 = 1 _ 3x 2 D. - 3y 2=1 25 100 100 25 12.直线l : y k x J ?与双曲线x 2 y 1仅有 '一个公共点， 则实数 k 的值为（） A . 1 B .-1 C. 1 或-1 D. 1 或-1或 0 、填空题（本题共 4道小题，每小题5分，共20分） A. 2 B. 、、 6 v C. >5 ~T D. 1 8.已知F 1, F 2为双曲线 C: x 2 2的左、 右焦点，点 P 在 C 上，PR 2PF 2，则 COS F 1PF 2 A . 1 4 9 ?椭圆 2m 2 2 y 2 n 1与双曲线 2 x 2 m 2 y 2n 2 1有公共焦点，则椭圆的离心率是 （ 5 13 ' 个焦点的距离的差的绝对值等于 10.设椭圆C 的离心率为 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C 2上的点到椭圆 8,则曲线 C 2的标准方程为（ 2 A 1 A. 42 2 y 32 D. 2 x 132 2 y 122 11.已知双曲线 l : y = 2x+ 10，双
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
双曲线方程知识点总结_公式总结 双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程 （分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为 如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。 重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点 坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
双曲线知识点总结及经典练习题 圆锥曲线（三）------双曲线 知识点一：双曲线定义 平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线?即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距. 1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解； 2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1 ^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若 |^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3?若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）； 若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二?冈珂|，则动点轨迹不存在； 5 ?若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1?当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中 /二F十沪. 2?当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中 r a—沖+护 注意：1 ?只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程； 2?在双曲线的两种标准方程中，都有''-； 3?双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为
正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线性质 1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质 一 f y (1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x, 或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=—a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
圆锥曲线（三）------双曲线 知识点一：双曲线定义 平面与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 注意： 1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件： ，这 可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支； 3. 若常数a 满足约束条件： ，则动点轨迹是以F 1、F 2为 端点的两条射线（包括端点）； 若常数a 满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ； 2．当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有 ； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为 正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， ；当 的系数为正时， 焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线性质
1、双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x， 或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线 （a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。 （3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点， 坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为 |A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： ②双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得 ，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线，所以离心率。 （4）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方 程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。
2019年高二数学双曲线知识点总结 双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积