双曲线知识点
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
1 双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （＜
|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 注
意：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.
(2).第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e
＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）. 222a c b -=，|1F 2F |=2c..
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项
的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
二．双曲线的内外部：
(1)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->.
(2)点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的外部2200221x y a b ?-<.
三．双曲线的简单几何性质
22
a x
－22
b
y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R;⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称;⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）; ⑷渐近线：
①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b
y a x x a b
y ±=
②若渐近线方程为x a b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b
y a x
③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ，焦点在x 轴上，
0<λ，焦点在y 轴上）
M 2
M 1
P
K 2K 1A 1A 2F 2
F 1o
y
x
④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22
22b
y a x )0(≠λ
⑤ 与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x
四．双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 与 )0,(122
22>=-b a b
x a y 的区别和联系
标准方程 )0,(122
22>=-b a b
y a x )0,(122
22>=-b a b
x a y
性质
焦点 )0,(),0,(c c -，
),0(),,0(c c -
焦距 c 2
范围 R y a x ∈≥,||
R x a y ∈≥,||
顶点 )0,(),0,(a a -
),0(),,0(a a -
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称
五.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的
横坐标，则()
2
222
12121211
41||
AB k x x k x x x x k a ?
=+-=++-=+，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则()2
1212122211114AB y y y y y y k k
=
+-=++-。
通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长a
b AB 2
2||=。
若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121k y y +-。
特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解，
例：直线1+=x y 与双曲线1322
2=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____________ 六、焦半径公式：双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）上有一动点00(,)M x y
当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+ 当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 注：焦半径公式是关于0x 的一次函数，具有单调性，当00(,)M x y 在左支端点时
1||MF c a =-，2||MF c a =+，当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+，2||MF c a =-
七、等轴双曲线：122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）当a b =时称双曲线为等轴双曲线；则：1. a b =；
2.离心率2=e ；
3.两渐近线互相垂直，分别为y=x ±；
4.等轴双曲线的方程λ=-22y x ，
0λ≠； 5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
八、共轭双曲线： 1.定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫
做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线． 2.方程; 3.性质：(1)共轭双曲线有共同的渐近线；(2) 共轭双曲线的四个焦点共圆．(3)它们的离心率的倒数的平方和等于1。
双曲线知识点扩充
1、 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2、 PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3、 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P
在左支）
5、 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6、 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切
点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7、 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一
点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2
F PF S b co γ
?=.
8、 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连
结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
9、 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
10、 AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的
中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即020
2y a x b K AB =。
11、 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方
程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
12、
1-22
2
2=b
y a x （a>0;b>0）的焦点为1F 与2F ，且p 为曲线上任意一点θ221=∠PF F 。则21F PF ?的面积θcot 2b S =，焦点三角形面积公式：)(,2
cot 2122
1
PF F b S PF F ∠==?θθ
考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义
1.设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24
2.如图2所示，F 为双曲线116
9:
2
2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，
则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27
题型2 求双曲线的标准方程
3.已知双曲线C 与双曲线162x －4
2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方
程．
4.已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程
为 ；
5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为
___________________.
6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为
A ．22
1(1)8y x x -=<- B ．22
1(1)8
y x x -=> C ．1822
=+y x （x > 0） D ．22
1(1)10
y x x -=> 考点2 双曲线的几何性质 题型1 与渐近线有关的问题
1.焦点为（0，6），且与双曲线
12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）
A ．124
12
2
2
=-
y x
B ．
124
122
2=-x y C ．
112
242
2=-x y D ．112
24
2
2
=-
y x
2. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线22
1916
x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-=
综合练习
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为(
)
3,0.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程
（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2?>
OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围
2．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。
（1）求a 的取值范围；（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；
（3）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线x y 2
1
=对称？若存在，
请求出a 的值；若不存在，说明理由。 3．(1)椭圆C:
12
22
2=+
b
y a x (a ＞b ＞0)上的点A(1,23)到两焦点的距离之和为4,
求椭圆的方程;
(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F 1是左焦点, 求线段F 1K 的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一
点, 当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么PN PM k k ?是与点P 位置无关的定值。试对双曲线
12
22
2=-
b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明。
4.已知两定点1(2,0),F -2(2,0),F 满足条件212PF PF -=
的点P 的轨迹是曲线E ，直线
ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。 （Ⅰ）求ｋ的取值范围；
（Ⅱ）如果63,AB = 且曲线E 上存在点C ，使,O A O B m O C += 求m ABC ?的值和的面积S 。
5.已知P 为双曲线)0(122
22>>=-b a b
y a x 的右支上一点()0>p y ，B A 、分别是椭圆
12
2
22=+b y a x 的长轴顶点，连接AP 交椭圆于D ，若ACD ?与PCD ?面积相等. （1）求直线PD 的斜率和直线CD 的倾斜角；
（2）当b
a
的值为多少时，直线CD 恰好过椭圆的右焦点？
双曲线基础知识练习题 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．双曲线22 1169 x y -=的焦点坐标为( ) A.( B.(0, ， C.(5,0)-， (5,0) D.(0,5)-，(0,5) 2. 双曲线的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ． 4 D ．4 2 3.双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ． D ． 4.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 6.设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是043=+y x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若101=PF ，则2PF 等于（ ） A ．2 B ．18 C ．2或18 D ．16 7.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则实数=a （ ） A. 2 B. 26 C. 2 5 D. 1 8.已知1F ，2F 为双曲线C ：222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则 =∠21cos PF F ( ) A ．14 B ．35 C ．54 D ．4 3 2228x y -=11 22 2=+++m y m x m )1,2(--),1()2,(+∞---∞ )1,1(-)2,3(--
9．椭圆222212x y m n +=与双曲线222212x y m n -=有公共焦点，则椭圆的离心率是( ) A B C D 10.设椭圆C 1的离心率为13 5，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( ) A.1342222=-y x B.15132222=-y x C.1432222=-y x D. 112132 2 22=-y x 11.已知双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.22 1520 x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.22 33110025 x y -= 12.直线(:l y k x =与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D. 1或-1或0 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.双曲线 －y 2＝1的顶点坐标是 14.已知P 是双曲线 上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2| 的值为________ 15.双曲线2212x y m m -=与椭圆22 1530 x y +=有共同的焦点，则m = 16.与双曲线x 2－ ＝1有共同渐近线且经过点(2, 2)的双曲线方程 三、解答题 17.求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1）焦点在x 轴上，实轴长是10，虚轴长是6 （2）焦点（-5,0），离心率是2
: 双曲线基础训练题（一） 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- 8．双曲线方程为 152||2 2=-+-k y k x ，那么k 的取值范围是 （ D ） A ．k ＞5 B ．2＜k ＜5 C ．－2＜k ＜2 D ．－2＜k ＜2或k ＞5 9．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是 （ D ） A ．x 2 －4y 2 =1 B ．x 2 －4y 2 ＝1 C ．4x 2 －y 2 =－1 D ．4x 2 －y 2 =1 10．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF （C ） A ．1或5 B ． 6 C ． 7 D ． 9 11．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线 的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ） A ． 4 3 B ． 5 3 C ．2 D ． 73 — 12．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线122 22=-b y a x (a>0, b>0)的一 个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ） A ． c a B ． c b C ． e a D ． e b 13．双曲线)1(122 >=-n y n x 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ） 双曲线基础练习 、选择题: 1 .已知a 3, c 5，并且焦点在X轴一上，则双曲线的标准程是（) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A) x y 1 ( B) x y 1 (C) x y 1 (D)x y 1 9 16 9 16 9 16 16 9 2 .已知b 4,c 5,并且焦点在y轴 上， 则双曲线的标准方程是（) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A) X y 1 (B) X y 1 (C) x y 1 (D)x y 1 16 9 16 9 9 16 9 16 2 2 3.. 双曲线 —J 1上P点到左焦点的距离是6,则P到右焦点的距离是（）16 9 （A）12 （B）14 （C）16 （D）18 2 2 4.. 双曲线—y 1的焦点坐标是（） 16 9 （A）（5, 0）和（-5 , 0）（B）（0, 5）和（0,-5 ） (C) (0, 5)和(5, 0) (D) (0, -5 )和(-5 , 0) 5、方程J(x 5)2y2V(x 5)2 2 y 6化简得：（) 2 2 2 2 2 2 2 2 (A)—y 1 (B)x y 1 (C)—y 1 (D) x y 1 9 16 16 9 9 16 16 9 6.已知实轴长是6,焦距疋10的双曲线的标准方程是（ 是（) (A) . x 2y2 1和 2 x 匸1 2 2 (B) x y1和x2匸1 9 16 9 16 9 16 16 9 2 2 2 2 2 2 2 2 (C)—y 1和x y 1 (D) x y 1 和x y 1 16 9 16 9 25 16 16 25 7.过点A (1,0)和 B B;2,1）的双曲线标准方程（) (A) x22y2 1 (B) 2 2 x y 1 (C) x2y2 1 (D x2 2y2 1 2 2 8. P为双曲线—y 1上一点，A、B为双曲线的左、右焦点，且AP PB，贝V PAB的 16 9 双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+ 双曲线基础知识练习题 2 2 1 .双曲线L 16 9 1的焦点坐标为( ) D .4,2 2.5 x 5 2 2 6.设P 是双曲线 务 上 1上一点，该双曲线的一条渐近线方程是 3x 4y 0 , F 1, F 2分 a 9 别是双曲线的左、右焦点，若 PF 1 10，则 PF ? 等于( ) A . 2 B . 18 C .2 或 18 D .16 2 2 7.已知双曲线 笃 厶 1(a 0)的离心率为2，则实数a ( ) a 2 3 、选择题(本题共 12道小题，每小题5分，共 60分) A. (「7,0) ,("0) B. (0, . 7) ,(0,、,7) C. (5,0) , (5,0) D. (0, 5) ,(0,5) 2.双曲线2x 2 y 8的实轴长是( 3.双曲线 1的渐近线方程为( A . 2 A . y 4.如果方程 X 2 2 丄 1表示双曲线, m 1 则实数 m 的取值范围是( A. ( 2, 1) B. (,2) ( 1, C. (1,1) D. (3, 2) 5.动点P 到点 M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为 2，则点P 的轨迹是 A.双曲线 B .双曲线的一支 .两条射线 .一条射线 30 ~6~ 2 2 笃-与=1 （a> 0,b> 0）的一条渐近线平行于直线 a b ' 曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） 2 A.x_- 2 y =1 B. 2 x 2 1 = 1 5 20 20 5 C. 3 ^ - 3y 2 = 1 _ 3x 2 D. - 3y 2=1 25 100 100 25 12.直线l : y k x J ?与双曲线x 2 y 1仅有 '一个公共点， 则实数 k 的值为（） A . 1 B .-1 C. 1 或-1 D. 1 或-1或 0 、填空题（本题共 4道小题，每小题5分，共20分） A. 2 B. 、、 6 v C. >5 ~T D. 1 8.已知F 1, F 2为双曲线 C: x 2 2的左、 右焦点，点 P 在 C 上，PR 2PF 2，则 COS F 1PF 2 A . 1 4 9 ?椭圆 2m 2 2 y 2 n 1与双曲线 2 x 2 m 2 y 2n 2 1有公共焦点，则椭圆的离心率是 （ 5 13 ' 个焦点的距离的差的绝对值等于 10.设椭圆C 的离心率为 焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C 2上的点到椭圆 8,则曲线 C 2的标准方程为（ 2 A 1 A. 42 2 y 32 D. 2 x 132 2 y 122 11.已知双曲线 l : y = 2x+ 10，双 x y o x y o x y o x y o 高二数学双曲线同步练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1- &下列双曲线既有相同离心率，又有相同渐近线的是（ ) 《双曲线的方程》练习 一、选择题: 1、已知动点P 到F i （-5,0）的距离与它到F 2（5,0）的距离的差等于 2 x 2 y =1 A . 9 16 2 2 C . x y = 1(x _ -3) 9 16 16 2 2 D . 1r1r 1(x -3) 2、设 j ,则方程x 2cosv y 2 sinv -1表示的曲线是（ ） 12丿 3、双曲线x 2 -y 2 = 1上一点，它与两焦点连线互相垂直，则该点的坐标是（ (屈 伍、 A . ---- , ------ 12 2 2 4、两条直线X 二 —把双曲线焦点间的距离三等分，则双曲线的离心率是（ ） C 5、方程 Ax 2 By 2 C =0( A 0,B ：： 0, C ::: 0)表示() B .焦点在x 轴上的双曲线 4 5 4 5 A . B .-- C . -— D.- 5 4 5 4 7、渐近线为 --y -0的双曲线方程- .宀曰 / 定是（ ) a b c .焦点在y 轴上的双曲线 D .椭圆 2 2 6、双曲线- —=1的两条渐近线夹的锐角的正切值是（ ） 16 25 2 2 x 2 a 2 y_ b 2 -1 2 y_ b 2 --1 C . 2 2 x_ y (ak)2 (bk)2 = 1(k =0) 2 x D .兀 a k 6,则点P 的轨迹方程是（ A ?椭圆 B .圆 C .抛物线 D .双曲线 2.3 B. ■■ 3 C . 2.3 2 A .两条直线 C . D . 双曲线知识点总结及经典练习题 圆锥曲线（三）------双曲线 知识点一：双曲线定义 平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线?即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距. 1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解； 2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1 ^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若 |^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3?若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）； 若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二?冈珂|，则动点轨迹不存在； 5 ?若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1?当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中 /二F十沪. 2?当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中 r a—沖+护 注意：1 ?只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程； 2?在双曲线的两种标准方程中，都有''-； 3?双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为 正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线性质 1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质 一 f y (1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x, 或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 (2)范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=—a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x 双曲线及其标准方程 编稿：张林娟 责编：孙永钊 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图像和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数= 1212 PF PF F F -<，这可以 借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112 PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212 PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212 PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数= 12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程 1． 双曲线的标准方程 2． 标准方程的推导 如何建立双曲线的方程根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 双曲线练习题 1、双曲线的定义 1．设12F F ，是双曲线C ：22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左右焦点，点P 是C 右支 上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值b C ．定值c D ．不确定，随P 点位置变化而变化 2．设双曲线 22 214x y b -=的左右焦点分别为12F F ，，过2F 的直线与该双曲线右支交于点A 、B ，且6AB =，则1ABF ?的周长为（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 3．过双曲线2 2 115 y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22 PM PN -的最小值为 A ．16 B ．15 C ．14 D ．13 4．如图，双曲线2 214 y x -=的左、右焦点分别是12F F ，，P 是双曲线右支上一点，1PF 与圆221 x y +=相切于点,T M 是1PF 的中点，则MO MT -= （ ） A ．1 B ．2 C ． 12 D ．32 5．已知双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是其 上一点，双曲线的离心率是2，若△F 1PF 2是直角三角形且面积为3，则双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．2 C ．2或2 D ．1或 22 6．已知双曲线C:2 2 13 y x -=的左焦点为1F ，顶点，是双曲线右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________. 7．设Ｐ是双曲线 22 1927 x y -=上一点, 12F F ，分别是左右焦点,若17PF =,则2PF =________ 8．在△ABC 中，4BC =，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且22BD CD -=，则顶点A 的轨迹方程为________． 9．设12F F ，分别为双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点.若在双曲线 左支上存在点Ｐ，满足1PF =12F F ，且1F 到直线2PF 7a ，则该双曲线的离心率e =__________． 圆锥曲线与方程（双曲线练习题） 一、选择题 1.已知方程22 121 x y k k +=--的图象是双曲线，那么 的取值范围是（ ） A . B . C . D . 2.双曲线22 221(00)x y a b a b ->>＝，的左、右焦点分别为12F ,F ,P 是双曲线上一点，满足212|PF F F |=，直线1PF 与 圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A. 54 B.53 3.过双曲线22 12 y x -=的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（ ） A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 4.等轴双曲线222:C x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A,B 两点，AB ＝C 的实轴长等于（ ） 5.已知双曲线x y m 2219-=的一条渐近线的方程为y =，则双曲线的焦点到直线的距离为( ) A ．2 B . C . D . 6.若直线过点(3,0)与双曲线2 2 4936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 7.方程22 1()23 x y k k k -∈-+R ＝表示双曲线的充要条件是（ ） A.2k >或3k <- B.3k <- C.2k > D.32k -<< 二、填空题 8.过原点的直线，如果它与双曲线22 134 y x -=相交，则直线的斜率的取值范围是 . 9.设为双曲线2 214 x y -=上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是 ． 10.过双曲线 22 22 1(,0)x y a b a b -=>的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点， 以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 11.已知双曲线22221(00)x y a ,b a b -=>>的渐近线与圆22 420x y x +-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值 范围是 ． 三、解答题（本题共3小题，共41分） 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程： 圆锥曲线（三）------双曲线 知识点一：双曲线定义 平面与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 注意： 1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件： ，这 可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支； 3. 若常数a 满足约束条件： ，则动点轨迹是以F 1、F 2为 端点的两条射线（包括端点）； 若常数a 满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数0a =，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ； 2．当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有 ； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为 正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， ；当 的系数为正时， 焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线性质 1、双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x， 或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线 （a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。 （3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点， 坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为 |A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： ②双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得 ，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线，所以离心率。 （4）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方 程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。 双曲线 平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +， 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 16 5 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 双曲线相关知识 双曲线的焦半径公式： 1:定义:双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程ｘ^2／a^２-y ＾２/b^2=1 点P(ｘ，y)在左支上 │PF1│=-(ｅx+ａ） ；│ＰＦ2│=－(ex －a) 点P(x,y ）在右支上 │PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-ａ 运用双曲线的定义 例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线,则角α所在象限是( ) A 、第一象限 Ｂ、第二象限 C 、第三象限 Ｄ、第四象限 练习1．设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15,则P 点到)0,5(-的距离是( ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23 例2． 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2 ＋32 y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准 线分别通过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是( ）。 (A)6x 2-4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=１ （D ）3x 2 －5 y 2=1 练习2． 离心率ｅ=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的( )。 (A)充分条件 （B ）必要条件 (C ）充要条件 (D)不充分不必要条件 例３． 已知｜θ｜< 2 π ,直线ｙ＝－tg θ(ｘ－1)和双曲线y 2ｃo ｓ２θ－ｘ２ ＝1有且仅有一个公共点,则θ等于（ )。 (A)±6π (Ｂ）±4π （C ）±3π (D ）±12 5π 课堂练习 1、已知双曲线的渐近线方程是2 x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线 的方程为 ; 2、焦点为（0,６）,且与双曲线12 22 =-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ） ?A.124 122 2=-y x B ． 124 122 2=-x y Ｃ． 112 242 2=-x y D. 112242 2=-y x 3. 设e 1, e ２分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a y b x 22 22=-的离心率，则e １2+e 22与e 12·e 2 ２ 的大小关系是 。 ４.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2 221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双 曲线右支上的任意一点，则OP FP ?的取值范围为 ( ) A ．)+∞ B ．[3)++∞ C ．7[-,)4+∞ Ｄ．7 [,)4+∞ 5． 已知倾斜角为 4 π 的直线l 被双曲线x 2-4ｙ2=６0截得的弦长｜ＡB ｜＝82,求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。 6. 已知P 是曲线xy=１上的任意一点，F （2，2)为一定点,l ：ｘ+y －2=0为一定直线,求证:｜PF ｜与点Ｐ到直线l 的距离d 之比等于2。 7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0,右顶点为 ) ． 双曲线 【考纲要求】 1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程； 2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； 3.掌握双曲线的简单应用； 4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：双曲线及其性质404777 知识要点】 考点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长2a （21212F F a PF PF <=-）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 要点诠释： （1）双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； （2）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则此时的曲线是双曲线的靠2F 的一支； （3）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则此时的曲线是两条射线； （4）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则此时的曲线不存在. 考点二、双曲线的标准方程 （1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222 c a b =+； （2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b -=(0,0)a b >>，其中222 c a b =+. 要点诠释： （1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准双曲线 数形结合思想 标准方程及简单性质 双曲线的实际背景及定义 双曲线基础练习题 1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ） A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 19 16.2 2=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116 92 2=-y x 3．双曲线19 162 2=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4．双曲线19 162 2=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5．方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得： A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 19 162 2=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ） A ． 116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和19 162 2=+-y x C. 191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和125 162 2=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ） A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 122 2=+-y x 8．P 为双曲线19 162 2=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 36 9．双曲线19 162 2=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0） 10．已知双曲线21 ==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ） A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x双曲线基础练习题特别
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