LINGO 操作入门
LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。
当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口：
外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。
例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题：
,6002100
350.
.32min 21211
212
1≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x
在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100;
2*x1+x2<=600;
然后点击工具条上的按钮 即可。 >=和<=可写成>和<
一个表达式可写成多行，如 min=2*x1 +3*x2；
LINGO WINDOWS 命令
文件菜单（File Menu ） 1． 新建（New ）
从文件菜单中选用“新建”命令、单击“新建”按钮或直接按F2键可以创建一个新的“Model”窗口。在这个新的“Model”窗口中能够输入所要求解的模型。
2． 打开（Open ）
从文件菜单中选用“打开”命令、单击“打开”按钮或直接按F3键可以打开一个已经存在的文本文件。这个文件可能是一个Model 文件。
3． 保存(Save)
从文件菜单中选用“保存”命令、单击“保存”按钮或直接按F4键用来保存当前活动窗口（最前台的窗口）中的模型结果、命令序列等保存为文件。
4． 另存为．．．(Save As ．．．) 从文件菜单中选用“另存为．．．”命令或按F5键可以将当前活动窗口中的内容保存为文本文件，其文件名为你在“另存为．．．”对话框中输入的文件名。利用这种方法你可以将任何窗口的内容如模型、求解结果或命令保存为文件。
5． 关闭（Close ）
在文件菜单中选用“关闭”(Close)命令或按F6键将关闭当前活动窗口。如果这个窗口是新建窗口或已经改变了当前文件的内容，LINGO 系统将会提示是否想要保存改变后的内容。
6．打印(Print)
在文件菜单中选用“打印” (Print)命令、单击“打印”按钮或直接按F7键可以将当前活动窗口中的内容发送到打印机。
7．打印设置(Print Setup．．．)
在文件菜单中选用“打印设置．．．”命令或直接按F8键可以将文件输出到指定的打印机。
8．打印预览(Print Preview)
在文件菜单中选用“打印预览．．．”命令或直接按Shift+F8键可以进行打印预览。
9．输出到日志文件(Log Output．．．)
从文件菜单中选用“Log Output．．．”命令或按F9键打开一个对话框，用于生成一个日志文件，它存储接下来在“命令窗口”中输入的所有命令。
10．提交LINGO命令脚本文件(Take Commands．．．)
从文件菜单中选用“Take Commands．．．”命令或直接按F11键就可以将LINGO命令脚本（command script）文件提交给系统进程来运行。
11．引入LINGO文件(Import Lingo File．．．)
从文件菜单中选用“Import Lingo File．．．”命令或直接按F12键可以打开一个LINGO格式模型的文件，然后LINGO系统会尽可能把模型转化为LINGO语法允许的程序。
12．退出（Exit）
从文件菜单中选用“Exit”命令或直接按F10键可以退出LINGO系统。
●编辑菜单(Edit Menu)
1．恢复(Undo)
从编辑菜单中选用“恢复”（Undo）命令或按Ctrl+Z组合键，将撤销上次操作、恢复至其前的状态。
2．剪切(Cut)
从编辑菜单中选用“剪切”（Cut）命令或按Ctrl+X组合键可以将当前选中的内容剪切至剪贴板中。
3．复制(Copy)
从编辑菜单中选用“复制”（Copy）命令、单击“复制”按钮或按Ctrl+C组合键可以将当前选中的内容复制到剪贴板中。
4．粘贴(Paste)
从编辑菜单中选用“粘贴”（Paste）命令、单击“粘贴”按钮或按Ctrl+V组合键可以将粘贴板中的当前内容复制到当前插入点的位置。
5．粘贴特定..（Paste Special。。）
与上面的命令不同，它可以用于剪贴板中的内容不是文本的情形。
6．全选(Select All)
从编辑菜单中选用“Select All”命令或按Ctrl+A组合键可选定当前窗口中的所有内容。
7．匹配小括号(Match Parenthesis)
从编辑菜单中选用“Match Parenthesis”命令、单击“Match Parenthesis”按钮或按Ctrl+P组合键可以为当前选中的开括号查找匹配的闭括号。
8．粘贴函数(Paste Function)
从编辑菜单中选用“Paste Function”命令可以将LINGO的内部函数粘贴到当前插入点。
●LINGO菜单
1．求解模型（Slove）
从LINGO菜单中选用“求解”命令、单击“Slove”按钮或按Ctrl+S组合键可以将当前模型送入内存求解。
2．求解结果．．．（Solution．．．）
从LINGO菜单中选用“Solution．．．”命令、单击“So lution．．．”按钮或直接按Ctrl+O组合键可以打开求解结果的对话框。这里可以指定查看当前内存中求解结果的那些内容。
3．查看．．．（Look．．．）
从LINGO菜单中选用“Look．．．”命令或直接按Ctrl+L组合键可以查看全部的或选中的模型文本内容。不再看，关闭窗口
4．灵敏性分析（Range，Ctrl+R）
用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab，在Dual
Computations列表框中，选择Prices and Ranges选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。
5．picture(右击：zoom in以光标所在为中心放大，zoom out缩小。Debug调试（如改成2*x1+x2<6 ，P97），Model Statistics（统计内容根据是否为线性有所不同。以运输为例P99）。
窗口菜单（Windows Menu）
1．命令行窗口（Command Window）
从窗口菜单中选用“Open Command Window”命令或直接按Ctrl+1可以打开LINGO的命令行窗口。在命令行窗口中可以获得命令行界面，在“:”提示符后可以输入LINGO的命令行命令。
2．状态窗口（Status Window）
从窗口菜单中选用“Status Window”命令或直接按Ctrl+2可以打开LINGO的求解状态窗口。
如果在编译期间没有表达错误，那么LINGO将调用适当的求解器来求解模型。当求解器开始运行时，它就会显示如下的求解器状态窗口（LINGO Solver Status）。
求解器状态窗口对于监视求解器的进展和模型大小是有用的。求解器状态窗口提供了一个中断求解器按钮（Interrupt Solver见底边），点击它会导致LINGO在下一次迭代时停止求解。在绝大多数情况，LINGO能够回到原来状态并报告到目前为止的最好解。一个例外是线性规划模型，返回的解是无意义的，应该被忽略。但这并不是一个问题，因为线性规划通常求解速度很快，很少需要中断。注意：在中断求解器后，必须小心解释当前解，因为这些解可能根本就不最优解、可能也不是可行解或者对线性规划模型来说就是无价值的。
在中断求解器按钮的右边的是关闭按钮（Close）。点击它可以关闭求解器状态窗口，不过可在任何时间通过选择Windows|Status Window再重新打开。
在中断求解器按钮的右边的是标记为更新时间间隔（Update Interval）的域。LINGO将根据该域指示的时间（以秒为单位）为周期更新求解器状态窗口。可以随意设置该域，不过若设置为0将导致更长的求解时间——LINGO花费在更新的时间会超过求解模型的时间。
变量框（Variables）
Total显示当前模型的全部变量数，Nonlinear显示其中的非线性变量数，Integers显示其中的整数变量数。非线性变量是指它至少处于某一个约束中的非线性关系中。例如，对约束
X+Y=100;
X和Y都是线性变量。对约束
X*Y=100;
X和Y的关系是二次的，所以X和Y都是非线性变量。对约束
X*X+Y=100;
X是二次方是非线性的，Y虽与X构成二次关系，但与X*X这个整体是一次的，因此Y是线性变量。被计数变量不包括LINGO确定为定值的变量。例如：
X=1;
X+Y=3;
这里X是1，由此可得Y是2，所以X和Y都是定值，模型中的X和Y都用1和2代换掉。
约束（Constraints）框
Total显示当前模型扩展后的全部约束数，Nonlinear显示其中的非线性约束数。非线性约束是该约束中至少有一个非线性变量。如果一个约束中的所有变量都是定值，那么该约束就被剔除出模型（该约束为真），不计入约束总数中。
非零（Nonzeroes）框
Total显示当前模型中全部非零系数的数目，Nonlinear显示其中的非线性变量系数的数目。
内存使用（Generator Memory Used，单位：K）框
显示当前模型在内存中使用的内存量。可以通过使用LINGO|Options命令修改模型的最大内存使用量。
已运行时间（Elapsed Runtime）框
显示求解模型到目前所用的时间，它可能受到系统中别的应用程序的影响。
求解器状态（Solver Status）框
扩展（附加）求解器状态（Extended Solver Status）框
显示LINGO中几个特殊求解器的运行状态。包括分枝定界求解器（Branch-and- Bound Solver）、全局求解器（Global Solver）和多初始点（启动）求解器（Multistart Solver）。该框中的域仅当这些求解器运行时才
帮助菜单(Help Menu)
1．帮助主题（Help Menu）
从帮助菜单中选用“Help Menu”可以打开LINGO的帮助文件。
2．关于LINGO(About Lingo)
关于当前LINGO的版本信息等。
二级菜单
从LINGO菜单中选用“Options．．．”命令、单击“Options．．．”按钮或直接按Ctrl+I组合键可以改变一些影响LINGO模型求解时的参数。该命令将打开一个含有7个选项卡的窗口，你可以通过它修改LINGO系统的各种参数和选项。如下图。
修改完以后，你如果单击“Apply（应用）”按钮，则新的设置马上生效；如果单击“OK（确定）”按钮，则新的设置马上生效，并且同时关闭该窗口。如果单击“Save（保存）”按钮，则将当前设置变为默认设置，下次启动LINGO时这些设置仍然有效。单击“Default（缺省值）”按钮，则恢复LINGO系统定义的原始默认设置（缺省设置）。
（6）Integer Solver（整数求解器）选项卡
（7）Global Solver（全局最优求解器）选项卡
应用举例
例1
用DESKS、TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。
max=60*desks+30*tables+20*chairs;
8*desks+6*tables+chairs<=48;
4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20;
2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8;
tables<=5;
求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看到如下结果。Global optimal solution found at iteration: 3
Objective value: 280.0000
Variable Value Reduced Cost
DESKS 2.000000 0.000000
TABLES 0.000000 5.000000
CHAIRS 8.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 280.0000 1.000000
2 24.00000 0.000000
3 0.000000 10.00000
4 0.000000 10.00000
5 5.000000 0.000000
“Global optimal solution found at iteration: 3”表示3次迭代后得到全局最优解。“Objective value:280.0000”表示最优目标值为280。“Value”给出最优解中各变量的值：造2个书桌（desks）, 0个餐桌（tables）, 8个椅子（chairs）。所以desks、chairs是基变量（非0），tables是非基变量（0）。
“Slack or Surplus”给出松驰变量的值：
第1行松驰变量 =280（模型第一行表示目标函数，无意义。所以第二行对应第一个约束）
第2行松驰变量 =24
第3行松驰变量 =0
第4行松驰变量 =0
第5行松驰变量 =5
“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的
变化率。其中基变量的reduced cost值应为0，对于非基变量 X j, 相应的 reduced cost值表示当某个变量X j 增加一个单位时目标函数减少的量( max型问题)。本例中：变量tables对应的reduced cost值为5，表示当非基变量tables的值从0变为 1时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生
变化），最优的目标函数值 = 280 - 5 = 275。
“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加 1 个单位，目标函数将增加p 个单位（max型问题）。显然，如果在最优解处约束正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束），对偶价格值才可能不是0。本例中：第3、4行是紧约束，对应的对偶价格值为10，表示当紧约束
3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 20
变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 21
时，目标函数值 = 280 +10 = 290。对第4行也类似。
对于非紧约束（如本例中第2、5行是非紧约束），DUAL PRICE 的值为0, 表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时, 通过分析DUAL PRICE, 也可对产生不可行问题的原因有所了解。
灵敏度分析的结果是点击Lingo-Range查看
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
DESKS 60.00000 20.00000 4.000000
TABLES 30.00000 5.000000 INFINITY
CHAIRS 20.00000 2.500000 5.000000
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 48.00000 INFINITY 24.00000
3 20.00000 4.000000 4.000000
4 8.000000 2.000000 1.333333
5 5.000000 INFINITY 5.000000
目标函数中DESKS变量原来的费用系数为60，允许增加（Allowable Increase）=20、允许减少（Allowable Decrease）=4，说明当它在[60-4，60+20] = [56，80]范围变化时，最优基保持不变。对TABLES、CHAIRS变量，可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。
第2行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为48，当它在[48-24，48+∞] = [24，∞]范围变化时，最优基保持不变。第3、4、5行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。
灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定当目标函数的费用系数和约
束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。下面我们通过求解一个实际问题来进行说明。
例2一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者
在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步
讨论以下3个附加问题：
1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？
设用x1桶牛奶加工A1, 用x2桶牛奶加工A2，
模型代码如下：
max=72*x1+64*x2;
x1+x2<=50;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100;
求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。
Global optimal solution found at iteration: 0
Objective value: 3360.000
Variable Value Reduced Cost
X1 20.00000 0.000000
X2 30.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 3360.000 1.000000
2 0.000000 48.00000
3 0.000000 2.000000
4 40.00000 0.000000
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 72.00000 24.00000 8.000000
X2 64.00000 8.000000 16.00000
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 50.00000 10.00000 6.666667
3 480.0000 53.33333 80.00000
4 100.0000 INFINITY 40.00000
结果告诉我们：这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的3个附加问题给予说明。 3个约束条件的右端不妨看作3种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动
时间的剩余均为零，车间甲尚余40（公斤）加工能力。
目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。输出中DUAL PRICES 给出这3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增长2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格
为48元，1小时劳动的影子价格为2元，车间甲的影子价格为零。读者可以用直接求解的办法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束milk）右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48（元）。用影子价格的概念很容易回答附加问题1）：用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格48，当然应该作这项投资。回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。
目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单地回答。
上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24）=（64，96）；x2
的系数为（64-16，64+8）=（48，72）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。由于目标函数
的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。用这个结果很
容易回答附加问题3）：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1系数变为30×3=90，在允许范围内，所以不应改
变生产计划，但最优值变为90×20+64×30=3720。
下面对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是有限制的。每增加1桶牛奶利润增长48元（影子价格），但是，上面输出的CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围： milk）原料最多增加10（桶牛奶），time）劳动时间最多增加53（小时）。现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。顺便地说，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3333小时。
需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面的问题，“原料最多增加10（桶牛奶）”的含义只能是“原料增加10（桶牛奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。反过来，原料增加超过10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。
教材：桌子、椅子
sets:
cp/x1..x2/:jiag,chl;
ziy/b1..b2/:gongy;
xishu(ziy,cp):dinge;
endsets
max=@sum(cp(i):
jiag(i)*chl(i));
@for(ziy(i):
@sum(cp(j):
dinge(i,j)*chl(j))<=gongy(i));
data:
gongy=120 50;
jiag=50 30;
dinge=4 3 2 1;
enddata
运输问题例：某公司有6个仓库向8个销售商供应商品，产销单位运价如下表。使用LINGO软件计算6个发点8
此问题产大于销，有如下模型：
Min Z = Cij Xij ∑
=6
1i Xij =bj （j=1...8） 销量约束
∑
=8
1
j Xij ≤ ai （i=1...6） 产量约束
Xij ≥ 0（i=1...6；j=1...8）
使用LINGO 软件，编制程序如下： model :
!6发点8收点运输问题; sets :
warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand;
links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets
min =@sum (links: cost*volume); !目标函数; @for (vendors(J):
@sum (warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !需求约束; @for (warehouses(I):
@sum (vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !产量约束; !这里是数据; data :
capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end
∑∑
==6181
i j
model:
!6发点8收点运输问题;
sets:
warehouses: capacity;
vendors: demand;
links(warehouses,vendors): cost, volume;
endsets
min=@sum(links: cost*volume); !目标函数;
@for(vendors(J):
@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !需求约束;
@for(warehouses(I):
@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !产量约束;
!这里是数据;
data:
warehouses,vendors,capacity,demand,cost=
@ole('g:\lingo\yunshu.xls','warehouses','vendors','capacity','demand','cost');
enddata
end
另外还需在Excel中为warehouses,vendors,capacity,demand,cost定义域名，方法是选择数据区域，然后插入-名称-定义。
将求解结果导入Excel：在数据区域加@ole('g:\lingo\yunshu.xls')=volume;也需要在Excel中为volume 定义域名，方法同上。
mba案例解：
案例1 Max Z=4.438X1+ 6.093X2+ 5.298X3+ 26.947X4+ 6.949X5
原料3月购进量约束： 0.094X1+ 0.054X2+ 0.045X3+ 0.017X4+ 0.086X5≤4000
产品1和3总量约束： 0.3X1-0.7X2+ 0.3X3-0.7X4-0.7X5 = 0
产品2产量约束： -0.05X1+ 0.95X2-0.05X3-0.05X4-0.05X5≤ 0
产品1产量约束： -X1+ X3+ X4≤ 0
X1，X2，X3，X4，X5≥0
Max =4.438*X1+ 6.093*X2+ 5.298*X3+ 26.947*X4+ 6.949*X5;
0.094*X1+ 0.054*X2+ 0.045*X3+ 0.017*X4+ 0.086*X5<4000;
0.3*X1-0.7*X2+ 0.3*X3-0.7*X4-0.7*X5 = 0;
-0.05*X1+ 0.95*X2-0.05*X3-0.05*X4-0.05*X5< 0;
-X1+ X3+ X4< 0;
最优解：X=（32733.2 0 13093.3 19640 0）kg，Z=743875.7元
案例3 Min = X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6+ X7;
X1 >= 5; X2 >= 4; X3 >= 4; X4 >= 3; X5 >= 3; X6 >= 2; X7 >= 2;
X1+X2>=14;X2+X3>=13;X3+X4>=1;X4+X5>=10;X5+X6>=9;X6+X7>=7;X1+X7>= 14;
最优解：X=（9 5 8 3 7 2 5）人，Z=39人。或（9 9 4 3 7 2 5）
监理工程师年耗费总成本39（7（4/12）+5（7/12））=204.75万元。
案例2 Max =X1+4*(X2+X4)+5.5*(X3+X5+X6);
1000*X1+ 7000*X2+ 9000*X3+ 2800*X4+ 5200*X5+ 3600*X6 <1500000;
1000*X1+ 3000*X2+ 3000*X3+ 2800*X4+ 2000*X5+ 3600*X6 <550000;
3000*X2+ 2000*X3+ 3200*X5 < 450000;
1000*X2+ 4000*X3 < 500000;
X1 < 90; X2+ X4 < 80; X3+ X5+ X6 < 80;X4 < 226; X6 < 560;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);
最优解X=(90，80，60，0，20，0)，或(90，0，80，0，80，0)，Z=8500000元=850万
结论：从高中生中培养初﹑中﹑高级工人数分别为90，80，60，从初级工中培养高级工人数为20，企业增加产值850万。
案例2(动态法)
解：（1）设
（2）第一年投资
X1·1000+）X4·3000+X5·3000+X6·2800+X9·2000+X11·3600≤550000
第二年投资
X2·1000+X4·3000+X5·300+X7·2800+X9·2000+X10·3200+X12·3600≤450000
第三年投资
X3·1000+X4·3000+X5·3000+X8·2800+X10·3200+X13·3600 ≤500000
（3）X1≤90；X4+X6≤80；X5+X9+X11≤80；X6+X9≤226 X11≤560
X2≤90 X4+X7≤80
X3≤90 X4+X8≤80
X5+X9+X10+X12≤80
X5+X10+X13≤80
（4）Max=10000(X1+X2+X3)+40000·(X4+X6+X7+X8)+55000·(X5+X9+X10+X11+X12+X13);
输入：Max= =(X1+X2+X3)+4*(X4+X6+X7+X8)+5.5*(X5+X9+X10+X11+X12+X13);
1000*X1+3000*(X4+X5)+ 2800* X6+ 2000 *X9+3600 *X11<550000;
1000*X2+3000*(X4+X5)+ 2800* X7+ 2000 *X9+3200 *X10+3600 *X12<450000;
1000*X3+3000*(X4+X5)+ 2800* X8+ 3200 *X10+3600 *X13<500000;
X1< 90; X4+X6< 80; X6+X9< 226; X11<560; X2<90; X4+X7<80;
X3<90; X4+X8<80; X5+X9+X11<80; X5+X9+X10+X12<80; X5+X10+X13<80;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6); @gin(x7);
@gin(x8);@gin(x9);@gin(x10);@gin(x11);@gin(x12); @gin(x13);
结论：第1年，从高中生中培养初级工38人、从初级工中培养中级工80人﹑从中级工中培养高级工80人；第2年，从初级工中培养中级工59人﹑从中级工中培养高级工79人；第3年，从初级工中培养中级工77人﹑从
中级工中培养高级工79人，企业增加产值2211万。
案例4
1.Lingo教材P34
一家餐馆一周营业7天，员工每周工作5天，休息2天，员工薪水相同，每天需要员工数如下20 16 13 16 19 14 12，求满足每天需求量的员工总数。
设ks为每天开始上班人数，每天工作人数=该天及前4天开始工作人数和。
sets:
days/x1..x7/:xuq,ks;
endsets
min=@sum(days(i): ks(i));
@for(days(j):
@sum(days(i)|i#le#5: ks(@wrap(j-i+1,7)))>=xuq(j));
data:
xuq=20 16 13 16 19 14 12;
enddata
（注释：@wrap（index,limit）:限制变量索引在一定范围内循环。在此，当循环变量j-i+1降到0时，从7
开始递减。i#le#5表示循环5次）
上例，如果需求为20 12 18 16 19 14 12，则得不到整数解，需加整数约束：@for(days(i):@gin(ks(i)));
2.Lingo教材P44
一策划公司将8个分析家搬到新的办公地点，新地点有4个办公室，2人一间。据观察，不同的人在一起有不同的相容性，以1-10表示相容性从大到小，8个专家彼此间相容性如下
求一组最优匹配方案，使不相容等级最小。
sets:
analysis/1..8/;
pairs(analysis,analysis)|&2#gt#&1:rating,match;（只保留上三角的匹配）
endsets
data:
rating=9 3 4 2 1 5 6
1 7 3 5
2 1
4 4 2 9 2
1 5 5 2
8 7 6
2 3
4;
enddata
min=@sum(pairs(i,j):
rating(i,j)*match(i,j));
@for(analysis(i):
@sum(pairs(j,k)|j#eq#i #or#k#eq#i:
match(j,k))=1); （每个人的匹配值和=1）
@for(pairs(i,j):@bin(match(i,j))); （匹配值=0或1）
3.Lingo教材P250
某河段沿岸有3个工厂A、B、C，均向河中排污，环保局要求3厂协商进行处理，规定处理后污水中BOD5总值不超过1.6mg/L，经协商得出
sets:
factory/1..3/;
method/1..4/;
scheme(factory,method):cost,bod,selection;
endsets
data:
cost=0 8 14 17 0 4 8 14 0 10 15 22;
bod=1.2 0.6 0.2 0 0.8 0.6 0.4 0 1.6 1 0.6 0;
enddata
min=@sum(scheme:cost*selection);
@for(scheme:@bin(selection));
@for(factory(i):@sum(scheme(i,j):selection(i,j))=1);
@sum(scheme:bod*selection)<=1.6;
4.Lingo教材P262
水库可分配水资源量为7个单位，供给3个用户，其不同水量的效益如下，求最优分配方案。
sets:
User/1..3/;
water/1..8/;
arcs(User,water):benefit,status,selection;
endsets
data:
benefit=0 5 15 40 80 90 95 100
0 5 15 40 60 70 73 75
0 4 26 40 45 50 51 53;
status=0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7;
enddata
max=@sum(arcs(i,j):benefit(i,j)*selection(i,j));
@for(arcs:@bin(selection));
@for(User(i):@sum(arcs(i,j):selection(i,j))=1);
@sum(arcs(i,j):status(i,j)*selection(i,j))=7;
5.Lingo教材P279
某城市拟建3个新设施，有4个场地供选择，费用（千元/年）如下，求费用最低的计划。
sets:
service/s1..s3/;
place/p1..p4/;
pairs(service,place):cost,match;
endsets
data:
cost=20 40 15 30
5 10 13 6
8 35 16 28;
enddata
min=@sum(pairs(i,j):cost(i,j)*match(i,j));
@for(service(i):
@sum(pairs(i,k):match(i,k))=1);
@for(place(j):
@sum(pairs(i,j):match(i,j))<=1);
@for(pairs(i,j):@bin(match));
Lingo基本用法总结（除集函数部分）LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。Lingo免费版可以支持30个未知数，lingo破解版可以支持几万个未知数、几万个约束条件。 当你在windows下开始运行LINGO系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例1.1 如何在LINGO中求解如下的LP问题： 在模型窗口中输入如下代码： min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮即可。 得到如下结果：
所以当x1为250，x2为100时目标函数得到最大值。 ?算术运算符 Lingo中变量不区分大小写，以字母开头不超过32个字符 算术运算符是针对数值进行操作的。LINGO提供了5种二元运算符： ＾乘方﹡乘／除﹢加﹣减 LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。 这些运算符的优先级由高到底为： 高﹣（取反） ＾ ﹡／ 低﹢﹣ 运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。运算的次序可以用圆括号“（）” 来改变。
例：在x1+x2>=350，x1>=100，2*x1+x2<=600的条件下求2*x1+3*x2的最小值 在代码窗口中编写 min=2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后单击上面菜单lingo菜单下solve键即可。 ?数学函数 标准数学函数： @abs(x) 返回x的绝对值 @sin(x) 返回x的正弦值，x采用弧度制 @cos(x) 返回x的余弦值 @tan(x) 返回x的正切值 @exp(x) 返回常数e的x次方 @log(x) 返回x的自然对数 @lgm(x) 返回x的gamma函数的自然对数 @sign(x) 如果x<0返回-1；否则，返回1 @floor(x) 返回x的整数部分。当x>=0时，返回不超过x的最大整数；当 x<0时，返回不低于x的最大整数。 最大最小函数： @smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最大值 @smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn中的最小值 边界限定函数： @bin(x) 限制x为0或1 @bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U @free(x) 取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数@gin(x) 限制x为整数 辅助函数 1．@if(logical_condition,true_result,false_result) @if函数将评价一个逻辑表达式logical_condition，如果为真，返回true_ result，否则返回false_result 在默认情况下，LINGO规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+∞。@free取消了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界,它也可以取消默认下界为0的约束。 例：求x1^2+3*x2-x1*x2+e^x3在 x1+x2>=350;x1+x3<50;2*x1+x2+x3<=600;x1只能取0或1；x2为整数的条件下的最小值。 在代码窗口中编写 min=x1^2+3*x2-x1*x2+@exp(x3); x1+x2>=350; x1+x3<50; 2*x1+x2+x3<=600; @bin(x1);@gin(x2);
ji例程1、 model: sets: quarters/1..4/:dem,rp,op,inv; endsets min=@sum(quarters:400*rp+450*op+20*inv); @for(quarters(i):rp<=40); @for(quarters(i)|i#gt#1: inv(i)=inv(i-1)+rp(i)+op(i)-dem(i);); inv(1)=10+rp(1)+op(1)-dem(1); data: dem=40 60 75 25; enddata end 例程2、 model: sets: quarters/1..4/:dem,rp,op,inv; endsets min=@sum(quarters:400*rp+450*op+20*inv); @for(quarters(i):rp<=40); @for(quarters(i)|i#gt#1: inv(i)=inv(i-1)+rp(i)+op(i)-dem(i);); inv(1)=a+rp(1)+op(1)-dem(1); data: dem=40 60 75 25; a=? enddata end ?LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数，而除注释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条件，因此语句的顺序并不重要。 ?LINGO中函数一律需要以“@”开头 ?Lingo中的每个语句都以分号结尾 ?用LINGO解优化模型时已假定所有变量非负(除非用限定变量取值范围的函数@free或@sub或@slb另行说明)。 ?以感叹号开始的是说明语句(说明语句也需要以分号结束)） ?理解LINGO建模语言最重要的是理解集合（Set）及其属性（Attribute）的概念。 ?一般来说，LINGO中建立的优化模型可以由5个部分组成，或称为5“段” （SECTION）： （1）集合段（SETS）：以“ SETS:” 开始，“ENDSETS”结束，定义
LINGO 使用教程 LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。 §1 LINGO 快速入门 当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题： ,6002100 350. .32min 21211 212 1≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x 在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮 即可。 例1.2 使用LINGO 软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如
model: !6发点8收点运输问题; sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links: cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据; data: capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end 然后点击工具条上的按钮即可。 为了能够使用LINGO的强大功能，接着第二节的学习吧。 §2 LINGO中的集 对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。 现在我们将深入介绍如何创建集，并用数据初始化集的属性。学完本节后，你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。
LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。 §1 LINGO 快速入门 当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题： ,6002100 350. .32min 21211 212 1≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x 在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮 即可。 例1.2 使用LINGO 软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如
model: !6发点8收点运输问题; sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links: cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据; data: capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end 然后点击工具条上的按钮即可。 为了能够使用LINGO的强大功能，接着第二节的学习吧。 §2 LINGO中的集 对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。 现在我们将深入介绍如何创建集，并用数据初始化集的属性。学完本节后，你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。 2.1 为什么使用集 集是LINGO建模语言的基础，是程序设计最强有力的基本构件。借助于集，能够用一个
Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧 LINGO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。由于LINGO执行速度快，易于方便地输入、求解和分析数学规划问题，因此在教学、科研和工业界得到广泛应用。LINGO 主要用于求解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题，也可以用于求解一些线性和非线性方程组及代数方程求根等。 LINGO的最新版本为LINGO7.0，但解密版通常为4.0和5.0版本，本书就以LINGO5.0为参照而编写。 1．LINGO编写格式 LINGO模型以MODEL开始，以END结束。中间为语句，分为四大部分（SECTION）：（1）集合部分（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。这部分的作用在于定义必要的变量，便于后面进行编程进行大规模计算，就象C语言在在程序的第一部分定义变量和数组一样。在LINGO中称为集合（SET）及其元素（MEMBER或ELEMENT，类似于数组的下标）和属性（A TTRIBUTE，类似于数组）。 LINGO中的集合有两类：一类是原始集合（PRIMITIVE SETS），其定义的格式为：SETNAME/member list（or 1..n）/：attribute,attribute,etc。 另一类是是导出集合（DERIVED SETS），即引用其它集合定义的集合，其定义的格式为： SETNAME（set1，set2，etc。）：attribute，attribute，etc。 如果要在程序中使用数组，就必须在该部分进行定义，否则可不需要该部分。（2）目标与约束：这部分定义了目标函数、约束条件等。一般要用到LINGO的内部函数，可在后面的具体应用中体会其功能与用法。求解优化问题时，该部分是必须的。（3）数据部分（DA TA）：这部分以“DA TA：”开始，以“END DA TA”结束。其作用在于对集合的属性（数组）输入必要的数值。格式为：attribut=value_list。该部分主要是方便数据的输入。 （4）初始化部分（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“END INIT”结束。作用在于对集合的属性（数组）定义初值。格式为：attribute=value_list。由于非线性规划求解时，通常得到的是局部最优解，而局部最优解受输入的初值影响。通常可改变初值来得到不同的解，从而发现更好的解。 编写LINGO程序要注意的几点： 1.所有的语句除SETS、ENDSETS、DA TA、ENDDA TA、INIT、ENDINIT和MODEL，END 之外必须以一个分号“；”结尾。 2.LINGO求解非线性规划时已约定各变量非负。 LINGO内部函数使用详解。 LINGO建立优化模型时可以引用大量的内部函数，这些函数以“@”符号打头。 （1）常用数学函数 @ABS(X) 返回变量X的绝对数值。 @COS( X) 返回X的余弦值，X的单位为弧度 @EXP( X)
例题1. 在lingo 中输入下列线性规划模型，并求解 ∑∈?=A j i j i x j i d z ),(),(),( min s.t. 1),1(≥∑∈V j j x , , },10,,2,1{,0),(x ,),(, 1,1),(V V A V V i i i j i x j j i x V i ?==∈=>=∑∈ 为非负实数 所有 的数值如下表：d d=0 8 5 9 12 14 12 16 17 22 8 0 9 15 16 8 11 18 14 22 5 9 0 7 9 11 7 12 12 17 9 15 7 0 3 17 10 7 15 15 12 16 9 3 0 8 10 6 15 15 14 8 11 17 8 0 9 14 8 16 12 11 7 10 10 9 0 8 6 11 16 18 12 7 6 14 8 0 11 11 17 14 12 15 15 8 6 11 0 10 22 22 17 15 15 16 11 11 10 0; 分析：这个模型输入的难点，在于变量的数量太多，足足有100个。约束条件也比较多，有没有什么方便的输入方法？下面介绍lingo 中集合的建立 新建lingo 文件 输入下面内容 model : sets : V/1..10/;!创建集合V; A(V,V):d,x;!创建集合A 是V 乘V.而d,x 是与A 同结构的，即d ，x 分别是10*10矩阵; endsets min =@sum (A(i,j):d(i,j)*x(i,j));!创建目标函数; @sum (V(j):x(1,j))>=1; !第一个约束条件; @for (V(j)|j#gt#1: !i#gt#1为逻辑判断语句表示i>1是返回真值,但这里不能直接写i>1,因为">"是关系运算符不是逻辑运算符; @sum (V(i):x(i,j))=1;); !利用循环函数表达：当i>1（即i 从2到10）时， {x(i,j):j=1..10}的和等于1;
§2 LINGO中的集 对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。 现在我们将深入介绍如何创建集，并用数据初始化集的属性。学完本节后，你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。 2.1 为什么使用集 集是LINGO建模语言的基础，是程序设计最强有力的基本构件。借助于集，能够用一个单一的、长的、简明的复合公式表示一系列相似的约束，从而可以快速方便地表达规模较大的模型。 2.2 什么是集 集是一群相联系的对象，这些对象也称为集的成员。一个集可能是一系列产品、卡车或雇员。每个集成员可能有一个或多个与之有关联的特征，我们把这些特征称为属性。属性值可以预先给定，也可以是未知的，有待于LINGO求解。例如，产品集中的每个产品可以有一个价格属性；卡车集中的每辆卡车可以有一个牵引力属性；雇员集中的每位雇员可以有一个薪水属性，也可以有一个生日属性等等。 LINGO有两种类型的集：原始集(primitive set)和派生集(derived set)。一个原始集是由一些最基本的对象组成的。一个派生集是用一个或多个其它集来定义的，也就是说，它的成员来自于其它已存在的集。 2.3 模型的集部分 集部分是LINGO模型的一个可选部分。在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义。集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束。一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分。一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须定义了它们。 2.3.1 定义原始集 为了定义一个原始集，必须详细声明： 1、集的名字 2、可选集的成员
LINGO的基本用法 一．集合的基本用法 集合(set)及其属性(attribute)的概念 基本集合与派生集合 集合名[/元素列表/][：属性列表]； 集合名（父集合列表）[/元素列表/][：属性列表]； 稠密集合与稀疏集合 元素过滤法 基本集合的隐式列举法： 数字型 1..n 字符数字型Car101..Car208 日期型MON..FRI 月份型OCT..JAN 年月型OCT2007..JAN2008 二．模型结构 （1）集合段从“sets:”到“endsets” （2）数据输入段从“data:”到“enddata” 属性＝常数列表 （3）目标和约束段 MIN＝表达式 （4）计算段从“calc:”到“endcalc”，对原始数据的计算处理 （5）初始段从“init:”到“endinit”，定义迭代初值用 属性＝常数列表 （6）注释从感叹号到分号 三．函数 基本数学函数 @ABS(X) @COS(X) @EXP(X) @FLOOR(X) @LGM(X) @LOG(X) @MOD(X,Y) @POW(X,Y) @SIGN(X) @SIN(X) @SMAX(list) @SMIN(list) @SQR(X) @SQRT(X) @TAN(X) 其中@LGM(X) ＝ln(X-1)! 集合循环函数 @FOR @MIX @MIN @PROD @SUM 用法：集合函数名(集合名(集合索引列表)|条件：表达式组） 集合操作函数 @IN @IN(集合名，集合元素名，…集合元素名) @INDEX @INDEX(集合名，集合元素名)
@WRAP @WRAP(i，N)，循环计数 @SIZE @SIZE(集合名) 变量定界函数 @BND(L,X,U) @BIN(X) @FREE(X) @GIN(X) 分别对变量取值限制：上下界，0-1值，取消非负限制，整数 概率分布函数 @PNS(X) 标准正态分布@PSL(X) 正态线性损失 @PBN(P,N,X) 二项分布@PHG 超几何分布 @PTD(N,X) t分布@PFD(N,D,X) F分布 @PPS(A,X) 泊松分布@PPL(A,X) 泊松线性损失 @PCX(N,X) X平方分布@RAND(seed) 随机数 服务系统函数 @PEL(A,X) @PFS(A,X,C) @PEB(A,X) 文件输入输出函数 @FILE(fn) @TEXT(…fn?) @OLE 结果报告函数 @ITERS() 返回迭代次数 @NEWLINE(n) 输出n个新行 @STRLEN(string) 返回字符串的长度 @NAME(reference) 返回变量名或行名 @WRITE 用于数据段，输出变量，字符串或换行 @WRITEFOR 是@WRITE在循环情况下的推广 @FORMAT 以格式描述符方式输出数值 @DUAL(varname) 返回解答中变量的判别数或结束行的影子价格@STATUS() 返回求解后的最后状态 其他函数 @IF @IF(条件，true结果，false结果) @WARN @WARN(‘text’，条件) @USER @USER(用户编写的函数dll或obj文件) 四．文件传输 通过文本文件传输数据 @FILE和@TEXT 通过Excel文件传输数据 @OLE
lingo软件使用教程 一般来说，一个优化模型将由以下三部分组成： 1. 目标函数（Objective Function）：要达到的目标。 2. 决策变量（Decision variables）：每组决策变量的值代表一种方案。在优化模型中需要确定决策变量的最优值，优化的目标就是找到决策变量的最优值使得目标函数取得最优。 3. 约束条件（Constraints）：对于决策变量的一些约束，它限定决策变量可以取的值。 在写数学模型时，一般第一行是目标函数，接下来是约束条件，再接着是一些非负限制等。在模型窗口输入如下代码: Max = 2*x1+3*x2; X1+2*x2<=8; 4*x1<16; 4*x2<12; 注意：1.每一个lingo表达式最后要跟一个分号; 2.多数电脑中没有符号，lingo中<=代替；为了方便可以用<代替小于等于，用>代替大于等于。 3.我们可以添加一些注释，增加程序的可读性。注释以一个！（叹号必须在英文状态下输入，它会自动变为绿色）开始，以；（分号）结束。 4．Lingo中不区分变量名的大小写。变量名必须以字母（A-Z）开头，后面的字符可以是字母、数字、下划线。变量名不能超过32个字符。 Lingo程序的一些规则： 1. 在Lingo中最开始都是“MAX=”或者“MIN=”开始表示求目标函数的最大或者最小值。 2. 变量和它前面的系数之间要用“*”连接，中间可以有空格。 3. 变量名不区分大小写，但必须以字母开始，不超过32个字符。 4. 数学表达式结束时要用分号“；”表示结束。表达式可以写在多行上，但是表达式中间不能用分号。 5. 在电脑系统中一般没有“小于等于”符号，在Lingo采用“<=”来表示“小于等于”，用“>=”表示“大于等于”。小于等于也可以用更简单的“<”表示，大于等于用“>”表示。 集合段： 在我们已经得到的程序里有一些量没有定义，如WAREHOUSES( I)，DEMAND( J)， LINKS( I, J)。这些量将在Lingo中的集合段定义。 集合段以SETS:表示开始，以ENDSETS表示结束。 如果一个集合的元素都已经定义过，就可以用一些循环函数（如@for）. 注：1. 集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。Lingo中没有数组的概念，只有定义在集合上的属性的概念。 2 集合的定义语法： set_name[/set_member/:][attribute_list]; 集合的名称在左边，右边是这个集合上的属性，他们之间用冒号“：”分割开，最后由分号表示结束。如果在同一个集合上有多个属性时，不同的属性之间用逗号“，”隔开，如本例的cost和volume属性。如果要特别列出集合的元素时，在集合的名称后把元素写在两条斜线之间，如本例中的仓库可以写为 WAREHOUSES/WH1, WH2, WH3, WH4, WH5, WH6/: CAPACITY;
Lingo介绍 Lingo是美国LINDO系统公司（Lindo Symtem Inc）开发的求解数学规划系列软件中的一个（其他软件为LINGDO,GINO,What’s Best等），它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题，目前的版本是lingo11.0。 lingo分为Demo、solve suite、hyper、industrial、extended等六类不同版本，只有Demo版本是免费的，其他版本需要向LINDO系统公司（在中国的代理商）购买，Lingo的不同版本对模型的变量总数、非线性变量个数、整型变量个数和约束条件的数量做出不同的限制（其中extended版本无限制）。 Lingo的主要功能特色为： （1）既能求解线性规划，也有较强的求解非线性规划的能力； （2）输入模型简练直观； （3）运行速度快、计算能力强； （4）内置建模语言，提供几十种内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型； （5）将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为Lingo语言； （6）能方便地与excel、数据库等其他软件交换数据。 学校图书馆40本《lingo和excel在数学建模中的应用》，袁新生、邵大宏、郁时炼主编，科学出版社
Lingo 程序设计简要说明 在数学建模中会遇到如规划类的题型，在这种模型中总存在着一个目标，并希望这个目标的取值尽可能的大或小，同时与这个目标有关的一系列变量之间存在一些约束。在构造出目标函数和约束条件的表达式后，我们需要对求出这个最值和各变量的取值。一般我们用LINGO 来对模型进行求解，本文将通过举一个简单的例子，围绕这个例子逐步学习LINGO 的使用。LINGO 只是一个求解工具，我们主要的任务还是模型的建立！ 当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。 示例：求解线性规划问题： max z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 ???????????????≤≤≤≤≤≤269 + x88 + x72 + x66 + x55 + x47 + x38 + x28 + x1 6 15 6 + x8 7 + x7+ x65 + x54 + x44 + x34 + x25 + x15 444 + x86 + x77 + x68 + x58 + x45 + x32 + x27 + x14278 + x85 + x74 + x64 + x55 + x49 + x36 + x25 + x13389 + x84 + x75 + x62 + x57 + x46 + x35 + x28 + x1 2 154 + x8 3 + x79 + x66 + x55 + x45 + x3 4 + x27 + x1 求解这个模型的相应LINGO 程序代码如下： 程序一： max= x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; x1 + 7*x2 + 4*x3 + 5*x4 + 5*x5 + 6*x6 + 9*x7 + 3*x8 + 415<=; 2*x1 + 8*x2 + 5*x3 + 6*x4 + 7*x5 + 2*x6 + 5*x7 + 4*x8 + 938<=; 3*x1 + 5*x2 + 6*x3 + 9*x4 + 5*x5 + 4*x6 + 4*x7 + 5*x8 + 827<=; 4*x1 + 7*x2 + 2*x3 + 5*x4 + 8*x5 + 8*x6 + 7*x7 + 6*x8 + 444<=; 5*x1 + 5*x2 + 4*x3 + 4*x4 + 4*x5 + 5*x6 + x7 + 7*x8 + 6 15<=; 6*x1 + 8*x2 + 8*x3 + 7*x4 + 5*x5 + 6*x6 + 2*x7 + 8*x8 + 926<=; 注：然后点击工具条上的按钮 即可。本模型的最优解为2.636364
LINGO的使用简介 LINGO软件是美国的LINGO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包．LINGO除了能够用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解、以及一些线性和非线性方程(组)的求解等．LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，即可以求解整数规划，而且执行速度快．LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具．LINGO置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果．在这里仅简单介绍LINGO的使用方法． LINGO(Linear INteractive and General Optimizer )的基本含义是交互式的线性和通过优化求解器．它是美国芝加哥大学的 Linus Schrage 教授于1980年开发了一套用于求解最优化问题的工具包，后来经过完善成何扩充，并成立了LINDO系统公司．这套软件主要产品有：LINDO，LINGO，LINDO API和What’sBest．它们在求解最优化问题上，与同类软件相比有着绝对的优势．软件有演示版和正式版．正式版包括：求解包(solver suite)、高级版(super)、超级版(hyper)、工业版(industrial)、扩展版(extended)．不同版本的LINGO对求解问题的规模有限制，如附表３-1所示． 附表３-1 不同版本LINGO对求解规模的限制 版本类型总变量数整数变量数非线性变量数约束数 演示版 300 30 30 150 求解包 500 50 50 250 高级版 2000 200 200 1000 超级版 8000 800 800 4000 工业版 32000 3200 32000 16000 扩展版无限无限无限无限 3.1 LINGO程序框架 LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络最优化问题和最大最小求解问题，以及排队论模型中最优化等问题． 一个LINGO程序一般会包括以下几个部分： (1) 集合段：集部分是LINGO模型的一个可选部分．在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义．集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束．一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分．一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须先定义． (2) 数据段：在处理模型的数据时，需要为集部分定义的某些元素在LINGO求解模型之前为其指定
LINGO快速入门 LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果。 §1 LINGO快速入门 (2) §2 LINGO中的集 (3) 2.1 为什么使用集 (3) 2.2 什么是集 (4) 2.3 模型的集部分 (4) 2.3.1 定义原始集 (4) 2.3.2 定义派生集 (5) §3 模型的数据部分和初始部分 (7) 3.1 模型的数据部分 (7) 3.1.1 数据部分入门 (7) 3.1.2 参数 (8) 3.1.3 实时数据处理 (8) 3.1.4 指定属性为一个值 (9) 3.1.5 数据部分的未知数值 (9) 3.2 模型的初始部分 (10) §4 LINGO函数 (10) 4.1 基本运算符 (10) 4.1.1 算术运算符 (11) 4.1.2 逻辑运算符 (11) 4.1.3 关系运算符 (11) 4.2 数学函数 (12) 4.3 金融函数 (13) 4.4 概率函数 (13) 4.5 变量界定函数 (15) 4.6 集操作函数 (15) 4.7 集循环函数 (16) 4.8 输入和输出函数 (18) 4.9 辅助函数 (21) §5 LINGO WINDOWS命令 (22) 5.1 文件菜单（File Menu） (22) 5.2 编辑菜单(Edit Menu) (23) 5.3 LINGO菜单 (23) 5.4 窗口菜单（Windows Menu） (35) 5.5 帮助菜单(Help Menu) (37) §6 LINGO的命令行命令 (37) §7 综合举例 (41)
为什么要使用集合？ 集是LINGO的建模语言的基本构建方案的最强大的功能块的基础。随着对集的理解，你可以写一系列类似的限制在一个单独的语句，并表示长期，复杂的公式。这使您可以非常快速，轻松地表达你的最大的模型。在较大的模型，你会遇到来表达一组几个非常类似的计算或约束的需要。幸运的是，LINGO的能力，处理信息集，可以有效地执行这样的操作。 例如，准备一个仓库发货型号为100的仓库，如果你有明确写入每个约束（例如，“仓库1必须装运不超过其目前的库存较多，仓库2必须装运不超过其目前的库存，仓库更是繁琐3必须运输不超过其本库存......“，等等）。LINGO让您表达最简单的形式公式你阅读和理解（例如，“每个仓库出货必须不超过其目前的库存比较”）。 什么是集？ 集是简单地相关对象的组。一组可能是产品，卡车，或员工列表。在该组的每个成员可以有一个或多个与之相关联的特性。我们称这些特征属性。属性值可以提前或未知的LINGO解决该已知。例如，在一组产品的每个产品可能有一个价格属性;在一组的卡车可能有运力属性的每个卡车;并在一组雇员的每个员工可能具有一个工资属性，以及出生日期属性。 集类型 LINGO认可两种套：原始的和衍生的。 原语集是一组唯一的对象不能被进一步减小构成。在无线小工具的例子（第27页），设置仓库，这是由六个仓库，是一种原始的集合。同样，集合八家厂商组成是一种原始的集合。派生集合是使用一个或多个其他组中定义。换句话说，一个来自集源自其他预先存在的集的成员。此外，使用无线小工具例如，集合六个仓库和八家厂商（LINKS）之间的联系组成一个派生集。它源于它的成员来自独特的对仓库的成员和供应商集。虽然链接组被从原始集仅衍生，但也可以从其他来源的集建立来自集为好。请参阅下面的部分，定义导集，以了解更多信息 模型的集科 套在一个LINGO模型的可选部分称为集部分定义。在您的LINGO模型中使用集，你必须在模型组部分定义它们。套节与关键字集开始：（包括结肠），并与关键字ENDSETS结束。模型可以具有没有套部中，单个集合部，或多组部分。一个集部分可能会出现在任何地方的模型。唯一的限制是你必须定义一组及其属性之前，他们在模型的约束引用。 定义原始集 要定义基本设置在台部分，指定： 该组的名称， 任选，其成员（包含在一组对象），并 任选，任何属性集的成员可以具有。 原语集定义的语法如下： setname可以[/ member_list/] [：ATTRIBUTE_LIST];注：使用方括号表示一个项目是可选的。在这种特殊情况下，原始设定的ATTRIBUTE_LIST和member_list都是可选的。 该setname可以是你选择指定设置一个名称。这应该是一个描述性的名称，很容易记住。集名称必须符合标准LINGO命名约定。换句话说，该名称必须以字母字符，这可能是随后长达31个字母数字字符或下划线（_）。LINGO不大写和小写字符之间的名称区分开。 一个member_list是构成一组成员名单，如果该组成员包括在集定义，它们可以被显式地或隐式地列出。如果集成员不包括在set.definition，那么他们可以随后在模型的一个数据部分定义。有关定义组成员在数据部分的详细信息，请参阅简介部分数据。 当明确列出成员，为每个成员输入唯一的名称，可选用逗号隔开。与集名称，成员名称也必须符合标准命名约定。在无线小部件模型，我们可以用一个明确的成员名单在集合部分定义
第十八章LINGO软件的使用 18.1 LINGO入门 18.1.1 LINGO软件的安装过程 点击LINGO9.0 for Windows安装文件，出现 点击“Next”按钮，出现 此时需要接受安装协议。系统安装时默认的目录是C:\LINGO9。安装完成前，会出现下图所示的对话框：
这个对话框询问你希望采用的默认的建模（即编程）语言，系统推荐的是采用LINGO语法，也就是选项“LINGO（recommended）”；你也可以选择“LINDO”将LINDO语法作为默认的设置。当然，安装后你也可以通过“LINGO｜Options｜File Format命令来修改默认的建模（即编程）语言。在上图中按下“OK”按钮，系统就会完成LINGO的安装过程。 18.1.2 LINGO基础知识 LINGO有两种命令格式：一种是常用的Windows模式，通过下拉式菜单命令驱动LINGO 运行，界面是图形式的，使用起来也比较方便；另一种是命令行（Command-Line）模式，仅在命令窗口（Command Window）下操作，通过输入行命令驱动LINGO运行。由于其使用字符方式输入，初学者往往不太容易掌握。在这里，我们主要介绍在菜单驱动模式下LINGO的使用方法。 LINGO 9.0软件比以前的版本有了很大的改进，功能大大增强，性能更加稳定，计算的结果更加可靠。LINGO软件不仅可用于求解非线性规划问题，还可以用以求解非线性整数规划问题；LINGO包含了内置的建模语言，模型中所需的数据可以以一定格式保存在独立的文件中；LINGO允许以简练、直观的方式描述较大规模的优化问题。 注：LIGDO公司目前已将LINDO软件从其产品中删除了。事实上，LINDO软件的所有功能（包括LINDO语法格式）都在LINGO中得到了支持。 当你在windows下开始运行LINGO系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。状态行最左边显示的是“Ready”表示“准备就绪”；右下角显示的是当前时间，时间前面是当前光标的位置“Ln1,Col1”（即1行1列）。将来，用户可以用选项命令（LINGO｜Options菜单命令）决定是否需要显示工具栏和状态行。在LINGO 模型窗口中，选择菜单命令“File｜Open(F3)”，可以看到下图所示的标准的“打开文件”对话框，我们看到有各种不同的“文件类型”：
第三章 LINGO软件使用入门 LINGO是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件．它为求解最优化问题提供了一个平台，主要用于求解线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、线性及非线性方程组等问题．它是最优化问题的一种建模语言，包含有许多常用的函数供使用者编写程序时调用，并提供了与其他数据文件的接口，易于方便地输入，求解和分析大规模最优化问题，且执行速度快．由于它的功能较强，所以在教学、科研、工业、商业、服务等许多领域得到了广泛的应用． §3.1 LINGO操作界面简介 在Windows操作系统下启动LINGO软件，屏幕上首先显示如图1.1所示的窗口． 图1.1 图1.1中最外层的窗口是LINGO软件的主窗口（LINGO软件的用户界面），所有其他窗口都在这个窗口之内．主窗口有：标题栏、菜单栏、工具栏和状态栏．目前，状态栏最左边显示的是“Ready”，表示准备就绪，右下角显示的是当前时间，时间前面是当前光标的位置“Ln 1,Col 1”（即1行1列）．将来用户可以用选项命令（LINGO|Options|Interface菜单命令）决定是否需要显示工具栏和状态栏． LINGO有5个主菜单： ●File（文件） ●Edit（编辑） ●LINGO（LINGO系统） ●Windows（窗口） ●Help（帮助） 这些菜单的用法与Windows下其他应用程序的标准用法类似，下面只对主菜单中LINGO
系统的主要命令进行简要介绍． LINGO系统（LINGO）的主菜单 ●LINGO|Solve(Ctrl-S) LINGO|Solve(Ctrl-S)（求解）命令对当前模型进行编译并求解．如果当前模型输入有错误，编译时将报告错误．求解时会显示一个求解器运行状态窗口． ●LINGO|Solution(Ctrl-O) LINGO|Solution(Ctrl-O)（解答）命令显示当前解． ●LINGO|Range(Ctrl-R) LINGO|Range(Ctrl-R)（灵敏度分析）命令显示当前解的灵敏度分析结果．（你必须在此之前求解过当前模型） ●LINGO|Options(Ctrl-I) LINGO|Options(Ctrl-I)（选项）命令将打开一个含有7个选项卡的对话框窗口，你可以通过它修改LINGO系统的各种控制参数和选项．修改完以后，你如果单击“应用”按钮，则新的设置马上生效；如果单击“OK”按钮，则新的设置马上生效，并且同时关闭该窗口；如果单击“Save”按钮，则将当前设置变为默认设置，下次启动LINGO时这些设置仍然有效；如果单击“Default”按钮，则恢复LINGO系统定义的原始默认设置；如果单击“Cancel”按钮将废弃本次操作，退出对话框；单击“Help”按钮将显示本对话框的帮助信息． ●LINGO|Generate和LINGO|Picture LINGO|Generate和LINGO|Picture命令都是在模型窗口下才能使用，他们的功能是按照LINGO模型的完整形式分别以代数表达式形式和矩阵图形形式显示目标函数和约束． ●LINGO|Debug（Ctrl+D） LINGO|Debug（Ctrl+D）命令分析线性规划无解或无界的原因，建议如何修改 ●LINGO|Model Statistics（Ctrl+E） LINGO|Model Statistics（Ctrl+E）命令显示当前模型的统计信息． ●LINGO|Look（Ctrl+L） LINGO|Look（Ctrl+L）命令显示当前模型的文本形式，显示时对所有行按顺序编号．图1.2给出了工具栏的简要功能说明． 图1.2
LINGO基本用法 1、概况 (1) 2、LINGO的基本用法 (1) 3、用LINGO编程语言建立模型 (2) 4、建立LINGO/LINDO优化模型需要注意的几个基本问题 (3) 5、对求解结果的分析 (3) LINGO基本用法 LINGO是专门用来求解各种规划问题的软件包，其功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。 1、概况 LINGO是美国LINDO系统公司开发的求解数学规划系列软件中的一个，它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题，LINGO分为Demo、Solve Suite、Super、Hyper、Industrial、Extended等六种不同版本。只有Demo版是免费的。LINGO的不同版本对模型的变量总数，非线性变量的数目，整形变量数目和约束条件的数量作出了不同的限制。LINGO的主要功能： (1) 既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力； (2) 输入模型简练直观 (3) 运行速度快，计算能力强 (4) 内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述较大规模的优化模型 (5) 将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型 (6) 能方便地与Excel，数据库等其他软件交换数据 2、LINGO的基本用法 通常一个优化模型由下列三部分所组成： (1) 目标函数：一般表示成求某个数学表达式的最大值或最小值。 (2) 决策变量：目标函数值取决于哪些变量 (3) 约束条件：对变量附加一些条件限制（通常用等式或不等式表示） 注：LINGO默认所有决策变量都非负，因而变量非负条件可以不必输入。 LINGO的语法规定： (1) 求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示； (2) 每个语句必须以分号";"结束，每行可以有多个语句，语句可以跨行； (3) 变量名称必须以字母(A~Z)开头，由字母，数字(0~9)和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写； (4) 可以给语句加上标号，例如[OBJ] MAX= 20*X1+300*X2; (5) 以！开头，以；号结束的语句是注释语句；