第一章《集合与简易逻辑》练习题
一． 选择题
1．若关于 x 的不等式 ax 2
bx c 0 (a 0) 的解集是空集 , 则（ ）
（ A ） a
0且 b 2 4ac
(B)
a
0且 b 2 4ac
（ C ） a 0且 b 2 4ac 0 (D)
a 0且
b 2
4ac
2．如果命题“ p 或 q ”与命题“非
p ”都是真命题，那么（
）
（ A ）命题 p 不一定是假命题 （ B ）不一定是真命题
（ C ）命题 q 一定是真命题
（ D ）命题 p 与命题 q 真值相同
3．设全集 U=R ，集合
2
2
U
M=｛ x ︱ x －2x － 3>0｝， N=｛ x ︱ 3+2x － x >0｝。则 M （ C N ）等于
（ ）
（ A ） M
（ B ） N
（ C ） C U M
（D ） C U N
4．下列说法准确的是（ ）
（ A ） x ≥ 3 是 x>5 的充分不必要条件 （ B ） x ≠± 1 是 x ≠1 的充要条件 （ C ）若﹁ p ﹁ q ，则 p 是 q 的充分条件
（ D ）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
5．若 A ∩ B=｛ a ， b ｝， A ∪ B=｛ a ， b ， c ， d ｝，则符合条件的不同的集合
A 、
B 有
（
）
（ A ） 16 对 （ B ）8 对 （ C ） 4 对 （ D ）3 对
6．已知集合 M
{ x | x 1} ， P { x | x t} ，若 M P
，则实数
t 应该满足的
φ
条件是 （ ）
（ A ） t 1 （ B ） t 1
（ C ） t 1
（D ） t 1
7．方程 mx 2 2x 1 0 至少有一个负根，则
（
）
（ A ） 0 m 1 或 m 0
（ B ） 0
m 1 （ C ） m 1
（ D ） m 1
8．当 a
0 时，关于 x 的不等式 x 2 4ax 5a 2 0
的解集是 （ ）
（ A ） { x | x 5a 或 x a } （ B ） { x | x 5a 或 x a }
（ C ） { x | a x 5a }
（ D ）{ x | 5a x a }
9. 抛 物 线 y
ax 2 bx c 与 X 轴 的 两 个 交 点 为
2, 0 , 2, 0 则 不 等 式
ax 2 bx
c
0 的解集为（
）
(A)
x 2 x 2
(B) x x 2或 x 2
（ C ） x x
2
(D)
不确定 , 与 a 值相关 . 10．“ x 2+2x-8=0 ”是“ x-2=
2 x ”的 （
）
(A) 充分不必要条件 (B)
必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
11．已知集合 A={y|y=-x
2
∈R}， B={y|y=-x+3,x ∈ R}, 则 A ∩ B=（
）
+3,x (A){(0,3),(1,2)} (B){0,1}
(C){3,2}
(D){y|y ≤ 3}
12．已知集合 A={x|
x
1 0 },B={x|x ≤ a} ，若 A ∩ B=B,则 a 的取值范围是（ ）
x
2
(A)a ≥ 1 (B)a ≥2
(C)a ≤ -2 (D) a<-2
13．设全集为 S,
对任意子集合 A, B 若 A B , 则下列集合为空集的是 ( )
(A) A C S B
(B)
C S A
C S B
(C)
C S A
B
(D)
A
B
14．“ a 2 b 2
0 ”的含义是 ( )
(A)a, b 全不为 0
(B) a, b
不全为 0
(C) a, b
至少有一个为 0 (D) a, b
至少有一个不为 0
15．已知 P ：∣ 2x －3∣>1； q ：
1
0 ；则﹁ p 是﹁ q 的（
）条件
x
2
x 6
（ A ）充分不必要条件 （ B ）必要不充分条件
（ C ）充分必要条件
（ D ）既非充分条件又非必要条件
16．如果命题“ P 或 Q ”是真命题，命题“ P 且 Q ”是假命题，那么（
）
(A)命题 P 和命题 Q 都是假命题
(B)
命题 P 和命题 Q 都是真命题 （ C ）命题 P 和命题“非 Q ”真值不同
(D) 命题 Q 和命题“非 P ”真值相同
17．满足关系 {1}
B
{11 ， 2，3， 4} 的集合 B 有（ ）
（ A ） 5 个
（ B ） 7 个
（ C ） 8 个
（ D ） 6 个
18． a 、 b ∈R +是 a+b ＞ 2 ab 的（
）
（ A ）充分条件但不是必要条件 （ B ） 必要条件但不是充分条件
（ C ）充分必要条件
（ D ） 既不充分也不必要条件
29．已知 I=R ， M={x ︱（ x-2 ）（ 3-x ）＞ 0} ， N={x ︱
x
1
＞ 2} ，则 C U M ∩N 是（
）
x 1
（ A ） { x | x 3 }
（ B ） { x | 2 x
1 }
（ C ） { x | 3 x 2 }
（ D ）ф
20．如果集合 M
x | x
k 1
， N
k 1 , k Z ，那么（
）
2 , k Z
y | y
2（ ） M N
4
4
(B) M
N (C)
M
N (D)
M
N
A
21．下列命题中假命题 是（
）
．．．
（ A ）“正三角形边长与高的比是
2︰ 3 ”的逆否命题
（ B ）“若 x,y 不全为
0，则 x 2
y 2 0 ”的否命题 （ C ）“ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的充分条件
（ D ）若 A B A C ，则 B C
22．已知集合（ A ）φ
A 是全集 S 的任一子集，下列关系中准确的是（
） C S A （ B ） C S A S
（ C ）（ A ∩ C S A ） =φ （ D ）（ A ∪ C S A ）
S
23．设全集 U={(x,y)|x
∈R,y ∈ R}，集合 M={(x,y)|y
2
2
（ A ）（ C U M ）∩（ C U N ） （B ）（ C U M ≠ x}
）
∪ N
，N={(x,y)|y
≠ -x}
，则集合
（ C ）（ C U M ）∪（ C U N ）
（D ） M ∪（ C U N ）
24．下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则
这个命题一定是真命题；其中准确的说法是（ ）
（ A ）①②
（ B ）①③④ （ C ）②③④
（ D ）①②③
25．若二次不等式 ax 2
+bx+c>0 的解集是
x | 1 x
1
，那么不等式 2cx 2-2bx-a<0 的解
5
4
集是（ ）
（ A ） x | x 10或 x 1 （ B ） （ C ） x | 4
x 5
（ D ）
1
x
1
x |
5 4 x | 5 x
4
26．集合 {x-1 ， x 2-1， 2} 中的 x 不能取值个数是（
）
（ A ） 2
（ B ） 3
（ C ）4
（ D ） 5
27．设 M={2,a 2-3a+5,5},N={1,a
2
-6a+10,3},
且 M ∩ N={2,3} 则 a 的值是 ( ) （ A ） 1 或 2 （ B ） 2 或 4
（ C ） 2
（ D ） 1
二．填空题
28． x>y 是
x >1 成立的 _________________________________________ 条件 .
y
29．若集合 A 1,3, x ， B
1, x 2 ，且 A
B 1,3, x ，则 x
30．使
x 2 x 2
成立的充要条件是 _______________________________.
x 2 3x
x 2
3x
31．写出命题“个位数是
5 的自然数能被 5 整除”的逆命题、否命题及逆否命题，并判
定其真假。
逆命题是 _____________________________________________ 否命题是 _____________________________________________
逆否命题是 ___________________________________________
32．已知 U={x|x 2－ 4x+3≥ 0} ，A={x| |x － 1|>2} ，则 C u A=_______________。 33．有下列四个命题：
①、命题“若 xy
1，则 x ， y 互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若 m ≤ 1，则 x 2
2x m 0 有实根”的逆否命题；
④、命题“若 A ∩ B = B ，则 A B ”的逆否命题。
其中是真命题的是
（填上你认为准确的命题的序号）。
三．解答题
34．已知函数 f (x)( m 1) x 2
2( m 1) x 3 的定义域为实数集
R ，求实数 m 的取值
范围。
35．设集合
2
2
22
A=｛x︱ x +2x－8<0｝， B=｛ x︱x>3｝， C=｛x︱ x － 2mx+m－ 1<0，∈ R｝
（1）若 A∩ C=φ，求 m的集合；
（2）若 B∪ C=R，求 m的集合；
（3）若（ A∩ B） C，求 m的集合
36．已知A x x a , B x x 22ax 3a 20 , 求A B与A B
37．设 a 为非零实数，求不等式ax2- （ a2+1） x+a＞ 0 的解集
38．已知关于x 的不等式（ a2-4 ） x2+(a+2)x-1≥ 0的解集空集，求实数 a 的取值范围。
{}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的
①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-
一. 本周教学内容： 集合与简易逻辑 知识结构： 【典型例题】 例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。 例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且 解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时， 是[1，3] 小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。 例3. 解：
小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然 例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一： 综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1} 解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。 小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。 例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。 解： 小结： 解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。 例6. 解： 依题意有：
小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。 例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件 解：设有自然数n1 第一章 集合与简易逻辑 一、集合的定义小测 姓名 ： 座号： 1、下列对象中不能组成集合的是（ B ） A.所有小于10的自然数； B.某班个子高的同学 C.方程012=-x 的所有解 D.不等式02>-x 的所有解。 2、指出下列各集合中，（ C ）集合是空集。 A.方程60x +=的解集； B.方程012=-x 的解集 C.大于-4且小于-2的所有偶数组成的集合 D.方程226>0x x -+的解集 3、指出下列各集合中，(B )是空集,( A)是有限集,(C D )是无限集. A.{|10}x x += B.2{|10}x x += C.{(,)|}x y x y = D.{|50}x x -≤< 4、用符号“∈”或“?”填空 1）3- ? N 5.0 ? N 3 ∈ N 2)5.1 ? Z 5- ∈Z 3 ∈ Z 3)2.0- ∈ Q π ?Q 21.7∈ Q 4) 5.1∈ R 2.1- ∈ R π ∈ R 5、用列举法表示下列各集合； 1）大于-4且小于12的所有偶数组成的集合{2,0,2,4,6,8,10}- ； 2）方程2560x x -+=的解集 {2,3} ； 6、描述法表示下列各集合 1）小于5的所有整数组成的集合 {|5,}x x x Z <∈ ； 2）不等式210x +≤的解集 1{|}2 x x ≤- ； 3）所有的奇数组成的集合 {|21,}x x k k Z =+∈ ； 4）在直角坐标系中，由x 轴上所有的点组成的集合 {(,)|0}x y y = ； 5）在直角坐标系中，由第一象限的所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >> 。 7、用列举法表示下列各集合； 1）方程2340x x --=的解集；2）方程430x +=的解集； {1,4}- 3{}4- 3）由数1，4，9，16，25组成的集合；4）所有的正奇数组成的集合 {1，4，9，16，25} {|21,}x x k k N =+∈ 7、描述法表示下列各集合 1）大于3的所有实数组成的集合 {|3}x x > ； 2）小于20的所有自然数组成的集合 {|20,}x x x N <∈ ； 3）大于5的所有偶数组成的集合 {|2,,2}x x k k N k =∈> ； 4）不等式450x -<的解集 5{|}4x x < ； 5）由第四象限所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >< ； 8、用列举法表示下列各集合； 1）小于5的所有正整数组成的集合； {1，2，3，4} 经典教综多选题 100 道 1.学校的精神或观念文化是校园文化的核心，可以分解为（）。A.理想成分B. 认知成分C.情感成分D.价值成分 2.下列体现了个体身心发展不平衡性特点的有（）。 A.人的身体发育总是遵循从上到下、从中间到四肢、从骨骼到肌肉的顺序 B.人的身高 和体重的增长有两个高峰期，即婴儿期和青春期 C.人的神经系统成熟在先，生殖系统成熟在后 D.失明者的听力往往比视力正常者发达 3.班级目标管理是指班主任与学生共同确定班级总体目标，然后将总体目标转化为（） A.集体目标 B.小组目标 C.个人目标 D.年级目标 4.下列属于学生注意听讲的描述有（） A.注目凝视 B.交头接耳 C.屏息静气 D.若有所思 5.下列符合现代教育制度的发展趋势的有（）。 A.加强学前教育并重视其与小学教育的衔接 B.强化普及义务教育，延长义务教育年限 C.普通教育与职业教育朝着相互渗透的方向发展 D.学历教育与非学历教育的界限日益明晰 6.“你的鞭子下有瓦特，你的冷眼里有牛顿，你的讥笑中有爱迪生。你别忙着把他们赶跑，你可不要等到坐火车、点电灯、学微积分，才认识他们是你当年的小学生”。这段话对我们进行教育工作的启示是（）。 A.要因材施教 B.要对学生循循善诱 C.要加强对后进生的教育 D.要使所有学生包括差生都得到发展 7.以下关于独立形态的教学阶段的表述，正确的有（）。A.教育作为一门独立的学科提出来，始于德国哲学家康德 B.夸美纽斯的《大教学论》标志着近代独立形态教育学的开端 C.最早的教育学研究机构，始于德国普鲁士王朝的哥廷根大学 D.把教育作为一门课程，在大学里讲授，最早始于英国哲学家培根 8.下列属于正迁移的有（）。 A.数学审题技能的掌握对物理、化学审题的影响 B.在学校爱护公物的言行影响在校外规范自己的行为 C.外语学习中，词汇的掌握对阅读的影响 D.学习汉语字母发音对英语字母发音的影响 9.古罗马医生盖伦提出人的气质类型分为（）。 A.多血质 B.胆汁型 C.抑郁质 D.粘液质 10.激情是一种强烈短暂的情绪状态，其特点（）。 A.激动性 B.弥散性 C.冲动性 D.渲染性 集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 多项选择题猛练 一、电学 1．关于家庭电路，下列说法中正确的是 （ ） A ．我国家庭电路的电压是220V B ．家庭电路中的用电器都是串联的 C ．家庭电路中用电器消耗的总功率越大，电路的总电流就越大 D ．家庭电路中保险丝熔断可能是由于电路的总功率过大造成的 2．如图9所示的“热得快”铭牌上标有“220V 1000W”字样，由此可知这种 “热得快”（ ） A ．正常工作的电压为220V B ．正常工作时电流为0.22A C ．正常工作10min 消耗的电能为6×105J D ．正常工作10min 产生的热量大于6×105J 3．在如图10所示的电路中，电源两端的电压保持不变，闭合开关S 后， 滑动变阻器的滑片P 向右移动，下列说法中正确的是（ ） A ．电压表的示数变大 B ．电灯L 的亮度变暗 C ．电流表A 1的示数变小 D ．电流表A 2的示数变小 4．在如图11所示电路中，电源两端的电压保持不变，当闭合开关S1、 S3，断开开关S2时，电流表的示数为1.2A ；当闭合开 关S1、S2，断开开关S3时，电流表的示数为0.3A ； 当闭合开关S2，断开开关S1、S3时，电流表的示数为 0.15A 。关于此电路工作情况的分析，下列说法中正确 的是（ ） A ．只闭合开关S 1时，电流表的示数为0.3A B ．只闭合开关S 2时，电阻R 2消耗的电功率是电阻 R 3消耗的电功率的2倍 C ．开关S 1、S 2、S 3都闭合时，电流表的示数为3A D ．只断开开关S2与只闭合开关S2两种情况下电压 表的示数之比为2:1 5．用锰铜合金制成甲、乙两段电阻丝，它们长度相同，但是甲比乙细。若将它们连接在同一 电路中，通过甲、乙两段电阻丝的电流分别为I 甲、I 乙；甲、乙两段电阻丝两端的电压分别为U 甲、U 乙。下列关系可能成立的是 A ．I 甲＝I 乙 B ．I 甲＞I 乙 C ．U 甲＞U 乙 D ．U 甲＝U 乙 6．在如图6所示的实验中，用酒精灯给试管加热，试管内水的温度 逐渐升高直至沸腾。水沸腾后，橡胶塞从试管口飞出，试管口附 图10 S A 1 A 2 V L R P 图 11 甲 R 1 R 3 S 3 A S 1 甲 S 2 R 2 V 图9 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一） 集合与简易逻辑 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函 数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或 集合与简易逻辑专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列表示方法正确的是 A 、1?{0,1,2} B 、{1}∈{0,1,2} C 、{0,1,2}?{0,1,3} D 、φ {0} 2、已知A={1，2，a 2－3a －1},B={1,3},=B A {3,1}则a 等于 A 、-4或1 B 、-1或4 C 、-1 D 、4 3、设集合},3{a M =，},03|{2 Z x x x x N ∈<-=，}1{=N M ，则N M 为 A 、 {1,3,a} B 、 {1,2,3,a} C 、 {1,2,3} D 、 {1,3} 4、集合P=},2|),{(R x y x y x ∈=-，Q=},2|),{(R x y x y x ∈=+，则P Q A 、（2，0） B 、{（2，0 ）} C 、{0，2} D 、{}|2y y ≤ 5、下列结论中正确的是 A 、命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。 B 、命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题 C 、命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题 D 、命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题 6、“0232=+-x x ”是“x=1”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A 、真命题的个数一定是奇数 B 、真命题的个数一定是偶数 C 、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D 、上述判断都不正确 8、设集合},2|{Z n n x x A ∈==，},2 1 |{Z n n x x B ∈+==，则下列能较准确表示A 、B 关系的图是 9、命题“对顶角相等”的否命题是 A 、对顶角不相等 B 、不是对顶角的角相等 专题一集合与简易逻辑 一、考点回顾 1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等； 3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法； 4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定； 5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系； 6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 二、经典例题剖析 考点1、集合的概念 1、集合的概念： （1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集； ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2} 表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描 述法。 2、两类关系： （1）元素与集合的关系，用∈或?表示； （2）集合与集合的关系，用?，≠?，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A≠?B时，称A是B的真子集。 3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 4、注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论 例1、下面四个命题正确的是 （A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} （C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} m}．若B?A，则实数m＝．例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2 {}9B =,;B A = )()();U U B A B =? ()()A B card A =+ ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有意义的q 同为假时为假，其他情况时为真即当当为真；③“非 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻 辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=, 则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3 a =±①当3a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。 例 例y |y ≥1}，≥，N 分别是二集合{y |y =f (x )，|y=x 2+1，x ∈R} y =x 2+1 x |x ≥1}。 φ. 8} ,C U B = {1， A)∪(C U B) = ,∴ C U (A ∪B) }3< 3x ?+,即123x x ??>2或x < 3 1 }.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x <3 1 ，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1 - 集合、简易逻辑 集合知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为 A ? B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 命题知识梳理： 1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题） ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 1 高中数学第一册（上） 第一章集合与简易逻辑 ◇教材分析 【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分： 【知识点与学习目标】 【高考评析】 集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法． ◇学习指导 【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆． 【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想； 3．分类思想；4．数形结合思想． 2 【解题规律】 1．如何解决与集合的运算有关的问题？ 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题？ 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题． 引言 通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。 1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识； 2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识． 在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了． §1.1集合 〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义； (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义． 〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合． 〖教学过程〗 ☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 1、集合的概念： 在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度 第一章 集合与简易逻辑 （考试时间：60分钟；满分：80分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在下列四个结论中，正确的有( ) (1）843 2-<>x x 是的必要非充分条件； (2）ABC ?中，A>B 是sinA>sinB 的充要条件； (3）213≠≠≠+y x y x 或是的充分非必要条件； (4）0cot tan sin <>x x x 是的充要条件. A .(1)(2)(4) B ．(1)(3)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 2．设集合A ＝{1,2,3,4}， B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合?U (A ∩B )的元素个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．设a ∈R ，则a ＞1是1a <1的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中的假命题．．． 是( ) A ．,lg 0x R x ?∈= B ．,tan 1x R x ?∈= C ．3,0x R x ?∈> D ．,20x x R ?∈> 5．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－2 B ．m ≥2 C ．m ≥2或m ≤－2 D ．－2≤m ≤2 7．对于集合A ，B ，“A ∩B=A ∪B ”是“A=B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 集合与简易逻辑知识点 知识点内容典型题 元素与集合、集合与集合的关系 ①、∈只能表示元素与集合的关 系，而、、 ?、?、＝只能表示集 合与集合的关系. ②0、{0}、的关系是常见题型， 如:数集{0}与空集的关系是（） A.{0}＝ B.{0}∈ C.∈{0} D.?{0} ③常用数集:R、R*、R＋、R ＋ 、Q、 Z、N.（注意*、＋、＋的不同含义） ④是任何集合的子集，是任何非． 空．集合的真．子集. ⑤n个元素的集合的真子 ．．集．个数 为:2n－1. 1.下列关系中正确的是（） A.0 B.0∈ C.0＝ D.0≠ 2.已知a＝－3，A＝{x│x2＝9}，则下 列关系正确的是（） A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.a A 3.下列命题为真命题的是（） A.3{3} B. 3∈{3} C.3{1，2，3} D. 3∈ 4.若a＝1，集合A＝{x│x＜2}，则下 列关系中正确的是（） A.a A B.{a}A C.{a}∈A D.{a}A 集合的运算 ①掌握好求交、并、补集的基本含 义和方法，特别是C U A的含义. ②有限元素集之间的运算，常根据 定义解答，如: ⑴{0，1，2}∩{0，3，5}＝. ⑵{x∈N│x＜3}∩{x∈Z│0＜x＜10} ＝. ③无限元素集之间的运算，可用数 轴法，如: 设集合A＝{x│－1＜x≤2}，B＝ {x│－2＜x≤1}则A∩B＝. ④点集运算，常联立解方程组，如: A＝{(x，y)│x＋y＝2}，B＝{(x , y)│x－ y＝1}，则A∩B＝. 5.设集合A＝{x∈Z│0＜x＜4}，B＝ {2,3,4,5,6}，则A∩B＝. 6.已知集合A＝{x│x＞0}，B＝{x│x＝ 0}，则A∩B是（） A.{x│x≥0} B.{x│x＞0} C.{0} D. 7.设M＝{x│2≤x≤5}，N＝{x│－1≤ x≤3}，则M∪N等于 . 8.设集合U＝R，A＝{x│－2＜x＜3}， 则集合C U A＝. 9.若全集U＝{x∈Z│x≥0}，则C U N＋ ＝. 10.已知全集U＝N，集合A＝{x∈N│ x＞10}，B＝{x∈N│x≥3}，则 C U(A∪B)＝. 专题1：2013-2015高考数学（理）集合与简易逻辑考题汇总 (2015I) 3.设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为( ) A.?n ∈N ， 2n >2n B.? n ∈N ， 2n ≤2n C.?n ∈N ， 2n ≤2n D.? n ∈N ， 2n ＝2n (2015II) 1.已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） A.｛--1,0｝ B.｛0,1｝ C.｛-1,0,1｝ D.｛,0,，1，2｝ (2014I) 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则A B ?=( ) A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 9.不等式组124x y x y +≥??-≤? 的解集记为D .有下面四个命题： 1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-. 其中真命题是( ) A .2p ，3p B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3p 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . (2014II) 1.设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0，1} D ．{1，2} (2013I) 1.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x ，则( )． A ．A ∩ B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ?A D ．A ?B (2013II) 1.已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 专题一 集合与简易逻辑 （一）集合 1.(2019全国Ⅰ理)已知集合，则= A ． B ． C ． D ． 2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 3.(2019全国Ⅲ理)已知集合，则 A ． B ． C ． D ． 4．(2018全国卷Ⅰ)已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =R e A ．{12}-<第一章 集合与简易逻辑1
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