对数和对数函数
一、对数与对数函数概念
知识点1：对数的定义
1、定义：如果)10(≠>=a a N a b
且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。）
由于N a b
=>0故lo g a N 中N 必须大于0。当N 为零或负数时对数不存在。 2、对数恒等式：
由a N b N b
a ==()l o g ()12 将（2）代入（1）得a
N
a N
l o g = 将（1）带入（2）得b
a a
b log =
3、性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底的对数为1； ④)0,1,0(log >≠>=N a a N a
N
a 且
4.常用对数和自然对数 对数
log (0,1)
a N a a >≠的那个底数
(1)a=10时，叫做常用对数，记作lg N
(2)a=e 时，叫做自然对数，记作ln N ，其中e 为无理数，e ≈2.71828 知识点2：对数与指数的关系
在关系式N a x
=中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，如果已知a 和N ，求x ，就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算。 对数式与指数式的关系
式子
名称
a x N 指数式 N a x
= 底数 指数 幂 对数式
N x a log =
底数
对数
真数
指数函数与对数函数的图象的关系：对数函数x y a log =与指数函数x
a y =的图像关于直线x y =对称。 知识点3：对数的运算
①()()
l o g l o g l o g a a a
M N M N M N R =+∈+
，
②(
)
l o g l o g l o g a a a
M
N
M N M N R =-∈+
，
③()()
l o g l o g a n a
Nn N N R =∈+
④(
)
l o g l o g a n
a
N n
NNR =∈+
1
知识点4：换底公式
对数换底公式：
称为常数对数
的自然对数称为…其中N N l N e N N l a
b b g e n
c c a 10log )71828.2(log log log log ====
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）1log log log 1
log =?=
a b a
b b a b a 或 （2）log log a m a n b m n b =
（3）l o g l o g a
n
a n
b b = （4）lo g a m
n a m n
= 知识点5、对数函数的图像与性质
底数 0 a>1 图像 性质 定义域 (0,+ ∞ ) 值域 R 定点 (1,0) 1010≤≥>< 1010≥≥<< 在(0,+∞）上是减函数 在(0,+∞）上是增函数 补充性质：1.底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称。 2.在第一象限按顺时针方向底数增大。 知识点6、反函数 对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数。 函数)(x f y =的反函数记作：)(1x f y -= 性质： （1）函数与其反函数的图象关于直线 y ＝ x 对称。 （2）函数的定义域是其反函数的值域，值域是其反函数的定义域。 （3）点),(b a 关于直线x y =对称的点为),(a b 。 （4）互为反函数的函数具有相同的单调性、奇偶性。 求法： （1）由)(x f y =解出x ； （2）把x 与y 的位置互换； （3）写出解析式的定义域。 二、经典例题 题型1：对数的概念 例1、 对数式b a a =--)7(log )3(中，求实数a 的取值范围？ 总结：要严格按照对数的定义解题，注意要考虑全面)0,1,0(>≠>x a a 同时且。 例2、 函数?? ?>≤+=0,log 0 ),1()(2 x x x x f x f 求)2(-f 的值？ 总结：注意题目要求，反复带入)(x f 直至x 满足要求后才能计算。 题型2：对数的运算 例3、 （1） 245lg 8lg 3 44932lg 21+- （2）22 )2(lg 20lg 5lg 8lg 3 2 5lg +?++ （3） 8 .1lg 10 lg 3lg 2lg -+ 总结：灵活运用运算性质，熟练掌握公式。 例4、 （1）设的值？求12log ,3lg ,2lg 5b a == （2）已知45log ,,518,9log 3618表示用b a a b == ？ （3）已知a a a 3 22 1 log ),0(94 求>= 的值？ 总结：在计算中注意15lg 2lg 1log log =+=?及a b b a 。 题型3.比较大小 例5、设,,a b c 均为正数,且,log 22 1a a =,log )2 1(2 1b b = c c 2log )2 1(=,则（ ） A a b c << B c b a << C c a b << D b a c << 解:由a a 2 1log 2=可知0>a 12>∴a ,2 10,1log 2 1< <∴>a a ; 由b b 2 1log )2 1(=可知1)2 1(0,0<<∴>b b ,即1log 02 1< 12 1 < 2log )2 1(=可知21,1log 0,02<<∴<<∴>c c c ,从而c b a <<,故选A. 点评:本题的关键就是抓住“真数大于零”这一隐含条件,利用指、对函数的性质得出结论. 题型4：对数函数的定义域、值域 例6、 求下列函数的定义域： （1）32log x y = （2）)34(log 5.-=x y o （3）1 41 log 2 1--= x x y （4）) 32lg(4 22-+-=x x x y 总结：结合函数、根式、分式等相关性质求解，一定注意要全面考虑。 题型5.求定义域 例7、函数3 ) 5lg()(--= x x x f 的定义域为_____. 解:要使)(x f 有意义,则?? ?≠->-0 30 5x x ,解得5 ∴)(x f 的定义域为5|{ 点评:求对数定义域切记真数大于零,底数大于零且不等于1,常用方法是列不等式组, 注意求出的定义域要写成集合或区间的形式. 例8、 （1）已知函数)10)(1(log )(≠>+=a a x x f a 且的定义域和值域都是[0,1],求a 的值？ （2）求函数)4(log 2 2+-=x y 的值域？ （3）函数x x f a log )(=在区间[a a 2,]上的最大值与最小值之差为 2 1 ，求a 的值？ 总结：对数函数的值域可以利用对数函数的单调性求解，底数有字母时要讨论，注意数形结合。 题型6.最值问题 例9、设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1 2 ,则a =（ ） A 2 B 2 C 22 D 4 解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上递增,最大值和最小值 分别为 a a a a log ,2log ,依题意知2 1 2log log 2log = =-a a a a a ,4=∴a ,故选D. 点评:最值问题是高考考查对函数性质的热点题型,解决的关键是根据对数函数单调性求解. 题型7：对数函数单调性 例10、（1）求函数x x f 2 1log )(=的单调区间？ （2）函数)53(log )(2 2 1+-=ax x x f 在[-1,+∞）上是减函数，求a 的取值范围？ 总结：对数型函数的单调区间通常利用复合函数的单调性求解，注意对数函数的定义域，即要注意真数大 于0，而二次函数在给定区间上的单调性利用对称轴与区间端点之间的位置求解。 例11、（1）比较大小3.0log ,3log ,2 25 .0===c b a π （2）已知c n c m c b a b a log ,log ,10==<<<<，比较n m ,的大小？ 总结：底数相同的对数式可以利用单调性比较大小；如果真数相同，底数不同，可以用换地公式化为底数相同，再比较；如果底数真数都不同可以借助0,1来比较大小。 例12、（1）解不等式)1(log )1(log 22x x ->+ （2）若13 2 log 例13、解方程:0)2(log )12(log 2 44=--+x x ; 解:由已知得)2(log )12(log 2 44-=+x x ,则2122 -=+x x , 即0322 =--x x ,解得3=x 或1-=x , 当1-=x 时,对数真数小于零,舍去,故方程的根是3=x . 点评:解对数方程要注意验根,即保证对数的真数大于零. 题型9：奇偶性问题 例14、（1）画出函数x x f ln )(=的图像 （2）x a x x f -+=1log )(2的图像关于原点对称，求a 的取值范围？ （3）已知1 1 log )(223 1 +-=x x x f ，若的值是？则)(,2)(a f a f -= 总结：判断函数奇偶性有图像法和定义法 题型10.求参数范围 例15已知13 2 log ,则a 的取值范围是（ ） A ),1()32,0(+∞ B ),32(+∞ C )1,32( D ),32 ()32,0(+∞ 解:当10< 2 0< 当1>a 时,,log 13 2log a a a =<32 >∴a ,即1>a . 综上所述,a 的取值范围是3 2 0<a ,故选A. 点评:这类问题一般是根据对数函数的单调性,分10<a 两种情况讨论. 题型11：反函数问题 例16、求下列函数的反函数 （1）x y 3 1log = （2）12+=x y 例17、设函数)1,0)((log )(≠>+=a a b x x f a 的图像过(2,1),其反函数的图像过点（2,8），求b a +的值？ 总结：求反函数的步骤：求原函数的值域→把函数看成方程→解方程求出x →交换y x ,，并注明定义域。 原函数的图像过),(b a ，那么反函数的图像必过),(a b 。 题型12：综合运用 例18、已知函数).1,1(,11log )(2 -∈-+=x x x x f （1） 判断)(x f 的奇偶性； （2） 讨论)(x f 的单调性并证明。 例19、求函数)23(log 2 2 1x x y -+=的单调区间和值域？ 例20、已知函数)3lg()(2 +-=mx mx x f （1） 若)(x f 定义域为R ，求m 的取值范围; （2） 若)(x f 的值域为R ，求m 的取值范围。 总结：对数函数的综合应用主要形式有：对数函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、解不等式等内容中的某几个问题综合在一起，解决这类问题时需要注意设问之间的内在联系。 例21、已知函数)1,0(,11log 1)(2∈-+-= x x x x x f ，求使关系式)31()(f x f >成立的实数x 的取值范围？ 总结：与函数有关的不等式问题一般都与函数的单调性、奇偶性有关，因而在解不 等式之前通常先确定函数的单调性及奇偶性，利用函数的单调性去掉函数符号“f ”。 加强训练： 1、化简下列式子 （1）、()() 347l o g 911023 321 4log 3lg 33log 46 log 1323--?? ? ??++-+-++ （2）、的值。，试求：3 3 3 3 35lg 2lg 35lg 2lg b a ab b a ++?++=+ 2、函数)1,0(2 )1(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点（ ） 3、比较下列各组中两个值的大小： ⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π． （3）6log ,7.0,6 7.067 .0 4、若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍， 求a 的值。 5、 求下列函数的定义域、值域、单调区间 （1）、()( ) x x y 432log 2-=+ （2）、)52(log 2 2++=x x y （3）、)54(log 23 1++-=x x y 6、若a 、b 是方程()01lg lg 24 2 =+-x x 的两个实根，求()()a b ab b a log log lg +?的值 7、 函数log (1)a y x =-(01)a a >≠且的反函数的图象经过点（1，4），求a 的值. 8、已知函数()()?? ??? ?+-+=4 11log 2 2x a ax x f ， (1)、若定义域为R ，求实数a 的取值范围 （2)、若值域为R ，求实数a 的取值范围。 9、已知函数() a ax x y --=2 2 1log 在区间() 31,-∞-上是增函数，求实数a 的取值范围。 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 对数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（ ） A 、lg5lg 7g B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ???U B 、()1,11,2?? +∞ ???U C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．N a log 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2 对数函数及其性质（一） 班级_____________姓名_______________座号___________ 1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 2．函数y ＝x |x | log 2|x |的大致图象是( ) 3．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2) D ．(0，12 ) 4．设a ＝2log 3，b ＝2 1log 6，c ＝6log 5，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 6．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．[0,1] 7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0≤???x x x x 则g [g (1 3)]＝________. 10．f (x )＝log 21＋x a －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 11．函数f (x )＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围． 《对数及对数函数》练习题讲解 知识梳理： 1、对数的定义：如果 a(a>0,a ≠1)的b 次幂等于N , 就是a b =N ，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作log a N=b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。（N > 0） 2、指数和对数的关系：N a b = b N a =log 3、对数恒等式：∴01log =a ， 1log =a a ，N a N a =log 4、运算法则：???? ???∈=-=+=R)(n log log N log M log N M log N log M log (MN)log a n a a a a a a a M n M 5、换底公式：log log log c a c a b b = 6、两个较为常用的推论： 1 1log log =?a b b a 2 b m n b a n a m log log = （ a , b > 0且均不为1） 7、对数函数定义：函数 x y a log = )10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x a y = )10(≠>a a 且的反函数。 a a>1 0 定 点 单调性 例1、求下列各式中的x ． (1)21log 5 4- =x ； (2)235log =x ； (3)0)22(log 2 2=--+x x x ． 解：(1)2 545)5 4(2 1 == =-x ． (2)523 =x ，得332 255==x ． (3)由对数性质得? ??≠+>+=--12,021 222x x x x 解得3=x ． 变式：计算： (1)9)4(log 2=x ； (2)1)78(log 2 )1(=+--x x x ；（3）()() 32log 3 2- + （解析 (1)34log ±=x ，得34=x 或34 1 =x ． (2)由对数性质得8=x ． （3）令 =x () ()32log 32-+ =()()13232log -+-, ∴()()1 3232-+=+x , ∴1-=x ） 例2：计算（1）计算：log 155log 1545+(log 153)2 （2） 1 .0lg 10lg 5 lg 2lg 125lg 8lg ?--+ （3）22 )2(lg 2051lg 8lg 3 2 5lg +++ g 解：（1）解一：原式 = log 155(log 153+1)+(log 153)2 =log 155+log 153(log 155+log 153) =log 155+log 153log 1515 =log 155+ log 153= log 1515 解二：原式 = 2 151515 )3(log )315(log 315log +??? ? ??=(1-log 153)(1+log 153)+(log 153)2 =1-(log 153)2 +(log 153)2 =1 （2）＝2222128125 lg( ) 252lg(25)2lg104lg 10 ??=-?=-=-- （3）原式2 )2(lg )2lg 1)(2lg 1(2lg 25lg 2++-++= 对数运算、对数函数经典例题讲义 1．对数的概念 如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，log e N简记为________． 3．对数与指数的关系 若a>0，且a≠1，则a x＝N?log a N＝____. 对数恒等式：a log a N＝____；log a a x＝____(a>0，且a≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 经典例题透析 类型一、指数式与对数式互化及其应用 1．将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 思路点拨：运用对数的定义进行互化. 解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 举一反三： 【变式1】求下列各式中x的值： (1)(2)(3)lg100=x (4) 思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. 解：(1)； (2)； (3)10x=100=102，于是x=2； (4)由. 类型二、利用对数恒等式化简求值 2．求值：解：. 总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三： 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：. 类型三、积、商、幂的对数 3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式. (1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 举一反三： 【变式1】求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 解： (1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值. 解：由3a=c得： 同理可得 . 【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 证明： . 【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即. 类型四、换底公式的运用 4．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 高一数学对数函数经典练习题 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里 x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 对数与对数函数同步练习 一、选择题： 1、若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（ ） A 、4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（ ） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（ ） A 、lg5lg7B 、lg35C 、35 D 、 35 1 5、已知732log [log (log )]0x =，那么1 2 x -等于（ ） A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ） A 、()2,11,3??+∞ ? ?? B 、()1,11,2?? +∞ ??? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是（ ） A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ） A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m << 1．对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做__________________，记作____________，其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做____________，以e 为底的对数叫做____________，log 10N 可简记为______，log e N 简记为________． 3．对数与指数的关系 若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ?log a N ＝____. 对数恒等式：a log a N ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数__________． 1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①② D ．③④ 3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2 2015高考理科数学《对数与对数函数》复习题及解析 [A 组 基础演练·能力提升] 一、选择题 1．若x ∈(e －1, 1)，a ＝ln x ，b ＝? ?? ??12ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >c D ．b >a >c 解析：依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝? ???? 12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b >c >a ，选B. 答案：B 2．(2013年高考湖南卷)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：画出两函数的大致图象，可得两图象的交点个数为2. 答案：B 3．函数y ＝log 2|x |的图象大致是( ) 解析：函数y ＝log 2|x |＝?? ? log 2x ，x >0， log 2－x ，x <0， 所以函数图象为A. 答案：A 4．(2014年宣城模拟)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π 4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >a >c 解析：∵ln 6>ln π>1，∴a >c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3 答案：A 5．设函数f (x )＝??? log 2 x x >0， log 1 2－x ，x <0. 若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 解析：由题意可得?? ? a >0 log 2a >－log 2a 或??? a <0log 1 2 －a 2 －a ，解得a >1或－14x >1，∴0 对数与对数函数 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解x 为 ( ) A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 解析 B ∵lg x ＋lg(x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10.∴x 2＋3x －10＝0. 解得x ＝2或－5(舍去)． 2．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 C 显然函数f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝lg(2x ＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax ＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件． 则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．a 1)的值域是 ( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞) 解析 A ∵x ＋ 1x －1＋1＝x －1＋1 x －1 ＋2≥2(x －1)·1 x －1 ＋2＝4，∴y ≤－2. 5．函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是 ( ) 解析 C f (x )＝2|log2x |＝???? ? x ，x ≥1，1 x ，0 对数和对数函数 一、 选择题 1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则N M 的值为（ ） （A ） 4 1 （B ）4 （C ）1 （D ）4或1 3．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,loga y a n x log ,11则=-等于（ ） （A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）2 1 (m-n) 4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ） （A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ） 35 1 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 2 1-等于（ ） （A ） 31 （B ）321 （C ）2 21 （D ）331 6．函数y=lg （ 112 -+x ）的图像关于（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）原点对称 （D ）直线y=x 对称 7．函数y=log 2x-123-x 的定义域是（ ） （A ）（ 32，1）?（1，+∞） （B ）（21，1）?（1，+∞） （C ）（32，+∞） （D ）（2 1 ，+∞） 8．函数y=log 2 1(x 2-6x+17)的值域是（ ） （A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3） （D ）[3，+∞] 9．函数y=log 2 1(2x 2-3x+1)的递减区间为（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（-∞，4 3 ］ （C ）（21，+∞） （D ）（-∞，2 1 ］ 10．函数y=(2 1)2 x +1+2,(x<0)的反函数为（ ） （A ）y=-)2(1log ) 2(21 >--x x （B ）)2(1log ) 2(2 1 >--x x （C ）y=-)252(1log ) 2(2 1 <<--x x （D ）y=-)252(1log ) 2(2 1<<--x x 对数和对数函数练习题 1 求下列各式中的 x 的值： (1) 3x = 1 ；(2) 4x = 3 1 ；(3) 2x = 9 ； (4) 52x = 125 ；(5) 72x -1 = 1 ． 64 2 有下列 5 个等式，其中 a>0 且 a ≠1，x>0 , y>0 ①log a (x + y) = log a x + log a y ，②log a (x + y) = log a x ? log a y ， ③log x = 1 log x - log y ，④log x ? log y = log (x ? y) ， a y 2 a a a a a ⑤log a (x 2 - y 2 ) = 2(log a x - log a y) ， 将其中正确等式的代号写在横线上 ． 3 化简下列各式： (1) 4 lg 2 + 3 lg 5 - lg 1 ； 5 1 + 1 lg 9 - lg 240 (2) 2 ； 1 - 2 lg 27 + lg 36 3 5 (3) lg 3 + lg 70 - lg 3 ； 7 (4) lg 2 2 + lg 5 lg 20 - 1 ． 4 利用对数恒等式a log a N = N ，求下列各式的值： (1) ( 1 ) 4 log 4 3 + (1) 5 log 5 4 - (1 ) 3 log 3 5 (2) 3 log 1 4 3 + 10log 0.01 2 - 7 log 1 2 7 (3) 25log 5 2 + 49log 7 3 - 100lg 6 (4) 2log 4 12 - 3log 9 27 + 5 log 1 25 3 5 化简下列各式： (1) (log 4 3 + log 8 3) ? (log 3 2 + log 9 2) ； (2)[(1 - log 6 3) 2 + log 6 2 ? log 6 18] ? log 4 6对数函数典型例题
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