第II 卷（非选择题）
1．；()()
2:30q x x m +-≤, 若p 是q 的充分非必要条件，求实数m 的取值范围。
【解析】
；()()
2:30q x x m +-≤ 则可知2
:13,:3P x q x m ≤≤-≤≤，又因为p 是q 的充分非必要条件，
考点：集合的关系
点评：主要是考查了集合的思想来判定充分条件的运用，属于基础题。 2．命题p ：函数2
()24f x x ax =++有零点； 命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数， 若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】2a ≤- 【解析】
试题分析：根据题意，由于命题p ：函数2
()24f x x ax =++有零点；则可知判别式
241602,2a a a ?=-≥∴≥≤-或，对于命题q ：函数()(32)x f x a =-是增函数，
则可知3-2a>1，a<1,由于命题p q ∧是真命题，则说明p,q 都是真命题，则可知参数a 的范围是2a ≤-
考点：复合命题的真值
点评：主要是考查了方程的解以及函数单调性的运用，属于基础题。 3．已知集合{}
2|230A x x x =--≥，{}|||1B x x a =-<,U R =． （1）当3a =时，求A
B ；
（2）若U A C B ?，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|34A B x x =≤<。 （2）02a ≤≤。
【解析】
试题分析：由题意得，{}
|31A x x x =≥≤-或，{}|11B x a x a =-<<+。 4分 （1）3a =时，{}|24B x x =<<，
∴{}|34A
B x x =≤<。 8分
（2）因为U A C B ?，所以1311a a +≤-≥-且，解之得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是02a ≤≤。 14分
考点：简单不等式的解法，集合的运算，不等式组的解法。
点评：中档题，讨论集合的关系、进行集合的运算，往往需要首先明确集合中的元素是什么，确定集合的元素，往往成为考查的一个重点。本题较为典型。 4．已知a >0且1≠a ，命题P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减； 命题Q ：曲线x x a x y 与1)32(2
+-+=轴交于不同的两点. 如果“P \/Q”为真且“P/\Q”为假，求a 的取值范围.
【解析】
试题分析：解：0a > 且1a ≠ ∴命题P 为真时?01a << 命题P 为假时? 1
a >
命题Q 为真时?
()2
2340,a ?=-->
且0,1,a a >≠ 命题Q
且1a ≠ 由“P Q ∨”为真且“P Q ∧”为假，知P 、Q 有且只有一个正确。
（1）：
P 正确，且Q 不正确?
（
2）：P 不正确，且Q 正确?
综上，a
考点：命题
点评：两个命题ｐ、ｑ的且命题p q ∧为真，当且仅当ｐ和ｑ都为真；两个命题ｐ、ｑ的或命题p q ∨为假，当且仅当ｐ和ｑ都为假。 5
，若A B
A =?,求a 的取值范围 【解析】 试
题
分
析
：
，
B A A B A ?∴=?, , 则?
??≤+-≥-322
2a a ，解得：
考点：集合的运算，绝对值不等式、分式不等式的解法。
点评：中档题，首先通过解不等式，明确集合的元素，根据A B A =?，得到
B A A B A ?∴=?, ，建立a 的不等式组。
6
（1）若[]1,3A
B =，求实数m 的值；
（2）若R A C B ?，求实数m 的取值范围。
【答案】（1）1
323,m m m -=?=?
+≥?；（2）5m >，或3m <-
【解析】
试题分析：{|13}A x x =-≤≤，{|22}B x m x m =-≤≤+
（1）∵[1,3]A B ?=，∴21
323,m m m -=?=?
+≥?
（2）
{|2,2}
R C B x x m x m =<->+或∵
R A C B
?，∴23m ->，或21m +<-
∴5m >，或3m <-
考点：集合的概念，集合的运算，不等式的解法。
点评：常见题，本题综合考查集合的概念，集合的运算，不等式的解法，解题过程中，注意区间端点处的包含与否。
7若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.
【答案】110,030a a a a -≥-??
+≤∴<≤??>
?
. 【解析】
{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或
而,p q A
??∴B ，即12110,030a a a a -≥-??
+≤∴<≤??>?
.
考点：本题主要考查充要条件的概念，命题及其否定，简单不等式（组）的解法。 点评：中档题，涉及充要条件的问题，往往具有一定综合性，可从“定义”“等价关系”
“集合关系法”入手加以判断。本题利用“集合关系法”。 8．已知命题p
命题q ：2
(0,),40x mx x ?∈+∞+-=. 若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围.
【解析】
[]1,3x ∈，，11m ∴->，即0m <． 5分
又由240mx x +-=，0x >，得 244(x x -= 由题意，分 由“p 且q ”为真命题，知p 和q 都是真命题， 所以，符合题意的m 的取值范围是 -14分 考点：命题真值
点评：解决的关键是利用全程命题和特称命题的真值来得到参数的范围，属于基础题。 9．设全集R I =，已知集合
}0152|{2≤--=x x x A ，集合
)}2410(log |{22+-==x x y x B ，.
（Ⅰ）求B A ，)(B C A I ；
（Ⅱ）记集合)(B C A M I =，集合},51|{R a a x a x N ∈-≤≤-=，若
M N M = ，求实数a 的取值范围．
【答案】(1) }43|{<≤-=x x B A ,}63|{)(≤≤-=x x B C A I (2) ]2,(--∞ 【解析】
试题分析：解：（Ⅰ）∵集合
}0152|{2≤--=x x x A ，
)}2410(log |{22+-==x x y x B
∴}53|{≤≤-=x x A ， }64|{><=x x x B 或 2分 ∴}43|{<≤-=x x B A 4分
}63|{)(≤≤-=x x B C A I 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，}63|{)(≤≤-==x x B C A M I
又∵M N M = ，∴N M ? 8分 又集合},51|{R a a x a x N ∈-≤≤-=
∴??
?≥--≤-6
53
1a a ，解得2-≤a 11分
∴实数a 的取值范围是]2,(--∞ 12分
考点：集合的运算
点评：主要是考查了运用数轴法来准确表示集合的补集和并集的运算，属于基础题。 10．已知集合2
{|230,}A x x x x R =--≤∈，
22{|240,}B x x mx m x R =-+-≤∈
（1）若[1,3]A B ?=，求实数m 的值； （2）若R A C B ?，求实数m 的取值范围。 【答案】（1）m=3(2) 5m >，或3m <- 【解析】
试题分析：解：{|13}A x x =-≤≤，{|22}B x m x m =-≤≤+ 3分
（1）∵[1,3]A B ?=，∴21
323,m m m -=?=?+≥?
3分
（2）{|2,2}R C B x x m x m =<->+或 .1分 ∵R A C B ?，∴23m ->，或21m +<- .2分
∴5m >，或3m <- 1分
考点：集合的关系和计算
点评：主要是对于含有参数的集合与已知集合的关系以及计算的求解，属于基础题。
11．B ＝{x || x －m |≥1}；命题p ：x ∈ A ，命题q ：x ∈ B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(,3][7,)-∞-?+∞ 【解析】
试题分析：先化简集合A 化简集合B ，由|x －m |≥1，解得x ≥ m ＋1或x ≤ m －1.
所以B ＝{x | x ≥ m ＋1或x ≤ m －1}． 因为命题p 是命题q 的充分条件，所以A ?B. 所以m ＋1≤-2或m －1≥6，解得m ≤－3或m ≥7， 则实数m 的取值范围是(,3][7,)-∞-?+∞．
考点：充分条件的判断 点评：分条件的运用，解题时注意命题的充分必要条件与集合间的子集关系之间的联系，将命题间的关系转化为集合的子集关系来解题
12．已知集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，B ＝{x|x 2－2mx ＋m 2
－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1) 当m=2时，求A B ；
(2) 若A∩B＝[1,3]，求实数m 的值； (3) 若A ??R B ，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) A B={x|-1≤x≤4} (2) m ＝3 (3) {m|m ＞5，或m ＜－3} 【解析】
试题分析：(1) 当m=2时，B ＝{x|0≤x≤4}．1分 ∴A B={x|-1≤x≤4}3分
(2) 由已知得A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|m －2≤x≤m＋2}．5分 ∵A∩B＝[1,3]，∴21
23
m m -=??
+≥?7分
∴m ＝3. 8分
(3)?R B ＝{x|x ＜m －2或x ＞m ＋2}，10分
∵A ??R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3. 12分 所以实数m 的取值范围是{m|m ＞5，或m ＜－3}．14分 考点：集合的交并补运算即包含关系
点评：集合运算题常借助于数轴，将已知中的集合标注在数轴上，使其满足相应的包含关系，进而确定集合边界值的满足的条件 13，2{|(1)0,}B x x m x m x R =+--<∈． （1）若{|14}A B x x =-<<，求实数m 的值；
（2）若A
B A =，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）4（2）[]1,5- 【解析】
试题分析：（1()(){}2{|(1)0,}|10B x x m x m x R x x x m =+--<∈=+-<{|14}A B x x =-<<4m ∴=
（2）
[]1,5A
B A B A m =∴?∴∈-
考点：集合的交集并集运算及解不等式
点评：求集合的交集并集常借助与数轴，将所求集合标注在数轴上使其满足已知条件，从而求得参数的范围 14．有下列两个命题：
命题p ：对x R ?∈，2
10ax ax ++>恒成立。
命题q ：函数2
()4f x x ax =-在[1,)+∞上单调递增。
若“p q ∨”为真命题，“p ?”也为真命题，求实数a 的取值范围。 【答案】[4,8](,0)a ∈-∞
【解析】
试题分析：（1）对x R ?∈，210ax ax ++> 恒成立，当0a =时显然成立；
当0a ≠时，必有2
0440
a a a a >??<
?=-
函数2
()4f x x ax =-在[1,)+∞上单调递增，所以命题:8q a ≤ 由已知：p 假q 真，所以[4,8]
(,0)a ∈-∞
考点：本题主要考查复合命题的概念，二次函数的图象和性质。
点评：典型题，涉及命题的题目，往往综合性较强。p q ∨是真命题，意味着p,q 至少有一是真命题，p ?是真命题，p 一定是假命题。
15．设命题p ：函数x
y a =在R 上单调递增，命题q ：不等式210x ax -+>对于x R ?∈恒成立，若“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数a 的取值范围 【答案】(][)+∞?-,21,2 【解析】
试题分析：∵命题p ：函数x
y a =在R 上单调递增,∴a>1， 又命题q ：不等式210x ax -+>对于x R ?∈恒成立 △=(-a)2
-4<0， ∴-2 ? ≥-≤>2 a 2a 1a 或 ，∴.2a ≥ (2) 当p 假,q 真时,有? ??<<-≤2a 21 a ，∴-2 综上, 实数a 的取值范围为(][)+∞?-,21,2-------12分 考点：本题考查了复合命题的真假 点评：“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，根据真假表知，P ，Q 之中一真一假，因此有两种情况，要分类讨论 16，命题 2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若“p q ???” 为假命题，“q p ??? ”为真命题，求实数a 的取值范围 【解析】 或1x >， 由2(21)(1)0x a x a a -+++≤，得1a x a +≤≤ 因此:q x a ?<或1x a >+， 因为p ?是q ?的必要条件，所以q p ???， 考点：命题的真值 点评：解决关键是对于命题的真假判定可以借助于集合之间的关系来分析得到，属于基础题。 17．设命题:p 函 数是R 上的减函数，命题:q 函数 ()342+-=x x x g ,[]a x ,0∈的值域为[]3,1-，若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为 【解析】 试题分析：命题p 真分 ∵()()122 --=x x g ，画图象可知： 命题q 真42≤≤? a 4分 p 且q 为假，分 若p 真q 假得， 9分 综上所述，a 的取值范围是 分 考点：本题考查了简易逻辑的综合运用 点评：解决简易逻辑问题的关键是熟练地掌握基本概念和基本方法（如判断条件的充要性常用定义法、逆否法、集合法） 18．已知0124:2 ≤--x x p ，且p ?是q ?的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【解析】 试题分析：设01242≤--x x 的解集为[]62,A -= ， 的解集为[]m,m B- =1， 4分p ?是q ? 是q的必要不充分条件， 6分 B ∴A， ? ? ? ≤ - ≥ - ∴ 6 2 1 m m ， 10分 分 考点：本题考查了充要条件的判断 点评：借助于集合知识加以判断，若P Q ?，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P Q =，则P与Q互为充要条件 19．若关于x的不等式[(3)](2)0 x a x a ---<的解集是A，2 ln(32) y x x =-+-的定 A B A =，求实数a的取值范围。（10分） 【解析】 试题分析：由232 x x -+->0得12 x <<,即(1,2) B=， , A B A A B =∴?， (1)若3-a<2a,即a>1时，A=（3-a,2a）， (3,2)(1,2) a a -?，[来源:学&科&网] 1 31 22 a a a > ? ? ∴-≤ ? ?≥ ? 2 a ∴≥， （2）若3-a=2a,即a=1时，A =φ,不合题意； （3）若3-a>2a，即a<1时，A= （2a,3-a）, (2,3)(1,2) a a -?， 1 21 32 a a a < ? ? ∴≤ ? ?-≥ ? ， 或2 a≥. 考点：本小题主要考查二次不等式的求解，对数函数的定义域和集合的关系及应用. 点评：本小题综合考察二次不等式的解法，对数函数的定义域等，难度不大，但是要注意遇到A B A =时，不要漏掉验证集合A是空集的情况，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 20．(本小题满分12分） 的定义域为集合A ，不等式2log (1)1x -≤的解集为集合B ． （1）求集合A ，B ； （2）求集合A B ，()R A C B ． 【答案】(1) {|1}A x x =≥-,{|13}B x x =<≤ (2) {|1}A B x x ?=≥-,(){|11U A C B x x ?=-≤≤或3}x > 【解析】 试题分析：解：（1）由10x +≥，得1x ≥-，∴{|1}A x x =≥- 由2log (1)1x -≤，即22log (1)log 2x -≤ 得10 12 x x ->?? -≤?，解得13x <≤ ∴{|13}B x x =<≤ （2）{|1}A B x x ?=≥- ∵{|1U C B x x =≤或3}x > ∴(){|11U A C B x x ?=-≤≤或3}x > 考点：函数定义域和不等式的解集 点评：解决的关键是能结合函数定义域以及对数函数单调性来得到不等式的解集，进而得到集合A,B ，然后结合补集和交集的思想来求解，属于基础题。 21． 已知条件p : 件q p q ??是的充分但不必要条件,求实数a 的取值范围． 【答案】.22<≤-a 【解析】 试题分析：设1)(2 ++=ax x x f , 2分 依题意可知A ≠?B. 4分 (1)当Φ=A 时, ;22,042<<-<-=?a a 则 7分 (2)当 Φ≠A 时解得, 2-=a 11分 综合得.22<≤-a 12分 考点：本题考查了充要条件的运用 点评：简易逻辑是高中数学的基础知识，命题热点有以下两个方面：一是判断命题的真 假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力 22．（本小题满分12分) 设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0 2280,x x +->且p ?是q ?的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】4-≤a 【解析】 …………… 5分 p ?是q ?的必要不充分条件，q ∴是p 的必要不充分条件， A B ≠ ∴?， ……………………8分 所以423-≤≥a a 或，又0 所以实数a 的取值范围是4-≤a . …………………12分 考点：本试题考查了充分条件的运用。 点评：解决该试题的关键是能利用逆否命题的真值相同，来得到q ∴是p 的必要不充分条件，那么借助于集合之间的包含关系来求解参数的范围，属于基础题。 23 (1)当*N x ∈时，求A 的子集的个数； (2)当R x ∈且B B A = 时，求m 的取值范围。 【答案】（1）16个；（2）1-≤m 或10≤≤m 。 【解析】 试题分析：（1）解：当*N x ∈时，{ }4,3,2,1=A ------------2分 A 中有4个素，所以A 的子集的个数为1624=个-------------3分 当R x ∈且B B A = 时，则A B ?------------2分 当φ=B 时，,131+≥-m m 即1-≤m -------------2分 当φ≠B 时，{ 1 1413-≤-≤+m m ，即10≤≤m ----------2分 综上，1-≤m 或10≤≤m ------------1分 考点：集合间的关系；子集的个数。 点评：若A B B =，则A B ?；若B B A =?,则B A ?.不管哪种情况别忘记讨论， 尤其的对空集的讨论。 24．已知命题p ：恒成立0],2,1[2 ≥-∈?a x x ，命题q ：R x ∈?0， 02202 0=-++a ax x 若“p 且q”为真命题，求实数a 的取值范围。 【答案】a ＝1或a≤－2 【解析】 试题分析：由“p 且q”为真命题，则p ，q 都是真命题． ……2分 p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a≤(x 2 )min ＝1， 所以命题p ：a≤1； ……4分 q ：设f(x)＝x 2 ＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f(x 0)＝0， 只需Δ＝4a 2 －4(2－a)≥0， 即a 2 ＋a －2≥0?a≥1或a≤－2， 所以命题q ：a≥1或a≤－2. ……9分 由1 12a a a ≤?? ≥≤-? 或得a ＝1或a≤－2 ∴实数a 的取值范围是a ＝1或a≤－2. ……13分 考点：本题考查了不等式的解法及命题真假的运用。 点评：对于恒成立问题通常解题时有以下几种策略：①赋值法；②利用函数的单调性；③利用函数的有界性；④分离常数法；⑤数形结合法。 25 }23-≤≤m x ， （1）当3=m 时，求B A 与)(B C A R ； （2）若B B A = ，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[]4,2=B A ，(]()-47U A C B =∞+∞（），， ；（2），2≤m . 【解析】 1分 （1）当3=m 时， 2分 故[]4,2=B A ， 4分 (]()-47U A C B =∞+∞（），， 6分 （2）A B B B A ?∴=, 7分 10分 综上所述，2≤m . 12分 考点：本题主要考查集合的运算，一元一次不等式组解法。 点评：易错题，B A ?中包括φ=B 的情况，易漏。 26．（本小题满分12分） 若A B B =，求实数m 的取值范围。 【答案】11m -≤≤。 【解析】 试题分析：（本小题满分12分） 解：解A 得{|22}x x -<< ……2分 若0m ≥，解B 得：{|11}x m x m -<<+ ……4分 因为A B B =，所以B A ?， ……6分 所以2112m m -≤-?? +≤? ，得：01m ≤≤ ……8分 若0m <，解B 得：{|11}x m x m +<<- ……10分 所以2112 m m -≤+?? -≤?，得：10m -≤< ……11分 所以：11m -≤≤ ……12分 考点：本题主要考查简单不等式的解法，集合的运算。 点评：典型题，集合作为工具，往往与其它知识综合考查，解答思路基本都是先化简集合，再进行集合运算。 27．（本小题满分12分）已知：函数()f x 是R 上的增函数，且过)1,3(--和)2,1(两点，集合{}|()1()2A x f x f x =<->或，关于x 的不等式的解集为B . （1）求集合A ； （2）求使A B B =成立的实数a 的取值范围． 【答案】（1）(,3)(1,)-∞-+∞（2）(,3]-∞-。 【解析】 得(3)()()(1)f f x f x f ->>或 解得31x x <->或，于是(,3) (1,)A =-∞-+∞ 4分 ,A B B =所以的取值范围是考点：函数的单调性；不等式的解法；集合间的关系。 点评：本题主要考查利用函数的单调性解不等式，以及集合的间关系。若A B B =， 则A B ?；若B B A =?,则B A ?.属于基础题型。 28．（本小题满分12分）已知p ：方程012 =++mx x 有两个不等的负实根．．． ， q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根． 若p 或q 为真，p 且q 为假． 求实数m 的 取值范围。 【答案】m∈(1，2]∪[3，+∞) 【解析】 试题分析：由题意，p ， q 中有且仅有一为真，一为假。 p 真???? ??>=<-=+>?01002 121x x m x x ?m>2， q 真??<0?1 若p 假q 真，则?? ?<<≤31, 2m m ?1 12m m m 或?m≥3。 综上所述：m∈(1，2]∪[3，+∞)． 考点：复合命题的真假及二次方程根的分布 点评：复合命题的真假由构成复合命题的简单命题来决定 29．（本小题满分12分 ）已知集合 2{|2310},{|()(1)0}.P x x x Q x x a x a =-+≤=---≤ （Ⅰ）若1=a ，求P Q ； （Ⅱ）若x P ∈是x Q ∈的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{1}P Q =（Ⅱ）【解析】 {1}P Q = ）1,a a ≤+x P ∈是x Q ∈1021a a ? ≤?∴∴??≤+?考点：一元二次不等式及集合间的交集运算包含关系 点评：集合的交并补运算及包含关系借助于数轴来解比较简单明了 30．已知m R ∈，命题p ：对任意[0,1]x ∈，不等式2 223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立 （Ⅰ）若p 为真命题，求m 的取值范围； （Ⅱ）当1a =，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围。 （Ⅲ）若0a >且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。 【答案】（Ⅰ）[1,2]；（Ⅱ）1m <或12m <≤；（Ⅲ）2a ≥。 【解析】 试题分析：（Ⅰ）∵对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立 ∴2 min (22)3x m m -≥-.....................1分 即232m m -≤-.........................2分 解得12m ≤≤..............................3分 即p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2].......................4分 （Ⅱ）∵1a =，且存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立 ∴1m ≤ 即命题q 满足1m ≤................5分 ∵p 且q 为假，p 或q 为真 ∴p 、q 一真一假...........................6分 当p 真q 假时，则 12 1 m m ≤≤?? >?，即12m <≤.......................7分 当p 假q 真时，则 12 1 m m m <>?? ≤?或，即1m <......................8分 综上所述，1m <或12m <≤（也可写为21m m ≤≠且）......................9分 （Ⅲ）∵0a >存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立 ∴命题q 满足m a ≤...........................10分 ∵p 是q 的充分不必要条件 ∴2a ≥.......................12分 考点：命题真假的判断；含有逻辑连接词的命题；有关恒成立的问题。 点评：若()x f a <恒成立，只需()x f a min <；若()x f a >恒成立，则只需()x f a max >。 31．(本小题12分) 命题p: 函数y=21x mx ++在(-1, +∞)上单调递增, 命题:q 函数 y=lg[2 44(2)1x m x +-+]的定义域为R. (1)若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围; (2)若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围. 【答案】(1) m>1; (2) 1 试题分析：命题P 真则根据对称轴和定义域的关系得到a 的范围。 命题q 真则真数的值域包含所有的正实数?判别式大于0求出a 的范围； 据p 且q 为假命题?命题p 和q 有且仅有一个为真．求出a 的范围 解: p 真得m ≥2; q 真: 016)2(162<--=?m , 解得1 ??<<<312 m m , 解得: 1 或m ≥3. 考点：本题主要考查了命题的真值，以及二次不等式的恒成立问题，和二次函数的单调性的运用。 点评：解决该试题的关键是解决二次不等式恒成立问题常结合二次函数的图象列出需要满足的条件、复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系． 32．（本小题满分12分） 设 命 题 , 命题 (1)如果1a =，且p q ∧为真时，求实数x 的取值范围； (2)若p ?是q ? 的充分不必要条件时，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 32< 试题分析：由题意得，:3,p a x a <<:23q x <≤, (1)当1a =，且p q ∧为真时，则p 与q 都为真， 而此时:13,p x << :23q x <≤，则x 的取值范围是32< (2)若p ?是q ? 的充分不必要条件，q 是p 的充分不必要条件，即p q ?， 所以2,33a a <≥，所以21≤ 考点：本小题主要考查一元二次不等式的解法、复合命题的真假的判断及应用和利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，考查学生的运算求解能力. 点评：遇到复合命题问题，首先把组成复合命题的两个命题为真的条件求出来，再根据复合命题的真假判断两个命题的真假，再决定是否需要取补集，而且求交集时，最好利用数轴辅助解题，不容易出错，但是必须注意端点处的值是否能够取到. 33．（本题满分12分） 已知命题2 :[1,2],0p x x a ?∈-≥.命题0:,q x R ?∈使得2 00(1)10x a x +-+<；若“p 或q 为真，p 且q 为假”，求实数a 的取值范围. 【答案】11a -≤≤或3a >. 【解析】 试题分析：先求出命题p ，q 为真命题时，a 的范围，据复合函数的真假得到p ，q 中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a 的范围． 解：若p 真，则2a x ≤当[1,2]x ∈时的最小值，即1a ≤，………………3分 若q 真，则2 (1)403a a ?=-->?>或1a <-；………………6分 ∵“p 或q 为真，p 且q 为假”即p 与q 为一真一假；………………7分 ①当p 真q 假时，有1 1113a a a ≤??-≤≤?-≤≤? ，…………………9分 ②当p 假q 真时，有1 331 a a a a >??>? ><-?或，……………………11分 所以实数a 的取值范围是11a -≤≤或3a >.………………………12分 考点：本试题主要考查了复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题． 点评：解决该试题的关键是将p,q 命题中参数的范围准确求解得到。同时能利用或为真，且为假，得到命题中一真一假，分情况讨论得到。 34．(本小题满分12分)已知全集为实数集R,2{|log 1}B x x =>． （Ⅰ）分别求B A ，A B C R )(； ，若C A ?，求实数a 的取值集合． 【答案】(Ⅰ)}32|{≤<=x x B A ,()[R B A ={|3}x x ≤;(Ⅱ) (]3， ∞- . 【解析】 试题分析： （I ）集合A 是函数的定义域，集合B 是不等式2log 1x >的解集，然后得到集合A ，B 再利用集合的交并补运算的定义求解即可. （II ）因为C A ?，所以C φ=和C φ≠，然后分两种情况进行研究即可. (Ⅰ…………………………………………………………………2分 }2|{}1log |{2>=>=x x x x B …………………………………………………4分 }32|{≤<=x x B A ……………………………………………………………5分 () [R B A }3|{}31|{}2|{≤=≤≤≤=x x x x x x ……………………………6分 (Ⅱ) ①当1a ≤时，C =?，此时C A ?；…………………………………………9分 ②当1a >时，C A ?，则1a 3<≤……………………………………………11分 综合①②，可得a 的取值范围是(]3， ∞- ………………………………………12分 考点：集合的运算，求函数的定义域，解对数不等式. 点评：研究集合时，一定要注意代表元素是谁，然后再求出代表元素的取值范围，即可确定其集合.再进行运算时要把交，并，补的运算定义记清楚，另外遇到C A ?，要注 意按C φ=和C φ≠两种情况考虑. 35．（本小题满分13命题p ： 实数m 为小于6的正整数，命题q ：A 是B 成立的必要不充分条件.若命题q p ∧是真命题，求实数m 的值. 【答案】1=m . 【解析】 试题分析：根据已知条件可知由命题p∧q 是真命题，知命题p 和q 都是真命题，所以0＜m ＜6，m∈N +，B ?A ．然后运用一元二次不等式和分式不等式得到解集，求解得到。 解： 命题q p ∧是真命题，∴命题p 和q 都是真命题 ……………………… 2分 命题 p 是真命题，即*,60N m m ∈<< ……………………………… 5分 7分 命题q 是真命题，B 是A 的真子集，……………………………………… 9分 ②………………………………………………………… 11分 由①②得1=m .………………………………………………………… 13分 考点：本试题主要考查了必要条件、充分条件、充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 点评：解决该试题的关键是由命题p∧q 是真命题，知命题p 和q 都是真命题，所以0＜m ＜6，m∈N +，B ?A ． 36．(12分)已知命题p ：不等式1)1(2 ->-m x 的解集为R ，命题q ：x m x f ) 25()(-=是R 上的增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】1≤m<2. 【解析】 试题分析：根据复合命题的真假判定方法由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题可知p,q 一真一假，然后分两种情况研究再求并集即可. 不等式1)1(2 ->-m x 的解集为R ，须m －1<0 即p 是真命题，m<1 f(x)= (5－2m)x 是增函数，须5－2m>1即q 是真命题，m<2 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题 故p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m<2. 考点：复合命题的真假判断，解一元二次不等式，指数函数的单调性. 点评：解本小题关键是根据复合命题的真假判定方法由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题可知p,q 一真一假. 37．（本小题满分10分） A B. （1）求 B A ?； （2）若}12|{-≤≤=a x a x C ，且B C ?，求实数a 的取值范围. 【答案】解：（1）{2}A B ?=；（2。 【解析】本试题主要是考查了函数的定义域和函数的值域和集合的运算的综合运用 （1）由题意得：{|2}A x x =≥，}21|{≤≤=y y B ，因此得到交集的结论 （2）由（1）知：}21|{≤≤=y y B ，又C B ?，需要对于参数c 分情况讨论得到结论。 解：（1）由题意得：{|2}A x x =≥ ……………………………2分 }21|{≤≤=y y B ……………………………………………………4分 {2}A B ?= ……………………………………………………………5分 （2）由（1）知：}21|{≤≤=y y B ，又C B ? （a ）当21a a -<时，a<1,C φ=，满足题意 …………………6分 （b ）当a a ≥-12即1a ≥时，要使C B ?，则1 212a a ≥??-≤? …………8分 ………………………………………………………9分 ………………………………………………10分 38．已知全集R U =，函定义域为集合A ,集合B ={2-x|＜x ＜}a . （1）求集合A C U ； （2）若A B B =，求a 的取值范围． 【答案】（1）A C U =(] [)23-∞-+∞,, ； （2）a ≥3 。 【解析】本试题主要是考查了集合的运算以及函数定含义与的运用。 （1）根据已知函数的解析式，保证对数真数大于零，分母不为零，那么可知定义域。 （2）在第一问的基础上可知A B B =则说明?A B ，结合集合的包含关系得到结论。 （1）因为集合A 表示 ，即(2,3)A =- …………………………6分 所以A C U =(][)23-∞-+∞,, …………………………8分 （2）因为=A B B , 所以?A B (12) 分 ∴a ≥3 …………………………14分 39 B ． （1，求集合B A ； （2，且“A x ∈”是“ B x ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范 围. 【 答 案 】 （210分 【解析】本试题主要是考查了集合的交集，以及充分条件的判定问题的综合运用。 （1）根据一元二次不等式求解集合A ，和B ，然后里哟很难过集合的交集来达到求解。 （2 ∴ 252>+a 此时，}522|{+<<=a x x A ，∵“A x ∈”是“B x ∈”的充分不必要条件， ∴A B ?且A B ≠，利用集合关系得到结论。 40．(本小题满分13分)已知0>c 且1≠c ，设p ：指数函数x c y )12(-=在R 上为减函数，q ：不等式1)2(2 >-+c x x 的解集为R ．若q p ∧为假，q p ∨为真，求c 的取值范围． 【答案【解析真的条件，然后根据q p ∧为假，q p ∨为真分p 真q 假和p 假q 真两种情况进行分类讨论，最后再求并集即可． 当p 正确时， 函数x c y )12(-=在R 上为减函数 1120<-<∴c ， ∴当p 为正确时， 当q 正确时， 集合与简易逻辑 知识点整理 班级： 姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）： ； ； 。 2.常见数集：自然数集 ；自然数集 ；正整数集 ； 整数集 ；有理数集 ；实数集 。 3.子集：A B ?? ； 真子集：A B ≠ ?? ； 补（余）集：A C B ? ； 【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ； 并集：A B ?? 。 笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。 性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是 ；x a > (0)a >的解集是 。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +< 一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。 一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>?；则p q 是的 条件； 若p q ?；则p q 是的 条件； 若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的 条件。 [课题]第一章集合与简易逻辑测试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|x≤}，a=3，则( ) A.a A B.a A C.{a}∈A D.{a} A 2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) A.S Q M B.S=Q M C.S Q=M D.S Q=M 3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是( ) A.a≤10 B.a≥9 C.a≤9 D.9≤a≤10 6.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为( ) A.0＜a＜1 B.0＜a≤1 C.a＞1 D.a≥1 7.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( ) A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4} B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4} C.{1，2，3，4} D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3} 8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是( ) A.0＜m≤3 B.m≥9或m≤1 C.0＜m≤1 D.m＞9 9.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是( ) 一. 本周教学内容： 集合与简易逻辑 知识结构： 【典型例题】 例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。 例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且 解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时， 是[1，3] 小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。 例3. 解： 小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然 例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一： 综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1} 解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。 小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。 例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。 解： 小结： 解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。 例6. 解： 依题意有： 小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。 例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件 解：设有自然数n1 {}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的 ①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1- 金华中学2010届高三第一轮复习《集合与简易逻辑》单元测试 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分） 1.设合集U=R ，集合}1|{},1|{2 >=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．M P C ． P M D ．M ?P 2．如果集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ， 那么( A U )B I 等于 （ ） (A){}5 (B) { }8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2 (D) {}7,3,1 3．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若 }6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是( ) （ ） (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 4. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}a x x B <=|，若φ≠B A I ，则a 的取值 范围是( ) （A ）2a （C ）1->a （D ）21≤<-a 5． 集合A ＝｛x |1 1 +-x x ＜0｝，B ＝｛x || x －b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是 （ ） （A ）－2≤b ＜0 （B ）0＜b ≤2 （C ）－3＜b ＜－1 （D ）－1≤b ＜2 6．设集合A ＝｛x | 1 1 +-x x ＜0}，B ＝｛x || x －1|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ ”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 7. 已知23:,522:>=+q p ,则下列判断中，错误．．的是 （ ） (A)p 或q 为真，非q 为假 (B) p 或q 为真，非p 为真 (C)p 且q 为假，非p 为假 (D) p 且q 为假，p 或q 为真 8．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2 ＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“111222 a b c a b c ==”是“M ＝N ” ( ) （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 9．“2 1 = m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的 （ ） (A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 10. 已知01a b <<<，不等式lg()1x x a b -<的解集是{|10}x x -<<，则,a b 满足的关系是( ) （A ）1110a b -> （B ）1110a b -= （C ）1110a b -< （D ）a 、b 的关系不能确定 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数” 的充要条件 ③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中为真命题的是 12．若集合{ }x A ,3,1=，{}2 ,1x B =，且{}x B A ,3,1=Y ，则=x 13．两个三角形面积相等且两边对应相等，是两个三角形全等的 条件 14．若0)2)(1(=+-y x ，则1=x 或2-=y 的否命题是 15．已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－1)k 再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2， 则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 集合与简易逻辑专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列表示方法正确的是 A 、1?{0,1,2} B 、{1}∈{0,1,2} C 、{0,1,2}?{0,1,3} D 、φ {0} 2、已知A={1，2，a 2－3a －1},B={1,3},=B A {3,1}则a 等于 A 、-4或1 B 、-1或4 C 、-1 D 、4 3、设集合},3{a M =，},03|{2 Z x x x x N ∈<-=，}1{=N M ，则N M 为 A 、 {1,3,a} B 、 {1,2,3,a} C 、 {1,2,3} D 、 {1,3} 4、集合P=},2|),{(R x y x y x ∈=-，Q=},2|),{(R x y x y x ∈=+，则P Q A 、（2，0） B 、{（2，0 ）} C 、{0，2} D 、{}|2y y ≤ 5、下列结论中正确的是 A 、命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。 B 、命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题 C 、命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题 D 、命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题 6、“0232=+-x x ”是“x=1”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A 、真命题的个数一定是奇数 B 、真命题的个数一定是偶数 C 、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D 、上述判断都不正确 8、设集合},2|{Z n n x x A ∈==，},2 1 |{Z n n x x B ∈+==，则下列能较准确表示A 、B 关系的图是 9、命题“对顶角相等”的否命题是 A 、对顶角不相等 B 、不是对顶角的角相等 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 集合与简易逻辑、函数与导数测试题 1．若集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于 （ ）A.{}5 B . { }7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,1 2．函数()2()3log 6f x x x =+-的定义域是（ ） A ．{}|6x x > B ．{}|36x x -<< C ．{}|3x x >- D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ． p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．2 1 y x = 5．对命题” “042,02 00≤+-∈?x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,02 00>+-∈?x x R x B ．042,2≤+-∈?x x R x C ．042,2>+-∈?x x R x D ．042,2≥+-∈?x x R x 6．为了得到函数x y )3 1(3?=的图象，可以把函数x y )31 (=的图象 A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是 A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数 B ．在（1,3）上)(x f 是减函数 C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数) )(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则a 的值为 （ ） A ．21 B ．32 C ．4 3 D ．1 9.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶函数，则（ ） O y x 1 2 4 5 －3 3 -2 高中数学知识点易错点梳理一集合与简易逻辑 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); （1） 已知集合A={x,xy,lgxy},集合，B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。 （2）已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ； 与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：（3）()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨 论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有_____个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; （5）某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌，跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有_____________种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。（6）},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9、 命题的四种形式及其相互关系 互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ （集合与简易逻辑） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|, a∈P，b∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（） A.9 B.8 C.7 D.6 2、若集合M=｛y| y=｝，P=｛y| y=｝，则M∩P= （） A｛y| y>1｝B｛y| y≥1｝C｛y| y>0｝D｛y| y≥0｝ 3、下列四个集合中，是空集的是( ) A . B . C. { D .. 4、若关于x的不等式<1的解集为{x|x <1或x > 2},则实数a的值为( ) A.1 B.0 C.2 D. 5、已知集合M=｛a2, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a2+1｝, 若M∩N=｛-3｝, 则a的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 6、设集合A={x| < 0},B={x||x-1| A.35 B.25 C.28 D.15 8、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（） A．B．C．D． 9、若二次不等式ax2+bx+c > 0的解集是{x| < x <},那么不等式2cx2-2bx-a < 0的解集是( ) A.{x|x< -10或x > 1} B.{x|－< x <} C.{x|4< x <5} D.{x|-5< x < -4} 10、已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,a,b∈R,对于命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”有下列结论: ①此命题的逆命题为真命题②此命题的否命题为真命题 ③此命题的逆否命题为真命题④此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题 其中正确结论的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11、对任意实数, 若不等式恒成立, 则实数的取值范围是( ) A k≥1 B k <1 C k≤1 D k >1 12、若集合A B, A C, B=｛0,1,2,3,4,7,8｝, C=｛0,3,4,7,8｝, 则满足条件的集合A 的个数为( ) A. 16 B 15 C 32 D 31 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。 第一章知识点 、知识结构： 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易 二、知识回顾: （一）集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的 使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 4. 集合运算：交、并、补. 交：A PIB U {X |X 亡 A ,且X 亡 B} 并: A UB U {X |X 忘 A 或 X 忘 B} 补：GAu {x^U ,且X 芒 A 5. 主要性质和运算律 （1）包含关系: A 匸A,①匸A, A 匸U,GA 匸U, A J B, A 匸 C; A R B 匸 A, A Cl B 匸 B; A U B 二 A,A U B 二 B. 逻辑三部分: (2) 等价关系：A C B U AnB=A= AUB=B= GAUB = U （3）集合的运算律: 交换律：A n B =B n A; A U B = B U A. 结合律：（A P I B ）n c = A n （B n c ）；（A U B ）U C = A U （B U C ） 分配 律:.A n （B U c ）=（A n B ）u （A n c ）；A U （B n c ）=（A U B ）n （A U c ） ① RA 二①，① UA = A,U nA = A,U U A=U An ^u A=? A U 5u A=U 3U L=? S U ? =U S U U^^U A)=A NA n B )=(右LA ) U (B U D 齢(A u B )=( S U A> n ^U B) 6. 有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为card （ A ）规 定 card( ? ) =0. 基本公式: (1)card(AUB) =card(A) +card(B)-card(AnB) ⑵ card (A U B U C) = card (A) + card (B) + card(C) -card(A^B) -card (B RC) -card(cn A) + card(AnBnc) ⑶ card ( 3L A)= card(U)- card(A) (4) 设有限集合A, card(A)=n, 2n -2. 0-1 律: 等幕律: A " A =A,AU A = A. 求补律: 反演律: （i ）A 的子集个数为2n ; （ii ）A 的真子集个数为2n -1 ; （iii ）A 的非空子集个数为2 -1 ； （iv ）A 的非空真子集个数为 集合与简易逻辑、函数与导数测试题 时间：100分钟 满分：130分 1．若集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于（ ） A.{}5 B . { }7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,1 2．函数()2()3log 6f x x x =+-的定义域是（ ） A ．{}|6x x > B ．{}|36x x -<< C ．{}|3x x >- D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ） A ．p 或q 为真，非q 为假 B ． p 或q 为真，非p 为真 C ．p 且q 为假，非p 为假 D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．21 y x = 5．对命题” “042,02 00≤+-∈?x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,02 00>+-∈?x x R x B ．042,2≤+-∈?x x R x C ．042,2>+-∈?x x R x D ．042,2≥+-∈?x x R x 6．为了得到函数x y )3 1(3?=的图象，可以把函数x y )31 (=的图象 A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是 A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数 B ．在（1,3）上)(x f 是减函数 C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数) )(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则a 的值为 （ ） A ．21 B ．32 C ．4 3 D ．1 9.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶 O y x 1 2 4 5 －3 3 -2 {}9B =,;B A = )()();U U B A B =? ()()A B card A =+ ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有意义的q 同为假时为假，其他情况时为真即当当为真；③“非 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻 辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=, 则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3 a =±①当3a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。 例 例y |y ≥1}，≥，N 分别是二集合{y |y =f (x )，|y=x 2+1，x ∈R} y =x 2+1 x |x ≥1}。 φ. 8} ,C U B = {1， A)∪(C U B) = ,∴ C U (A ∪B) }3< 3x ?+,即123x x ??>2或x < 3 1 }.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x <3 1 ，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1 - 第一章 集合与简易逻辑 （考试时间：60分钟；满分：80分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在下列四个结论中，正确的有( ) (1）843 2-<>x x 是的必要非充分条件； (2）ABC ?中，A>B 是sinA>sinB 的充要条件； (3）213≠≠≠+y x y x 或是的充分非必要条件； (4）0cot tan sin <>x x x 是的充要条件. A .(1)(2)(4) B ．(1)(3)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 2．设集合A ＝{1,2,3,4}， B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合?U (A ∩B )的元素个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．设a ∈R ，则a ＞1是1a <1的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中的假命题．．． 是( ) A ．,lg 0x R x ?∈= B ．,tan 1x R x ?∈= C ．3,0x R x ?∈> D ．,20x x R ?∈> 5．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－2 B ．m ≥2 C ．m ≥2或m ≤－2 D ．－2≤m ≤2 7．对于集合A ，B ，“A ∩B=A ∪B ”是“A=B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 已知命题2:6,:,p x x q x Z -≥∈∧若“p q?”?与“q?”同时为假命题，求x 的值。 答案： q p ∧ ?与“q?同时为假命题，所以p 为真，q 为假。故???<-∈6 ||2x x Z x 来源：09年福建省福州市月考一 题型：解答题，难度：中档已知：命题1:()p f x -是()12f x x =-的反函数，且1|()|2f a -<； 命题:q 集合2{|10,},{|0}A x x ax x R B x x =++=∈=>，且A B φ=， 试求实数a 的取值范围使得命题,p q 有且只有一个真命题 答案： 因为()12f x x =-，所以11()2x f x --= ………………………………（1分） 由1|()|2f a -<得1||22 a -<，解得35a -<< ………………………………（3分） 因为A B φ=，故集合A 应分为A φ=和A φ≠两种情况 （1）A φ=时，24022a a ?=-- …………………………………………………（9分） 若p 真q 假，则32a -<≤-…………………………………………………………（10分） 若p 假q 真，则5a ≥ ……………………………………………………………（11分） 故实数a 的取值范围为32a -<≤-或5a ≥………………………………………（12分） 来源：08年高考荆州中学月考一 题型：解答题，难度：中档 “△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 都是锐角”的否命题为: _______________，否定形式是_____________- 答案： 否定形式：△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 不都是锐角” 否命题：△ABC 中,若∠C ≠90°,则∠A.∠B 不都是锐角” 来源：09年福建省福州市月考一 一、集合与常用逻辑用语 一、知识梳理： 1、集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。 集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B ，或 B ?A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”。 即：若A a ∈则B a ∈，那么称集合A 称为集合B 的子集 注：空集是任何集合的子集。 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B 或B ?A ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?（读作“A 交B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 B A ?=A B ?，B A ?B B A A ???，。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?（读作“A 并B ”），即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 B A ?=A B ?，?A B A ?，?B B A ?。 8、元素与集合的关系：有 、 两种，集合与集合间的关系，用 。 9、命题：可以判断真假的语句叫做命题。 10、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p 或q(记作p ∨q)；p 且q(记作p ∧q)；非p(记作┑q) 。 11、“或”、“且”、“非”的真值判断： ? “非p ”形式复合命题的真假与P 的真假相反； ? “p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； ? “p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．集合与简易逻辑知识点整理
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