D′e faut?
Michel Vaqui′e
Abstract
Cela permet de d′e?nir les sauts d’une famille admissible,ceux ci corespondant aux di?′e-rentes valuations augment′e s limites apparaissant dans la famille.Nous en d′e duisons,pour
toute valuationμd’une extension monog`e ne?nie L=K(θ)prolongeant une valuationνde
K,la relation entre le degr′e de l’extension[L:K]et le produit ef de l’indice de rami?cation
e=[Γμ:Γν]par le degr′e r′e siduel f=[κμ:κν].
Introduction
1Sauts d’une famille admissible
Nous consid′e rons un corps K muni d’une valuationν,nous supposons que le rang de la valuation νest?ni,′e gal`a r,et nous choisissons un plongement du groupe des valeursΓνdans un groupe totalement ordonn′eˉΓisomorphe`a(R s,+)lex,avec s≥r+1.Toutes les valeurs?niesγque nous consid`e rerons seront alors dansˉΓ.
Nous appelons E=E(K[x],ν)l’ensemble des valuations ou pseudo-valuations de l’anneau des polyn?o mes K[x]dont la restriction`a K est′e gale`aν,et nous appelons F=F(K[x],ν)l’ensemble des familles admissibles de valuations de K[x]appartenant`a E.Alors,`a toute valuation ou pseudo-valuationμde E nous pouvons associer une famille admise A dans F,que nous notons A(μ),nous rappelons que cette famille n’est pas unique mais d′e?nie`a′e quivalence pr`e https://www.doczj.com/doc/df5440152.html, famille A est une famille admissible,c’est-`a-dire est r′e union de familles admissibles simples S(j),pour j parcourant J,avec J={1,...,N}ou J=N?,chaque famille simple S(j)′e tant constitu′e e d’une partie discr`e te D(j)et d’une partie continue C(j),la derni`e re famille continue C(N)pouvant?e tre′e ventuellement vide.
Nous pouvons′e crire la famille A sous la forme A= μl l∈I,o`u I est un ensemble totalement ordonn′e,chaque valuationμl′e tant d′e?nie soit comme valuation augment′e e,soit comme valuation augment′e e limite.Dans le premier cas nous avons
μl=[μl?1;μl(φl)=γl],
etφl est un polyn?o me-cl′e d′e?nissant la valuationμl`a partir de la valuationμl?1,et dans le deuxi`e me cas nous avons
μl= μα α∈A;μl(φl)=γl ,
etφl est un polyn?o me-cl′e limite d′e?nissant la valuationμl`a partir de la famille continue μα α∈A. Nous notons respectivement φl l∈I et γl l∈I les familles de polyn?o mes et de valeurs associ′e es `a A.Nous disons que la famille A est compl`e te si l’ensemble I poss`e de un plus grand′e l′e mentˉl, dans ce cas la valuationμest la valuationμˉl,sinon nous disons que la famille A est ouverte et dans ce cas la valuationμn’appartient pas`a la famille A.Quand la famille A associ′e e`a une valuation μest compl`e te,nous disons que la valuationμest bien d′e?nie,dans ce cas le polyn?o me-cl′e ou polyn?o me-cl′e limiteφˉl qui d′e?nit la valuationμcomme valuation augment′e e ou comme valuation
2Michel Vaqui′e augment′e e limite est appel′e le polyn?o me d′e ?nissant μ.Dans le cas o`u l’ensemble I poss`e de un plus grand ′e l′e ment ˉl ,nous d′e ?nissons I ?comme I priv′e de ˉl ,sinon nous posons I ?=I ,et nous d′e ?nissons la sous-famille A ?= μl l ∈I ?.
La premi`e re valuation μ1de la famille A est obtenue `a partir de la valuation νde K gr?a ce `a un polyn?o me φ1unitaire de degr′e un et `a une valeur γ1.Nous consid`e rerons parfois que la valuation ν=μ0appartient `a la famille A et par abus de notation nous consid`e rerons que 0est le plus petit ′e l′e ment de l’ensemble I .La valuation μ1est ainsi consid′e r′e e comme une valuation augment′e e,d′e ?nie par le polyn?o me φ1.
Si μet μ′sont deux valuations appartenant `a la m?e me sous-famille simple S d’une famille admissible A telles que μ′est obtenue comme valuation augment′e e μ′=[μ;μ′(φ′)=γ′],nous disons que (μ,μ′)forment un couple de valuations successives de la famille A .
Nous renvoyons le lecteur aux articles [Va 1],[Va 2]et [Va 3]de l’auteur pour des d′e ?nitions pr′e cises et pour les propri′e t′e s de ces valuations,de ces polyn?o mes et de ces familles.
Nous appelons Γμl le groupe des ordres de la valuation μl ,alors pour tout couple (μk ,μl )de valuations successives de A nous avons Γμl =Γμk ⊕Z γl ,d’o`u l’′e galit′e
[Γl :Γk ]=τl
o`u τl est le plus petit entier t >0tel que tγl appartienne `a Γμk si γl appartient `a Γμl ?Z Q ,et o`u τl est +∞sinon.
Pour toute valuation μde K [x ],nous notons gr μK [x ]l’alg`e bre gradu′e e associ′e e et nous notons ?μsa composante gr μK [x ] 0de degr′e 0.Rappelons que si μ′est une valuation augment′e e μ′=[μ;μ′(φ)=γ]ou une valuation augment′e e limite μ′= μα α∈A ;μ′(φ)=γ ,nous pouvons
d′e terminer l’alg`e bre gradu′e e gr μ′K [x ]associ′e e `a la valuation μ′`a partir de celle associ′e e `a la valuation μ,ou `a celles associ′e es aux valuations μα([Va 1]Th′e or`e me 1.7et Th′e or`e me 1.26).
Plus pr′e cis′e ment si μ′est une valuation augment′e e μ′=[μ;μ′(φ)=γ],l’application naturelle g de gr μK [x ]dans gr μ′K [x ]induit un isomorphisme G : gr μK [x ]/(H μ(φ)) [T ]??→gr μ′K [x ],
qui envoie T sur G (T )=H μ′(φ).
Nous rappelons les hypoth`e ses 1et 2introduites par MacLane (cf.[McL 1],[Va 1]).
Hypoth`e se 1pour la valuation μet le polyn?o me φ:Il existe q et q ′dans K [x ]v′e ri?ant qq ′μ-′e quivalent `a 1et μ(q )=?μ(q ′)=μ(φ).
Hypoth`e se 2pour le couple de valuations (μ,μ′):Supposons que γappartienne `a Γμ?Z Q et
appelons τle plus petit entier t >0tel que tγ∈Γμ,alors il existe p et p ′=p ′(τγ)dans K [x ]
v′e ri?ant pp ′μ′-′e quivalent `a 1et μ′(p )=μ(p )=?μ′(p ′)=?μ(p ′)=τγ.
Si nous supposons que l’hypoth`e se 1est v′e ri?′e e,alors le noyau de la composante de degr′e 0g 0:?μ→?μ′est l’id′e al engendr′e par ?=H μ(q ′φ),et nous avons:
-si γn’appartient pas `a Γμ?Z Q
?μ/(?) ～??→?μ′,
-si γappartient `a Γμ?Z Q et si l’hypoth`e se 2est v′e ri?′e e
?μ/(?) [S ]～??→?μ′,avec S =H μ′ p ′(τγ)φτ (cf.[Va 1]Remarque 1.5).
Si μ′est la valuation augment′e e limite μ′= μα α∈A ;μ′(φ)=γ d’une famille continue C = μα α∈A ,nous d′
e ?nissons l’alg`e bre gradu′e e gr A =gr μαK [x ]/(H μα(φβ))qui ne d′e pend pas du couple α<βdans A ,et l’application naturelle de gr μαK [x ]dans gr μ′K [x ]induit un isomorphisme d’alg`e bres gradu′e es:
Q :gr A [T ]～
??→gr μ′K [x ],
D′e faut3 qui envoie T sur Q(T)=Hμ′(φ).
Tous les groupes de valuationΓμ
α
sont′e gaux et nous notons ce groupeΓA,nous pouvons alors introduire l’hypoth`e se suivante.
Hypoth`e se3pour la famille C:Pour toutγdansΓA il existe p et p′=p′(γ)dans K[x]v′e ri?ant
pp′(γ)～
μθ1etμθ(p)=?μθ(p′(γ))=γ,o`uθest le plus petit′e l′e ment de l’ensemble A.
Si nous supposons que la famille C v′e ri?e l’hypoth`e se3,alors le morphisme Q induit un iso-morphisme en degr′e0:
-siγn’appartient pas`aΓA?Z Q
Q0:?A～
??→?μ′,
-siγappartient`aΓA?Z Q
Q0:?A[S]～
??→?μ′,
qui envoie S sur Hμ′(p′φτ),o`u nous appelonsτle plus petit entier positif t tel que tγappartienne `aΓA et o`u nous supposons qu’il existe p et p′(τγ)=p′dans K[x]tels que pp′soitμα-′e quivalent `a1pourαsu?samment grand et tels queμα(p′)=?τγ(cf.[Va3]Proposition1.7).
Nous d′e duisons de la proposition1.5de[Va3]que les hypoth`e ses1,2et3sont v′e ri?′e es pour tout couple(μk,μl)de valuations successives et pour chacune des familles continues C(j)apparaissant dans A,et nous pouvons trouver:
-q′k dans K[x]tel que Hμ
k (q′k)soit inversible dans grμ
k
K[x]et tel queμk(q′kφl)=0;
-p′l dans K[x]tel que Hμ
l (p′l)soit inversible dans grμ
l
K[x]et tel queμk p′lφlτl =0.
De plus si la valuationμl n’est pas la derni`e re valuation de la famille A,il existe toujours une valuationμm dans A telle que(μl,μm)soit un couple de valuations successives,et le polyn?o me-cl′e φm est de la formeφm=φl r l+...+g0,avec r lγl∈Γk.Nous d′e?nissons alors l’entier s l par r l=τl s l.
Siμk est la premi`e re valuation d’une sous-famille admissible simple S(j)de A,et n’est pas la derni`e re valuation de A,nous pouvons encore d′e?nir les nombresτk et s k gr?a ce`a la proposition 1.4de[Va3].
Remarque1.1.Les entiersτl et s l,ainsi que les polyn?o mes q′k et p′l sont bien d′e?nis,c’est-`a-dire qu’ils ne d′e pendent que de la valuationμl ou de la valuationμk et non du couple de valuations successives.En e?et si la valuationμl appartient`a la partie discr`e te D(j)d’une sous-famille simple de A,le couple(μk,μl)est d′e termin′e enti`e rement parμl,et si la valuationμl appartient`a la partie continue C(j)d’une sous-famille simple,nous avonsμk(φl)=γk etτl=s l=1.
Pour tout j≥2,la premi`e re valuationμ(j)1de la sous-famille simple S(j)n’appara??t pas comme valuation augment′e e,par cons′e quent n’est jamais le deuxi`e me terme d’un couple(μk,μl) de valuations successives.Par contreμ(j)1est obtenue comme valuation augment′e e limite de la sous-famille continue C(j?1)= μ(j?1)α α∈A(j?1)de la sous-famille simple pr′e c′e dente. Proposition1.1.Il existe une famille croissante de corps F k k∈I?,avec F0′e gal au corps r′e siduel κνde la valuationνde K,telle que pour tout couple(μk,μl)de valuations successives de A nous ayons:
-siγl appartient`aΓμ
k
?Z Q
?μ
l =F k[S l],avec S l=Hμ
l p′lφτl l
;
-siγl n’appartient pas`aΓμ
k ?Z Q
?μ
l
=F k.
De plus si l appartient`a I?,F l est un extension?nie de F k de degr′e s l.
4Michel Vaqui′e https://www.doczj.com/doc/df5440152.html, proposition est une g′e n′e ralisation du r′e sultat de MacLane (cf.[McL 1]Theorem 12.1et [Va 1]Th′e or`e me 1.12)et se d′e montre par r′e currence.En e?et si nous savons que ?k est de la forme F [S k ]avec F corps et S =H μk p ′k φτk k ,alors nous trouvons que pour tout couple (μk ,μl )de valuations successives,?μl est ′e gal `a F k [S l ]o`u F k est le corps F [S k ]/(?l )o`u ?l est un polyn?o me de degr′e s l en S k d′e ?ni par ?l =H μk (q ′k φl ).
Il su?t donc de montrer que pour toute sous-famille admissible simple S (j )de A ,la partie homog`e ne ?μ(j )1
de degr′e 0de l’alg`e bre gradu′e e associ′e e `a la premi`e re valuation μ(j )1est un anneau de polyn?o mes F [S ]en une variable `a coe?cients dans un corps F ,si μ(j )1n’est pas la derni`e re valuation de la famille A .
Si μ(j )1est la premi`e re valuation μ1de la famille A ,c’est-`a -dire pour j =1,nous avons ?μ1qui est ′e gal `a κν[S 1],avec S 1=H μ1 p ′1φ1τ1 ,o`u τ1=[Γμ1:Γν].Si j ≥2?μ(j )1est de la forme ?A [S ]o`u ?A est l’anneau associ′e `a la partie continue C (j ?1)de la sous-famille S (j ?1).L’anneau ?A est isomorphe `a ?μl /(?k )o`u (μk ,μl )est un couple de valuations successives de A appartenant `a C (j ?1),et nous en d′e duisons par r′e currence sur j que c’est bien un corps.
Remarque 1.2.Nous avons montr′e de plus que si μk est la premi`e re valuation μ(j )1d’une sous-
famille simple S (j ),et si nous notons F (j )0le corps tel que ?μk soit ′e gal `a F (j )0[S ],alors F k est une extension alg′e brique ?nie de F (j )0de degr′e s k .En e?et nous avons S =H μk p ′k φk τk et le corps F k est ′e gal `a ?μk /(?l )o`u ?l =H μk (q ′l φl )avec φl =φk τk s k +...+g 0.
Gr?a ce `a la proposition pr′e c′e dente nous pouvons ′e tudier le degr′e de l’extension F m /F k pour deux valuations μk et μl appartenant `a la m?e me sous-famille simple de A .Nous voulons maintenant ′e tudier ce qui se passe quand nous consid′e rons deux valuations n’appartenant pas `a la m?e me sous-famille simple.Soit A = μl l ∈I une famille admissible de valuations de K [x ],r′e union des sous-familles simples S (j )= μ(j )1,...,μ(j )n j ;(μ(j )α)α∈A (j ) ,pour j parcourant J .Pour toute valuation μ(j )k de la sous-
famille S (j )nous notons Γ(j )k ,F (j )k ,s (j )k ,r (j )k et τ(j )k respectivement le groupe des valeurs,le corps
et les entiers d′e ?nis pr′e c′e demment associ′e s `a la valuation.
Nous d′e ?nissons aussi le groupe Γ(j )0et le corps F (j )0de la mani`e re suivante.Si j =1,alors
nous posons Γ(j )0=Γνet F (j )0=κν,et si j ≥2nous posons Γ(j )0=ΓA (j ?1)groupe des valeurs des
valuations μ(j ?1)αappartenant `a la partie continue de la sous-famille simple pr′e c′e dente S (j ?1)et F (j )0=?A (j ?1)corps associ′e aux valuations μ(j ?1)α.
D′e ?nition.Nous appelons saut d’ordre j ?1de la famille admissible A le nombre rationnel s (j ?1)(A )=s (j ?1)>1d′e ?ni par:
deg φ(j )1
=s (j ?1)(A ).deg φ(j ?1)α,o`u φ(j )1est le polyn?o me-cl′e limite d′e ?nissant la valuation μ(j )1et o`u φ(j ?1)αest un polyn?o me-cl′e associ′e `a la famille continue C (j ?1).
Si la famille admissible A est d’ordre ?ni N ,c’est-`a -dire pour J ={1,...,N },nous appelons saut total de la famille le nombre rationnel s tot =s tot (A )d′e ?ni par:
s tot (A )=N j =2
s (j ?1)(A ).
Remarque 1.3.Si nous supposons que l’ensemble des valeurs Λ(j ?1)= γ(j ?1)α|α∈A (j ?1) admet
une borne sup′e rieure,alors nous savons que le d′e veloppement du polyn?o me-cl′e limite φ(j )1selon les puissances de φ(j ?1)α
est de la forme φ(j )1= φ(j ?1)α s +g s ?1,α φ(j ?1)α s ?1+...+g 0,α,pour tout αsu?samment grand dans A (j ?1)(cf.[Va 2]Th′e or`e me 3.7).
Nous en d′e duisons que le saut d’ordre j ?1est un entier,s (j ?1)(A )=s .
D′e faut5
Proposition1.2.Le degr′e du polyn?o me-cl′eφ(j)
k associ′e`a la valuationμ(j)
k
,avec1≤k≤n j et
j∈J,est′e gal`a:
degφ(j)
k
= Γ(j)k?1:Γν F(j)k?1:κν j?1 u=1s(u).
De m?e me le degr′e du polyn?o me-cl′eφ(j)αassoci′e`a une valuationμ(j)α,avecα∈A(j)j∈J,est ′e gal`a:
degφ(j)α= ΓA(j):Γν ?A(j):κν j?1 u=1s(u).
Preuve.D’apr`e s ce qui pr′e c`e de,nous voyons que si(μ(j)
k ,μ(j)
l
)est un couple de valuations succes-
sives appartenant`a la sous-famille S(j),avecμ(j)
k
dans la partie continue,nous avons l’′e galit′e:
degφ(j)
l
= Γ(j)k:Γ(j)k?1 F(j)k:F(j)k?1 degφ(j)k,
o`uΓ(j)
k?1et F(j)
k?1
sont bien d′e?nies pour toute valuationμ(j)
k
,1≤k≤n j.
Nous en d′e duisons par r′e currence sur k que pour toute valuationμ(j)
l appartenant`a la partie
discr`e te de la sous-famille simple S(j),nous avons l’′e galit′e:
degφ(j)
l
= Γ(j)l?1:Γ(j)0 F(j)l?1:F(j)0 degφ(j)1,
et pour toute valuationμ(j)αappartenant`a la partie continue de la sous-famille simple S(j),nous avons l’′e galit′e:
degφ(j)α= ΓA(j):Γ(j)0 ?A(j):F(j)0 degφ(j)1.
Nous trouvons le r′e sultat en faisant une r′e currence sur j,en utilisant les′e galit′e sΓA(j?1)=Γ(j)0
et?A(j?1)=F(j)
et la d′e?nition des nombres s(u).
Soit L une extension alg′e brique monog`e ne de K,c’est-`a-dire de la forme L=K(θ)=K[x]/(P), avec P(x)polyn?o me unitaire de degr′e d=[L:K].Alors tout prolongementμ`a L d’une valuation νde K correspond`a une pseudo-valuation?μde K[x]dont le socle P={f∈K[x]|?μ(f)=+∞} est′e gal`a l’id′e al(P)de K[x].Nous appelons famille admissible associ′e e`aμla famille admissible associ′e e`a la pseudo-valuation?μet nous la notons A(μ).
Nous notons e(μ/ν)l’indice de rami?cation,e(μ/ν)=[Γμ:Γν],et f(μ/ν)le degr′e de l’extension r′e siduelle,f(μ/ν)=[κμ:κν].
Corollaire.Soit A(μ)la famille admissible associ′e e au prolongementμde la valuationνde K. Nous avons alors l’′e galit′e:
[L:K]=e(μ/ν)f(μ/ν)s tot A(μ) .
En particulier,siμest l’unique prolongement deν`a L,le d′e faut de l’extension(L,μ)/(K,ν) est′e gal au saut total de la famille admissible A(μ).
Preuve.Si?μest une pseudo-valuation de K[x]de socle(P),la famille admissible associ′e e A est
compl`e te,et la derni`e re valuation?μ=μ(j)
k
de A est une valuation augment′e e ou une valuation
augment′e e limite associ′e e au polyn?o meφ(j)
k ′e gal`a P et`a la valeurγ(j)
k
′e gale`a+∞.
Il su?t alors de v′e ri?er que nous avonsΓ(j)
k?1=Γμet F(j)
k?1
=κμpour d′e duire le r′e sultat de la
proposition pr′e c′e dente(cf.[McL2]Theorem9.1et[Va1]Proposition2.7et Proposition2.8).
6Michel Vaqui′e
2Polygone de Newton
Soit P un polyn?o me irr′e ductible s′e parable unitaire appartenant`a K[x],et soit L l’extension alg′e brique de K d′e?nie par P,c’est-`a-dire L=K[x]/(P).Si nous choisissons une racineθde P dans K sep,une cloture s′e parable de K?x′e e,alors nous avons L sous-corps de K sep isomorphe au corps K(θ).
Alors tout prolongementζde la valuationν`a l’extension L de K d′e?nit une pseudo-valuation ?ζde K[x],de socle P=(P)et pour tout polyn?o me f de K[x]nous avons?ζ(f)=ζ f(θ) .Nous appelons A(ζ)= μi i∈I la famille admise de valuations de K[x]associ′e e`a la pseudo-valuation?ζ, famille d′e?nie`a′e quivalence pr`e s.
Nous voulons d′e terminer l’ensemble V des valuationsζde L qui prolongentν,c’est-`a-dire l’ensemble E P des pseudo-valuations?ζappartenant`a E(K[x],ν)qui ont pour socle l’id′e al P=(P). C’est′e quivalent`a d′e terminer l’ensemble des familles admises A dans F(K[x],ν)qui sont associ′e es aux pseudo-valuations appartenant`a E P.
Toute pseudo-valuation?ζde E P est une valuation bien d′e?nie de K[x],nous rappelons qu’une valuation ou pseudo-valuationμde E est dite bien d′e?nie siμest soit une valuation augment′e eμ= [μ?;μ(φ)=γ]pour une valuationμ?,soit une valuation augment′e e limiteμ= μα α∈A;μ(φ)=γ pour une famille continue C= μα α∈A(cf.[Va3]Paragraphe1).
Sur l’ensemble E nous avons deux relations d’ordre partielμ≤μ′etμ<<μ′d′e?nies de la mani`e re suivante:
μ≤μ′si et seulement siμ(f)≤μ′(f)pour tout f dans K[x],
μ<<μ′si et seulement si A(μ)est une sous-famille de A(μ′).
Si les deux valuationsμetμ′sont bien d′e?nies,ce que nous supposerons dans la suite,alors nous avonsμ<<μ′si et seulement siμappartient`a la famille A(μ′).
Nous rappelons que si nous avons deux valuationsμetμ′de E qui v′e ri?entμ≤μ′,nous d′e?nissons l’ensemble?Φ=?Φ(μ,μ′)comme l’ensemble des polyn?o mes f de K[x]tels queμ(f)<μ′(f).Si?Φest non vide,c’est-`a-dire pourμ=μ′,nous notons d le degr′e minimal d’un polyn?o me appartenant`a cet ensemble et nous posons
Φ=Φ(μ,μ′)= φ∈K[x]|μ(φ)<μ′(φ),degφ=d etφunitaire ,
et tout polyn?o me appartenant`aΦest un polyn?o me-cl′e pourμ.
La relationμ<<μ′entraine la relationμ≤μ′.R′e ciproquement nous avons le r′e sultat suivant. Lemme2.1.Soientμetμ′deux valuations ou pseudo-valuations bien d′e?nies de E qui v′e ri?ent la relationμ≤μ′.Alors soit nous avonsμ<<μ′,soit nous pouvons′e crire la valuationμsous la formeμ=[μ?;μ(φ)=γ],respectivementμ= μα α∈A;μ(φ)=γ ,et il existe un polyn?o me-cl′eφ′′pourμavec degφ′′=degφet une valuation augment′e eμ′′=[μ;μ′′(φ′)=γ′] qui v′e ri?eμ′′<<μ′,dans ce cas nous avons encoreμ′′=[μ?;μ′′(φ′′)=γ′′],respectivement μ′′= μα α∈A;μ′′(φ′′)=γ′′ .
Preuve.Nous consid′e rons d’abord le cas o`uμest une valuation augment′e eμ=[μ?;μ(φ)=γ], avecμ?qui n’est pas la valuationνde K,alors nous avonsμ?<<μ′,c’est-`a-direμ?est une des valuations de la famille admise A= μi i∈I associ′e e`aμ′,c’est-`a-dire est de la formeμ(j)i.Nous avonsμ?≤μ≤μ′,avecμ?=μ,par cons′e quent les ensemblesΦ=Φ(μ?,μ)etΦ′=Φ(μ?,μ′) sont′e gaux(cf[Va3]Lemme1.3).Le polyn?o me-cl′eφappartient`aΦet tout successeur de la valuationμ?dans la famille A est d′e?ni`a partir d’un polyn?o me appartenant`aΦ′.
Supposons que nous ayons l’′e galit′eγ=μ(φ)=μ′(φ):
-i)L’ensemble?Φ(μ,μ′)est vide alors nous avonsμ=μ′.
-ii)L’ensemble?Φ(μ,μ′)est non vide et le degr′e minimal d’un polyn?o me f dans?Φ(μ,μ′)est strictement plus grand que le degr′e deφ,alors nous avonsμ=μ(j)i+1etμappartient`a A,d’o`u μ<<μ′.
D′e faut7 -iii)L’ensemble?Φ(μ,μ′)est non vide et le degr′e minimal d’un polyn?o me de?Φ(μ,μ′)est′e gal au degr′e deφ,alorsΦ(μ,μ′)est′e gal`a l’ensemble desψdansΦ(μ?,μ′)tels queμ′(ψ)>μ′(φ).Si l’ensemble des valeursΛ= μ′(ψ),ψ∈Φ(μ,μ′) n’admet pas de plus grand′e l′e ment alors la valu-ationμappartient`a une sous famille continue de A et nous avonsμ<<μ′.Si l’ensembleΛadmet un plus grand′e l′e mentλ,la valuationμ′′cherch′e e est la valuationμ(j)i+1=[μ(j)i;μ(j)i+1(φ(j)i+1)=γ(j)i+1] avecγ(j)i+1=μ′(φ(j)i+1)=λ=γ′′,dans ce cas nous avonsφ′′=φ+h avecμ(h)=γetγ<γ′′.
Supposons que nous ayons l’in′e galit′eγ=μ(φ)<μ′(φ)=γhttps://www.doczj.com/doc/df5440152.html,meφest un polyn?o me-cl′e pour la valuationμnous pouvons d′e?nir la valuation augment′e eμ1=[μ;μ1(φ)=γ1]qui est aussi ′e gale`a la valuation augment′e e[μ?;μ1(φ)=γ1]et qui v′e ri?eμ≤μ1≤μ′avecμ1(φ)=μ′(φ).
Dans ce cas la valuationμn’appartient pas`a la famille A,mais nous d′e duisons de ce qui pr′e c`e de appliqu′e e`a la valuationμ1que nous pouvons prendre pourμ′′soitμ1,soit la valuation μ′′d′e?nie par le polyn?o meφ′′=φ(j)i+1et par la valeurγ′′=γ(j)i+1.En particulier nous avons soit φ′′=φ,soitφ′′=φ+h avecμ?(h)=γ1,d’o`uφ′′μ-′e quivalent`aφ.
Le cas o`uμest une valuation augment′e e associ′e e`a un polyn?o me unitaireφde degr′e un,c’est-`a-dire pourμ?=ν,ou le cas o`uμest une valuation augment′e e limite,μ= μα α∈A;μ(φ)=γ , se d′e montrent de mani`e re identique.
D′e?nition.Nous appelons valuation approch′e e du polyn?o me P de K[x]toute valuation bien d′e?nie μde E(K[x],ν)pour laquelle il existe une pseudo-valuation?ζde E P telle queμ≤?ζet qui v′e ri?e μ(φ)=?ζ(φ)o`uφest le polyn?o me qui d′e?nitμ.Nous disons queμest la valuation approch′e e associ′e e`a la pseudo=valuation?ζde E P.Nous notons VA P l’ensemble des valuations approch′e es de P.
De m?e me nous appelons racine approch′e e du polyn?o me P de K[x]tout polyn?o meφqui d′e?nit une valuation approch′e eμde P et nous notons RA P l’ensemble des racines approch′e es de P. Remarque2.1.Dans la d′e?nition d’une famille admissible A nous avons demand′e que pour toute sous-famille simple S(j)de A,les polyn?o mes-cl′eφ(j)i d′e?nissant la partie discr`e te D(j)de S(j) v′e ri?ent l’in′e galit′e stricte degφ(j)i Nous pouvons ne pas imposer cette condition sur le degr′e,et seulement demander que pour toute valuationμ(j)i appartenant`a D(j)le poyn?o me-cl′eφ(j)i+1v′e ri?e degφ(j)i≤degφ(j)i+1et ne soit pas μ(j)i-′e quivalent`aφ(j)i.Nous trouvons alors une famille de valuations augment′e es ou augment′e es limites qui v′e ri?e essentiellement les m?e mes propri′e t′e s qu’une famille admissible. Alors nous pouvons v′e ri?er qu’une valuationμest une valuation approch′e e du polyn?o me P si et seulement si elle appartient`a une telle famille associ′e e`a l’une des pseudo-valuations?ζde E P. Par d′e?nition une valuation approch′e e est une valuation et non une pseudo-valuation,en par-ticulier toute valuation approch′e e de P est distincte de la pseudo-valuation?ζ`a laquelle elle est associ′e e. Th′e or`e me2.2.Soitμune valuation bien d′e?nie de E(K[x],ν)et soitφle polyn?o me qui d′e?nit la valuationμ.Alorsμest une valuation approch′e e du polyn?o me P si et seulement si i)P estμ?-divisible parφsiμest la valuation augment′e eμ=[μ?;μ(φ)=γ]avecμ?=ν, et est A-divisible siμest la valuation augment′e e limiteμ= μα α∈A;μ(φ)=γ , ii)il existe au moins un polyn?o me-cl′eψpour la valuationμ,avecψnonμ-′e quivalent`aφ,qui μ-divise P. https://www.doczj.com/doc/df5440152.html, condition i)est′e quivalente`a la conditionμ?(P)<μ(P)dans le cas d’une valuation augment′e eμ=[μ?;μ(φ)=γ]et`a la conditionμα(P)<μ(P)pour toutαdans A dans le cas d’une valuation augment′e e limiteμ= μα α∈A;μ(φ)=γ .Dans le cas o`uμ?est la valuationνde K,c’est-`a-dire pourμassoci′e`a un polyn?o me unitaire de degr′e un,la condition i) est suppos′e e toujours v′e ri?′e e. 8Michel Vaqui′e La condition ii)est′e quivalente`a demander que l’image de P dans l’alg`e bre gradu′e e grμK[x] associ′e e`a la valuationμadmette un diviseur premier distinct de Hμ(φ). Plus g′e n′e ralement,pour tout un polyn?o me f il existe un polyn?o meμ-inversible e et des polyn?o mes-cl′e s pour la valuationμ,φ1,...,φt,t≥0,nonμ-′e quivalents entre eux et des en-tiers n1,...n t,tels que f soitμ-′e quivalent au produit eφ1n1...φt n t,et cette d′e composition est unique`aμ-′e quivalence pr`e s(cf.[Va3]Corollaire`a la Proposition2.3).Cette d′e composition correspond`a la d′e composition en facteurs irr′e ductibles de l’image Hμ(f)dans l’alg`e bre gradu′e e grμK[x],Hμ(f)=EF n11...F n t t,et au choix pour chaque F j d’un polyn?o me de degr′e minimalφj avec Hμ(φj)=F j. Pour d′e montrer ce th′e or`e me nous allons introduire la notion de polygone de Newton(cf. [McL2]Paragraphe5ou[Va4]Paragraphe5). Soitμune valuation de K[x],si f etφsont deux polyn?o mes nous appelons ordre deμ-divisibilit′e de f parφle plus grand entier n tel queφnμ-divise f.Rappelons qu’un polyn?o meφest ditμ-minimal si tout polyn?o me fμ-divisible parφv′e ri?e deg f≥degφ.Nous d′e?nissons le d′e veloppement de f selon les puissances deφpar f=f mφm+...+f1φ+f0, o`u deg f j D′e?nition.Le polygone de Newton associ′e aux polyn?o mes f etφet`a la valuationμest le sous-espace de R+×ˉΓd′e?ni comme l’enveloppe convexe de l’ensemble (k,δ)|δ≥μ(f k),0≤k≤m . Nous le notons PN(f;μ;φ). La donn′e e du polygone de Newton PN est′e quivalente`a la donn′e e suivante: -une suite?nie d’entiers:0=a0 -une suite?nie de valeurs dansˉΓ:δ1>...>δr. Les sommets du polygone sont les couples a t,μ(f a t) ,0≤t≤r,etδt est la pente de la face F t comprise entre les sommets a t?1,μ(f a t?1) et a t,μ(f a t) ,et nous posonsδ0=+∞et δr+1=?∞,c’est-`a-direδr+1<δpour toutδdansˉΓ. Plus pr′e cis′e ment,pour tout k,0≤k≤m,nous avons l’in′e galit′e: μ(f k)+kδt≥μ(f a t?1)+a t?1δt=μ(f a t )+a tδt, avec pour ka t l’in′e galit′e stricte: μ(f k)+kδt>μ(f a t?1)+a t?1δt=μ(f a t )+a tδt. Lemme2.3.Soitφun polyn?o meμ-minimal,alors pour tout polyn?o me f,nous avons l’′e galit′e μ(f)=inf μ(f jφj ;0≤j≤m . De plus,si n est l’ordre deμ-divisibilit′e de f parφnous avons μ(f)=μ(f nφn)<μ(f jφj pour tout j https://www.doczj.com/doc/df5440152.html,me le polyn?o meφestμ-minimal,il en est de m?e me pour toutφj,j≥1,par cons′e quent si nous′e crivons la division euclidienne f=qφj+r de f parφj,nous avonsμ(r)≥μ(f)avec μ(r)>μ(f)si et seulement si f estμ-divisible parφj,c’est-`a-dire si l’ordre deμ-divisibilit′e de f parφest sup′e rieur ou′e gal`a j. Soit a le plus petit entier,0≤a≤m,tel queμ(f aφa)soit′e gal`a inf μ(f jφj ;0≤j≤m , alors nous avonsμ f a?1φa?1+...+f0 ≥inf μ(f jφj ;0≤j≤a?1 >μ f aφa ,d’o`u μ f aφa =μ f a?1φa?1+...+f0 ≥μ(f).Nous en d′e duisons l’′e galit′eμ f aφa =μ(f),f n’est pasμ-divisible parφa+1et estμ-divisible parφa. D′e faut9 Nous en d′e duisons de fa?c on imm′e diate le r′e sultat suivant. Corollaire.Avec les hypoth`e ses pr′e c′e dentes,le couple n,μ(f n) est un sommet du polygone de Newton PN(f;μ;φ),c’est-`a-dire il existe s,0≤s≤r tel que a s=n. De plus si nous posonsμ(φ)=δ,alors nous avons les in′e galit′e s:δs+1≤δ<δs. Siφest un polyn?o me-cl′e pour la valuationμ,pour toute valeurγ>δ=μ(φ)nous pouvons d′e?nir la valuation augment′e eμ′=[μ;μ′(φ)].Rappelons que par d′e?nitionφest un polyn?o me μ-minimal et que nous avons μ′(f)=inf μ(f k)+kγ;0≤k≤m . Par cons′e quent nous voyons que le polygone de Newton PN(f;μ;φ)joue un r?o le important pour l’′e tude des valuations augment′e es deμassoci′e es`a un polyn?o me-cl′e donn′eφ,et plus partic-uli`e rement la partie du polygone de Newton correspondant aux pentesδi>δ,et nous posons la d′e?nition suivante. D′e?https://www.doczj.com/doc/df5440152.html, partie principale du polygone de Newton est la partie de PN(f;μ;φ)de pente strictement plus grande queδ=μ(φ),c’est-`a-dire la partie comprise entre les sommets 0,μ(f0) et n,μ(f n) ,o`u n est l’ordre deμ-divisibilit′e de f parφ: PN(f;μ;φ)+=PN(f;μ;φ)∩ [0,n]×ˉΓ . Remarque2.3.Si nous′e crivons le polyn?o me f de K[x]sous la forme f=a d x d+...a0,nous pouvons d′e?nir le polygone de Newton PN(f;ν;x)comme l’enveloppe convexe dans R+×ˉΓde l’ensemble (k,δ)|δ≥ν(a k),0≤k≤d . Dans ce cas nous identi?ons la partie principale du polygone avec le polygone tout entier: PN(f;ν;x)+=PN(f;ν;x). Nous voulons′e tendre les d′e?nitions pr′e c′e dentes au cas d’une famille continue C de polyn?o mes et d’un polyn?o me-cl′e limiteφpour la famille C.Rappelons que si C= μα α∈A est une famille continue telle que l’ensemble?Φ(A)= f∈K[x]/μα(f)<μβ(f)?α<βdans A est non vide, et si nous notons d A le degr′e minimal d’un polyn?o me f appartenant`a?Φ(A),nous d′e?nissons l’ensemble Φ(A)= φ∈K[x]/μα(φ)<μβ(φ)?α<βdans A,degφ=d A etφunitaire , et tout polyn?o meφdeΦ(A)est un polyn?o me-cl′e limite pour C. De plus pour tout f n’appartenant pas`a?Φ(A)nous posonsμA(f)=sup μα(f) ,c’est-`a-dire μA(f)=μα(f)pourαsu?samment grand.Alors pour toutγdansˉΓv′e ri?antγ>μα(φ)pour toutαdans A,nous pouvons d′e?nir la valuation augment′e e limiteμ′= μα α∈A;μ′(φ)=γ par μ′(f)=inf μA(f k)+kγ;0≤k≤m , o`u f=f mφm+...+f0est le d′e veloppement de f selon les puissances deφet o`uμA(f k)est bien d′e?ni car deg f k D′e?nition.Le polygone de Newton PN f; μα α∈A;φ associ′e au polyn?o me f,`a la famille continue C= μα α∈A et au polyn?o me-cl′e limiteφpour C est le sous-espace de R+×ˉΓd′e?ni comme l’enveloppe convexe de l’ensemble (k,δ)|δ≥μA(f k),0≤k≤m . Nous notons encore0=a0 La partie principale du polygone de Newton est la partie de PN f; μα α∈A;φ de pente strictement plus grande queμα(φ)pour toutα,c’est-`a-dire la partie comprise entre les sommets 0,μ(f0) et a s,μ(f a s) : PN f; μα α∈A;φ +=PN f; μα α∈A;φ ∩ [0,a s]×ˉΓ . 10Michel Vaqui′e Nous avons un r′e sultat analogue au lemme2.3pour une famille continue C= μα α∈A,associ′e e aux familles φα α∈A et γα α∈A,et un polyn?o me-cl′e limiteφ.Nous rappelons que nous d′e duisons du th′e or`e me de factorisation,th′e or`e me1.19de[Va1],l’existence pour tout polyn?o me f dans K[x] d’un entier k,avec k degφα Nous disons qu’un polyn?o me f est A-divisible par un polyn?o me g si et seulement si il existe α0dans A tel que pour toutα≥α0le polyn?o me f estμα-divisible par g.Alors siφest un polyn?o me-cl′e limite pour la famille C,f appartient`a?Φ(A)si et seulement f est A-divisible parφ(cf.[Va1]Proposition1.21). Nous disons aussi qu’un polyn?o me e est A-inversible,respectivement que deux polyn?o mes f et g sont A-′e quivalents,si et seulement si il existeα0dans A tel que pour toutα≥α0le polyn?o me e estμα-inversible,respectivement les polyn?o mes f et g sontμα-′e quivalents. D′e?nition.Nous appelons ordre de C-divisibilit′e,ou ordre de A-divisibilit′e du polyn?o me f par le polyn?o me-cl′e limiteφle plus grand entier n tel que f soit A-divisible parφn. Cet entier n est ind′e pendant du polyn?o me-cl′eφchoisi car tous les polyn?o mes-cl′e s limites pour la famille C sont A-′e quivalents,nous pouvons donc dire que n est l’ordre de C-divisibilit′e de f.De plus,comme tout polyn?o me n’appartenant pas`a?Φ(A)est A-inversible,nous en d′e duisons qu’il existe un polyn?o me e A-inversible tel que f～ eφn. A Lemme2.4.Soit n l’ordre de C-divisibilit′e de f et soit f=f mφm+...+f0le d′e veloppement de f selon les puissances d’un polyn?o me-cl′e limiteφ,alors pour toutαsu?samment grand f est μα-′e quivalent`a f nφn. Le couple n,μA(f n) est un sommet du polygone de Newton PN f; μα α∈A;φ ,c’est-`a-dire qu’il existe s,0≤s≤r tel que a s=n.De plus nous avonsδs>μα(φ)pour toutαdans A et il existeαavecμα(φ)>δs+1. Preuve.Soient k0etλ0l’entier et la valeur associ′e s au polyn?o me-cl′e limiteφ,c’est-`a-dire tels que nous ayonsμα(φ)=λ0+k0γαpourαsu?samment grand,et nous avons k0≥1. Pour toutαnous avonsμα(f)≥inf μα(f jφj);0≤j≤ ,avec′e galit′e si lesμα(f jφj)sont tous distincts,et pourαsu?samment grand nous avonsμα(f jφj)=μA(f j)+j(λ0+k0γα).Comme l’ensemble{γα}n’a pas de plus grand′e l′e ment,nous en d′e duisons qu’il existe un entier n,0≤n≤m tel que nous ayonsμα(f)=μA(f n)+n(λ0+k0γα)<μA(f j)+j(λ0+k0γα)pour j=n,et n est l’ordre de C-divisibilit′e de f parφ. Nous d′e duisons les r′e sultats concernant le polygone de Newton PN f; μα α∈A;φ des in′e ga-lit′e sμA(f j)+jμα(φ)>μA(f n)+nμα(φ)qui sont valables pour toutαsu?samment grand. Remarque2.4.L’entier k0et la valeurλ0sont ind′e pendants du polyn?o me-cl′e limiteφ,et pour tout polyn?o me f nous avons l’′e galit′e k=nk o,o`u k est l’entier associ′e`a f et n est l’ordre de C-divisibilit′e de f. Si pour toutαnous′e crivonsφ=g a,αφaα+...+g0,αle d′e veloppement deφselon les puissances de φα,nous avons l’in′e galit′e a≥k0.De plus si nous supposons que l’ensemble des valeurs{γα;α∈A} a une borne sup′e rieureˉγnous avons a=k0et g a,α=1(cf.[Va2]Th′e or`e me3.5). Soientμune valuation etφun polyn?o me-cl′e pourμ,alors pour tout polyn?o me f et pour toute relation de la forme (?)f=q lφl+...+q0, sans faire aucune hypoth`e se sur les polyn?o mes q j nous pouvons d′e?nir un polygone de Newton PN(?)comme l’enveloppe convexe dans R+×ˉΓde l’ensemble (j,δ)|δ≥μ(q j),0≤j≤l .En g′e n′e ral ce polygone d′e pend de l’′e criture(?)choisie,mais nous avons le r′e sultat suivant. Proposition2.5.Si les polyn?o mes q j apparaissant dans(?)sont tousμ-inversibles,alors le couple n,μ(q n) ,o`u n est l’ordre deμ-divisibilit′e de f parφ,est un sommet du polygone de Newton D′e faut11 PN(?),et la partie de PN(?)comprise entre les sommets 0,μ(q0) et n,μ(q n) co¨?ncide avec la partie principale du polygone de Newton PN(f;μ;φ)+. Preuve.Soitγ>δ=μ(φ)et soitμ′la valuation augment′e e associ′e e`aφetγ,μ′[μ;μ′(φ)=γ]. Alors si l’′e criture(?)v′e ri?e q jμ-inversible,nous avons l’′e galit′e μ(f)=inf μ(q j)+jγ;0≤j≤l , (cf.[McL1]Theorem5.2,[Va1]Corollaire`a la Proposition1.3).Nous avons par cons′e quent l’′e galit′e inf μ(p k)+kγ;0≤k≤m =inf μ(q j)+jγ;0≤j≤l pour toutγavecδ<γ<+∞,et nous en d′e duisons le r′e sultat. Dans la suite nous consid`e rerons les polygones de Newton associ′e es au polyn?o me P d′e?nissant une extension L de K?x′e e et nous noterons PNμ(φ),PN C(φ),le polygone de Newton associ′e aux polyn?o mes P etφet`a la valuationμ,respectivement`a la famille continue C= μα α∈A.De m?e me nous noterons PNμ(φ)+et PN C(φ)+les parties principales de ces polygones de Newton. Remarque2.5.Si le polyn?o meφest de degr′e sup′e rieur au degr′e de P,alors le polygone de Newton PNμ(φ)est r′e duit au seul sommet 0,μ(P) ,et si il est de degr′e′e gal`a celui de P,nous avons P=φ+a0et le polygone de Newton PNμ(φ)a une seule face comprise entre les deux sommets 0,μ(a0) et(1,0). Nous aurons aussi besoin du r′e sultat suivant,qui est une extension du lemme1.1de[Va1]. Lemme 2.6.Siμ1est une valuation bien d′e?nie,c’est-`a-dire soit une valuation augment′e e [μ;μ1(ψ)=δ],soit une valuation augment′e e limite μα α∈A;μ1(ψ)=δ ,alors pour tout polyn?o me g de K[x],si g estμ1-inversible,il estμ1-′e quivalent`a r o`u r est le reste de la division euclidienne de g par le poyln?o meψqui d′e?nit la valuationμ1. Preuve.Rappelons que commeψest un polyn?o me-cl′e pour la valuationμ1,nous avons toujours μ1(r)≥μ1(g)avec l’in′e galit′e stricteμ1(r)>μ1(g)si et seulement si g estμ1-divisible parψ(cf. [Va1]Lemme1.1). Nous supposons que la valuationμ1est une valuation augment′e e,le cas d’une valuation aug-ment′e e limite se d′e montre de mani`e re similaire.Soit g=a sψs+...+a1ψ+a0le d′e veloppement de g selon les puissances deψ,avec r=a0.Par hypoth`e se il existe un polyn?o me h tel que hg soitμ1-′e quivalent`a1,c’est-`a-dire tel queμ1(hg?1)>μ1(hg)=μ1(1)=0.Si nous avons μ1(hg?1)=μ(hg?1)alors hg estμ-′e quivalent`a1,par cons′e quent g n’est pasμ-divisible parψetμ1(g)=μ(g)et le r′e sultat est une cons′e quence du lemme1.4de[Va1]. Si au contraire nous avonsμ1(hg?1)>μ(hg?1),alors nous pouvons choisirδ′avecμ(ψ)<δ′<δ=μ1(ψ)tel que nous ayons encoreμ′(hg?1)>μ′(1)=0o`uμ′est la valuation augment′e e μ′=[μ;μ′(ψ)=δ′].Par cons′e quent g estμ′-inversible,donc n’est pasμ′-divisible parψet nous avonsμ(r)=μ(a0)=μ′(g).Commeδ′<δ,nous d′e duisons alors le r′e sultat des′e galit′e s μ′(g)=inf μ(a j)+jδ′;0≤j≤s etμ1(g)=inf μ(a j)+jδ;0≤j≤s . Preuve du th′e or`e me.Montrons d’abord que siμest une valuation approch′e e du polyn?o me P,elle v′e ri?e les conditions i)et ii)du th′e or`e me.Par hypoth`e se,il existe alors une pseudo-valuation?ζdans E P telle queμ≤?ζetγ=μ(φ)=?ζ(φ). Siμest un valuation augment′e e,μ=[μ?;μ(φ)=γ],commeμ?est une valuation,nous avonsμ?(P)<+∞,d’o`u P appartient`a?Φ(μ?,?ζ)et par cons′e quent appartient`a?Φ(μ,?ζ)d’apr`e s le lemme1.3de[Va3],nous en d′e duisons que P estμ?-divisible par le polyn?o me-cl′eφ.Siμest une valuation augment′e e limiteμ= μα α∈A;μ(φ)=γ ,nous montrons de la m?e me mani`e re que pour toutαnous avonsμα(P)<μ(P),par cons′e quent P est A-divisible par le polyn?o me-cl′e limiteφ. Si la condition ii)n’′e tait pas v′e ri?′e e pour la valuationμ,le polyn?o me P seraitμ-′e quivalent `a un produit eφn,avec eμ-inversible et n≥0.Nous aurions alors?ζ(P?eφn)≥μ(P?eφn)>μ(eφn)=?ζ(eφn),d’o`u l’′e galit′e?ζ(P)=?ζ(eφn),ce qui est impossible car?ζ(eφn)<+∞. 12Michel Vaqui′e Pour montrer la r′e ciproque,nous allons faire une r′e currence descendante sur le degr′e du polyn?o me φ.Plus pr′e cis′e ment nous allons montrer que si μest une valuation bien d′e ?nie as-soci′e e `a un polyn?o me φde degr′e d qui v′e ri?e les conditions i)et ii)du th′e or`e me,il existe une nouvelle valuation bien d′e ?nie μ′associ′e e `a un polyn?o me φ′de degr′e d ′>d qui v′e ri?e encore les conditions i)et ii)du th′e or`e me et telle que nous ayons μ≤μ′et μ(φ)=μ′(φ).En fait nous allons construire la valuation μ′comme valuation augment′e e,μ′=[μ1;μ′(φ′)]avec μ1=μou μ1valua-tion augment′e e pour la valuation μ,ou comme valuation augment′e e limite,μ′= μα α∈A ;μ′(φ′) avec μα α∈A famille simple continue o` u chaque μαest une valuation augment′e e pour μ.Si nous avons deg φ′=d ′=deg P ,alors φ′est ′e gal `a P ,μ′est une des pseudo-valuations ?ζ