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函数自变量取值范围的确定方法

函数自变量取值范围的确定方法
函数自变量取值范围的确定方法

函数自变量取值范围的确定策略

金山初级中学 庄士忠 201508

函数是初中数学一个十分重要的内容,为保证函数式有意义或实际问题有意义,函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制,这就是函数自变量的取值范围。函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件,初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为三种类型:(1)函数关系式中函数自变量的取值范围;(2)实际问题中函数自变量的取值范围;(3)几何问题中函数自变量的取值范围。

一、 函数关系式中函数自变量的取值范围:

初中阶段,在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况:(1)函数关系式为整式形式:自变量取值范围为任意实数;(2)函数关系式为分式形式:分母≠0;

(3)函数关系式含算术平方根:被开方数≥0;(4)函数关系式含0指数:底数≠0。 典型例题:

例1:函数y=x 1-的自变量x 的取值范围在数轴上可表示为【 】

A .

B .

C .

D .

【分析】根据二次根式有意义的条件,计算出y=x 1-的取值范围,再在数轴上表示即可,不等式的解集在数轴上表示的方法:>,≥向右画;<,≤向左画,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示。根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使y=x 1-在实数范围内有意义,必须x 10-≥ x 1?≥。故在数轴上表示为:

。故选D 。

例2:函数y =1x 2

- 中自变量x 取值范围是【 】A .x =2 B .x ≠2 C .x >2 D .x <2 【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据分式分母不为0的条件,要使1x 2

-在实数范围内有意义,必须x 20x 2-≠?≠。故选B 。 例3:函数x+2x 的取值范围是【 】A .x >﹣2 B .x ≥2 C .x ≠﹣2 D .x ≥﹣2 【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件,要使x+2在实数范围内有意义,必须

x+20x 2x >2x+20x 2≥≥-????-??≠≠-??

。故选A 。 例4:函数1y x x

=

+的图像在【 】象限 A .第一 B .第一、三 C .第二D .第二、四 【分析】∵函数1y x x =+的定义域为0x >,∴0y >,∴根据面直角坐标系中各象限点的特征知图像在第一象限,故选A 。

二、实际问题中函数自变量的取值范围:在实际问题中确定自变量的取值范围,主要考虑两个因素:(1)自变量自身表示的意义,如时间、路程、用油量等不能为负数;(2)问题中的限制条件,此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围。

典型例题:

例1:某工厂生产一种产品,当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,每吨的成本y (万元/吨)与生产数量x (吨)的函数关系式如图所示.(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(2)当生产这种产品的总成本为280万元时,求该产品的生产数量. (注:总成本=每吨的成本×生产数量)

【分析】(1)利用待定系数法求出一次函数解析式即可,

根据当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,得出x 的定义域。(2)根据总成本=每吨的成本×生产数量,利用(1)中所求得出即可。

【答案】解:(1)利用图象设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ,

将(10,10)(50,6)代入解析式得:10k+b=1050k+b=6???,解得:1k=10b=11

?-????。 ∴y 关于x 的函数解析式为y =110

-

x +11(10≤x ≤50)。 (2)当生产这种产品的总成本为280万元时,x (110-x +11)=280,解得:x 1=40,x 2=70(不合题意舍去)。∴该产品的生产数量为40吨。

例2:某私营服装厂根据2011年市场分析,决定2012年调整服装制作方案,准备每周(按

120工时计算)制作西服、休闲服、衬衣共360件,且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表:

设每周制作西服x 件,休闲服y 件,衬衣z 件。

(1) 请你分别从件数和工时数两个方面用含有x ,y 的代数式表示衬衣的件数z 。

(2) 求y 与x 之间的函数关系式。 (3) 每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时,才能使总收入最高?最高总收入是多少?

【分析】(1)题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x ,y 的关系式表示z 。

(2)由(1)整理得:y =360-3x 。

(3)由题意得s =3x +2y +z ,化为一个自变量,得到关于x 的一次函数。由题意得2x 60x 0

3603x 0≥??≥??-≥?

,解得30≤x ≤120,从而根据一次函数的性质作答。 【答案】解:(1)从件数方面:z =360-x -y , 从工时数方面:由

12x +13y +14z =120整理得:z =480-2x -43y 。(2)由(1)得360-x -y =480-2x -43

y ,整理得:y =360-3x 。 (3)由题意得总收入s =3x +2y +z =3x +2(360-3x )+2x =-x +720

由题意得2x 60x 03603x 0≥??≥??-≥?

,解得30≤x ≤120。

由一次函数的性质可知,当x =30的时候,s 最大,即当每周生产西服

30件,休闲服270件,衬衣60件时,总收入最高,最高总收入是690百元。

例3:某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400 元,销售单价定为3000 元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时,每件按3000 元销售;若一次购买该种产品超过10 件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10 元,但销售单价均不低于2600 元.(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600 元?

(2)设商家一次购买这种产品x 件,开发公司所获的利润为y 元,求y (元)与x (件)之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.

(3)该公司的销售人员发现:当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,

公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)

【分析】(1)设件数为x ,则销售单价为3000-10(x -10)元,根据销售单价恰好为2600元,列方程求解。(2)由利润y =销售单价×件数,及销售单价均不低于2600元,按0≤x ≤10,10<x ≤50,x >50三种情况列出函数关系式。

(3)由(2)的函数关系式,利用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x 的值,确定销售单价。

【答案】解:(1)设件数为x ,依题意,得3000-10(x -10)=2600,解得x =50。

答:商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元。

(2)当0≤x ≤10时,y =(3000-2400)x =600x ;

当10<x ≤50时,y =[3000-10(x -10)-2400]x ,即y =-10x 2+700x ;

当x >50时,y =(2600-2400)x =200x 。

∴2600x(0x 10x )y 10x 700x(10x 50x )200x(x 50x )<>≤≤??=-+≤???

,且整,且整,且整为数为数为数。

(3)由y =-10x 2+700x 可知抛物线开口向下,当()

700x 35210=-=?-时,利润y 有最大值,此时,销售单价为3000-10(x -10)=2750元,答:公司应将最低销售单价调整为2750元。

例4:某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件。如果每件商品

的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)。设每件商品的售价上涨x 元(x 为整数),每个月的销售利润为y 元,

(1)求y 与x 的函数关系式,并直接写出x 的取值范围;

(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大月利润是多少元?

【分析】(1)根据题意,得出每件商品的利润以及商品总的销量,即可得出y 与x 的函数

关系式。(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式(或用公式法),从而得出当x =5时得出y 的最大值。

【答案】解:(1)设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数),则每件商品的利润为:(60

-50+x )元,总销量为:(200-10x )件,

商品利润为:y =(60-50+x )(200-10x )=-10x 2+100x +2000。

∵原售价为每件60元,每件售价不能高于72元,∴0<x ≤12。

(2)∵y =-10x 2+100x +2000=-10(x -5)2+2250,

∴当x =5时,最大月利润y =2250。

答:每件商品的售价定为5元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2250元。

例5:市某生态示范村种植基地计划用90亩~120亩的土地种植一批葡萄,原计划总产量要达到36万斤.(1)列出原计划种植亩数y (亩)与平均每亩产量x (万斤)之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)为了满足市场需求,现决定改良葡萄品种.改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍,总产量比原计划增加了9万斤,种植亩数减少了20亩,原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤?

【分析】(1)直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可。

(2)根据题意列出3636920x 1.5x

+-=后求解即可。 【答案】解:(1)由题意知:xy =36,∴36y x =(32x 105≤≤)。 (2)根据题意得:3636920x 1.5x

+-=,解得:x =0.3。 经检验:x =0.3是原方程的根。1.5x =0.45。

答:改良前亩产0.3万斤,改良后亩产0.45万斤。

例6、小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分,然后以每份1元卖给读者,报纸卖不完,当天可退回报社,但报社只按每份0.2元退给小丁,如果小丁平均每天卖出报纸x 份,纯收入为y 元.(1)求y 与x 之间的函数关系式(要求写出自变量x 的取值范围);

(2)如果每月以30天计算,小丁每天至少要买多少份报纸才能保证月收入不低于2000元?

【分析】(1)因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份,然后以每份1元卖给读者,报纸卖不完,当天可退回报社,但报社只按每份0.2元退给小丁,所以如果小丁平均每天卖出报纸x 份,纯收入为y 元,则y =(1﹣0.5)x ﹣(0.5﹣0.2)(200﹣x )即y =0.8x ﹣60,其中0≤x ≤200且x 为整数。(2)因为每月以30天计,根据题意可得30(0.8x ﹣60)≥2000,解之求解即可。

【答案】解:(1)y =(1﹣0.5)x ﹣(0.5﹣0.2)(200﹣x )=0.8x ﹣60(0≤x ≤200)。

(2)根据题意得:30(0.8x ﹣60)≥2000,解得x ≥11383

∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元。

三、几何问题中函数自变量的取值范围:几何问题中的函数关系式,除使函数式有意义外,还需考虑几何图形的构成条件及运动范围,如在三角形中“两边之和大于第三边”。 典型例题:

例1:将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段.并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为1r 和2r .(1)求1r 与2r 的关系式,并写出1r 的取值范围; (2)将两圆的面积和S 表示成1r 的函数关系式,求S 的最小值.

【分析】(1)由圆的周长公式表示出半径分别为r 1和r 2的圆的周长,再根据这两个圆周长之和等于16π厘米列出关系式即可。(2)先由(1)可得r 2=8﹣r 1,再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S 表示成r 1的函数关系式,然后根据函数的性质即可求出S 的最小值。

【答案】解:(1)由题意,有2πr 1+2πr 2=16π,则r 1+r 2=8。∵r 1>0,r 2>0,∴0<r 1<8。

∴r 1与r 2的关系式为r 1+r 2=8,r 1的取值范围是0<r 1<8厘米。

(2)∵r 1+r 2=8,∴r 2=8﹣r 1。

∵()()2222221211111S r +r =r +8r =2r 16r +64=2r 4+32πππππππππ=---,

∴当r 1=4厘米时,S 有最小值32π平方厘米。

例2:如图,在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A .B .C .D 四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E 、F 在AB 边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE =BF =x (cm ).(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V ;(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S 最大,试问x 应取何值?

【分析】(1)根据已知得出这个正方体的底面边长a 2x ,EF 2a =2x ,再利用AB =24cm ,求出x 即可得出这个包装盒的体积V 。(2)利用已知表示出包装盒的表面,从而利用函数最值求出即可。

【答案】解:(1)根据题意,正方体的底面边长a=2x,EF

=2a

=2x

,∴x+2x+x=24,解得:x=6。则a=62,∴V=a3=(62)3=4322(cm3);

(2)设包装盒的底面边长为acm,高为hcm,则a=2x,

()

h212x

2

==-,∴S=4ah+a2=

()()()

22

2

42x212x2x6x96x=6x8238

?-+=-+--+。

∵0<x<12,∴当x=8时,S取得最大值384cm2。

例3:(2012上海市)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.

(1)当BC=1时,求线段OD的长;(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;

(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.

【答案】解:(1)∵点O是圆心,OD⊥BC,BC=1,

∴BD=1

2

BC =

1

2

。又∵OB=2,

2

222

115

OD=OB BD2

2

??

-=-=

?

??

(2)存在,DE是不变的。如图,连接AB,则22

AB=OB+OA22

=。

∵D和E是中点,∴DE=

1

AB=2

2

(3)∵BD=x,∴2

OD4x

=-。∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠AOB=900。

∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE,垂足为点F。∴DF=OF=

2

4x

2

-

由△BOD∽△EDF,得

BD OD

=

EF DF

,即

2

2

x4x

=

EF4x

2

-

-

,解得EF=

2

x。∴OE=

2

x+4x

2

-

∴2222

114x x+4x4x+x4x

y DF OE=0x2

2222

<<

----

=?=??()。

例4:如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,2)、D(0,3),射线l过点D且与x 轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°.

(1)①点B的坐标是;②∠CAO= 度;③当点Q与点A重合时,点P的坐标为;(直接写出答案)(2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,使△AMN为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的横坐标为m;若不存在,请说明理由.(3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S 与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.

【分析】(1)①由四边形OABC是矩形,根据矩形的性质,即可求得点B的坐标:∵四边形OABC是矩形,∴AB=OC,OA=BC,

∵A (6,0)、C (0,23),∴点B 的坐标为:(6,23)。 ②由正切函数,即可求得∠CAO 的度数: ∵OC 233tan CAO ==OA 63

∠=,∴∠CAO =30°。 ③由三角函数的性质,即可求得点P 的坐标;如图:当点Q 与点A

重合时,过点P 作PE ⊥OA 于E ,∵∠PQO =60°,D (0,33),∴PE =33。 ∴0PE

AE 3tan 60==。∴OE =OA ﹣AE =6﹣3=3,∴点P 的坐标为(3,33)

。 (2)分别从MN =AN ,AM =AN 与AM =MN 去分析求解即可求得答案:

情况①:MN =AN =3,则∠AMN =∠MAN =30°,

∴∠MNO =60°。

∵∠PQO =60°,即∠MQO =60°,∴点N 与Q 重合。

∴点P 与D 重合。∴此时m =0。

情况②,如图AM =AN ,作MJ ⊥x 轴、PI ⊥x 轴。

MJ =MQ ?sin 60°=AQ ?sin 600

3OA IQ OI sin603m 2=--??=

-()() 又113MJ AM=AN=222

=, ∴333m 22

-()=,解得:m =3﹣3。 情况③AM =NM ,此时M 的横坐标是4.5,

过点P 作PK ⊥OA 于K ,过点M 作MG ⊥OA 于G ,

∴MG =32。∴00PK 33MG 1QK 3GQ 2tan 603tan 60=====,。 ∴KG =3﹣0.5=2.5,AG = 12

AN =1.5。∴OK =2。∴m =2。 综上所述,点P 的横坐标为m =0或m =3﹣3或m =2。

(3)分别从当0≤x ≤3时,当3<x ≤5时,当5<x ≤9时,当x >9

时去分析求解即可求得答案。

【答案】解:(1)①(6,23)。 ②30。③(3,33)。

(2)存在。m =0或m =3﹣3或m =2。 (3)当0≤x ≤3时,如图1,OI =x ,IQ =PI ?tan 60°=3,OQ =OI +IQ =3+x ;由题意可知直线l ∥BC ∥OA ,可得

EF PE DC 31==OQ PO DO 333==,∴EF =13

(3+x ),此时重叠部分是梯形,其面积为: EFQO 14343S S EF OQ OC 3x x 432==+?=++梯形()()= 当3<x ≤5时,如图2,

()HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333x 43x 3x x ?=-=-??=+---+- =梯形梯形。 当5<x ≤9时,如图3,

12S BE OA OC 312x 2323=x 123=+?=--+ ()()。 当x >9时,如图4,

11183543S OA AH 6=22=?=??。 综上所述,S 与x 的函数关系式为:

()()()()243x 430x 331333x x 3x 5S 23x 1235x 9543x 9<<>?+≤≤???-+-≤??=??-+≤????。 例5:如图,抛物线213y=x x 922

--与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,连接BC 、AC .(1)求AB 和OC 的长;(2)点E 从点A 出发,沿x 轴向点B 运动(点E 与点A 、B 不重合),过点E 作直线l 平行BC ,交AC 于点D .设AE 的长为m ,△ADE 的面积为s ,求s 关于m 的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;

(3)在(2)的条件下,连接CE ,求△CDE 面积的最大值;此时,求出以点E 为圆心,与BC 相切的圆的面积(结果保留π).

【分析】(1)已知抛物线的解析式,当x =0,可确定C 点坐标;当y =0时,可确定A 、B 点的坐标,从而确定AB 、OC 的长。(2)直线l ∥BC ,可得出△AED ∽△ABC ,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s 、m 的函数关系式;根据题目条件:点E 与点A 、B 不重合,可确定m 的取值范围。 (3)①首先用m 列出△AEC 的面积表达式,△AEC 、△AED 的面积差即为△CDE 的面积,由此可得关于S △CDE 关于m 的函数关系式,根据函数的性质可得到S △CDE 的最大面积以及此时m 的值。

②过E 做BC 的垂线EF ,这个垂线段的长即为与BC 相切的⊙E 的半径,可根据相似三角形△BEF 、△BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值,由此得解。

【答案】解:(1)在213y=x x 922--中,令x =0,得y =-9,∴C (0,﹣9); 令y =0,即213x x 9=022--,解得:x 1=﹣3,x 2=6,∴A (﹣3,0)、B (6,0)。∴AB =9,OC =9。

(2)∵ED ∥BC ,∴△AED ∽△ABC ,

∴2AED ABC S AE S AB ????= ???,即:2s m 19992

??= ?????。∴s =12m 2(0<m <9)。 (3)∵S △AEC =12AE ?OC =92m ,S △AED =s =12

m 2, ∴S △EDC =S △AEC ﹣S △AED

=﹣

12m 2+92m =﹣12(m ﹣92)2+818

。 ∴△CDE 的最大面积为818,此时,AE =m =92,BE =AB ﹣AE =92。 又22BC 6+9=313=,

过E 作EF ⊥BC 于F ,则Rt △BEF ∽Rt △BCO ,得:EF BE OC BC =,即:9

EF 29313=。∴27EF 1326=。∴以E 点为圆心,与BC 相切的圆的面积 E =π?EF 2=72952π。 例6、如图,在Y OABC 中,点A 在x 轴上,∠AOC =60o ,OC =4cm .OA =8cm .动点P 从点

O 出发,以1cm /s 的速度沿线段OA →AB 运动;动点Q 同时..

从点O 出发,以acm /s 的速度沿线段OC →CB 运动,其中一点先到达终点B 时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1)填空:点C 的坐标是(______,______),对角线OB 的长度是_______cm ;(2)当a =1时,设△OPQ 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并直接写出当t 为何值时,S 的值最大?

(3)当点P 在OA 边上,点Q 在CB 边上时,线段PQ 与对角线OB 交于点M .若以O 、M 、P 为顶点的三角形与△OAB 相似,求a 与t 的函数关系式,并直接写出t 的取值范围.

【答案】解:(1)C (2,3),OB 7cm 。

(2)①当0

则QD 3t 。 ∴S =12

OP ·QD 3t 2。 ②当4

12DP ·QE 3。 ③当8

易证△PBQ 与△PAF 均为等边三角形,

∴OF =OA +AP =t ,AP =t -8。∴PH 3(t -8)。 ∴OQF OPF S S S ??=-=12t ·3-12t ·3(t -8) =3t 23t 。

综上所述, ()()()223t 0t 4S 3t 4t 83t 33t 8t 12?<≤???=<≤??-+<

∴CQ =OP 。

∴at -4=t ,即a =1+4t

。 t 的取值范围是0

则OP OM OB OA =, 即OM 847

=。∴OM =27t 。 又∵QB ∥OP ,∴△BQM ~△OPM 。

∴QB BM OP OM =,即274712at 7t 27t --=。 整理得t -at =2,即a =1-

2t

,t 的取值范围是6≤t ≤8。 综上所述:a =1+4t (0

则在Rt △COM 中,由∠AOC =60o ,OC =4,应用锐角三角

函数定义,可求得OM =2,CM =23,∴ C (2,23)。由CMNB 是矩形

和OA =8得BM =23,ON =10,在Rt △OBN 中,由勾股定理,得OB =47。

(2)分0

2021年八年级数学 自变量的取值范围教案

2019-2020年八年级数学自变量的取值范围教案 知识点: 求函数自变量取值范围的两个依据: (1)要使函数的解析式有意义。 ①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0;③函数的解析式是开方式时,自变量的取值应使被开方数≥0。(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义。 例1 求下列函数中自变量x的取值范围: (1)y=-2x-5x2; (3) y=x(x+3); (3); (4). 例2分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围: (1)某市民用电费标准为每度0.50元,求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式; (2)已知等腰三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函

数关系式; (3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2),求S关于r的函数关系式. (4)一个正方形的边长为3 cm,它的各边长减少x cm后,得到的新正方形周长为y cm.求y 和x间的关系式; (5)寄一封重量在20克以内的市内平信,需邮资0.60元,求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式; (6)矩形的周长为12 cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积. 例3已知A、B两地相距30千米,B、C两地相距48千米.某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地到达C地.设此人骑行时间为x(时),离B地距离为y(千米).

如何求实际问题中自变量取值范围

如何求实际问题中自变量取值范围 一般地求实际问题中的自变量取值范围,可以从静止和运动变化的角度去考虑,下面举例说明. 一、用静止的观点求自变量的取值范围. 由于学生认识能力有限,运动的变化观念和意识尚不成熟,他们往往习惯于用静止的观点看问题.学生在求自变量取值范围时,一般喜欢用静止的观点来求.从静止的角度考虑这个问题一般遵循以下原则: 1.尊重事实.现实世界,“人数”“字数”等均用零和自然数表达,线段的长度,时间均为非负数,这些都是不可违背的事实. 例1设电报费标准是每字0.14元,电报纸每张0.20元,写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系及x的取值范围. 解:y=0.14x+0.20,x取正整数. 例2矩形周长20,一边长x,面积为y,试写出y与x关系及x取值范围. 解:y=10x-x2,一边长为x,另一边长为10-x,由于边长不能为负,则x>0,10-x>0,∴0<x<10. 2.遵循定律公理等. 例3等腰梯形腰长和底长均为x,下底长y,其周长为20,写出y与x之间函数关系及x的取值范围. 解:y=20-3x,根据两点间距离线段最短,有:x+x+x>y, 例4等腰三角形腰长x,底边长y,周长30,写出y与x的函数关系及自变量的取值范围. 解:y=30-2x,因三角形两边之和大于第三边,∴x+x>y,

3.符合题目要求 例5一根弹簧,不挂物体时长12厘米,挂上物体以后,它伸长的长度(不超过22厘米)与所挂重物质量成正比.如果挂3千克重物,弹簧总长13.5厘米.求弹簧总长y与所挂重物质量x之间的函数关系,并写出自变量取值范围. 解:y=12+0.5x,因为最长伸长y不超过22厘米,∴12+0.5x≤22,x≤20,又∵x≥0,∴x的取值范围是0≤x≤20. 二、用运动变化的观点求自变量取值范围. 1.让两变量对应的图形或值进行大小变化,从而确定自变量最大值和最小值或者临界值. 例6等腰三角形底角为x,顶角为y,写出y与x之间函数关系及x取值范围. 解:y=180°-2x,我们让x变大,x不可大到90°,让x变小x不能小到0°,这里0°就是x的临界值,∴x的取值范围是0°<x<90°. 例7拖拉机油箱里有油54千克,使用时平均每小时耗油6千克,求箱中剩下油y(千克)与使用时间t(小时)之间函数关系及自变量的取值范围. 解:y=54-6t.当拖拉机不使用时,t=0;开始使用,t在增加,y在减小,到油耗干时,y=0,54-6t=0,t=9,这里,0和9是它的最大值和最小值.∴t 的取值范围是0≤t≤9. 2.让动点动起来. B点运动到C点,设PB=x,四边形APCD面积为y,写出y与x之间的函数关系及x的取值范围.

三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题

三角函数()f x ω?+中ω、?的取值范围问题 利用对称中心与对称轴间距离 例1:已知0ω>,函数()cos()3f x x πω=+的一条对称轴为直线3x π=,一个对称中心为点( ,0)12π,则ω有( ) B 最大值2 B .最小值2 C .最小值1 D .最大值1 例2:设函数()sin()f x x ω?=+(,,A ω?是常数,0A >,0ω>).若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性,且2()()()236 f f f π ππ==-,则()f x 的最小正周期为______.(π) 利用特殊点的坐标 例3:已知函数()sin()f x A x ω?=+(0ω>,0?π≤≤)是R 上的偶函数,其图象关于点3( ,0)4M π对称,且在区间[0,]2 π上是单调函数,则ω和?的值分别为( )C A .2,34π B .2,3π C .2,2π D .10,32π 例4:如果函数3cos(2)y x ?=+的图象关于点4( ,0)3π中对称,那么?的最小值为( )A A . 6π B .4π C .3π D .2π 例5:若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移?(0?>)个单位,所得图象关于y 轴对称,则?的最小值是( )C A . 8π B .4π C .38π D .34π 例6:若将函数tan()4y x π ω=+(0ω>)的图象向右平移6 π个单位长度后,与函数tan()6 y x π ω=+的图象重合,则ω的最小值为( )D A .16 B .14 C .13 D .12 B . 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式

如何确定函数自变量的取值范围

如何确定函数自变量的取值范围 湖北省黄石市下陆中学宋毓彬 为保证函数式有意义,或实际问题有意义,函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制,这就是函数自变量的取值范围.函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件,只有正确理解函数自变量的取值范围,我们才能正确地解决函数问题. 初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型: 一、函数关系式中自变量的取值范围 在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况:⑴函数关系式为整式形式:自变量取值范围为任意实数;⑵函数关系式为分式形式:分母≠0;⑶函数关系式含算术平方根:被开方数≥0;⑷函数关系式含0指数:底数≠0. 例1.在下列函数关系式中,自变量x的取值范围分别是什么? ⑴y=2x-5;⑵y=;⑶y=;⑷y=;⑸y=(x-3)0 解析:⑴为整式形式:x的取值范围为任意实数; ⑵为分式形式:分母2x+1≠0∴x≠-∴x的取值范围为x≠-; ⑶含算术平方根:被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥; ⑷既含分母、又含算术平方根,故∴x≥-2且x≠0 x的取值范围为:x≥-2且x≠0 ⑸含0指数,底数x-3≠0 ∴x≠3,x的取值范围为x≠3. 二、实际问题中自变量的取值范围. 在实际问题中确定自变量的取值范围,主要考虑两个因素: ⑴自变量自身表示的意义.如时间、用油量等不能为负数. ⑵问题中的限制条件.此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围. 例2、某学校在2300元的限额内,租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动,每量汽车上至少有一名教师.甲、乙两车载客量和租金如下表: 设租用甲种车x辆,租车费用为y元,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.解析:⑴由题设条件可知共需租车6辆,租用甲种车x辆,则租用乙种车辆(6-x)辆.y=400x+280(6-x)=120x+1680 ∴y与x的函数关系式为:y=120x+1680 ⑵自变量x需满足以下两个条件: 240名师生有车坐:45x+30(6-x)≥240 ∴x≥4 费用不超过2300元:120x+1680≤2300 ∴x≤5 ∴自变量x的取值范围是:4≤x≤5 三、几何图形中函数自变量的取值范围

自变量取值范围复习课程

17.1.2函数自变量的取值范围.函数值 农安县合隆中学徐亚惠 一.选择题(共8小题) 1.函数y=中自变量x的取值范围为() A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x≤2 2.函数y=中的自变量x的取值范围是() A.x≥0 B.x≠﹣1 C.x>0 D.x≥0且x≠﹣1 3.在函数y=中,自变量x的取值范围是() A.x>1 B.x<1 C.x≠1 D.x=1 4.根据如图所示程序计算函数值,若输入的x的值为﹣1,则输出的函数值为() A.1 B.﹣2 C.D.3 5.下面说法中正确的是() A.两个变量间的关系只能用关系式表示 B.图象不能直观的表示两个变量间的数量关系 C.借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况 D.以上说法都不对 6.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是下表的数据: 鸭的质量/千克0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 烤制时间/分40 60 80 100 120 140 160 设鸭的质量为x千克,烤制时间为t,估计当x=3.2千克时,t的值为() A.140 B.138 C.148 D.160 7.如图,根据流程图中的程序,当输出数值y为1时,输入数值x为()

A.﹣8 B.8 C.﹣8或8 D.﹣4 8.在函数y=中,自变量x的取值范围是() A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1 二.填空题(共6小题) 9.函数中,自变量x的取值范围是_________. 10.函数y=中,自变量x的取值范围是_________. 11.函数,当x=3时,y=_________. 12.函数的主要表示方法有_________、_________、_________三种. 13.邓教师设计一个计算程序,输入和输出的数据如下表所示:那么当输入数据是正整数n时,输出的数据是_________. 输入数据 1 2 3 4 5 6 …输出数据… 14.已知方程x﹣3y=12,用含x的代数式表示y是_________. 三.解答题(共6小题) 15.求函数y=的自变量x的取值范围. 16.求下列函数的自变量的取值范围. (1)y=x2+5; (2)y=; (3)y=. 17.已知函数y=2x﹣3. (1)分别求当x=﹣,x=4时函数y的值; (2)求当y=﹣5时x的值.

自变量的取值范围专项练习

自变量的取值范围专项练习 1.在函数43+=x y 中,当1=x 时,函数值为( ),当x=( )时,函数值为10 2.函数x x y 2+= 中,自变量x 的取值范围是____________。 3.函数323-= x x y 中,自变量x 的取值范围是____________。 4.若函数{) 2(2)2(22≤+=x x x x y φ,则当函数值8=y 时,自变量x 的值为____________。 5.函数1 13-+=x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 6.在函数x x y -++=43 1中,自变量x 的取值范围是____________。 7.在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是____________。 8.函数2 +=x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 9.函数13-=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 10.函数x x y 2112-+-=的自变量x 的取值范围是____________。 11.函数2 31-=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 12.函数x x y =的自变量x 的取值范围是____________。 13.函数25x y = 的自变量x 的取值范围是____________。 14.函数x x y 14+-=的自变量x 的取值范围是____________。 15.函数68-=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 16.函数1 23353-+-= x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 17.函数2 31233-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是____________。 18.函数x x y -+-=2141的自变量x 的取值范围是____________。 19.函数12+=x y 的自变量x 的取值范围是____________。 20.函数x y 1=的自变量x 的取值范围是____________。

浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路

浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路 浅谈参数取值范围问题在函数习题中的求解思路 许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。而且这类问题思维要求高,解法也较灵活,故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征,其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法: 一、分离参数法 所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边,然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦,使问题得到简单明快的解决。当参数与变量能分离且函数的最值易求出。利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题,还可以用来证明一些不等式。 例1 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数求实数a的值范围。 解:抛物线f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴直线x=1-a,因此它的单调减区间为(-∞,1-a],依题设,(-∞,4](-∞,1-a]∴1-a≥4即a≤-3。 二、主参换位法 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。 例2 若对于任意a∈(-1,1],函数f(x)=x2(a-4)x+4-2a的值恒大于0,求x的取值范围。 分析:此题若把它看成x的二次函数,由于a, x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻。若视a为主元,则给解题带来转机。 解:设g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,把它看成关于a的直线,由题意知,直线恒在横轴下方。所以g(1)>0,g(-1)≥0 解得:x<1或x=2 或 x≥3 例3 对于(0,3)上的一切实数x,不等式(x-2)m<2x-1恒成立,求实数m的取值范围。 分析:一般的思路是求x的表达式,利用条件求m的取值范围。但求x的表达式时,两边必须除以有关m的式子,涉及对m讨论,显得麻烦。 解:若设f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m),把它看成是关于x的直线,由题意知直线恒在x的轴的下方。所以 f(0)≤0 f(3)≤0 解得≤m≤5 三、构造函数法 当参数难以分离而不等式是有关某个变量的一次或二次函数时,可以通过构建函数来解决。我们知道,函数概念是高中数学的一个很重要的概念,其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中,通过数式类比,构造适当的函数模型,然后利用函数的有关性质结论解题,往往收到意想不到的效果。 例4 若对一切|p|≤2 ,不等式x2+px+1>2x+p恒成立,求实数x的取值范围。 解:原不等式变形为p(x-1)+x2-2x+1>0,现在考虑p的一次函数:f(p)=p(x -1)+x2-2x+1(|p|≤2) ∴f(p)>0在 p∈[-2,2]上恒成立

练习-函数自变量的取值范围

函数自变量的取值范围 一、选择题 1.函数中,自变量x的取值范围是() A.B.C.且D. 2.函数的自变量x的取值范围是() A. B.C.D. 3.下列函数中,自变量取值范围选取错误的是() A.中,x取全体实数B.中, C.中,D.中, 4.如果每盒圆珠笔有12支,售价18元,那么圆珠笔的售价y(元)与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是() A.B.C.D. 5.已知函数的自变量x的取值范围是全体实数,则实数m的取值范围是() A.B.C.D.

6.已知函数,其中相同的两个函数是() A.与B.与C.与D.与 7.有一内角为120°的平行四边形,它的周长为l,如果它的一边为x,与它相邻的另一边长y与x之间的函数关系式及x的取值范围是() A.B. C.D. 二、填空题 8.函数中自变量x的取值范围是_______. 9.函数的自变量x的取值范围是_________. 10.函数中自变量x的取值范围是______;函数中自变量x的取值范围是_______. 11.14. 中自变量x的取值范围是______. 12.圆锥的体积为,则圆锥的高h(cm)与底面积之间的函数关系是 ________. 13.将改用x的代数式表示y的形式是_____;其中x的取值范围是 ________.

14.函数中自变量x的取值范围是________. 15.物体从离A处20m的B处以6m/s的速度沿射线AB方向作匀速直线运动,t秒钟后物体离A处的距离为s m,则s与t之间的函数关系式是________,自变量t的取值范围是 _______. 16.等腰三角形的周长是50cm,底边长是x cm,一腰长为y cm,则y与x之间的函数关系式是______;自变量x的取值范围是______. 三、解答题 17.求下列函数自变量的取值范围 (1);(2); (3);(4). 18.在中,已知,任取AB上一点M,作 ,设AM的长为x,平行四边形MPCQ的周长为y,求出y关于x的函数关系式和自变量的取值范围. 19.中,已知的平分线交于点D,设和的度数分别为x和y,写出y与x之间的函数关系式,并求x的取值范围. 参考答案 1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.B 8.9.且 10.11.12.13.14.且和 2 15.16.

第7讲 函数自变量的取值范围问题

第7讲:函数自变量的取值范围问题 二、方法剖析与提炼 例1.在下列函数关系式中,自变量x 的取值范围分别是什么? ⑴23-=x y ; ⑵121-=x y ; ⑶43-=x y ; ⑷x x y 32+=; ⑸0)3(-=x y 【解答】⑴x 的取值范围为任意实数; ⑵分母012≠-x ∴21≠x ∴x 的取值范围为2 1≠x ; ⑶043≥-x ∴34≥x ∴x 的取值范围为3 4≥x ; ⑷???≠≥+0 302x x ∴2-≥x 且0≠x ∴x 的取值范围为:2-≥x 且0≠x ⑸x -3≠0 ∴x ≠3,x 的取值范围为x ≠3. 【解析】⑴为整式形式:函数关系式是一个含有自变量的整式时,自变量的取值范围是全体实数. ⑵分式型:当函数关系式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为零的实数. ⑶偶次根式:当函数关系式是偶次根式时,自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数.含算术平方根:被开方数043≥-x . ⑷复合型:当函数关系式中,自变量同时含在分式、二次根式中时,函数自变量的取值范围是它们的公共解,即建立不等式组,取它们的公共解. ⑸0指数型:当函数关系式中,自变量同时含在0指数下的底数中时,自变量取值范围是使底数为非零的实数.即底数x -3≠0 . 【解法】解这类题目,首先搞清楚函数式属于“整式型”、“分式型”、“偶次根式”、“0指数型”、“复合型”当中哪一个类型,自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义即可. 【解释】这种解题策略可以推广到其他问题,如: 求31+x 中x 的取值范围.

解:右边的代数式属于奇次根式型,自变量的取值范围是全体实数. 例2.某学校在2300元的限额内,租用汽车接送234名学生和6名教师集体外 设租用甲种车x 辆,租车费用为y 元,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围. 【解答】⑴由题设条件可知共需租车6辆,租用甲种车x 辆,则租用乙种车辆(6-x )辆. y =400x +280(6-x )=120x +1680 ∴y 与x 的函数关系式为:y =120x +1680 ⑵∵???≤+≥-+23001680120240)6(3045x x x , ∴? ??≤≥54x x , ∴自变量x 的取值范围是:4≤x ≤5 【解析】(1)租车费用y =甲种车辆总费用+乙种车辆总费用.(2)函数关系式同时也表示实际问题时,自变量的取值范围要同时使实际问题有意义.自变量x 需满足以下两个条件: 一是,甲、乙两车的座位总数≥师生总数240名;二是,费用≤2300元,还要考虑到实际背景下的x 为整数. 【解法】关注问题中所有的限制条件,多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围. 【解释】做此题前首先要先从乘车人数的角度考虑应总共租多少辆汽车.因为题目已知总共6名教师,而且要求每辆车上至少有一名教师.所以,最多租用6辆车.同时,也不能少于6辆车否则座位数少于师生总数,不能接送所有的师生.由此可知共租用6辆车子. 例3.一个正方形的边长为5cm ,它的边长减少x cm 后得到的新正方形的周长为y cm ,写了y 与x 的关系式,并指出自变量的取值范围. 【解答】解:由题意得,y 与x 的函数关系式为y =4(5-x )=20-4x ; 自变量x 应满足???≥>-0 05x x 解得0≤x <5,所以自变量的取值范围是0≤x <5. 【解析】正方形的周长=边长×4,即y =4(5-x );自变量的范围同时满足两个条件:一是,正方形的边长是正数;二是,边长减少的x 应取非负数.

自变量的取值范围及函数值 同步练习题

自变量的取值范围及函数值同步练习题 1.函数y =1x +2 中,x 的取值范围是( ) A .x ≠0 B .x >-2 C .x <-2 D .x ≠-2 2.函数y =2x -4中自变量x 的取值范围是( ) A .x >2 B .x ≥2 C .x ≤2 D .x ≠2 3.函数y =x -2x +3 的自变量x 的取值范围是_______. 4.求下列函数中自变量x 的取值范围: (1)y =-13x +8; (2)y =42x -1; (3)y =1x -2+x ; (4)y =-11+x 2 . 5.变量x 与y 之间的关系是y =12x 2-1,当自变量x =2时,因变量y 的值是( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 6.同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是y =95x +32,如果某一温度的摄氏度数是 25 ℃,那么它的华氏度数是____℉. 7.如果每盒圆珠笔有12支,每盒售价18元,那么圆珠笔的总销售额y (元)与圆珠笔的销售支数x 之间的函数关系式是( ) A .y =32x B .y =23x C .y =12x D .y =112x 8.已知两个变量x 和y ,它们之间的3组对应值如下表所示. 则y 与x A .y =x B .y =2x +1 C .y =x 2+x +1 D .y =3x 9.已知方程x -4y =11,用含x 的代数式表示y 是___________. 10. 我们知道,海拔高度每上升1千米,温度就下降6 ℃.某时刻,某地地面温度为20 ℃,设高出地面x

千米处的温度为y ℃. (1)写出y 与x 之间的函数关系式; (2)已知此地某山峰高出地面约500米,求这时山顶的温度大约是多少℃ (3)此刻,有一架飞机飞过此地上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 ℃,求飞机离地面的高度为多少千米 11.某油箱容量为60 L 的汽车,加满汽油后行驶了100 km 时,油箱中的汽油大约消耗了15,如果加满汽油 后汽车行驶的路程为x km ,油箱中剩油量为y L ,则y 与x 之间的函数关系式和自变量取值范围分别是( ) A .y =,x >0 B .y =60-,x >0 C .y =,0≤x ≤500 D .y =60-,0≤x ≤500 12.已知函数y =?????2x +1(x≥0),4x (x <0), 当x =2时,函数值y 为( ) A .5 B .6 C .7 D .8 13.等腰三角形的周长为20 cm ,腰长为x cm ,底边长为y cm ,则底边长与腰长之间的函数关系式为( ) A .y =20-x (0<x <10) B .y =20-x (10<x <20) C .y =20-2x (10<x <20) D .y =20-2x (5<x <10) 14.当x =2时,函数y =kx -2和y =2x +k 的值相等,则k =____. 15.当x =2及x =-3时,分别求出下列函数的函数值: (1)y =(x +1)(x -2); (2)y =x +2x -1 . 16.弹簧挂上物体后会伸长,在弹性限度内测得一弹簧的长度y (cm )与所挂物体的质量x (kg )有如下关系: (1)请写出弹簧总长y (cm )与所挂物体质量x (kg )之间的函数关系式; (2)当挂重10千克时弹簧的总长是多少

求函数自变量的取值范围的确定方法

求一次函数自变量取值的方法 在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x 是自变量,y 是x 的函数. 在解答与函数有关的问题时,常常要求出函数的自变量x 的取值范围,下面我们来介绍这一类问题的解法. 经典例题 在函数3 2--=x x y 中,求自变量x 的取值范围. 解题策略 2x -分子中的二次根式被开方数必须为非负数,而且分母不为0.即自变量x 为下面不等式组的解: 20,30. x x -≥??-≠? 解这个不等式组便可求得自变量x 的取值范围是x ≥2,且x ≠3. 画龙点睛 求函数自变量的取值范围,要注意以下几点: 1. 若函数的解析式是整式,自变量的取值范围是全体实数; 2. 若函数的解析式是分式,自变量的取值范围是使分母不等于0的一切实数; 3. 若函数的解析式是二次根式,自变量的取值范围是使被开方数不小于0的一切实数; 4. 若函数的解析式含有以上几类式子时,则应分别求出各自的取值范围,再求出它们的公共部分.

举一反三 1.下列函数中,自变量x 的取值范围是x >2的函数是( ). (A )2-=x y (B )12-=x y (C )21 -=x y (D )121 -=x y 2.求函数2 ||1--=x x y 中自变量x 的取值范围. 3.求函数 y =x 的取值范围. 融会贯通 4.若函数25(2)34kx y k x k += ++-自变量x 的取值范围是一切实数,求实数k 的取值范围. 参考答案 1.C .在四个选择分支A 、B 、C 、D 中,它们的自变量x 的取值范围依次是x ≥2,x ≥12,x >2,x >12.故选C .2.由不等式组10,||20, x x -≥??-≠?解得x ≤1, 且x ≠-2.3.由不等式1-|x |>0,得|x |<1,于是-10时,k (x +2)2≥0, 要使分母不等于0,就应有3-4k >0,k < 34,于是有034 ,这与k <0矛盾.综上所述,k 的取值范围是0≤k <34.

综合题中的求取值范围问题

2017年08月14日风的初中数学组卷 一.解答题(共27小题) 1.已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示); (Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点; (Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N. (ⅰ)若﹣1≤a≤﹣,求线段MN长度的取值范围; (ⅱ)求△QMN面积的最小值. 2.已知函数y=mx2﹣(2m﹣5)x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点. (1)求m的取值范围,并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式;(2)题(1)中求得的函数记为C1, ①当n≤x≤﹣1时,y的取值范围是1≤y≤﹣3n,求n的值; ②函数C2:y=m(x﹣h)2+k的图象由函数C1的图象平移得到,其顶点P落在以原点为圆心,半径为的圆内或圆上,设函数C1的图象顶点为M,求点P与点M距离最大时函数C2的解析式. 3.平面直角坐标系xOy中,点A、B的横坐标分别为a、a+2,二次函数y=﹣x2+(m﹣2)x+2m的图象经过点A、B,且a、m满足2a﹣m=d(d为常数).(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点. ①当a=1、d=﹣1时,求k的值; ②若y1随x的增大而减小,求d的取值范围; (2)当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时,判断直线AB与x轴的位置关系,并说明理由; (3)点A、B的位置随着a的变化而变化,设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D,线段CD的长度会发生变化吗?如果不变,求出CD的长;如果变化,请说明理由. 4.定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个

求函数自变量的取值范围方法总结

求函数自变量的取值范围方法总结 函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围. 求自变量的取值范围一般从两个方面考虑: (1)使函数关系式有意义; (2)符合客观实际. 确定自变量的取值范围的方法: (1)如果函数关系式的右边是关于自变量的整式,则自变量的取值范围是全体实数. 例如函数1-=x y ,自变量x 的取值范围是全体实数. (2)如果函数关系式的右边是分式,则自变量的取值范围是使分母不等于零的所有实数. 例如函数1 2-=x y ,自变量x 的取值范围是1≠x . (3)如果函数关系式的右边包含二次根号,则自变量的取值范围是使被开方数为非负数. 例如函数2-=x y ,自变量x 的取值范围是x ≥2. (4)如果函数关系式是有具体问题建立的,则自变量的取值范围不但要使函数关系式有意义,还要符合实际意义. 例如函数2x y =,自变量x 的取值范围是全体实数,如果x 表示正方形的边长,y 表示正方形的面积,则自变量x 的取值范围就变成了0>x (边长不能为负数). (5)有些函数自变量的取值范围是以上情况的综合,需进行多方面的考虑. 例如函数21 -=x y ,自变量x 应满足两个条件:一是满足分母不等于零,二是 保证被开方数为非负数,所以得到关于自变量的不等式组???≥-≠-0 202x x ,求得自变量x 的取值范围是2>x .

例1. 求函数13 1-+-=x x y 中的自变量x 的取值范围. 分析:本题中,自变量x 的取值范围应同时满足分母()3-x 不等于零和被开方数()1-x 为非负数. 解:? ??≥-≠-0103x x 解这个不等式组得:x ≥1且3≠x . ∴自变量x 的取值范围是x ≥1且3≠x . 习题1. 函数x x y 2+=的自变量x 的取值范围是__________. 习题2. 函数413-+ -=x x y 中自变量x 的取值范围是__________. 习题3. 在函数x x y -=1中, 自变量x 的取值范围是__________. 习题4. 下列函数中,自变量的取值范围是2>x 的是 【 】 (A )2-=x y (B )2 1 -=x y (C )12-=x y (D )121 -=x y 习题5. 函数2 1--=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 习题6. 下列函数中,自变量的取值范围错误的是 【 】 (A )2-=x y (x ≥2) (B )11+= x y (1-≠x ) (C )22x y =(x 取全体实数) (D )31 +=x y (x ≥3-) 习题7. 在函数24-++=x x y 中,自变量x 的取值范围是__________. 例2. 已知等腰三角形的周长为20,求底边长y 与腰长x 的函数关系式及自变量的取值范围. 分析:本题为易错题,考虑问题不全面导致自变量的取值范围不完整.

函数中的取值范围问题

1、(2014西工大模拟)已知)(x f 是R 上的偶函数,若将)(x f 的图象向右平移一个单位,则得到一个奇函数的图像,若(),12-=f 则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++= (A )0 (B)1 (C )-1 ( D)-1004.5 2.(2014西工大模拟)“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 3.(2014西工大模拟)已知函数()f x 满足1 ()1(1) f x f x += +,当[]0,1x ∈时,()f x x =。若在区间(1,1] -内,函数()()g x f x mx m =--有两个零点,则实数m 的取值范围是( ) A.1[0,)2 B. 1[,)2+∞ C. 1[0,)3 D. 1(0,]2 4、(2011西工大模拟)设函数2(0) ()2 (0) x bx c x f x x ?++≤=? >?,若(4)(0)f f -=,(2)2f -=-,则函数 ()()F x f x x =-的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.(2012西工大模拟)函数2 (4)|4|()(4)x x f x a x ?≠? -=??=? ,若函数2)(-=x f y 有3个零点,则实数a 的值为 ( ) A .-2 B .-4 C .2 D .不存在 6.(2014·湖南)已知函数f (x )=x 2+e x -1 2 (x <0)与g (x )=x 2+ln(x +a )的图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的 取值范围是( ) A .(-∞,1 e ) B .(-∞,e) C .????-1e ,e D .? ???-e ,1 e

函数自变量的取值范围

教学设计上蔡县党店镇一中:安钧凯 17.1 变量与函数(2) 函数自变量的取值范围

17.1变量与函数(2) 函数自变量的取值范围 设计思路介绍 《变量与函数》是八年级数学下册17章第一节的内容。函数是研究运动变化的重要数学模型,它源自生活,又服务于生活。函数有着广泛的应用,初中阶段对函数的认识也是逐步加深的,因此,本节课的学习效果如何将直接影响学生的后续学习。《函数自变量的取值范围》是本节课的重点内容之一,我把它单独安排一个课时来学习。 在教学设计上,我主要是以四个活动为载体: 1、情境活动:使学生感到容易---我能学。 2、探究归纳:提出问题,引起学生求知欲---我要学。 利用情境活动中的三个问题的解析式提出”自变量的取值有限制吗’这一问题,从而勾起学生求知的欲望-----我想学,调动学生的主动性。 3、实践应用:结合所学知识应用到实践中---我学会。 这一活动中我设计了两个例题,其中例1是针对单纯解析式中的函数自变量取值范围,例2是在实际应用中的自变量取值范围。每个题目都让学生分组完成,尽量照顾到每位同学的态度,使每个人都参与其中,都能发表自己的见解。4、交流反思:引导学生回顾在活动中的得失,以提高自己---我会学。 根据实践活动的应用,引导学生反省自己在活动中的得失,以弥补不足之处,同时锻炼归纳总结的能力,以便更好的形成知识体系。 在活动的设计上,我注重了活动的目的性、活动的层次性、活动的思维性以

及活动的可操作性,和学生的所有交流都是在自然进行的。在整个教学过程中,始终注重的是学生的参与意识;注重学生对待学习的态度是否积极;注重引导学生从数学的角度去思考问题,让学生主动暴露思维过程,及时得到信息的反馈。我在课堂上,尽量留给学生更多的空间,让学生有更多的展示自己的机会,让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中,充分调动他们的非智力因素,特别是内在动机,让他们以强烈的求知欲和饱满的热情来学习新知识,在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我,找到自信,体验成功的乐趣,从而树立起学好数学的信心。 教学目标 1、知识与技能 (1)能根据函数关系式直观得到自变量取值范…… (2)理解实际背景对自变量取值的限制。 2、过程与方法 (1)通过让学生主动的观察、交流、归纳等探索活动形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。 (2)联系代数式中未知数的取值的要求,探索求函数自变量取值范围的方法。 3、情感态度与价值观 使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建 模意识。 教学重难点 1、教学重点:函数自变量取值范围的求法。 2、教学难点:理解实际背景对自变量取值的限制。

二次函数专题之参数范围问题

···二次函数专题之参数范围问题 基本思想方法: ①函数与方程; ②数形结合; ③化归与转化; ④逆向思维; ⑤分类 1x2-x+2 1.(2015海淀一模)在平面直角坐标系xoy中,抛物线y= 2 与y轴交于点A,顶点为点B,点C与点A关于抛物线的对称轴对称。(1)求直线BC的解析式; (2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4,将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图像G,若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围。 2.(2015朝阳二模)已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-1)x+a-2=0(a >0). (1)求证:方程有两个不等的实数根. (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2).若y是关于a的函数,且y=ax2+x1,求这个函数的表达式. (3)在(2)的条件下,若使y≤-3a2+1,则自变量a的取值范围为3.(2015顺义二模)已知关于x的方程x2+(m-2)x+m-3=0.

(1)求证:方程x2+(m-2)x+m-3=0总有两个实数根; (2)求证:抛物线y=x2+(m-2)x+m-3总过x轴上的一个定点;(3)在平面直角坐标系xoy中,若(2)中的定点记作A,抛物线y=x2+(m-2)x+m-3与x轴的另一个交点为B,与y轴交于点C,且△OBC 的面积小于或等于8,求m的取值范围. 4.(2015怀柔一模)在平面直角坐标系xoy中,二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图像与x轴有交点,a为正整数. (1)求a的值. (2)将二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图像先向右平移m个单位长度,再向下平移m2+1个单位长度,当-2≤x≤1时,二次函数有最小值-3,求实数m的值. 5.(2015石景山一模)在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=mx2-2mx-3(m≠0)与x轴交于A(3,0),B两点. (1)求抛物线的表达式及点B的坐标. (2)当-2<x<3时的函数图像记为G,求此时函数y的取值范围. (3)在(2)的条件下,将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图像G的其余部分保持不变,得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b(k≠0)与图像M在第三象限内有两个公共过点,结合图像求b的取值范围.

如何确定自变量的取值范围

三、如何确定自变量x 的取值范围 第一,自变量x 必须要在“特定意义范围内取值”,如表达式是: 1.整式,x 取一切实数; 2.分式,x 取分母不为零的数; 3.二次根式,x 取使被开方数为非负数的数,三次根式,则x 取一切实数; 4. 实际问题则根据实际需要来确定. 选择 1、函数 4 31-+=x x y 中,自变量x 的取值范围是( ) A . 34≠x B . 1≠x C . 13 4-≠x 2、下列函数中,自变量x 的取值范围标注错误的是( ). A . y=2x 2中 ,x 取全体实数; B.y=3 x +中,x 取x ≥-3的实数 C.y=11x +中,x 取x ≠-1的实数; D.y=2x -中,x 取x ≥2的实数 3、函数y= 3x -中自变x 的取值范围是( ) A .x ≥3 B .x ≤3 C .x ≤3且x ≠0 D .x<3 函数中自变量x 的取值范围是( ). (A )x ≠-1 (B )x >-1 (C )x ≠1 (D )x ≠0 4、函数x y 32-=自变量x 的取值范围是( ) A.x ≤32- B.x ≥3 2- C.x ≥32 D.x ≤32 5、下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A .2x -.2x -.24x - D .2x +2x -6、在函数2x y +=中,自变量x 的取值范围是( ) A.2x -≥且0x ≠ B.2x ≤且0x ≠ C.0x ≠ D.2x -≤ 7、 以等腰三角形一个底角的度数x 为自变量,顶角的度数y 为x 的函数,则它的解析式为y =180-2x ,其中x 的取值范围为 ( ) (A )x >0 (B )x <90 (C )0<x <90 (D )0<x ≤90 8.下列函数关系式中,对于x >0的一切实数,y 都大于0的函数是

中考复习_自变量的取值范围

自变量的取值范围 一、选择题 1. (2011南昌,11,3分)下列函数中自变量x 的取值范围是x >1的是( ) A .11 -=x y 错误!未找到引用源。 B .1-=x y C .1 1 -=x y 错误!未找到引用源。 D .x y -=11 错误!未找到引用源。 考点:函数自变量的取值范围. 分析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,逐一检验. 解答:解:A ,二次根式和分式有意义,x ﹣1>0,解得x >1,符合题意;B ,二次根式有意义,x ﹣1≥0,解得x ≥1,不符合题意;C ,二次根式和分式有意义,x ≥0且01≠-x 错误!未找到引用源。,解得x ≥0且x ≠1,不符合题意;D ,二次根式和分式有意义1﹣x >0,解得x <1,不符合题意.故选A . 点评:本题考查了函数自变量的取值范围.当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 2. (2011云南保山,3,3分)在函数y =2x 自变量x 的取值范围是___________. 考点:函数自变量的取值范围。 分析:根据二次根式有意义的条件.被开方数一定是非负数即可求解. 解答:解:根据题意得:1﹣x ≥0,解得:x ≤1 故答案是:x ≤1 点评:本题主要考查了函数自变量的范围的确定. 一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; 点评:本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数. 4. (2011?河池)函数y=错误!未找到引用源。的自变量x 的取值范围是( )

三角函数f(ωx+φ)中ω、φ的取值范围问题

三角函数()f x 中、的取值范围问题利用对称中心与对称轴间距离 例1:已知 0,函数()cos()3f x x 的一条对称轴为直线3x ,一个对称中心为点(,0)12,则 有()B A .最大值2 B .最小值2 C .最小值1 D .最大值1 例2:设函数() sin()f x x (,,A 是常数,0A ,0).若()f x 在区间[,]62上具有单调性,且 2()()()236f f f ,则()f x 的最小正周期为______.()利用特殊点的坐标 例3:已知函数 ()sin()f x A x (0,0)是R 上的偶函数,其图象关于点3( ,0)4M 对称,且在区间[0,]2上是单调函数,则和的值分别为()C A .2,34 B .2,3 C .2,2 D .10,32 例4:如果函数3cos(2)y x 的图象关于点4(,0)3中心对称,那么的最小值为()A A .6 B .4 C .3 D .2 例5:若将函数()sin 2cos 2f x x x 图象向右平移 (0)个单位,所得图象关于y 轴对称,则 的最小值是()C A .8 B .4 C .3 8 D .3 4 例6:若将函数tan()4y x (0)的图象向右平移 6个单位长度后,与函数tan()6y x 的图象重合,则的最小值为( )D A .16 B .14 C .13 D .12 利用题设区间长度与周期的关系建立不等式 例7:已知函数 ()cos()4f x A x (0A )在(0,)8内是减函数,则的最大值是______.( 8 ) 例8:已知()sin()3f x x (0),()()63f f ,且()f x 在区间(,)63内有最小值,无最大值,则 ______.(143)利用“函数单调区间I ”与该函数“在区间D 上单调”的包含关系建立不等式

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