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专题12 平面向量（解析版）
平面向量是高中数学的重要内容，是解决实际问题强有力的工具，是近年来高考的热点之一．对向量问题的考查，往往与不等式、解析几何、数列、平面几何等知识结合起来．本文通过对近十年全国新课标卷试题进行分析、汇总，希望同学们能够对平面向量的考向、考法、考试题型、难易程度有更加清晰的认识，避免走弯路，错路，以提高复习的效率． 易错点1：忽略零向量；
易错点2：利用向量的数量积计算时，要认真区别向量b a ?与实数a ·b ；
易错点3：利用向量的数量积计算时，判断向量夹角的大小时要牢记“起点相同”； (1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=
||||
?a b
a b (夹角
公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
易错点4：向量数量积b a ?θ的叫做b 在a 方向上的正射影的数量，它是一个数量，它可正，可负，也可以为0，要注意区分.
易错点5：向量数量积b a ?>0并不等价于向量a 与b 的夹角为锐角； 易错点6：三点共线问题
1.若A 、B 、C 三点共线，且OC OB OA μλ+=,则1=+μλ
2.AD x AB y AC =+中,x y 确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD x AB y AC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解
3.(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.
易错点7：向量与三角形的综合
(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
题组1：线性运算
1.（2015）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )
A.14
33
AD AB AC =-+ B.1433AD AB AC =-
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C.41
33
AD AB AC =
+ D. 4133AD AB AC =-
【解析】由题意得111
333
=+=+
=+-AD AC CD AC BC AC AC AB 14
33
=-+AB AC ．故选A
2．（20181）在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( ) A ．34AB → - 14AC → B ． 14AB → - 34AC → C ．34AB → + 14AC → D ． 14AB → + 34AC → 【解析】1
1
3124
44
EB
EA AB
AD AB AB AC AB
AB AC 故选A
3.ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =( ) A.1
23
3
a b +
B.2133a b +
C.3455a b +
D.4355a b
+ 【解析】()
222
,133
b AD CD CA AD CA AB CA CB CA DB a 由题意：=
==+=+=+- 2121
3333CB CA a b =+=+,
故选B
4.（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点， 则=+FC EB
A ．AD
B ． 21
C ． 21
D ． BC
【解析】111
()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=,故选A
5.（20132）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ?= ．
【解析】在正方形中，1
2
AE AD DC =+
,BD BA AD AD DC =+=-, 所以222
2
11
1()
()222222
AE BD AD DC AD DC AD DC ?=+?-=-=-?=
题组2：形如AD x AB y AC =+条件的应用
6.在ABC ?所在平面内有一点O ，满足02=++AC AB OA ，1，则
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?等于_______.
【解析】,,02=+++=++ ,,,OB OC O B C 三点共线
1，
1,OA OB OC AB
AC
6
,3,2,1π=
∠==∴=ACB AC BC 故 cos
36
CA CB CA CB ，故答案为3
7.已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ?，若正实数x 、y 满足42OP xOA yOB =+，则
11
x y
+的最小值为 。 【解析】∵A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，4224
x y
OP xOA yOB OP OA OB ，即=
+=+
∴=124
x y
+，1111333==++
24442442x y y x x y x
y x y ?
???++
++≥= ??????? 当且仅当=,4
442y x
y x y x y ，即此时时取等号==-= 故答案为
3+42
8.（20173）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
AP =λ AB +μAD ，则
λ+μ的最大值为（ ）
A ．3
B ． C
D ．2
【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ， (2,1)D ，
(,)P x y 所以圆的方程为22
4(2)5
x y -+=，
所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，
由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ
=??-=-?，所以λμ+=12x
y -+，
设12x z y =-+，即102
x
y z -+-=
，
点(,
)P x y 在圆上，所以圆心到直线102
x
y z -+-=的距离小于半径，
，解得13
z ≤≤，所以z 的最大值为3，
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题组3:共线向量的坐标运算
9.已知非零向量12,e e 不共线，若使12ke e +与12e ke +共线，则实数k= . 【解析】因为两个非零向量12,e e 不共线，且12ke e +与12e ke +共线， 所以存在实数λ使得()
121212
==3ke e e ke e k e λλλ+++
3,2k k k 解方程组可得λλλ?==??
∴??=??=?
10．(20183)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，
则λ= ．
【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ，
所以124λ?=，即12
λ=．
11．（2018）已知向量()()()4,30,12,1===，若λ为实数，()c b a //λ+，则
λ=______
【解析】由题意可得()1,2a b λλ+=+，因为()//λ+，所以()41+-32=0λ?，
解得1
2
λ=
13.已知向量()()()3,,1,0,1,3k
=-==
，若2- 与共线，则k=____ .
【解析】由题意可得()-23,3a b =，因为2- 与=0k ?，
解得1k =
14．(20151)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 【解析】 由题意可令01023x y =++b e e e ，其中3,1,2i i ⊥=e e ，
由12?
=b e
得0022y x +
=，由252?=b e ，得005
2
2
x y +=，解得01x =，02y = ∴||==b
题组4：垂直向量
15.（2011）已知与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k=_____．
【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直，∴()()0k +?=a b a -b ， 化简得(1)(1)0k -??+=a b ，易知0?≠a b ，故1k =．
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16.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若0?=b c ，则t =_____. 【解析】()()
2
11
(1)1110, 2.22
解得???=?+-=?+-=
+-=-==??b c b ta t b ta b t b t t t t
17.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()(
)
m n m n +⊥-，则=λ_________ 【解析】由题意()()()()
()()2
2
2
2
=11-2-4-2-60m n m n m n λλλ+?--=+++==
=-3λ
18.（20162）已知向量)2,3(),,1(-==m ，且
⊥+（，则m =____. 【解析】由向量的坐标运算得()42m +=-，a b ，
∵()+⊥a b b ，∴()122(2)0m +?=--=a b b ，解得8m =
题组5：求夹角
19.（20163
）已知向量1(,22BA = ,31(),22BC = 则∠ABC=____. 【解析】由题意
3
cos ,=26BA BC ABC ABC BA BC
故
()
20.2||2___.a b a b a a b ==-⊥=已知，，，则，
【解析】()()
2
2
=222cos ,0,cos ,a b a a a b a b a b 由题意解得-?-?=-?==
故,4
a b π
=
21.若两个非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角为__.
【解析】2222
||||0,||=4||a b a b a b a b a 由，得又+=-?=-
22222||-2+||=4||||=3||||=3||a a b b a b a b a ，即，∴?∴
()()[)2
2
2
2
1
cos 02
44a b a b a b
a
a
，又，θθπ+?--==
=-∈
22=
-33a b a b ，即与的夹角为ππθ∴+
22.（20141）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1
()2
AO AB AC =+， 则AB 与AC 的夹角为 ． 【解析】由1
()2
AO AB AC =
+，得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径， 所以AB 与AC 的夹角为90．
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题组6：求向量的模
23.（20171）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= . 【解析】∵2
2
2
|2|||4||4441421cos 6012+=++=+?+???=a b a b ab ，
∴|2|23+=a b
24.（20161）设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =_______. 【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-?==-=-
25．（20142）设向量a ,b 满足|+|=10a b ，||=6-a b ，则?=a b （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
【解析】由2
()10+=a b ①，2
()6-=a b ②，①-②得1?=a b ．
题组7：求投影
26.若(2,3),(4,7)a b ==-，则a 在b 上的投影为 。 【解析】()2
2
2437
65cos 47a b a b a a a b
b
由题意θ?-+???=?
=
=
=
?-+ 故答案为65
5
27.已知向量a ，b 满足22,2,1=+==b a b a ，则向量b 在向量a 方向上的投影是_____.
【解析】()
()
2
2
2
24,44444=4=-1a b a
a b b
a b a b 由题意，+=+?+=+?+∴?
-1
cos -11
a b a b
b b a b
a
由题意θ??=?
=
=
=?，故答案为-1 题组8：求最值
28.（20172）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()PA PB PC ?+的最小是_____.
【解析】以BC 为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，则()
0,3A ,设(),P x y
()()
=22,2,,3PB PC PO x y PA x y +=--=--
2
22233
()2223222PA PB PC x y y x y ??∴?+=+-=+-- ? ??? 33=0()-22
x y PA PB PC 当，时，取得最小值=
?+
29.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()
a c
b
c --的最小值为 _____
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【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角
坐标系，则
A ，(1,0)
B -，(1,0)
C ，设(,)P x y ， 所以
()PA x y =-，(1,)PB x y =---，
(1,)PC x y =--，
所以 (2,2)PB PC x y +=--，
2
()22)
PA PB PC x y y ?+=-
223322(22
x y =+-
--≥，
当P 时，所求的最小值为32
-．
30.设向量a 、b 、c 满足a =b =1，a ·b =12
-
，()
,a c b c --=0
60，则c 的最大值等于_____. 【解析】
a =
b =1，a ·b =01
,1202
a b ，的夹角为-∴，
设,,,OA a OB b OC c ===则00
,120,60CA a c CB b c AOB ACB ，=-=-∠=∠=
180,,,,AOB ACB A O C B 四点共圆∴∠+∠=∴
22
2
,23,AB b a AB b b a a AB =-∴=-?+=∴=根据三角形的正弦定理得，外切圆得直径2=2sin AB
R ACB
=∠
当OC 为直径时，模最大，最大值为2.
专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析
本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析：
2020届天津市滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测数学 试题（B 卷） 一、单选题 1．已知全集{U x =是小于7的正整数}，集合{1,3,6}A =，集合{2,3,4,5}B =，则 =U A B ?（ ） A ．{3} B ．{1,3,6} C ．{2,4,5} D ．{1,6} 【答案】D 【分析】先求出U B ，再求U A B . 【详解】 {U x x =是小于7的正整数}{}1,2,3,4,5,6=， {}=1,6U B ∴，{}=1,6U A B ∴?. 故选：D. 2．设x ∈R .则“3x ≤”是“230x x -≤”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】3x ≤时，例如1x =-，则2340x x -=>，不是充分的， 230033x x x x -≤?≤≤?≤，必要性成立． 因此应是必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行．本题也可从集合的包含角度求解． 3．设0.3 13a -??= ? ?? ，2 1log 3b =， 3 lg 2 c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，
从而可得结果. 【详解】 0.3011 ()()133->=，1a ∴>， 2 21 log log 103 b =<=， 0b ∴<， 3 0lg1lg lg101 2 =<<=，01c ∴<<， b c a ∴<<， 故选：C ． 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 4．在2 5 2 ()x x -的二项展开式中，7x 的系数为（ ） A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】A 【分析】求出二项式展开式的通项，即可求出7x 的系数. 【详解】2 52()x x -的二项展开式的通项为() ()52 10315522r r r r r r r T C x C x x --+??=?-=- ??? ， 令1037r -=，解得1r =， 故7x 的系数为()1 1 5210C -=-. 故选：A. 5．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为（ ） A ． 32 3 π B ． 43 π C ．4π D ．16π 【答案】B 【分析】设圆柱底面半径为r ，则内切球的半径也是r ，圆柱的高为2r ，利用圆柱的侧
圆锥曲线 圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点 .纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三 角形、直线等结合时 ,多以综合解答题的形式考查 ,属于中高档题 ,甚至是压轴题 ,难度值一般控制在0.3~ 0.7 之间. 考试要求⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简 单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物 线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握 数形结合、等价转化的思想方法. 题型一圆锥曲线的定义及应用 例 1⑴已知点 F 为椭圆x2 y 2 1 的左焦点,M是此椭圆上的动点, A(1,1)是一定点 ,则95 |MA|| MF | 的最大值和最小值分别为________. 6 ,离心率为7 ⑵已知双曲线的虚轴长为, F1、F2分别是它的左、右焦点 ,若过F1的直线与 2 双曲线的左支交于A、B两点 ,且| AB|是| AF|与 |BF|的等差中项则 | AB | ________. 22, 点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线 与数列性质的综合题 ,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a的值 ,再应用双曲线的定义与等差中项 的知识求 | AB |的值. 解：⑴设椭圆右焦点为F1,则 |MF ||MF1 | 6,∴|MA||MF | |MA | |MF1 | 6 .又|AF1| |MA| |MF1| |AF1|(当M、A、F1共线时等号成立).又|AF1|2,∴|MA| |MF | 6 2 , |MA||MF | 6 2.故|MA|| MF | 的最大值为6 2 ,最小值为6 2 . 2b6 c7 ,解得a2.∵A、在双曲线的左支上 ,∴| AF2||AF1 |2a , ⑵依题意有 a23 c 2a2b2 |BF2 || BF1 | 2a,∴|AF2||BF2 |(| AF1 | | BF1 |)4a.又|AF2 | |BF2| 2|AB|,|AF1| |BF1| |AB|. ∴ 2| AB | | AB | 4a ,即 | AB | 4a .∴ | AB | 4 2 3 83. 易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻； ⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由M 、 A、F1三点共线求出 | MA | | MF | 的最值也是值得注意的问题. 变式与引申
第一章行列式及其应用 行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的.日本著名的“算圣”关孝和在1683年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法.与莱布尼茨从线性方程组的求解入手不同,关孝和从高次方程组消元法入手对这一概念进行阐述.行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家，他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念. 1683年，日本数学家关孝和在《解伏题之法》中第一次提出了行列式这个概念。该书中提出了乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。1693年，德国数学家莱布尼茨从三元一次方程组的系统中消去两个未知量得到了一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵这个概念，莱布尼茨用数对来表示行列式中元素的位置：ij代表第i行第j列。1730年，苏格兰数学家科林?麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，其间记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程组的解法，并给出了四元一次方程组一般解的正确形式。1750年，瑞士的加布里尔?克莱姆首次在他的《代数曲线分析引论》给出了元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。此后，行列式的相关研究逐渐增加。1764年，法国的艾蒂安?裴蜀在论文中提出的行列式的计算方法简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。法国人的亚历山德?西奥菲勒?范德蒙德在1771年的论著中首次将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。此后，数学家们开始对行列式本身进行研究。1772年，皮埃尔-西蒙?拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，提出了子式的定义。1773年，约瑟夫?路易斯?拉格朗日发现了的行列式与空间中体积之间的联系：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。 行列式被称为“determinant”最早是由卡尔?弗里德里希?高斯在他的《算术研究》中提出的。“determinant”有“决定”意思，这是由于高斯认为行列式能够决定二次曲线的性质。高斯还提出了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，即现在的高斯消元法。 十九世纪，行列式理论得到进一步地发展并完善。此前，高斯只不过将“determinant”这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中，然而奥古斯丁?路易?柯西在1812年首次将“determinant”一词用来表示行列式。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家。柯西还证明了曾经在雅克?菲利普?玛利?比内的书中出现过但没有证明的行列式乘法定理。 十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯?约瑟夫?西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果。 行列式是现行高中普通课程标准（实验）中新增加内容，安排在选修4—2中，行列式作为高等代数的基础内容安排在中学数学课程中为高中学生理解数学基本原理、思想、方法，培养学生数学知识的迁移能力，进一步学习提供必要的数学准备。行列式作为一种重要的数学工具引进，从更高的角度、更便捷地解决了中学数学中的问题。本文结合中学数学课程内容，将从空间几何、平面几何、解析几何、高中代数等方面探究行列式在中学数学领域中的应用。 一、行列式在平面几何中的应用 一些平面几何问题，按照传统的中学数学解题方法，一般比较困难，利用行列式的知识解题可以将复杂的理论问题转化为简单的计算问题。 例1 证明不存在格点三角形是正三角形。 证明：（反证法）假设存在格点三角形是正三角形。
平面向量易错题解析 赵玉苗整理 1你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2 ___________ 2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用|a|2a ；|a| x2—y2） 3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算） 4、你弄清"a b x1x2 y°2 0 ”与"a//b 捲y2x2y1 0” 了吗？ ［问题］:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1）在实数中：若a 0,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若a 0,且a? b 0，不能推 出b 0 . （2）已知实数a, b,c, （b o），且ab bc，则a=c,但在向量的数量积中没有a? b b? c a c . (3) 在实数中有（a ?b） ?c a ?（b ?c），但是在向量的数量积中(a? b) ? c a?(b?c)，这是因为 左边是与c共线的向量，而右边是与a共线的向量. 5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？ 6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注 uuu 意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2 ），则把向量A B按向量a =（- 1,3 ）平移后得到的向量是__________ （答：（3,0 ）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； uuu （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是AB ）; |AB| （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作： a // b , 规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平 行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直 r uuu umr 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0）;④三点A B、C共线AB AC共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。 如下列命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 uuu umr uur uuir r r r r （3）若AB DC , UABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB DC。（5）若a b,b c , 则a c。（6）若a//b,b//c，贝U ；//：。其中正确的是_________ （答: （4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a , b , c等；（3）坐标表示法：在平面内建立 直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为
平面向量易错题解析 1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用22||→→=a a ；22||y x a += ） 3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算） 4、你弄清“02121=+?⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-?→→y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→→b a ，不能推 出→→=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→→→→→→??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→c 共线的向量，而右边是与→a 共线的向量. 5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？ 6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1、向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b ==
专题讲座2 三角函数、解三角形与平面向量在高考中的常见题型与 求解策略 1．已知|a |＝3，|b |＝2，(a ＋2b )·(a －3b )＝－18，则a 与b 夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析：选B.(a ＋2b )·(a －3b )＝－18， 所以a 2－6b 2－a·b ＝－18， 因为|a |＝3，|b |＝2， 所以9－24－a ·b ＝－18， 所以a·b ＝3， 所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝36＝12 ， 所以〈a ，b 〉＝60°. 2．(2016·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图像如图所示，点B ， C 是该图像与x 轴的交点，过点C 的直线与该图像交于 D ， E 两点，则(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)的 值为( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．2 解析：选D.注意到函数f (x )的图像关于点C 对称，因此C 是线段D E 的中点，BD →＋BE →＝2BC → .又BE →－CE →＝BE →＋EC →＝BC →，且|BC →|＝12T ＝12×2ππ ＝1，因此(BD →＋BE →)·(BE →－CE →)＝2BC →2＝2. 3．(2015·高考重庆卷)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝ ________． 解析： 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝AB sin∠ADB ， 所以sin ∠ADB ＝22 .所以∠ADB ＝45°，所以∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，所以BC ＝AB ＝2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin ∠BAC ，所以AC ＝6. 答案：6 4．(2015·高考天津卷改编)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内递增，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ________． 解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx
C 1 D 1B 1A 1C D B A 高中数学复习专题讲座 运用向量法解题 高考要求 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题 重难点归纳 1 解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想 2 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 3 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考 (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 典型题例示范讲解 例1如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠ C 1CB =∠C 1C D =∠BCD
C 1 D 1B 1A 1C D B A (1)求证 C 1C ⊥BD (2)当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明 命题意图 本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力 知识依托 解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单 错解分析 本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系 技巧与方法 利用a r ⊥b r ?a r ·b r =0来证明两直线垂直，只要证明 两直线对应的向量的数量积为零即可 (1)证明 设CD =a r , CB =b r ,1CC =c r ,依题意，|a r |=|b r |，CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ，于是 -==a r －b r ， CC ?1=c r (a r －b r )=c r ·a r －c r ·b r =|c r |·|a r |cos θ－|c r |·|b r |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD (2)解 若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由)()(1111CC AA C CA -?+=? =(a r +b r +c r )·(a r －c r )=|a r |2+a r ·b r －b r ·c r －|c r | 2 =|a r |2－|c r |2+|b r |·|a r |cos θ－|b r |·|c r |·cos θ=0,得 当|a r =|c r |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a r |=|c r |时，A 1C ⊥BD ，
立体几何二轮复习建议 江苏省高淳高级中学濮阳康和 一、高考地位与考查要求： 立体几何主要承载着对高中数学基本能力之一——空间想象能力的考查，因而成为每年数学高考的必考内容．经统计，2008年全国各地高考的19套试题中（每套试题含文理卷各1份，江苏文理合卷），立体几何的小题有32道，解答题有19道；江苏卷只考查了1道解答题（另外在理科附加题中也考查了1道解答题）．由此可见立体几何在高考中占有相当重要的地位．但是，立体几何在高考中的占分比重，已随新课程内容的变化有所下降，考查难度也随之减弱． 不难发现，与以往相比，新高考文理合卷部分对空间中夹角与距离的计算要求大大减弱，空间中线面之间平行、垂直的位置关系受到重视． 分析09年对立体几何的考查，填空题可能会以考查基础知识为主，空间几何体的结构、线面位置关系的判断、表面积与体积的计算等知识是重点考查内容，特别是三视图为新课程增加的内容，考查的可能性较大；解答题一般会考查综合能力，与08年高考一样，应当还是考查线面之间的位置关系为主．但08年的考题属于容易题，满分14分，全省均分却高达12.4分左右，所以09年在难度上可能会有所增加，也可能会增加一些较简单的计算等．另外，在理科附加题中运用空间向量证明平行与垂直、计算夹角与距离无疑也是主要考查内容． 二、基本题型与基本策略： 基本题型一：空间几何体及其表面积与体积的计算（填空题）
例1．已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是53，则这个正四棱柱的侧面积是 ． 说明：本题主要考查正四棱柱的结构特征、空间几何体侧面积的计算方法，属容易题． 例2．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 ． 说明：三视图是新课程的新增内容，近两年其它课改地区的高考试题中经常出现相关试题，通常将之与表面积、体积的计算结合在一起进行考查，应给予重视． 基本策略：涉及到柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要根据其结构特征和公式来计算，另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用；三视图为新增内容，考查不无可能，关键要培养学生的空间想象能力，会“识图”、“复图”． 基本题型二：空间中点线面位置关系的判断（填空题） 例3．设α、β为互不重合的平面，m 、n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ?α，则m ⊥n ； ②若m ?α，n ?α，m //β，n //β，则α//β； ③若α⊥β，α∩β＝m ，n ?α，m ⊥n ，则n ⊥β； ④若m ⊥α，α⊥β，m //n ，则n //β． 其中所有正确命题的序号是 ． 说明：本类题为高考常考题型，其本质实为多项选择题．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选多选． 例4．α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线，下列条件中：①a //α，b ?β；②a ⊥α，b //β；③a ⊥α，b ⊥β；④a //α，b //β且a 与α的距离等于b 与β的距离． 其中是a ⊥b 的充分条件的有 ． 说明：与例3一样，本题主要考查空间中线面之间的位置关系，特别是考查证明线线垂直的常用方法． 基本策略：要求学生能够熟练运用4条公理、3条推论和9条定理来判断有关空间位置关系的命题真假，能对一些真命题进行证明或对假命题举出反例．培养学生善于利用身边的工具与情境（如纸笔、桌面、墙角等）构造具体模型，将抽象问题具体化处理，提高他们的空间想象能力． 基本题型三：空间中点线面位置关系的证明（解答题） 例5．如图，已知在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC=BC ，M 、N 、P 、Q 分别是 主视图 俯视图 左视图
2009年最新中考语文试卷汇编—议论文篇 茂名市： （二）适应（9分） 爱因斯坦说：“人的最高本领是适应客观条件的能力。”此语道出了适应在人类生活中的重要性。 不要以为所有的适应都是一种丑陋，松树生长在平原草地，正直挺拔，是一种美；长在悬崖绝璧，旁逸斜出也是绝妙的风景。 不要以为所有的适应都是世故与圆骨。评价一个人是否有节操，有骨气，仅看他与谁为伍是不够的，更重要的是看他怎样为伍。以退为进，以守为攻，以曲求直，以邪扶正，有策略地、有步骤地随机应变是一种智慧，更能改造不合情理的周边环境。 达尔文说：“适者生存。”相信执著的生存不是苟且偷生，不是碌碌无为，不是闲抛岁月。生存下来，为的是向前，为的是攀登，为的是不断进取。所以，我想补充：“适者发展。”我们惋借恐龙，在世界发生变化之后，它仍然要固守那一分庞大、那一州伟岸，结果，只能以化石的形式存在；我们感激远古那场熊熊山火，把我们的祖先逼下树枝，逼出森林，让我们在乡村，直到现在的城市享受愈来愈文明、愈来愈和谐的生活。 木匠调木，智者调心，人应该积极调整心态，与岁月相随，与时代同行。不要轻言拒绝适应，一只手握别老伙伴，一张笑脸面对新朋友。固步自封，坐井观夭，在个人的小天地地里，激不起多少浪花，反而因为知音甚少，与环境与社会格格不入而落落寡欢，而沉沦丧志，而怪僻成性，因而一事无成。 打开心灵的窗户，张开人生的翅膀吧，我们不能在自己的天地里停留太久，不能在自己的过去久久地沉湎徘徊。山那边有人家，海那边有天地，进入新的境界，就会有全新的感觉。 （选自《思维与智慧》2008 年第11 期，作者何华，有删改） 16、本文思路清晰，层层深入论证。试从文章内容入手，概括其论证结构。（3 分） 答： 17、请就本文论点补充一个事实论据。( 2 分) 答： 18 、爱因斯坦说：“人的最高本领是适应客观条件的能力。”请结合自己的生活实际，谈谈对这句话的理解。( 4 分) 答： （二）适应（9 分） 16 、3 分适应是什么（适应的本质）；为什么要学会适应（要学会适应的原因）；怎样去适应（学会适应的方法或途径） 17 、2 分答案示例：电影演员李连杰为了进军好莱坞，面对片酬一次次压价，他选择了“以退为进”的适应方式，最后，名震好莱坞。（评分意见：只要符合“我们要学会适应”这一论点的事例即可。）18、 4 分这句话强调人要具备适应外界环境的能力。（占1 分）结合自己的实际，分析恰当，语句通顺。（占3 分） 佛山市： （二）学会微笑 张保振 ( l ) 和谐，是需要微笑的。 （2）这是因为：微笑是一个标志。它标志着：面部的武装已经解除，嘴上的哨兵已经撤岗。这种标志，犹如联合国大厦门前的那个雕塑：枪管已经扭曲，子弹已经不存，隐喻着要和平，不要战争的思想。 （3）微笑是一种宣示。它宣示着：与人疏远的沉默已经结束，与人接近的叙说已经开启。这种宣示，犹如开岁发出的春令：来吧，我们是朋友；滋荣吧，嫩绿的百卉；斗芳吧，艳丽的百花。微笑是一面旗帜。它表达着：吾心谦和，与人为善；相逢一笑，重金胜玉。这种旗帜，犹如君子之交，虽形淡如水，却道直如弦，心心相印。微笑是可亲的。因为微笑传递出的是快乐。《论语〃宪问》曾言：“乐然后
专题讲座 高中数学“空间向量与立体几何” 一、“空间向量与立体几何”教学内容的整体把握 （一）从不同的角度把握“空间向量与立体几何”的内容 1.学习空间向量的必要性 （1）必修课程中学习了平面向量知识，学习了用平面向量解决平面几何等相关问题的方法. 在立体几何的学习中理应运用空间向量解决更深入的问题. （2）“立体几何初步”尚有判定定理等没有证明，距离、角只介绍了有关概念及很简单的求解问题，用推理论证方法解决立体几何解决问题对于部分学生仍较困难. 2. 知识结构 空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.学生在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题时，可以到体会向量方法在研究几何图形中的巨大作用，可以减少繁琐的推理过程，直接通过公式计算解决问题. 3.对“空间向量与立体几何”的研究方法的把握
向量作为一种几何的研究工具具有与传统综合几何方法完全不同的特征，运用向量方法的过程是将几何问题转化为向量问题，通过向量计算（无论是一般的向量运算还是向量的坐标运算）得到向量结论，再将向量结论转化为几何结论的过程.那么运用向量方法研究立体几何问题过程是否就是纯粹向量计算的过程，空间想象与推理论证是否就不需要呢？回答是否定的. 我们知道高中立体几何课程是小学、初中与大学课程的过渡内容，这个特点决定了其研究方法既具有几何直观与思辨的特征又具有一定代数化的特征.事实上，我们不难发现，在研究用空间向量表示几何元素、确定基向量、建立坐标系以及确定点的坐标或空间向量的坐标的过程中不仅有向量计算，还有空间想象和逻辑推理. 因此在“空间向量与立体几何”的教学中，我们不能只关注向量计算，而是应将研究方法定位在综合运用空间想象、逻辑推理和向量计算. 4.灵活选择解决立体几何问题的方法 《课标》指出“在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题”． （1）充分认识综合法与向量法各自的优势与不足 如何理解这个“灵活选择”？首先要使学生充分认识综合法与向量法各自的优势与不足，利用向量法，使立体几何问题转化为向量之间的代数运算，这种解决问题的方法与综合法相比有较强的规律可循，并减少构造辅助线的困扰，但向量方法并不总是简洁的，有时会加大运算量，而且可能产生计算错误，难以体现综合法对培养学生几何直观能力、空间想象能力和逻辑思维能力应有的价值，降低学生的兴趣． （2）向量更多、更重要的是提供了一种认识空间和图形的新的方法． 新课程背景下立体几何的教学，是否可以让“综合法”和“向量(坐标法)”两种方法体系齐头并进呢？显然是不切合实际的，实践中只会加重学生负担，反而降低新课程背景下立体几何的教育价值．然而，综合立体几何的基础公理、概念和定理在引入了空间向量的立体几何方法体系中却又仍然是不可缺失的基础，这似乎是个矛盾． （3）“综合法”和“向量(坐标)法”的互相支持 从课程发展的整体观点看，过分强调综合法和向量法谁比谁好，就把它们局限在解题方法的层面上了．如果从解决立体几何问题的过程看，建立坐标系、确定相关点的坐标，其思维过程就是几何直观与综合逻辑推理的过程(当然学习的难度有所降低，学习更符合学生的认知规律)，平行线传递公理结合自由向量的“相等平移”来学习，建系、定点要言之
平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二 者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去 解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效 果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学 生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学， 必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数 学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”， 能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高 中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁 杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?- （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角 转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO += 故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-= 0,1OA OB OA OB ∴+=?=- 又由中点公式得2PA PB PO +=
第１８讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二 者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去 解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效 果。着名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学 生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学， 必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数 学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”， 能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高 中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁 杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?-（ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角 转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-= 0,1OA OB OA OB ∴+=?=-又由中点公式得2PA PB PO +=
1题目高中数学复习专题讲座运用向量法解题 高考要求 平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高 考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用 向量法来分析，解决一些相关问题 重难点归纳 1解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分 解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识二是 向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想 2向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问 题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的 夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考 (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量 直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分 别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何 关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ 典型题例示范讲解 例1如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1ABCD是菱形， 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD (1)求证C1C⊥BD (2)当 1 CC CD 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请 给出证明 命题意图本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以 及对立体几何图形的解读能力 知识依托解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题， 这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单 错解分析本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系 的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法利用a⊥b a·b=0来证明两直线垂直，只要证明 两直线对应的向量的数量积为零即可
平面向量的数乘运算 知识点一：向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr ． ① a a λλ=r r ； ②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当 0λ=时，0a λ=r r ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r ；③() a b a b λλλ+=+r r r r ． ⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r ． 知识点二：向量共线定理：向量 ( )0 a a ≠r r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ． 设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ， 其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、() 0b b ≠r r r 共线． 知识点三：平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底） 知识点四：分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， () 22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??．（当时，就为中点公式。）1=λ 知识点五：平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o o r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=r r r r ．②当a r 与b r 同向时， a b a b ?=r r r r ； 当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或a =r ．③a b a b ?≤r r r r ． ⑶运算律：①a b b a ?=?r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ；③() a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ?=+r r ． 若(),a x y =r ，则222 a x y =+r ，或a =r 设()11,a x y =r ，()22, b x y =r ，则