数值计算方法习题一（2）
习题二（6）
习题三（15）
习题四（29）
习题五（37）
习题六（62）
习题七（70）
2009．9，9
习题一
1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
(())(())'()()()()
f x x
f x f x x f x f x δδ?=
≈得
（1）()f x =
11
()()*2%1%
22x x δδδ≈
===；
（2）4
()f x x =时
44
4
()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈
===
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。 解：由教材9P 关于1212.m n
x a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效
数字位数分别为：3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）
哪个较精确？
解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21
((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ?+?+ =2
(0.3443100.1352)fl ?+
=0.34572
10?
（2）31.97+（2.456+0.1352）
2
1
(0.319710(0.245610))fl fl ≈?+? = 21
(0.3197100.259110)fl ?+? =0.34562
10?
易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122
10?，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多
少？
解：设该正方形的边长为x ，面积为2
()f x x =，由(())(())'()()()()
f x x
f x f x x f x f x δδ?=≈
解得(())()()'()
f x f x x xf x δδ≈=
2
(())(())
22
f x x f x x x
δδ=
=0.5%
5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？
（1）已知1x <<，（A ）11121x
y x x
-=-
++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1
x >>，（A ）y
=
，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos
2x
y x
-=；
（4）（A
）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。故（B ）算得准确些。 （2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。故（A ）算得准确些。 （3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。故（B ）算得准确些。 （4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。故（B ）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组
1515
1212
10102x x x x ?+=?
+=? 假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
1161612111120.100100.100100.10010(1)0.100100.100100.20010
(2)
x x x x ??+?=????+?=???
（1）-（2）得161620.100100.10010x ?=?，即1
20.10010x =?，把2x 的值代入（1）得
10.000x =；把2x 的值代入（2）得110.10010x =?
解1110.1001020.00010x x ?=???=???不满足（2）式，解1
1
10.1001020.10010
x x ?=???=???不满足（1）式，故在十进制三位浮
点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数3
2
()331f x x x x =-+-和()((3)3)1 2.19g x x x x x =-+-=在处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？
解：110657.010480.0310219.010480.0)19.2(1
1
1
1
-?+??-???=f 110657.010144.010105.0122-?+?-?= =10.16710?
=)19.2(g 110219.0)310219.0)81.0((1
1
-??+??-
110219.010123.011-???==10.16910?
即1
()0.16710f x =?，1
()0.16910g x =?
而当 2.19x =时32331x x x -+-的精确值为1.6852，故()g x 的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
（1）6
113i i =∑；(2)1
61
3
i i =∑。
解：（1）6
2345611
111111
3
333333
i
i ==
+++++∑=0.3330.1110.0370.0120.0040.001+++++
489.0=
（2）
1
654326
1111111
3333333i i ==+++++∑=0.0010.0040.0120.0370.1110.333+++++
489.0=
9．已知三角形面积1sin 2S ab C =，其中02
C π
<<。 证明：()()()()S a b C δδδδ≤++。
证
明
：
由自
变量的误差对函数值的影响公式：
12121
12(,,,)
((,,
,))()(,,,)n
i n n i i n i
x f x x x f x x x x f x x x x δδ=?≈?∑
。 得
(,,)(,,)(,,)((,,))()()()
(,,)(,,)(,,)a S a b C b S a b C C S a b C S a b C a b C S a b C a S a b C b S a b C C
δδδδ???=
++???
()sin ()sin ()cos ()sin sin sin a b C
S b C a a C b ab C C ab C ab C ab C
δδδδ=
??+??+??
=()()()C
a b C tgC
δδδ++
()()()a b C δδδ≤
++
（当02
C π
<<时，C tgC <），命题得证。
习题二
1．找出下列方程在0x =附近的含根区间。 （1）cos 0x x +=；（2）3cos 0x x -=； （3）sin()0x
x e
--=；（4）20x x e --=；
解：（1）设()cos f x x x =+，则(0)1f =，(1)-0.4597f -=，由()f x 的连续性知在[]1,0x ∈-，
()f x =0有根。
同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为[]0,1；0,2π??
????
；[]0,1
2．用二分法求方程sin 10x x -=在[]0,2的根的近似值并分析误差。 解
：
令
()sin 1f x x x =-，则有(0)10f =-<，(2)0.81860f =>，
'()sin cos 0f x x x x =+>，[]0,2x ∈
所以函数()f x 在()0，2上严格单调增且有唯一实根x *。 本题中求根使得误差不超过410-，则由误差估计式
12||+-≤
-k k a b x α，所需迭代次数k 满足41
102
2-+<-k ，即取28.13≥k 便可，因此取14=k 。 用二分法计算结果列表如下：