第一部分 考核方式介绍
考核形式：
考试形式：笔试闭卷
第二部分 复习指导
单项选择题复习指导
一、
答题技巧
单项选择题主要考察学生对基本概念、基本理论的准确理解、记忆能力。这种题型由题目和四个备选答案组成。题目描述题意与问题的核心要求，四个备选答案中有且只有一个选项符合题意，其他三个选项为干扰项，用来检测对问题理解的准确性。
考生在解题时，首先应认真审题，弄清题意，其次分析四个备选答案的含义，最终确定一个正确答案。 二、
复习重点和难点
该题型主要考察教材中每章的基本概念、基本理论，几乎覆盖了考试大纲中提到的每章的所有基本知识点。 三、
练习题
1．下列对象不属于弹性力学研究对象的是（ ） A 杆件 B 板壳 C 质点 D 块体 2．所谓完全弹性体是指：（）
A. 材料应力应变关系满足胡克定律
B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关
C. 物理关系为非线性弹性关系
D. 应力应变关系满足线性弹性关系 3．下列哪种材料可视为各向同性材料（ ） A 木材 B 竹材 C 混凝土 D 夹层板
4．某一平面应力状态，已知,,0x y xy σσσστ===，则与xy 面垂直的任意斜截面上的正应力和剪应力为（ ）
A ,0a σστ==
B ,a στ=
=
C 2,a σστσ==
D ,a σστσ==
5．弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ ）。 A. 任务 B. 研究对象 C. 研究方法 D. 基本假设 6．在平面应变问题中（取纵向作z 轴） A 0
,0,0===z z w εσ B
,0,0≠≠≠z z w εσ C
,0,0=≠=εσw z D
,0,0==≠z z w εσ
7．图示承受均布荷载作用的简支梁，材料力学解答为: （ ）
()?
??
? ??---
==--
=2
233
4)2(3,0,6y h h x l q y x l h qx xy y
x τσσ
A 满足平衡微分方程
B 满足应力边界条件
C 满足相容方程
D 不是弹性力学精确解
8．图示开孔薄板的厚度为t ，宽度为h ，孔的半径为r ，则b 点的θσ=（ ） A q B /(2)qh h r - C 2q D 3q
9．如果必须在弹性体上挖空，那么孔的形状应尽可能采用（ ）
A 正方形
B 菱形
C 圆形
D 椭圆形
10．设有平面应力状态x ax by σ=+，y cx dy σ=+，xy dx ay x τγ=---，其中,,,a b c d 均为常数，γ为容重。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（ ）
A 0,0X Y ==
B 0,0X Y =≠
C 0,0X Y ≠≠
D 0,0X Y ≠= 附：参考答案
填空题复习指导
一、 答题技巧
填空题主要用来考查学生对基础知识掌握的情况和应用基础知识解决实际问题的能力。在填空题中要填写的，或是重要概念、性质、法则中的关键词语，或是经过分析推理做出的结论，或是综合应用所学知识计算出的结果。
考生在解题时，应认真审题，仔细阅读题目，弄清所填内容的类型（关键词，计算结果等）。
二、 复习重点和难点
该题型既考察基本概念和基本知识点，又注重对知识点的综合运用。 第一章 弹性力学的基本概念及基本假定 第二章 平面应力问题与平面应变问题的特征 第三章 按应力求解满足的条件
第四章 极坐标问题的基本方程和基本条件 第五章 导数的差分公式 第七章 空间问题基本方程 第八章 弹性力学的一般原理
第九章 薄板小挠度弯曲问题的基本方程和边界条件 三、 练习题
1．对于多连体变形连续的充分和必要条件是 和 。 2. 将平面应力问题下的物理方程中的, E μ分别换成 和 就可得到平面应变问题下相应的物理方程。
3．校核应力边界条件时，应首先校核 ，其次校核 条件。
4．求薄板内力有两个目的：（1）薄板是按 设计的；（2）在板边上，要用 的边界条件代替 的边界条件。
5．对于多连体，弹性力学基本方程的定解条件除了边界条件外，还有 。 附：参考答案
1、几何方程，位移单值条件
2、()2/1E μ-，()/1μμ-
3、主要边界，次要边界
4、内力，内力，应力
5、位移单值条件
判断改错题复习指导
一、 答题技巧
判断改错题首先是对题目进行分析或者进行简单计算，根据分析计算结果判断题目当中是否有错（如果需要修改，则找出其中的错误，写出正确的答案）。 二、 复习重点和难点
该题型主要考察对各知识点的理解情况： 第一章 弹性力学的基本概念及基本假定 第二章 平面应力问题与平面应变问题的特征 第三章 应力边界条件
第四章 极坐标问题的基本方程和基本条件 第五章 变分法的概念
第七章 空间问题基本方程、一点应力状态 第八章 弹性力学的一般原理
第九章 薄板小挠度弯曲问题的基本方程 三、 练习题
1．应变状态2
2
2
(),,2,(0)x x xy k x y ky kxy k εεγ=+==≠是不可能存在的。 2．在y=a(常数)的直线上，如u=0，则沿该直线必有
=x ε
3．曲梁纯弯曲时应力是轴对称的，位移并非轴对称的。
4．位移轴对称时，其对应的应力分量一定也是轴对称的；反之，应力轴对称时，其对应的位移分量一定也是轴对称的。
5．对图示偏心受拉薄板来说，弹性力学和材料力学得到的应力解答是相同的。
附：参考答案
1．× 所给应变分量满足相容方程，所以该应变状态是可能存在的。 2．√ 因为u 与x 无关，所以|(,)0x u x a x
ε?=
=?
3．√ 各截面受相同的弯矩，因此，各截面的应力分布相同，但转角与θ有关。
4．√ 应力轴对称时，应力分量与θ无关，位移分量通常与θ有关。但约束也为轴对称时，位移分量也与θ无关，此时为位移轴对称情况。
5．√ 端部法向面力必须沿截面高度按线性规律分布于端部，否则得到的是圣维南近似解。
计算题复习指导
一、 答题技巧
计算题是对各章节知识点的综合运用。考生应深入理解各知识点的基本概念和理论，以及应用条件和场合。首先仔细阅读题目，理清题目所给条件和问题，理清所给条件之间的关系，以及条件与问题之间的关系。其次在计算过程中，应细心推导化简。最后给出最终结果或者表达式。
弄清题目要点，抓住所需要的基本概念和基本理论并正确应用，计算认真等是做好计算题应遵循的要点和步骤。 二、 复习重点和难点
该题型主要注重综合运用所学知识，下面是各章重点部分： 第一章 弹性力学的基本概念及基本假定
第二章 平面问题的基本方程和边界条件，按应力、应变求解平面问题，常体力时应力函数的简化，按位移求解的简化
第三章 逆法与半逆解法、校核应力边界条件
第四章 极坐标中按应力函数求解，轴对称问题，相容方程 第五章 应力函数的差分解法，弹性体的功和能
第七章 空间问题基本方程、一点应力状态、极坐标下轴对称问题
第八章 直角坐标系、柱坐标系下的平衡微分方程与边界条件（按应力与应变求解） 第九章 薄板小挠度弯曲问题的基本方程、挠度与内力的求解 三、 练习题
1．某一平面问题的应力表达式如下：
2
3
232
3,,2
x y
xy xy A x x
B xy B y
C x y σσ
τ=-+=-=--
试求A ，B ，C 的值（体力不计） 2．列出下图所示问题的全部边界条件(，单位厚度)。在其中的小边界上，采用圣维
南原理改用积分的应力边界条件来代替。
3．矩形截面的柱体受到顶部的集中力
F 2和力矩M 的作用，不计体力，试用应力函数
3
3
2Dy Cxy
Bxy Ay Φ+++=求解其应力分量。
附：参考答案
1．解：将题给应力分量表达式代入平面问题的平衡微分方程，得：
2
1,31B ,61A =
-
==
C
2．（1）/2y h =，/2()0y y h σ==，/2()yx y h ττ==- （2）/2y h =-，/2()y y h q σ-==-，/2()0yx y h τ=-= （3）0x =，/20/2
()h x x h dy P σ=-=-?，/20/2
()h x x h ydy M σ=-=-?
，/20/2
()h xy x h dy T τ=-=-?
3．解：应用上述应力函数求解： (1)代入相容方程4
0?Φ=，满足。 (2)求应力分量，在无体力下，
2
660
(3)
x y xy σA C xy D y σB C y τ=++==-+
（3）考察边界条件，在主要边界),2/(b y ±=
/2, 0y y b σ=±= 满足：
2
3, 4
xy q B C b q τ=-+
=
（a ）
在小边界x = 0,
/20/2
()d h x x h σy F =-=-?
，2
b/2(3)
, -b/2
F A y D y F A b
+=-=-
得
/20/2
()d h x x h σy y M =-=-?，2
3
3
b/22 (2),-b/2
2
y
M A
D y M D b +=-=-
得
/20/2
()d h xy x h y F τ=-=-?
，3
2
b/21()
-b/2
4
F B y C y F B C b b
-+=-+=
，得 (b)
再由(a ),(b )式解出
).3(2
1 ),(22
b
F q B b
F q b
C -
-
=-
=
代入，得应力解答，
2
3
2
2
1212()0
136()()2
x y xy F F M σq xy y b b
b b σF F q q y
b
b
b
τ?=-+-
-
???=???=
-
--??
1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化 各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？ 解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？ 解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 4、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？ 答：1、在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题中，平衡微分方程和几何方程都适用。2、在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换为换为，就得到平面应变问题的物理方程。 5、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。另一份答案：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。 在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在
2．Elasticity of Solids References J.H.Weiner ，Statistical mechanics of elasticity, Wiley, 1981 Green & Zerna ，Theoretical elasticity, 1968 Ashby & Jones ，Engineering materials 2.1 Definition of Elasticity Elasticity σ F Figure 2.1 An elastic response. An elastic response of the material can be abstracted mathematically as ()X F ,T σ= (2.1) where σ denotes the stress tensor, T the response function that depends only on the current values of the deformation gradient X x F ??=, with X denoting the material coordinates of a point while x the spatial coordinates. If the material is homogeneous within the domain under consideration, the explicit dependence on X in (2.1) can be eliminated. Several remarks can be made to the definition in (2.1): (1) In the claim of ()()X t X, F ,T σ=, one pins down an elastic response as the one prtrayed by the current status of deformation, and henceforth irrelevant to the
第四章 应力与应变的关系（二） 物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。 4.6 塑性的基础知识 金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。因此塑性变形与剪切变形有关。 （1）塑性变形不引起体积的变化； （2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。 其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。① 其破坏主要归于微裂纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉压特性存在很大的区别。 简单拉压时的塑性现象 ① εσE =； ② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服； ④ 强化；软化； ⑤ 卸载，再加载，后继屈服，s s σσ>'
初始屈服条件 s σσ=； 后继屈服条件 s σσ'=。 s σ' 与塑性变形的历史有关，)H(p s εσ=' 当 s σσ'<， 弹性阶段； s σσ'=， ?? ?<>卸载 加载0 d 0d σσσσ ⑥ Bauschinger 效应 4.7 应力张量的分解（对第三章的补充） ????? ? ?---+?? ??? ??=???? ? ??m z yz xz zy m y xy zx yx m x m m m z yz xz zy y xy zx yx x 000000 σστττσστττσσσσσστττστττσ 记
ij m m m m 000000 δσσσσ=??? ?? ? ? 可得： ij ij m ij s +=δσσ ????? ??=z yz xz zy y xy zx yx x ij s s s s ττττττ m x x s σσ-= m y y s σσ-= m z z s σσ-= 应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。 0s s s )s (I z y x ij 1=++= ) ()s s s s s s ()s (I 2zx 2yz 2xy x z z y y x ij 2τττ+++++-=
… 第三章 平面问题的直角坐标解答 【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计) 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 & 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上； 当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ () 0y xy x f τ=== 右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为 主矢，主矩 y x f x f ￥ 主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ： 因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：
2()0/6/6 x A p pe e h bh bh σ= -=?= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。 / 【3-6】试考察应力函数22 3(34)2F xy h y h Φ= -，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画 出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。 【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25） 444422420?Φ?Φ?Φ ++=????x x y y ，显然满足 < （2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式 3 12,0,x y Fxy h σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2h y =±，应精确满足应力边界条件式 （2-15），应力()()/2/2 0,0y yx y h y h στ=±=±== 因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ??? ?=±==±= ? ???? ? ②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为： 22340:0,1-2x y F y x f f h h ?? === ??? 3 221234:,12x y Fly F y x l f f h h h ?? ==- =-- ??? " 因此，各边界上的面力分布如图所示： y
第三章 平面问题的直角坐标解答 【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上； 当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ () 0y xy x f τ=== 右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩 x f x f 主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ： 因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ： 2()0/6/6 x A p pe e h bh bh σ=-=?= 同理可知，当 a <0时，可以解决偏心压缩问题。
【3-6】试考察应力函数223(34)2F xy h y h Φ= -，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画 出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。 【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25） 4444 22420?Φ?Φ?Φ ++=????x x y y ，显然满足 （2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式 3 12,0,x y Fxy h σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2h y =±，应精确满足应力边界条件式 （2-15），应力() () /2 /2 0,0y yx y h y h στ=±=±== 因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ??? ?=±==±= ? ???? ? ②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为： 22340:0,1-2x y F y x f f h h ?? === ??? 3 221234:,12x y Fly F y x l f f h h h ?? ==- =-- ??? 因此，各边界上的面力分布如图所示： ③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式： x y l /2h /2 h (l h ?
一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？
由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4）各向同性假定。 （5）小变形假定。 满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。 7.什么是差分法？写出基本差分公式？ 差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代
一、名词解释 应力：截面单位面积的内力称为应力。 应变：物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。 剪应力：截面单位面积上所承受的剪力，且力的方向与受力面的法线方向正交。 剪应变：在直角坐标中所取单元体为正六面体时，单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量。 主应力：某一个斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力为主应力。 主应力平面：某一个面上的切应力等于零，该平面为主应力平面。 一点应力状态：指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位上应力的集合。 平面应力问题：只有平面应力分量),,xy y x τσσ（存在，且仅为x,y 的函数的弹性力学问题。 平面应变问题：只有平面应变分量） （xy y x γεε,,存在，且仅为x,y 的函数的问题。 体力：体力是作用于物体体积内的外力。 面力：面力是作用于物体表面上的外力。 边界条件：表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。 二、问答题 1.弹性力学基本问题的假定? 答：(1)连续性—假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有空隙。 （2）完全弹性—假定物体是完全弹性的。 （3）均匀性—物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均匀相同。 （4）各向同性—物体内任何一点各方向的材料性质都相同。 （5）小变形假定—假定物体的位移和应变都是微小的。 2.弹性力学问题求解与材料力学的区别？ 答：弹性力学严格地要求在边界条件下，求解平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力、应变、和位移等未知函数，从而得到比较精确的解答。 材料力学，为了简化问题的解答，常引用近似的计算假设，并近似地处理平衡条件和边界条件，研究方法是近似的，得到的是近似解答。 3.弹性力学应力正负规定与材料力学的异同？ 答：在弹性力学中，正坐标面上的应力分量以沿坐标轴正向为正，负坐标面上的应力分量以沿坐标轴负向为负。 在材料力学中，正应力以拉为正，实际上与弹性力学中的正应力符号规定相同；切应力以使单元或其局部产生顺时针方向转动趋势的为正，这与弹性力学的切应力符号规定不一致。 4.圣维南原理内容及适应条件？ 答：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 适应条件：圣维南原理只能应用于一部分边界上（局部边界，小边界，次要边界）。 5.相容方程的物理意义？ 答：（1）相容方程是连续体中位移连续性的必然结果。 （2）相容方程是形变对应的位移存在且连续的必要条件。 6.平面问题求解基本方程及边界条件。 答：平衡微分方程0x =+??+??x yx f y x τσ ，0y =+??+??y xy f x y τσ 几何方程y v x u ??=??=y x ,εε ，y u x v ??+??=xy γ 物理方程)(1y x x E μσσε-= ，)(1y x y E μσσε-= ，xy xy G τγ1= 边界条件：应力边界条件-=+x s xy x f m l )τσ（ ，- =+y s xy y f l m )τσ（
“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。 所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。 授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。 目前网上给出如下一些教案示例： 1.“第一章矢量与张量” 2.“第二章应变分析” 3.“第三章应力分析 4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5) 5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4) 弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。 弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。 弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。 人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。 弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。 本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。
弹性力学及有限单元法复习提纲 采矿09级 1.材料力学和弹性力学在所研究的A容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？ 共同点：都是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的方法。 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用、边界的约朿或温度改变等原因而发生的应力、形变的位移。 材料力学：研宂构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 求解方法：材料力学是除了从静力学、儿何学、物理学三方而进行分析外，大都还引用关于构件的形变状态和应力分布的假定。而弹性力学一般都不必引用那些假定，因而得出的结果比较精确，还可以校核材料力学得出的近似结果。 2.什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？ 弹性：在一定的应力范围内，物体受到外力作用产生全部变形，而去除外力后能够立即恢复其原有的形状和尺寸大小的性质。 塑性：物体受力后产生变形，在外力去除后不能完全恢复原状的性质。 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、位移和形变微小。 3.弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？ 在弹性体内任一点取出一个微分体，根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式。 意义：平衡微分方程表示了区域内任一点的微分体的平衡条件，从而必然保证任一有限部分和整个区域是满足平衡条件的。 4.为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？ 因为平衡微分方程两个方程三个未知函数，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑几何方程冰可以求解。根据微分线段上的形变分量与位移分量之间的关系式导出的。 意义：当物体的位移分量完企确定时，形变分量即完企确定。反之，当形变分量完企确定时，位移分量却不能完企确定。 5.什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？ 考虑平面问题物理方面导出形变分量与应力分量之间的关系式的方程。表达形式满足胡克定律。 6.什么是平面应力？平囬应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所耑要求解的M题，差別又在何处？如何推导出相应 的物理方程？ 平面应力：在等厚度薄板中，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。 平面应变：在很的柱形体屮，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束，同吋，体力也平行于横截Ifif而且不沿长度变化。 可根据切应力互等性、胡克定律等求解相应的方程。 7.弹性力学问题的基本方程有哪几组？ 平衡微分方程、儿何方程、物理方程，再加上边界条件。 8.什么是应力边界条件？位移边界条件？混合边界条件？ 应力边界条件：若So部分边界给定了面力分量fx(s)和fy⑻，则可以由边界上任一点微分的平衡条件，导出应力与面力之间的关系。 位移边界条件：若在SU部分边界上给定了约束位移分量U(S)和V(S),则对于此边界上的每一点，唯一函数1!和7应满足(U)S=U(S), (V)S=V(S) 0 混合边界条件：物体的一部分边界具有位移边界条件，另一部分边界则具有应力边界条件。 9.什么是按照应力求解和按照位移求解？求解方法和过程有哪些区别？ 按位移求解：是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含有位移分量的方程和相应的边界条件，并且由此解出位移分量，然后再求出形变分量和应力分量。 按应力求解：是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件屮消去位移分量和形变分量，导出只含有应力分量的方程和边界条件，并由此解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。 区别：按位移求解能适应各种边界条件问题的求解，按应力求解通常只求解全部为应力边界条件的问题。 10.什么是相容方程？相容方程的物理意义是什么？ 相容方程：几何方程中把e x对y的二阶导数和e y对x的二阶导数相加得到的方程。 意义：连续体的形变分量ex, ey, yxy不是互相独立的，而是相关的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量u 和v的存在。 11.什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？试写出双谐方程的数学表达式。 O称为平面的应力函数。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 弹性力学答疑辅导讲义 弹性力学答疑辅导讲义第一部分考核方式介绍考核形式： 考试形式： 笔试闭卷第二部分复习指导单项选择题复习指导一、答题技巧单项选择题主要考察学生对基本概念、基本理论的准确理解、记忆能力。 这种题型由题目和四个备选答案组成。 题目描述题意与问题的核心要求，四个备选答案中有且只有一个选项符合题意，其他三个选项为干扰项，用来检测对问题理解的准确性。 考生在解题时，首先应认真审题，弄清题意，其次分析四个备选答案的含义，最终确定一个正确答案。 二、复习重点和难点该题型主要考察教材中每章的基本概念、基本理论，几乎覆盖了考试大纲中提到的每章的所有基本知识点。 三、练习题 1．下列对象不属于弹性力学研究对象的是（） A 杆件 B 板壳 C 质点 D 块体 2．所谓完全弹性体是指： （） A. 材料应力应变关系满足胡克定律 B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关 C. 物理关系为非线性弹性关 1 / 8
系 D. 应力应变关系满足线性弹性关系 3．下列哪种材料可 视为各向同性材料（） A 木材 B 竹材 C 混凝土 D 夹层板 4．某一平面应力状态，已知?x??,?y??,?xy?0，则与 xy 面垂直的任意斜截面上的正应力和剪应力为（） A ?a??,?? 0 B ?a?,?? C ?a?2?,??? D ?a??,??? 5．弹性力学与材 料力学的主要不同之处在于（）。 A. 任务 B. 研究对象 C. 研究方法 D. 基本假设6．在平面应变问题中（取纵向作 z 轴） A C ?z?0,w?0,?z?0 B ?z?0,w?0,?z?0 ?z?0,w?0,??0 D ?z?0,w?0,?z?0 7．图示 承受均布荷载作用的简支梁，材料力学解答为: （） ?x??6qx h3?l?x?y,?y?0,?xy??3q(l?2x)?h2?2?y????h34?? A 满足平衡 微分方程 B 满足应力边界条件 C 满足相容方程 D 不是弹性力 学精确解 8．图示开孔薄板的厚度为 t，宽度为 h，孔的半径为 r，则 b 点的???（） A q B qh/(h?2r) C 2q D 3q 9．如 果必须在弹性体上挖空，那么孔的形状应尽可能采用（） A正方 形 B 菱形 C 圆形 D 椭圆形10．设有平面应力状态?x?ax?by，?y?cx?dy，?xy??dx?ay??x，其中 a,b,c,d均为常数，?为容重。 该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（） A X?0,Y?0 B X?0,Y?0 C X?0,Y?0 D X?0,Y?0 附： 参考答案 1 填空题复习指导一、答题技巧 填空题主要用来考查学生对基础知识掌握的情况和应用基础知识解
第三章应变状态分析知识点 位移与变形 正应变 纯变形位移与刚性转动位移 应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组 体积应变 变形协调方程 变形协调方程证明变形与应变分量 切应变 几何方程与应变张量 位移增量的分解 应变张量 应变状态特征方程 变形协调的物理意义 变形协调方程的数学意义多连域的变形协调 一、内容介绍 本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。 对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。 应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。 二、重点 1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量； 2、几 何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变 状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程 与位移边界条件。 §3.1 位移分量与应变分量几何方程
学习思路: 由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位臵将发生变化，就是产生位移。这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。 弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。 由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。根据正应变和切应变定义，不难得到应变与位移的关系－几何方程，或者称为柯西方程。 几何方程给出的应变通常称为工程应变。几何方程可以表示为张量形式，应该注意的是，正应变与对应应变张量分量相等；而切应变等于对应的应变张量分量的两倍。 几何方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。 学习要点： 1、位移函数； 2、变形与应变分量； 3、正应变表达式； 4、切应 变分量；5、几何方程与应变张量。 1、位移函数 由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位臵将发生变化，即产生位移。这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。 第一种位移是位臵的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位臵不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。 第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位臵，而且改变了物体内部各个点的相对位臵，这是物体形状变化引起的位移，称为变形。 一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。当然，对于弹性力学，主要是研究变形，因为变形和弹性体的应力有着直接的关系。 根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,如图所示。在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，z的单值连续函数。设MM'=S 为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。则 u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）， v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）
第3章 弹性力学的平面问题 任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。 在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。 §3.1 平衡方程与变形协调方程 在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。平衡方程(2.40)可简化为 ?? ? ? ???=+??+??=+??+??00y yy xy x xy xx f y x f y x σσσσ (3.1) 变形协调方程(2.63)只余下 y x x y xy yy xx ??ε??ε??ε?22 2 222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变 3.2.1平面应力问题 平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。 平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε, )(yy xx zz E σσν ε+-= (3.3) 利用(2.95)式，虎克定律可以写成 ? ??? ? ????+==-=-= xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1 (3.4) 3.2.2平面应变问题 平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。这类弹性力学问题称之为平面应变问题。由应变与位移的关系直接得出0=zz ε，其它应变分量中，0 ==zx yz εε
1 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程，应力边界条件。 2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。 试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 圣维南原理在弹性力学分析中作用：（1）近似列出复杂面力的应力边界条件；（2）将一小部分位移边界条件转化为应力边界条件问题。 4．圣维南原理的要点：（1）静力等效；（2）一小部分边界（次要边界）；（3）近处的应力明显受影响而远处应力的影响可忽略不计 5．有限差分法的基本思想为：， 在弹性力学变分解法中，位移变分方程等价于（平衡微分方程和静力边界条 件），而应力变分方程等价于（应力协调方程和位移边界条件）。 弹性力学 第一章绪论 1弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。外力 5弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为： 1）连续性假定、2）完全弹性假定3）均匀性假定 4）各向同性假定：5）小变形假定：在在这些假设下，弹性力学问题都转化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。
1弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为： 平面应力问题：所对应的弹性体主要为很薄的等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量存在，且仅为x,y的函数。面力体力都不沿厚度变化。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为无限长的等截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量存在，且仅为x,y 的函数。面力体力不沿长度变化。 2在平面应变问题中，由于Z方向的伸缩被阻止，所以一般并不等于0. 3按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。4圣维南原理： 陈述一：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分量将有显著地改变，但是远处所受的影响可以不计。 陈述二：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 5对于平面问题，如果满足了平衡微分方程和相容方程，也满足了应力边界条件，那么，在单连体的情况下，应力分量就完全确定了。 7常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，（应力函数的概念）应力函数必须满足（1）相容方程：04平衡微分方程 （2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，）： （3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 8弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即平衡微分方程、几何方程、物理方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即应力边界条件和位移边界条件。 10什么是弹性体的精确解、近似解。 在弹性问题中对于平面问题，如果满足了平衡微分方程和相容方程，也满足了应力边界条件，那么，在单连体的情况下，应力分量就完全确定了即为准确解。 在弹性问题中，边界条件经常不能完全满足，需用到圣维南原理来静力等效，将物体的一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力，只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计，这种情况下得到的解为近似解。 12相容方程的物理含义。 弹性力学问题按位移求解时，应变相容方程能自行满足。按应力求解时，为保证从几何方程求的连续的位移分量，需补充应变相容方程，是保证物体（单连体）连续的充分和必要条件。对于多连体，只有在加上位移单值条件，才能使物体变形后仍保持为连续体。 13求解单连域和多连域的区别。 用应力函数求解平面问题时，注意所研究的弹性体是单连体还是多连体，若为多连体，则求得的应力分量除了满足给定的边界条件外，还须满足位移单值条件。
1.设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q ，如图1，试求应力分量。 解：采用半逆解法，设 0=x σ 。 导出?使其满足双调和方程： 0) ()(,00,0) ()() ()()(,04 14 44 42244 44144 44412 2=+=?=???=??+=??+==??=-??=dx x f d dx x f d y y x y dx x f d dx x f d y x x f x yf x f y Xx y x ?? ?????σ （1） 含待定常数的应力分量为： ?? ?? ?? ???? ?++-=???-=-+++=-??==-??=)23(26)26(0 2 22222C Bx Ax y x Py F Ex B Ax y Yy x Xx y xy y x ?τ?σ? σ （2） x 1 取任意值时，上式都应成立，因而有： y 23232 31 234 1444)()(,)(0)(,0)(Fx Ex Cx Bx Ax y Fx Ex x f Cx Bx Ax x f dx x f d dx x f d ++++=+=++===?式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。 )(x f )(1x f x 利用边界条件确定常数，并求出应力解答： , 0)(0 ==x x σ 能自然满足： ,0)(0===C x yx τ, 0)(==h x x σ能自然满足： 0 ,026,0)(23,)(2===+==--==F E F Ex q Bh Ah q h x yx στ
Cy Bx y x gy By Ax Yy x Dy Cx Xx y xy y x 2226622 2222--=???-=-+=-??=+=-??=?τρ? σ? σ （3） （4） （5） 2．如图2（a ），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。 ,0)(0==y yx τ不能精确满足，只能近似满足： ?? =+-===h h y y xy dx Bx Ax dy 00 02 0)23(,0)(τ023=--Bh Ah 由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量： A B h q B h q A = -=,2（ ) 32(,)31(2,0h x h qx Py h x h qy xy y x --=--==τσ σx x x 图 （a ） （b ） 解： 1.设应力函数为： 3223Dy Cxy y Bx Ax +++=? 不难验证其满足 。 所以应力分量为： 04=??