多尺度几何分析概论
摘要：以函数的稀疏表示为主线，详细介绍了各种多尺度几何分析产生的背景、发展历程和逼近性能，并分析了它们各自存在的优缺点，最后指出了其发展方向。
关键词：多尺度几何分析；奇异性；正则性；非线性逼近；有界变差函数
0引言
自1807年Fourier 提出任意一个周期为2π的函数都可以表示成一系列三角函数的代数和，到今天蓬勃发展的小波分析，科学家们的研究目的是对不同的函数空间提供一种直接、简便的分析方式，即寻求函数在某一特定空间下，在某种基下的最优逼近。逼近的误差体现了用此基表示函数的稀疏程度或是分解系数的能量集中程度。
Fourier分析的思想是将函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加，即将函数用一簇三角基展开，将原函数在时域中的讨论转换为对这个叠加权系数的讨论，即Fourier 变换在频域中的研究。这种三角体系展开方式的局限性促使人们去寻找其他的正交体系——小波分析。小波分析的地位在数学界是独一无二的，它较精确的时频定位特性，成为处理非平稳信号的有利工具；也证明了小波分析比Fourier 分析更能稀疏地表示一段分段光滑或有界变差函数。这是小波分析成功的一个关键原因。但是，由于张量积小波只具有有限方向数，它主要适合表示一维奇异性的对象，当它在处理二维或更高维奇异性时，就显得无能为力。小波在表示这些函数时并不是最优的或者最稀疏的表示方法。为了更好地处理高维奇异性，一类带有方向性的稀疏表示方法——多尺度几何分析应运而生。它的产生符合人类视觉皮层对图像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。它的目的就是为具有面奇异或线奇异的高维函数找到最优或最稀疏的表示方法。目前，已有的多尺度几何分析方法有Emmanuel J Candès等人提出的脊波变换(ridgelet transform)、单尺度脊波变换(monoscale ridgelet transform)、curvelet变换(curvelet transform)，E. Le Pennec等人提出的bandelet 变换，以及M.N.Do 等人提出的contourlet变换。另外，还有一些多尺度分析方法，如David Donoho 提出的wedgelet、beamlet等。本文根据以上方法出现的时间顺序来讨论其逼近性能的异同。
在图像处理方面，图像的稀疏表示在对图像数据的存储、传输中得到了广泛的应用。由于余弦基和小波基能够用较少的系数达到图像较精确的非线性逼近，成为图像稀疏表示的重要方法。如今，多尺度几何分析的出现，又为图像的稀疏表示提供了一个全新而又有效的方法。
1奇异性分析
本文称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性。图像的奇异性或非正则结构通常包含了图像的本质信息。例如图像亮度的不连续性表示景物中的边缘部分，这是认识图中最重要的部分。图像的奇异性是常见的，也是重要的。在自然界中光滑物体的边界往往体现为沿光滑曲线的奇异性，并不仅是点的奇异性。在数学上，通常用Lipschitz指数刻画信号的奇异性大小。
3多尺度几何分析
3．1脊波变换
脊波理论的基本框架是由E.J Candès 建立，并与D.L.Donoho等人在其后续工作中逐步拓展和完善。脊波变换是一种非自适应的高维函数表示方法，对含直线奇异的多变量函数能够达到最优的逼近阶。脊波理论的提出在多尺度几何分析史上产生了深远的影响，具有不可估量的价值。脊波变换的核心主要是经过radon变换把线状奇异性变换成点状奇异性。小波变换能有效地处理在radon域的点状奇异性。其本质就是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的，所以它不但与小波一样有局部时频分析的能力，还具有很强的方向选择和辨识能力，可以非常有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。这是小波方法所不能得到的。
3．1．2数字脊波的实现
在实际应用中，脊波变换的离散化及其算法实现是一个具有挑战性的问题。由于脊波的径向性质，对连续公式直接离散实现时要在极坐标中进行插值。这样的变换结果或者是冗余的，或者不能完全重构。脊波变换数字实现的优劣很大程度上取决于其中radon变换数字实现的重构精度。为此，人们提出了各种各样的方法，大体上可分为在Fourier域利用投影切片定理的方法、多尺度方法和代数方法三类。
近似脊波变换建立在所谓的伪极坐标网格基础上。首先对n×n的离散点列作二维FFT，并对得到的包含n×n个点的频域点列作径向划分；然后估计各个径向直线方向上n个数据点的值。在每个径向方向都有n个节点，再对这n个点列作一维IFFT，从而得到对应于图像域的2n 2个点列，对这些点列作均匀化插值和重组就得到一次radon变换的结果。根据图1即可实现脊波变换。但其有两点不足：在实现频率平面中直角坐标向极坐标变换的过程中引入误差是明显的；它具有总数为四倍的数据冗余性。因此这种脊波变换不适合图像编码压缩。
M.N.Donoho等人提出另一种数字脊波实现方法，称为有限脊波变换(FRIT)。首先用有限radon
变换将一幅图像变换到FRAT域中，再对每一个投影序列进行离散小波变换(DWT),r k[0],r k,…,r k[p-1]。其中方向k是固定的。这种方法可以同时做到可逆性与非冗余性，并且是完全重构的。但由于有限脊波变换是基于有限radon变换构造的，有限radon变换在表达直线时有折叠效应，有限脊波变换在几何上不是真实的。
Donoho和Flesia为了克服有限脊波变换的折叠效应，构造了一种数字脊波变换。它能用真实的脊函数进行分解和合成，并且具有精确重构和框架性质。这种脊波变换采用的radon变换，称做fast slant stack。首先进行fast slant stack运算，然后进行二维快速小波变换。这种构造使得离散物体(离散脊波、离散radon变换、离散伪极坐标Fourier域)具有与连续脊波理论平行的内在联系(脊波、radon变换、极坐标Fourier域)。 Donoho构造的脊波变换在几何上是真实的，即在此处radon 变换的确是沿直线积分的，从而避免了折叠效应。在创建系数矩阵时，它将一个n×n的矩阵变换为2n×2n的矩阵，因此冗余因子为4。这在一定程度上影响了运算速度。这种脊波变换在实现上的缺点是正交脊波系数衰减速度相对较慢。
3．1．3脊波逼近能力
定理4设f是C r的函数，沿某一直线是不连续的，除此之外均为r阶连续。从脊波级数中选取对应于前M个最大系数的项，对f所作的非线性逼近误差为即逼近误差显示似乎不存在间断，这个结果对任意r阶光滑都是成立的。该方法的显著特点是无须知道间断的位置。类似地，一维小波变换也无须先验地知道点奇异的位置。因而对于具有直线奇异的函数，脊波的表示是最优的。
3．1．4小结与展望
从上面的分析可知，脊波在分析直线奇异的分段光滑的高维函数方面是优秀的，脊波已经成功应用于数学中的函数逼近、信号检测、特征提取、目标识别，以及图像恢复、去噪、增强等方面。在脊波分析的框架下，结合二进小波变换的局部脊波变换，用于检测直线的方法，应用于方向性较强的图像获得了良好的检测效果。但是必须看到，对于自然物体而言，奇异的边界是曲线的，经过radon变换后仍然为曲线，而小波对曲线不具备稀疏表示的能力。因此脊波不能够处理曲线奇异的高维函数。另外，脊波的数字化实现仍然是一个有待进一步提高的问题。如何很好地解决冗余度和精度，提高运算速度，是制约着脊波走向广泛应用的主要因素。
拥有广阔的应用前景。
多尺度几何分析详解 一、从小波分析到多尺度几何分析 小波分析取在从多学科领域中取得巨大成功的一个关键原因在于它比傅里叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。遗憾的是，小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维。这是因为一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。换句话说，在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示方法；而继小波分析之后发展起来的多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法，为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些空间的主要特点是：其中数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。比如，对于二维图像，主要特征可以由边缘所刻画，而在3-D图像中，其重要特征又体现为丝状物（filaments）和管状物（tubes）。 由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程最终表现为用“点”来逼近线的过程。在尺度j，小波
支撑区间的边长近似为2-j，幅值超过2-j的小波系数的个数至少为O(2j)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。因此，我们希望某种变换在逼近奇异曲线时，为了能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称为这种基具有“各向异性(anisotropy)”。我们希望的这种变换就是“多尺度几何分析”。 图像的多尺度几何分析方法分为自适应和非自适应两类，自适应的方法一般先进行边缘检测再利用边缘信息对原函数进行最优表示，实际上是边缘检测和图像表示方法的结合，此类方法以Bandelet和Wdgelet为代表；非自适应的方法并不要先验地知道图像本身的几何特征，而是直接将图像在一组固定的基或框架上进行分解，
［例题2-1-1］ 计算图示体系的自由度。 ，可变体系。 （a ） （ b ） 解： （a ） 几何不变体系，无多余约束 （ b ） 几何可变体系 ［例题2-1-2 ］ 计算图示体系的自由度。桁架几何不变体系，有多余约束。 解： 几何不变体系，有两个多余约束 ［例题 2-1-3］ 计算图示体系的自由度。桁架自由体。 解： 几何不变体系，无多余约束 ［例题 2-1-4］ 计算图示体系的自由度。 ，几何可变体系。 解： 几何可变体系 ［例题 2-1-5］ 计算图示体系的自由度。刚架自由体。 解： 几何不变体系，有6个多余约束 ［例题2-2-1］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-2］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-3］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-4］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。
几何不变体系，有一个多余约束 ［例题2-2-5］ 对图示体系进行几何组成分析。二元体规则。几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-6 ］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则，三刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题2-2-7］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束 ［例题 2-2-8］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。 几何不变体系，且无多余约束［例题2-3-1］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何瞬变体系 ［例题2-3-2］ 对图示体系进行几何组成分析。两刚片规则。 几何瞬变体系 ［例题2-3-3］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。 几何瞬变体系 ［例题2-3-4］ 对图示体系进行几何组成分析。三刚片规则。
在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据表示可从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。传统的信号表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来。例如，一个含有脉冲和正弦波形的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数，也不能用单一的正弦基函数有效地表示。在这个例子中，有两种结构类型同时出现在信号里，但它们却完全不同，其中哪一个都不能有效地模拟另一个。所以，人们希望寻找一种能够同时建立在两种基函数之上的信号表示，其结果应该比采用其中任一种基函数有效得多。 在图像和视频处理方面，常用的信号分解方式通常是非冗余的正交变换，例如离散余弦变换、小波变换等。离散余弦变换其基函数缺乏时间/空间分辨率，因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征。小波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表现出良好的性能，但图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好。因而说，小波分析对于多维信号来说并不是最优的，不能稀疏地捕捉到图像结构的轮廓特征，因此在图像和多维编码方面的新突破，必定取决于信号表好似的深刻变革。 最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。新的信号表示理论的基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，字典的选择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。从字典中找到具有最佳线性组合的m项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。 从非线性逼近的角度来讲，高度非线性逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中拣选最好的m项组合。利用贪婪算法和自适应追踪，从一个冗余函数系统中进行m项逼近方法的理解只是些零星的片段，用高度非线性方法以指定的逼近速率来描述函数仍然是一个富有挑战的问题。 从基函数的形成来讲，在图像表示方面体现为多尺度几何分析，无论是曲波(curvelets)、带波(bandlets)，还是仿形波(coutourlets)，都要求基函数应具备下述特点：(i)多分辨率分析，(ii)时频定位能力，(iii)全角度分析(方向性)，(iv)各向异性的尺度变换。这些新的冗余函数系统的不断涌现，使信号稀疏表示的方法更加成为研究的热点。 超完备信号稀疏表示方法肇始于20世纪90年代。1993年Mallat和Zhang首次提出了应用超完备冗余字典对信号进行稀疏分解的思想，并引入了匹配追踪(marching pursuit, MP)算法。在这篇文献中，作者用自然语言表述浅显的类比，说明超完备冗余字典对信号表示的必要性，同时强调字典的构成应较好地复合信号本身所固有的特性，以实现MP算法的自适应分解。 新思想的提出引起人们极大的关注，但由于算法所涉及的计算量十分繁重，因而早期研究的焦点集中在如何实现算法的快速计算，降低算法的复杂度，以及选择何种类型原子构造合适的字典两方面。这期间，许多音视频信号处理方面的实验都对MP算法作出了有利的支持，尤其在甚低码率视频编码方面，MP算法更显示出极大的优越性. 1999年Donoho等人又另辟蹊径，提出了基追踪(basis pursuit, BP)算法，并从实验的角度举证了MP,MOF,和BOB算法各自的优劣。稍后，又在2001年发表的另一篇重要文章中，给出了基于BP算法的稀疏表示具有唯一解的边界条件，并提出了字典的互不相干性的概念。 注：摘自《基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解》
针对经典的最大系数法不准确和方差法计算量大的问题，本文给出了一种混合多级式多聚焦图像融合方法。对于三层小波分解的多聚焦图像融合，每幅图像被分解为三层十个频带。对这十个频带本文分别采用三种方法进行融合。对于低频系数，本文仍然采用求平均法；对于高频系数本文采用方差法和最大系数法进行融合。它们的计算量比最大系数法大一些，但是融合结果更接近于原始清晰图像，而相比于方差法，它们的计算量小的多，但是融合质量稍差一些，应用者可以根据不同的需要进行选择。 本文还给出了一种基于Canny算 子边缘检测的小波变换多聚焦图像融 合方法。首先对图像进行三层小波分 解，然后用Canny算子进行边缘检测， 得到各层分辨率下的边缘图像；对相 应分辨率的高频小波系数根据其是否 为图像的边缘点采用最大系数法或方 差法分别进行融合。仿真实验证明该 方法效果良好，计算量可以灵活调节。 关键词:小波变换；多尺度几何分析；多聚焦图像融合；边缘检测主要程序： clear all; close all; leo1=imread('a1.bmp');%读入图片 leo2=imread('a2.bmp') T=0.4;k1=0.5;k2=0.5;w='db4';m='edge'; tic; outdoor1=leo1; outdoor2=leo2; %三层小波分解 [ca11,chd11,cvd11,cdd11]=dwt2(outdoor1,w); [ca12,chd12,cvd12,cdd12]=dwt2(ca11,w); [ca13,chd13,cvd13,cdd13]=dwt2(ca12,w); [ca21,chd21,cvd21,cdd21]=dwt2(outdoor2,w); [ca22,chd22,cvd22,cdd22]=dwt2(ca21,w); [ca23,chd23,cvd23,cdd23]=dwt2(ca22,w); %求边缘图像 e11=edge(ca11,'canny',T); e12=edge(ca12,'canny',T); e13=edge(ca13,'canny',T); e21=edge(ca21,'canny',T); e22=edge(ca22,'canny',T); e23=edge(ca23,'canny',T); %矩阵融合 chd3=matfusion(chd13,chd23,e13,e23); cvd3=matfusion(cvd13,cvd23,e13,e23); cdd3=matfusion(cdd13,cdd23,e13,e23); chd2=matfusion(chd12,chd22,e12,e22); cvd2=matfusion(cvd12,cvd22,e12,e22); cdd2=matfusion(cdd12,cdd22,e12,e22); chd1=matfusion(chd11,chd21,e11,e21); cvd1=matfusion(cvd11,cvd21,e11,e21); cdd1=matfusion(cdd11,cdd21,e11,e21); ca3=k1*ca13+k2*ca23; %反小波变换 L2=size(chd2);L1=size(chd1); ca2=idwt2(ca3,chd3,cvd3,cdd3,w); ca1=idwt2(ca2(1:L2(1),1:L2(2)),chd2,cvd2,cd d2,w); I=idwt2(ca1(1:L1(1),1:L1(2)),chd1,cvd1,cdd1, w);
第二章 几何组成分析 1. 图示铰接体系是超静定结构。 （ ） 2. 图中多余联系数目为4。 （ ） 3. 图示体系是超静定结构。 （ ） 4. 图示体系在给定荷载情况下可处于平衡，因此可作为结构承担荷载。 （ ）
5. 图示体系是超静定结构。 （ ） 6. 图中体系多余联系数目为。 （ ） 7. 图中体系多余联系数目为。 （ ） 8. 铰A相当于几个简单铰。 ( )
9. 图示多余联系数目为 ( ) 10. 图示多余联系数目为 ( ) 11. 两刚片用一杆一铰彼此相连，所组成的体系是 ( ) A.有多余联系几何不变体系 B.可变性无法确定 C.无多余联系几何不变体系 D.瞬变体系 12. 图示体系是 ( ) A.常变的 B.无多余联系几何不变的 C.瞬变的 D.有多余联系几何不变的
13. 静定结构是 ( ) A.常变体系 B.有多余联系几何不变体系 C.体系 D.余联系几何不变 14. 三刚片用三个不共线的铰两两相连，则所组成的体系是 ( ) A. 瞬变 B. 常变 C.余联系几何不变 D.变也可能瞬变 15. 图示体系是 ( ) A. 常变的 B. 无多余约束几何不变的 C. 瞬变的 D. 有多余约束几何不变的 16. 图示铰接体系是 ( ) A. 常变的 B. 无多余约束几何不变的
C. 瞬变的 D. 有多余约束几何不变的 17. 图示铰接体系是 ( ) A. 常变的 B. 无多余约束几何不变的 C. 瞬变的 D. 有多余约束几何不变的 18. 图示体系是 ( ) A. 常变的 B. 无多余约束几何不变的 C. 瞬变的 D. 有多余约束几何不变的
跨原子/连续介质（第一类）多尺度分析的各种方法按照其控制方程的类型可分成两类，基于能量的方法和基于力平衡的方法 一、基于能量的方法 假定系统的总能量由原子区，握手区（可无），连续介质区构成 tot A H C ∏=∏+∏+∏ 其中，握手区和连续介质区的能量是由有限元法近似求得的。 基于能量的方法一个最大的缺陷是很难消除耦合能量的非物理效应“鬼力”。鬼力产生的原因： 假设全区域采用原子进行计算，则其能量为： ,,atom atom A atom C ∏=∏+∏ 对位移进行求导，可得 ,,atom A atom C f u u α αα?∏?∏=--?? 在平衡时：,,atom A atom C u u αα ?∏?∏=-?? 同理，对于无握手区的多尺度能量法，在平衡时，满足方程： A C u u αα?∏?∏=-?? 同时因为在两种方法中，,A atom A ∏=∏ 即对于多尺度能量法需满足方程：,C Atom C u u αα ?∏?∏=?? 因为在多尺度能量法的计算中，连续介质区的能量是由有限元法近似求得的，与原子计算的能量不一致，所以会产生“鬼力”。 1. QC 法（1998, Tadmor E B, OrtizMand Phillips R 1996 Quasicontinuum analysis of defects in solids Phil. Mag. A 73 1529–63） 在之前的报告中阐述过，本周的阅读中暂无改进内容 2. CLS 法（1999，Broughton JQ, Abraham F F, BernsteinNand KaxirasE1999 Concurrent coupling of length scales: methodology and application Phys. Rev. B 60 2391–403） 提出该方法的作者是基于自身对于MEMS （Micro-Electro-Mechanical
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/d5243749.html, 基于多尺度几何分析的遥感图像融合 作者：金延薇 来源：《科教导刊·电子版》2016年第24期 摘要遥感图像融合技术随着多尺度几何分析技术的快速发展和应用，使得遥感图像融合准确度和正确性不断提高。本文以Curvelet为例，进行了Curvelet图像融合实验，与基于小波变换（Wavelet）图像融合算法进行对比实验，实验结果表明：Curvelet变换的融合方法能在保留多光谱影像的光谱信息的同时增强了融合影像的空间细节表现能力，提高了融合影像的信息量。Curvelet融合效果优于Wavelet方法。 关键词小波变换多尺度几何分析 Curvelet变化遥感图像融合 中图分类号：TP751 文献标识码：A 0引言 图像承载主体经历了纸质、模拟信号和数字图像3个阶段，数字图像出现使图像量化分析方法得到快速发展。我们希望能够从图像中获得更多有用的信息，尤其是从遥感图像中。以前，通常使用Wavelet技术提取图像的特征，但是Wavelet的方向是正交化的，很难提取更多方向的特征，多尺度几何分析应运而生。多尺度几何分析是一种新的图像稀疏表示方法，它能够对图像多维度特征进行显示，并且能够对光滑的分段函数最优逼近。 1实验及结果分析 1.1图像融合实验 为了验证Curvelet变换在图像融合过程中的有效性，在MATLAB 7.0环境下进行了仿真实验。实验采用了256€？56像素大小的图像，灰度等级均为256级的高分辨率全色影像和低分辨率多光谱影像。为了对比融合效果，选取了基于Wavelet图像融合算法进行对比实验。 基于Curvelet变换遥感图像融合的过程：读取高分辨率图像与多光谱图像，将高分辨率图像由RGB转换为灰度图，进行直方图修正，生成与多光谱的亮度分量图有相似直方图特征的图像，进行双精度化后，赋值给新的全色RGB；在多光谱图像中，把三维图像分解为3个二 维图像；分别对多光谱图像和全色图像进行Curvelet变换，进行4层分解，分为32个方向；对低频子带采用加权平均法进行融合，对除了最细尺度下的高频子带融合，融合规则为：If多光谱高频Curvelet系数 >全色高频Curvelet系数，then新的高频Curvelet系数=多光谱高频Curvelet系数+全色高频Curvelet系数，If多光谱高频Curvelet系数 1.2实验结果分析
小波分析的发展历程 一、小波分析 1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。 （1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。 （2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。 （3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。 1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。 1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。 1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。 1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。 1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。 1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。 1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。 1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。 1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。 1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。它标志着第一代小波的开始？ （1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。 （2）优点：Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。 （3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。 1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。 Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。 1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。 1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。 1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。 1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。 （1）操作过程：利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。 （2）优点：具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。
多尺度方法在复合材料力学分析中的研究进展 摘要简要介绍了多尺度方法的分量及其适用范围，详细论述了多尺度分析方法在纤维增强复合材料弹性、塑性等力学性能中的研究进展，最后对多尺度分析方法的前景进行了展望。 关键词多尺度分析方法，复合材料，力学性能，细观力学，均匀化理论 1 引言 多尺度科学是一门研究不同长度尺度或时间尺度相互耦合现象的跨学科科学，是复杂系统的重要分支之一，具有丰富的科学内涵和研究价值。多尺度现象并存于生活的很多方面，它涵盖了许多领域。如介观、微观个宏观等多个物理、力学及其耦合领域[1]。空间和时间上的多尺度现象是材料科学中材料变形和失效的固有现象。 多尺度分析方法是考虑空间和时间的跨尺度与跨层次特征，并将相关尺度耦合的新方法，是求解各种复杂的计算材料科学和工程问题的重要方法和技术。对于求解与尺度相关的各种不连续问题。复合材料和异构材料的性能模拟问题，以及需要考虑材料微观或纳观物理特性，品格位错等问题，多尺度方法相当有效。 复合材料是由两种或者两种以上具有不同物理、化学性质的材料，以微观、介观或宏观等不同的结构尺度与层次，经过复杂的空间组合而形成的一个多相材料系统[2]。复合材料作为一种新型材料，由于具有较高的比强度和比刚度、低密度、强耐腐蚀性、低蠕变、高温下强度保持率高以及生物相容性好等一系列优点，越来越受到土木工程和航空航天工业等领域的重视。 复合材料是一种多相材料，其力学性能和失效机制不仅与宏观性能（如边界条件、载荷和约束等）有关，也与组分相的性能、增强相的形状、分布以及增强相与基体之间的界面特性等细观特征密切相关，为了优化复合材料和更好地开发利用复合材料，必须掌握其细观结构对材料宏观性能的影响，即应研究多尺度效应的影响。 如何建立起复合材料的有效性能和组分性能以及微观结构组织参数之间的
收稿日期：2010－11－04 基金项目：国家自然科学基金项目（40901216）；国防预研资助项目（513220206） 作者简介：李财莲（1973－），女，湖南涟源人，海南大学信息科学技术学院工程师，国防科学技术大学电子科 学与工程学院2007级博士研究生． 第29卷第3期海南大学学报自然科学版Vol．29No．3 2011年9月NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITY Sep.2011 文章编号：1004－1729（2011）03－0275－09 图像多尺度几何分析综述 李财莲1，2，孙即祥1，康耀红 2（1．国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南长沙410073；2．海南大学信息科学技术学院，海南海口570228） 摘要：阐述了图像多尺度几何分析技术的国内外发展现状及趋势，并介绍了其在图像处理中的部分应用， 探讨了图像多尺度几何分析方法存在的问题及进一步的研究方向，为多尺度几何分析技术的发展状况提供 了清晰的轮廓． 关键词：多尺度几何分析；小波变换；图像处理；Tetrolet 变换 中图分类号：TP 391文献标志码：A 由于超越傅里叶变换的诸多优点，小波变换被广泛应用到图像处理的各个领域，成为继傅里叶变换 之后的又一变换分析工具．但是， 由于小波变换只能反映信号的零维奇异性，即只能表达奇异点的位置和特性，却不能有效表示二维图像中具有多方向性的边缘和纹理等几何特性，因此，小波基并不是最优的图 像表示方法 ［1－9］．DO M N 在总结前人研究的基础上给出了图像有效表示需要满足以下条件［10］： 1）多分辨率表示方法能够进行多尺度分解，对图像从粗糙到精细连续逼近； 2）局部性表示方法的基函数在空域上和频域上都应该有良好的局部性质，并且能随尺度变化； 3）临界采样表示方法具有较低的冗余结构； 4）方向性表示方法应该包含多个方向的基函数； 5）各向异性表示方法的基函数的支撑集具有不同长宽比的形状，能处理图像边缘轮廓的平滑性．显然，傅里叶变换和二维可分离小波变换仅满足上述的部分性质，为了寻找最优的图像表示方法，更 加有效地表示和处理图像等高维空间数据， 一门崭新的信号分析工具———多尺度几何分析（Multiscale Ge-ometric Analysis ，MGA ）被提出来并迅速成为当前研究的热点［2］，它能满足上述图像有效表示的所有条 件， 在图像分析中获得了较大成功，体现出了一定的优势和潜力．目前，研究者提出了包括Ridgelet ，Curvelet ，Bandelet ，Contourlet 等一系列多尺度几何分析工具，由于 它们主要以变换为核心，因此也称为多尺度多方向变换．为了能充分利用原函数的几何正则性，这些变换 基的支撑区间表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线．多尺度几何分析技术在图像压缩、 去噪、增强及特征提取等领域，表现出的性能优势显示了其强大的发展和应用潜力，但其理论和算法都处于发展阶段，还尚待完善和开发． 文献［4］以二维函数的非线性逼近为主线，分析了推动多尺度几何分析发展的深刻数学和生理学背 景．文献［ 6］分析了Contourlet 变换及其构造原理，探讨了Contourlet 变换在图像处理中的部分应用．本文在此基础上，阐述了国内外多尺度几何分析技术的研究现状及发展趋势，给出了部分图像处理应用结果，探讨了图像多尺度几何分析方法存在的问题及进一步研究的方向，为多尺度几何分析技术的发展提供清晰的轮廓．DOI:10.15886/https://www.doczj.com/doc/d5243749.html,ki.hdxbzkb.2011.03.012
过去10年来，小波变换在图像压缩领域取得了巨大的成功。它在处理具有点状奇异性的一维信号时远胜于傅立叶分析，在应用中，大多数的二维小波变换使用的可分离滤波器组是一维小波变换在行和列方向的张量积。由于小波基函数仅能表示水平、垂直、对角三个方向，因此在表示高维奇异信号如图像的几何边界等就显得无能为力。因此小波变换在捕捉0维奇异性或处理分片光滑区域时是最优工具，但是在处理高维信号时就不是最优的。 小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维，由一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”地表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。 实现函数的稀疏表示是信号处理、计算机视觉等很多领域中一个非常核心的问题。对于模型(7)(焦李成谭山图像的多尺度几何分析：回顾和展望)，正交基所能达到的最优逼近误差应该具有s M-的衰减级[D L Donoho: Sparse component analysis and optimal atomic decomposition[j]. Constructive Approximation, 1998, 17:353-382]，然而小波变换的非线性逼近误差只能达到1 M-的衰减级。其中重要的原因是二维可分离小波基只具有有限的方向，即水平、垂直、对角，方向性的缺乏使小波变换不能充分利用图像本身的几何正则性。据生理学家对人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型，一种“最优”的图像表示法应具有如下特征：(1)多分辨：能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续逼近，即“带通”性；(2)局域性：在空域和频域，这种表示方法的“基”应该是“局部”的；(3)方向性：其“基”应该具有“方向”性，不仅仅局限于二维可分离小波的3个方向。 上图表示了分别用傅立叶分析、二维可分离小波变换以及Bandelet变换来逼近图像中奇异曲线的过程。由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。二维小波逼近奇异曲线的过程，最终表现为用“点”
第2章平面体系的几何组成分析 10 .图示体系是---------------------------- 体系，因为02.有多余约束的体系一定是几何不变体系。（ ） 03.图中链杆1和2的交点O可视为虚铰。（ ） 11 .联结两个刚片的任意两根链杆的延线交点称为 ------------- ，它的位置是------------------ 定的 12 .试对图示体系进行几何组成分析。 04.三个刚片用三个铰两两相互联结而成的体系是： A ?几何不变； B?几何常变； C.几何瞬变； D.几何不变几何常变或几何瞬变。（） 05.联结三个刚片的铰结点，相当的约束个数为： A . 2 个； B. 3 个； C. 4 个； D.5个。（） 06.两个刚片，用三根链杆联结而成的体系是： A ?几何常变； B.几何不变； C.几何瞬变； D.几何不 变或几何常变或几何瞬变。（）07.图示体系是： A?几何瞬变有多余约束； B ?几何不变； C ?几何常变； D?几何瞬变无多余约束。（） C B 13 . 14 . 对图示体系进行几何组成分析 成分析。 15 .对图示体系进行几何组成分 析。 E 08 .在不考虑材料------------- 的条件下，体系的位置和形状不能改变的体系称为几何------------- 体系 09 .几何组成分析中，在平面内固定一个点，需要
18.对图示体系进行几何组成分析。 19.对图示体系进行几何组成分析 20.对图示体系进行几何组成分析 21 .对图示体系进行几何组成分析。 16 . 对图示体系进行几何组成分 析。 对图示体系进行几何组成分析17 . E
多尺度几何分析概论 摘要：以函数的稀疏表示为主线，详细介绍了各种多尺度几何分析产生的背景、发展历程和逼近性能，并分析了它们各自存在的优缺点，最后指出了其发展方向。 关键词：多尺度几何分析；奇异性；正则性；非线性逼近；有界变差函数 0引言 自1807年Fourier 提出任意一个周期为2π的函数都可以表示成一系列三角函数的代数和，到今天蓬勃发展的小波分析，科学家们的研究目的是对不同的函数空间提供一种直接、简便的分析方式，即寻求函数在某一特定空间下，在某种基下的最优逼近。逼近的误差体现了用此基表示函数的稀疏程度或是分解系数的能量集中程度。 Fourier分析的思想是将函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加，即将函数用一簇三角基展开，将原函数在时域中的讨论转换为对这个叠加权系数的讨论，即Fourier 变换在频域中的研究。这种三角体系展开方式的局限性促使人们去寻找其他的正交体系——小波分析。小波分析的地位在数学界是独一无二的，它较精确的时频定位特性，成为处理非平稳信号的有利工具；也证明了小波分析比Fourier 分析更能稀疏地表示一段分段光滑或有界变差函数。这是小波分析成功的一个关键原因。但是，由于张量积小波只具有有限方向数，它主要适合表示一维奇异性的对象，当它在处理二维或更高维奇异性时，就显得无能为力。小波在表示这些函数时并不是最优的或者最稀疏的表示方法。为了更好地处理高维奇异性，一类带有方向性的稀疏表示方法——多尺度几何分析应运而生。它的产生符合人类视觉皮层对图像有效表示的要求，即局部性、方向性和多尺度性。它的目的就是为具有面奇异或线奇异的高维函数找到最优或最稀疏的表示方法。目前，已有的多尺度几何分析方法有Emmanuel J Candès等人提出的脊波变换(ridgelet transform)、单尺度脊波变换(monoscale ridgelet transform)、curvelet变换(curvelet transform)，E. Le Pennec等人提出的bandelet 变换，以及M.N.Do 等人提出的contourlet变换。另外，还有一些多尺度分析方法，如David Donoho 提出的wedgelet、beamlet等。本文根据以上方法出现的时间顺序来讨论其逼近性能的异同。 在图像处理方面，图像的稀疏表示在对图像数据的存储、传输中得到了广泛的应用。由于余弦基和小波基能够用较少的系数达到图像较精确的非线性逼近，成为图像稀疏表示的重要方法。如今，多尺度几何分析的出现，又为图像的稀疏表示提供了一个全新而又有效的方法。 1奇异性分析 本文称无限次可导的函数是光滑的或没有奇异性的。若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性。图像的奇异性或非正则结构通常包含了图像的本质信息。例如图像亮度的不连续性表示景物中的边缘部分，这是认识图中最重要的部分。图像的奇异性是常见的，也是重要的。在自然界中光滑物体的边界往往体现为沿光滑曲线的奇异性，并不仅是点的奇异性。在数学上，通常用Lipschitz指数刻画信号的奇异性大小。 3多尺度几何分析 3．1脊波变换 脊波理论的基本框架是由E.J Candès 建立，并与D.L.Donoho等人在其后续工作中逐步拓展和完善。脊波变换是一种非自适应的高维函数表示方法，对含直线奇异的多变量函数能够达到最优的逼近阶。脊波理论的提出在多尺度几何分析史上产生了深远的影响，具有不可估量的价值。脊波变换的核心主要是经过radon变换把线状奇异性变换成点状奇异性。小波变换能有效地处理在radon域的点状奇异性。其本质就是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的，所以它不但与小波一样有局部时频分析的能力，还具有很强的方向选择和辨识能力，可以非常有效地表示信号中具有方向性的奇异特征。这是小波方法所不能得到的。 3．1．2数字脊波的实现 在实际应用中，脊波变换的离散化及其算法实现是一个具有挑战性的问题。由于脊波的径向性质，对连续公式直接离散实现时要在极坐标中进行插值。这样的变换结果或者是冗余的，或者不能完全重构。脊波变换数字实现的优劣很大程度上取决于其中radon变换数字实现的重构精度。为此，人们提出了各种各样的方法，大体上可分为在Fourier域利用投影切片定理的方法、多尺度方法和代数方法三类。
结构的几何构造分析概念 1-1 1、几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。 几何可变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。几何不变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变的体系。 2、自由度：描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。 平面内一个动点A，其位置要由两个坐标 x 和 y 来确定，所以一个点的自由度等于2。平面内一个刚片，其位置要由两个坐标 x 、y 和AB 线的倾角α来确定，所以一个刚片在平面内的自由度等于3。 3、刚片：平面体系作几何组成分析时，不考虑材料应变，所以认为构件没有变形。可以把一根杆、巳知是几何不变的某个部分、地基等看作一个平面刚体，简称刚片。 4、约束：如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。约束有三种： 5、多余约束：减少体系独立运动参数的装置称为约束，被约束的物体称为对象。使体系减少一个独立运动参数的装置称为一个约束。例如一根链杆相当于一个约束;一个连接两个刚片的单铰相当于二个约束;一个连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰;一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束;一个连接n 个刚片的复刚性节点相当于n—1个单刚性节点。如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。平面内一个无铰的刚性闭合杆(或称单闭合杆)具有三个多余约束。
6、瞬变体系及常变体系：常变体系概念：体系可发生大量的变形，位移。区别于瞬变体系：瞬变体系概念：体系可发生微小的变形，位移。 7、瞬铰：两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰。 2-2平面杆件体系的计算自由度 1、体系是由部件（刚片或结点）加上约束组成的。 2、刚片内部：是否有多余约束。内部有多余约束时应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时应当考虑进去。 3、复铰：连接两个以上刚片的铰结点。连接n个刚片的铰相当于（n-1）个单铰。 4、单链杆：连接两个铰结点的链杆。 5、连接两个以上铰结点的链杆。 连接 n 个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。 6、平面体系的计算自由度 W ：W=3m-(2n+r) m:钢片数 n:单绞数 r:支座链杆数上面的公式是通用的。 W=2J-(b+r) J:结点个数 b:链杆数 r:支座链杆数上面的公式用于完全由铰接的连杆组成的结构体系。 7、自由度与几何体系构造特点： 静定结构的受力分析
第二章 结构的几何组成分析 李亚智 航空学院·航空结构工程系
2.1 概述 结构要能承受各种可能的载荷，其几何组成要稳固。即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动，以维持原来的几何形状。 在任意载荷作用下，若不考虑元件变形，结构保 持其原有几何形状不变的特性称为几何不变性。 在载荷作用下的系统可分为三类。 2.1.1 几何可变系统 特点： 不能承载，只能称作“机构”。 2 1 3 4 P 2’3’
2.1.2 几何不变系统 特点：能承载，元件变形引起几何形状的微小变化，可以称为结构。 2.1.3 瞬时几何可变系统 特点：先发生明显的几何变形，而后几何不变。 P 213 4 2’ 3’ 2’3’ P 2 1 34 5 ∞ →=2321N N 1 2 3 P 内力巨大，不能作为结构。 N 21 N 23 P 2
由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。 系统几何组成分析的目的： （1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构 使用； （2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理 的结构； （3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算 方法。
2.2 几何不变性的判断 2.2.1 运动学方法 将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度； 将结构中的另一些元件看成约束。 如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。 所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。
1、自由度与约束（1）自由度的定义 决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。平面一个点有2个独立坐标，故n =2空间一个点有3个独立坐标，故n =3 x y y ?x ?A A ' x y A y A x A z A z A ' O
张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究 非经典热传导问题多尺度分析方法研究古 张洪武张盛郭旭 大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，工程力学系．大连１１６０２４ 摘要根据时空间尺度的高阶均匀化理论．建立分析尉期性结构中非傅立叶热传导问题的时间一空 训多尺度分析方法，通过引入放大空间尺度和缩小时间尺度，研究了由空间非均匀性引起的非傅立叶 热传导的波动效应和非局部效应，得到具有非局部效应的四阶微分方程，对高阶非局部热传导方程进 行修正．使问题的求解避免了对有限元离散的Ｃ—ｌ连续性要求。给出三种不同材料参数情况的计算 结果．验证方法正确性的同时，对存在的问题进行了讨沦。 关键词非傅立叶热传导；多尺度方法；均匀化方法：非局部模型 １引言 传统的傅立叶（Ｆｏｕｒｉｅｒ）导热定律是导热现象规律性的经验总结，它是建立在大量常规传热实验的基础上的。傅立叶导热定律不涉及热传导时间项，定律本身隐含了热传播速度为无限大的假设。但对极端热传导条件下的非稳态传热过程，如激光表面热处理、脉冲干燥及微时间或微空间尺度条件下的传热问题等，热传播速度的有限性却必须考虑，此时会出现一些不同于常规传热过程的物理现象．这种热传导效应称为非傅立叶（ｎｏｎ．Ｆｏｕｒｉｅｒ）热传导效应。传统傅立叶导热定律的本构方程描述了热流量和温度空间梯度分布之间的关系，其数学表达式为抛物线型偏微分方程。而非傅立叶导热定律还考虑了热波的时间迟滞，其数学表达式为双曲线型偏微分方程。 热传导问题多尺度分析方法的研究具有极大的学术探讨价值和广泛的工程应用领域“’…。本文主要目的是根据非傅立叶导热定律本构方程，研究不同材料组成的多相结构中热传导问题的时间．空间多尺度分析方法ｈ５１ｏ在非均匀介质的分界面上存在的反射和折射作用影响了脉冲激励的传播，在宏观上出现了勃、散，衰减等现象。为了解决这一勃、散效应，本文采用了多时间一空间尺度的高阶均匀化理论对问题进行分析。通过引入放大空间尺度和缩小时间尺度，从数学上获得不同阶次的时间一空间问题的均匀化方程，对这些具有不同阶次的均匀化方程进行合并整理，最终得到用于结构宏观多尺度分析的高阶均匀化方程。 ２时间一空间多尺度渐进分析的基本方法 如图ｌ所示，假设宏观的特征尺寸￡远大于非均匀性尺寸，。在空间上引入两个尺度：一个是宏观或整体空间尺度ｘ，另一个是微观或局部放大空间尺度ｙ，且Ｙ＝Ｉ／ｓ，其中ｓ＜＜１。在时间上引入一个一般时间尺度，即ｔｏ＝ｒ，同时还引入一个缩小时间尺度：ｔｌ＝８２ｆ，以进行时间域的多尺度分析。因为瞬态温度场≯与ｘ、Ｙ、ｔｏ、ｔ１相关，对≯采取近似多尺度渐进展开，得 ｄ（ｘ，Ｙ，ｆ）＝如（ｘ，Ｙ，ｔｏ，＾）＋印【（ｘ，Ｙ，ｔｏ，ｒ１）＋占２≯２（ｘ，ｙ，ｆｏ，‘１）＋－…??（１） 黝材料＝ Ｉ鼻＾ｌｅ：＾ 图ｌ一维杆和单元结构 所研究的结构右侧施加热源加），其余表面绝热，其特征长度为ｆ（在ｘ尺度上）和盎（在ｙ尺度上）＋幽家自然科学基金５０１７８０１６、杰出青年科学基金１０２２５２１２资助项目
基于多尺度几何分析的目标描述和识别 基于多尺度几何分析的目标描述和识别 潘泓, 李晓兵, 金立左, 夏良正(东南大学自动化学院,江苏南京210096)摘要:结合多尺度几何分析和局部二值模式算子,构造了一种新的多尺度、多方 向局部特征描述子———局部Cont-ourlet二值模式(LCBP).通过对尺度内、尺度间及同一尺度不同方向子带内LCBP直方图统计分析,同时考虑到LCBP的四叉树结构特点和模型的简单性,用两状态HMT描述LCBP系数,得到LCBP-HMT模型.在此基础上,提出了基于LCBP-HMT模型的目标识别算法,该算法提取LCBP-HMT 模型参数作为特征,通过比较输入目标特征和各类标准目标特征的Kullback-Leibler距离进行分类.实验结果表明, LCBP特征比传统小波域特征和Contourlet域高斯分布模型特征更具鉴别能力. 关键词:多尺度几何分析;轮廓波变换;局部二值模式;目标识别 引言 由一维小波基通过张量积生成的二维可分离小波基是各向同性的,只具有有限的方向选择性,在表示二维或高维信号的奇异结构处(如图像边缘和轮廓)会产生大量小波系数,导致高维信号的非稀疏表示.针对传统小波在高维空间中分析能力 不足的缺点,人们相继提出了Curvelet、Contourlet、Bandelet和 Directionlet等一系列多尺度几何分析(MultiscaleGeometricAnalysis-MGA) 方法.这些MGA变换的共同特点在于:基函数的支撑区间具有各向异性和多种方 向选择性,在描述高维信号时,能以更少的系数、更优的逼近阶数逼近信号奇异处.MGA优越的非线性逼近特性,使其越来越多地被应用在特征提取、纹理分类[1]、生物特征识别[2]和图像检索[3]等领域.目前,MGA理论体系刚建立,在特 征提取、目标识别等方面的应用还处于起步阶段,仍有许多地方有待进一步研究. 本文结合多尺度几何分析和局部二值模式(LocalBinary Pattern-LBP)算子,构造了一种新的多尺度局部方向特征描述子-局部Contourlet二值模式(LocalContourletBinary Pattern-LCBP).通过对尺度内、尺度间及同一尺度 不同方向子带LCBP直方图的分析,研究了LCBP特征的边缘和条件统计模型. 在此基础上,用隐马尔可夫树模型对LCBP系数建模,并提出了基于隐马尔可夫树模型的LCBP目标识别算法,取得了较传统小波变换特征和Contourlet域高斯分布模型特征更好的识别结果. 1 Contourlet变换Contourlet变换[4, 5]是一种多尺度、多方向的二维图 像表示方法,与其它MGA方法相比, Contourlet变换在不同尺度上的方向分解 数目灵活可调,可以用较精细的角度分辨率捕获图像的方向信息. Cont-ourlet 变换将多尺度分析和方向分析分开进行:①通过拉普拉斯金字塔 (Laplacian Pyramid-LP)进行多尺度分解,捕获图像中的点奇异性.一次LP分 解将原始图像分解为低频分量和高频分量,低频分量由原始图像通过二维低通滤波和隔行隔列二采样得到,高频分量由原始图像和低频分量的差分得到.②使用 方向滤波器组(Directional Filter Bank-DFB)对高频分量进行方向变换.DFB 将同方向上的奇异点连接成线性结构,并合并为一个Contourlet变换系数,从而捕获图像中的轮廓.若DFB的个数为,l DFB将频域分解成2l个楔型方向子带.