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数值分析计算实习题

1.下列数据点的插值

x 0 1 4 9 16 25 36 49 64

y 0 1 2 3 4 5 6 7 8

可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图.

(1)用这9个点作8次多项式插值Ls(x).

(2)用三次样条(第一边界条件)程序求S(x).

从得到结果看在[0,64]上，哪个插值更精确；在区间[0,1]上，两种插值哪个更精确？

解：(1)拉格朗日插值多项式，求解程序如下

syms x l;

x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];

y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];

n=length(x1);

Ls=sym(0);

for i=1:n

l=sym(y1(i));

for k=1:i-1

l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k));

end

for k=i+1:n

l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k));

end

Ls=Ls+l;

end

Ls=simplify(Ls) %为所求插值多项式Ls(x).

输出结果为

Ls =

-/*x^2+95549/72072*x-1/00*x^8-2168879/0*x^4+19/0*x^7+657859/*x^3+33983/ 0*x^5-13003/00*x^6

(2)三次样条插值，程序如下

x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];

y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];

x2=[0:1:64];

y3=spline(x1,y1,x2);

p=polyfit(x2,y3,3); %得到三次样条拟合函数

S=p(1)+p(2)*x+p(3)*x^2+p(4)*x^3 %得到S(x)

输出结果为：

S =

/6464-2399/88*x+/1984*x^2+2656867/624*x^3

(3)在区间[0,64]上，分别对这两种插值和标准函数作图，

plot(x2,sqrt(x2),'b',x2,y2,'r',x2,y3,'y')

蓝色曲线为y=函数曲线,红色曲线为拉格朗日插值函数曲线，黄色曲线为三次样条插值曲线

可以看到蓝色曲线与黄色曲线几乎重合，因此在区间[0,64]上三次样条插值更精确。

在[0,1]区间上由上图看不出差别，不妨代入几组数据进行比较，取x4=[0::1]

x4=[0::1];

sqrt(x4) %准确值

subs(Ls,'x',x4) %拉格朗日插值

spline(x1,y1,x4) %三次样条插值

运行结果为

ans =

从这几组数值上可以看出在[0,1]区间上，拉格朗日插值更精确。

数据拟合和最佳平方逼近

2.有实验给出数据表

试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。

解：(1)三次拟合，程序如下

sym x;

x0=[ ];

y0=[ ];

cc=polyfit(x0,y0,3);

S3=cc(1)+cc(2)*x+cc(3)*x^2+cc(4)*x^3 %三次拟合多项式

xx=x0(1)::x0(length(x0));

yy=polyval(cc,xx);

plot(xx,yy,'--');

hold on;

plot(x0,y0,'x');

xlabel('x');

ylabel('y');

运行结果

S3 =

-/624+437/28*x-0524945/28*x^2+409/*x^3

图像如下

(2)4次多项式拟合

sym x;

x0=[ ];

y0=[ ];

cc=polyfit(x0,y0,4);

S3=cc(1)+cc(2)*x+cc(3)*x^2+cc(4)*x^3+cc(5)*x^4

xx=x0(1)::x0(length(x0));

yy=polyval(cc,xx);

plot(xx,yy,'r');

hold on;

plot(x0,y0,'x');

xlabel('x');

ylabel('y');

运行结果

S3 =

00396215/624-347/28*x+/28*x^2-/624*x^3+849/9007*x^4

图像如下

(3)另一个拟合曲线,

新建一个M-file

程序如下：

function [C,L]=lagran(x,y)

w=length(x);

n=w-1;

L=zeros(w,w);

for k=1:n+1

V=1;

for j=1:n+1

if k~=j

V=conv(V,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));

end

L(k,:)=V;

end

C=y*L

在命令窗口中输入以下的命令：

x=[ ];

y=[ ];

cc=polyfit(x,y,4);

xx=x(1)::x(length(x));

yy=polyval(cc,xx);

plot(xx,yy,'r');

hold on;

plot(x,y,'x');

xlabel('x');

ylabel('y');

x=[ ];

y=[ ]; %y中的值是根据上面两种拟合曲线而得到的估计数据，不是真实数据[C,L]=lagran(x,y);

xx=0::;

yy=polyval(C,xx);

hold on;

plot(xx,yy,'b',x,y,'.');

图像如下

解线性方程组的直接解法

3.线性方程组Ax=b的A及b为

A=，b=，则解x=.用MATLAB内部函数求det A 及A的所有特征值和cond(A)2.若令

A+δA=，求解(A+δA)(x+δx)=b,输出向量x 和||δx||2.从理论结果和实际计算两方面分析线性方程组Ax=b

解得相对误差||δx||2/||x||2及A的相对误差||δA||2/||A||2的关系.

解：(1)程序如下

clear;

A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];

det(A)

cond(A,2)

eig(A)

输出结果为

ans =

+003

ans =

(2)程序如下

A=[10 7 ; 6 5;8 9; 5 9 ];

b=[32 23 33 31]';

x0=[1 1 1 1]';

x=A\b %扰动后方程组的解

x1=x-x0 %δx的值

norm(x1,2) %δx的2-范数

运行结果为

x =

x1 =

ans =

程序如下

A=[10 7 ; 6 5;8 9; 5 9 ];

A0=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];

b=[32 23 33 31]';

x0=[1 1 1 1]';

x=A\b;

x1=x-x0;

norm(x1,2);

A1=A-A0 ; %δA的值

norm(x1,2)/norm(x0,2) % ||δx||2/||x||2的值norm(A1,2)/norm(A0,2) %||δA||2/||A||2的值输出结果为

ans =

可见A相对误差只为，而得到的结果x的相对误差就达到了，该方程组是病态的，A的条件数为远远大于1，当A只有很小的误差就会给结果带来很大的影响。

非线性方程数值解法

4.求下列方程的实根

(1)x^2-3x+2-e^x=0;

(2)x^3+2x^2+10x-20=0.

要求：(1)设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用斯特芬森加速迭代，计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)为止。(2)用牛顿迭代，同样计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)。输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数k，比较方法的优劣。

解:(1)先用画图的方法估计根的范围

ezplot('x^2-3*x+2-exp(x)');

grid on;

可以估计到方程的根在区间（0,1）;选取迭代初值为x0=；

构造不动点迭代公式x(k+1)=( x(k)^2+2-e^x(k))/3;

ψ(x)= ( x^2+2-e^x)/3;

当0

程序如下：

format long;

f=inline('(x^2+2-exp(x))/3')

disp('x=');

x=feval(f,;

disp(x);

Eps=1E-8;

i=1;

while 1

x0=x;

i=i+1;

x=feval(f,x);

disp(x);

if abs(x-x0)

break;

end

i,x

运行结果为

f =

Inline function:

f(x) = (x^2+2-exp(x))/3

i =

x =

斯特芬森加速法，程序如下: format long;

f=inline('x-((x^2+2-exp(x))/3-x)^2/((((x^2+2-exp(x))/3)^2+2-exp((x^2+2-exp(x))/3))/3-2*(x^2+2-exp(x))/3+x)');

disp('x=');

x=feval(f,;

disp(x);

Eps=1E-8;

i=1;

while 1

x0=x;

i=i+1;

x=feval(f,x);

disp(x);

if abs(x-x0)

break;

end

i,x

运行结果为x=

i =

x =

牛顿迭代法，程序如下：format long;

x=sym('x');

f=sym('x^2-3*x+2-exp(x)');

df=diff(f,x);

FX=x-f/df;

Fx=inline(FX);

disp('x=');

x1=;

disp(x1);

Eps=1E-8;

i=0;

while 1

x0=x1;

i=i+1;

x1=feval(Fx,x1);

disp(x1);

if abs(x1-x0)

break;

end

i,x1

运行结果如下：

i =

x1 =

(2) 先用画图的方法估计根的范围

ezplot('x^3+2*x^2+10*x-20');

grid on;

根大约在区间（1,2）；选取初值x0=;

构造不动点迭代公式x(k+1)=(-2x(k)^2-10x(k)+20)^1/3;ψ(x)=(-2x^2-10x+20)^1/3;

程序如下：

format long;

f=inline('(-2*x^2-10*x+20)^1/3')

disp('x=');

x=feval(f,;

disp(x)

Eps=1E-8;

i=1;

while 1

x0=x;

i=i+1;

x=feval(f,x);

disp(x);

if abs(x-x0)>1E10

break;

end

if abs(x-x0)

break;

end

i,x

运行结果：

f =

Inline function:

f(x) = (-2*x^2-10*x+20)^1/3 x=

+002

+005

+011

i =

x =

+011

迭代6次后x的值大得令人吃惊,表明构造的式子并不收敛.也无法构造出收敛的不动点公式

牛顿迭代法，程序如下：

format long;

x=sym('x');

f=sym('x^3+2*x^2+10*x-20');

df=diff(f,x);

FX=x-f/df;

Fx=inline(FX);

disp('x=');

x1=;

disp(x1);

Eps=1E-8;

i=0;

while 1

x0=x1;

i=i+1;

x1=feval(Fx,x1);

disp(x1);

if abs(x1-x0)

break;

end

i,x1

运行结果：

i =

x1 =

比较三种方法，牛顿法的收敛性比较好，相比不动点迭代法要构造出收敛的公式比较难，牛顿法迭代次数也较少，收敛速度快，只是对初

值的要求很高，几种方法各有利弊，具体采用哪种也需因题而异。常微分方程初值问题数值解法

5.给定初值问题

y’=-50y+50x^2+2x,;

y(0)=1/3;

用经典的四阶R-K方法解该问题，步长分别取h=,,,计算并打印x=(i=0,1,…,10)各点的值，与准确值y(x)=1/3e^(-50x)+x^2比较。

解：取步长h=，程序如下：

%经典的四阶R-K方法

clear;

F='-50*y+50*x^2+2*x';

a=0;b=1;

h=;

n=(b-a)/;

X=a::b;

Y=zeros(1,n+1);

Y(1)=1/3;

for i=1:n

x=X(i);

y=Y(i);

K1=h*eval(F);

x=x+h/2;

y=y+K1/2;

K2=h*eval(F);

y=Y(i)+K2/2;

K3=h*eval(F);

x=X(i)+h;

y=Y(i)+K3;

K4=h*eval(F);

Y(i+1)=Y(i)+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;

end

%准确值

temp=[];

f=dsolve('Dy=-50*y+50*x^2+2*x','y(0)=1/3','x');

df=zeros(1,n+1);

for i=1:n+1

temp=subs(f,'x',X(i));

df(i)=double(vpa(temp));

end

disp(' 步长四阶经典R-K法准确值'); disp([X',Y',df']);

运行结果：

步长四阶经典R-K法准确值

+010 *

%画图观察结果

figure;

plot(X,df,'k*',X,Y,'--r');

grid on;

title('四阶经典R-K法解常微分方程');

legend('准确值','四阶经典R-K法');

当x值接近1的时候，偏离准确值太大。

当步长h=时，将上面程序中的h改为即可，运行结果：步长四阶经典R-K法准确值

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)

三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。注：差分格式：（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法：构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有

数值分析(计算方法)总结

第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。科学计数法：记有n位有效数字，精确到。由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数

4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为 (a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从 x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|< 为止，此时取 x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。 2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。 3.比例法一般地，设 [a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、 (b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则： 1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。 2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。——这正是迭代法的基本思想。事先估计: 事后估计局部收敛性判定定理：局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近 Steffensen迭代格式： Newton法： Newton下山法：是下山因子弦割法：

数值计算方法大作业

目录第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)

4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)

数值计算方法第一章非线性方程求根 1.1迭代法程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）

1.2牛顿法程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）

郑州大学数值分析重点考察内容及各章习题

《数值分析》重点考察内容及各章作业答案学院：学号：姓名：

重点考察内容基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。第一章基础掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。了解：误差限，算法及要注意的问题。第二章插值掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。了解：Lagrange插值第三章数据拟合掌握：给出几个点求线性拟合曲线。了解：最小二乘原理第四章数值积分微分掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。了解：数值微分，积分余项第五章直接法掌握：LU分解求线性方程组，运算量了解：Gauss消去法，LDL，追赶法第六章迭代法掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径了解：SOR迭代第七章Nolinear迭代法掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。了解：二分法，弦截法第八章ODE解法掌握：Euler公式构造、收敛阶。了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式题目类型：填空，计算，证明综合题

第一章误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。（1）（2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取

数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题第一章绪论一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。 3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 . 8、精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3

数值计算方法》试题集及答案

《计算方法》期中复习试题一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )； 12、为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-

《数值分析》杨大地-标准答案(第八章)

数值分析第8章数值积分与数值微分 8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】（3）求积公式∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)?f ′(h)]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。解：令f(x)=1,x,x 2带入有， { h 2[1+1]+ah 2[0?0]=h h 2[0+h ]+ah 2[1?1]=12 (h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0?2h ]=13 (h 3) //注：x 的导数=1 解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。 ∴ 积分公式为：∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+h 2 12[f ′(0)?f ′(h)] 令 f(x)= x 3带入求积公式有：h 2 [0 +h 3]+ h 212 [0?3h 2]=14 (h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值1 4 (h 4)相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。令f(x)= x 4带入求积公式有，h 2[0+h 4]+h 2 12[0?4h 3]=1 6(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值1 5(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。 8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。（1）∫f(x)dx 2h 0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h) 解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】 {A 0+A 1+A 2=2h A 1h +A 22h =1 2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1 3(2h )3 求解得A 0=13h ，A 1=43h ，A 2=1 3h ， ∴求积公式为：∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1 3 hf(2h) ∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x 3，代入求积公式有：4 3hh 3+1 3h (2h )3=4h 4 ∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h 0=1 4(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。

《数值计算方法》试题及答案

数值计算方法考试试题一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ） A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差； B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差； C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差； D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ，则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为（ D ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法（ B ） A. 都发散； B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散； D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ） A. 02≤≤-h ； B. 0785.2≤≤-h ； C. 02≤≤-h λ； D. 0785.2≤≤-h λ ；二、填空题（每空3分，共18分） 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2 x 5，= 1Ax 16 ，=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。三、利用下面数据表， 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值；解：1.用复化梯形公式计算取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分分分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x

计算流体力学常用数值方法简介[1]

计算流体力学常用数值方法简介李志印　熊小辉　吴家鸣 (华南理工大学交通学院) 关键词　计算流体力学　数值计算一　前　言任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的,这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程,揭示流体运动的物理规律,研究流体运动的时一空物理特征,这样的学科称为计算流体力学。计算流体力学是一门由多领域交叉而形成的一门应用基础学科,它涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程的数学理论、数值方法等学科。一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的,大致经历了四个发展阶段:无粘性线性、无粘性非线性、雷诺平均的N-S方程以及完全的N-S方程。随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展,利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高,现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。经过40年来的发展,计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段,在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题,其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形,确定其气动载荷,从而有效地提高了设计效率,减少了风洞试验次数,大大地降低了设计成本。此外,计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域,显示了计算流体力学强大的生命力。随着计算机技术的发展和所需要解决的工程问题的复杂性的增加,计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线,包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。目前计算流体力学主要向二个方向发展:一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理,开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究;另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动,解决工业生产中的各种问题。二　计算流体力学常用数值方法流体力学数值方法有很多种,其数学原理各不相同,但有二点是所有方法都具备的,即离散化和代数化。总的来说其基本思想是:将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区

数值分析第四版习题和答案解析

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式 ) 2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )， b =（）， c =（）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设 1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=?07f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、{}∞=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。

8、给定方程组?? ?=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足，且 20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。 10、设 ?? ??? ?????=11001a a a a A ，当∈a （）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（）条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数 ) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8≥n ，（2）7≥n ，（3）10≥n ，（4）6≥n ， 3、有下列数表