绝密★启封并使用完毕前 2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考分。考试时长120本试卷共5页，150 试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分分）40（选择题共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。小题，每小题5分，共一、选择题共820}x??2A?{x|x2}{0,1,B?，，若(1) 已知集合?BA
{0}2}}{0,{0,12}1,{0, (D) (C) (A) (B)
}??(0, 上为增函数的是(2) 下列函数中，在区间x?21?y?x2y=(x?1)?y1)?(xy?log(D)
(B) (C) (A) 0.5
?cos?x??1?开始?为参数）的对称中心，（(3) 曲线??sin?y?2?的值n输入m,x?2yx2?y?上
(A) 在直线(B) 在直线上1??m,Sk1x??y?yx?1 上(C) 在直线(D) 在直线上
1?kk?
?kSS s37n?m? ,(4) 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为
1m?n?k? (D) 840 (A)7 (B)
42 (C) 210 否是S输出1q?}}aa{{ 是公比为q”为递增数列的”是“的等比数列，则“(5) 设nn结束(B) 必要且不充分条件充分且不必要条件(A)
(D) 既非充分也非必要条件(C) 充分且必要条件0?2?x?y??kyx,xz?y?4?
且若(6) 的最小值为满足，则的值是0???kxy2??0y??112?2? (B) (A) (D) (C)
22．SSS2)D(1,1,(2,0,0)A2,0)(0,(2,2,0)CB分，，中，已知(7) 在空间坐标系，，，，若
xyz?O312xOyyOzzOxD?ABC则坐标平面上的正投影图形的面积，则，别表示三棱锥在，SSSSSS?SSSS?SSSS?S且==且(A) =(C) = (B) =(D) 且311213112322333
(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一颗成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
21i??? _____ ．(9) 复数???1i???
?|?|?_____ 满足、，且．，则(10) 已知向量(2,1)?b1a|?|0b??aba
2y(2,2)2具有相同渐近线，则CC经过点的方程是．，且(11) 在设曲线1??x 4
{a}{a}的前n 若等差数列项和最大．______，满足，则当时，(12) ?n0?aa??a?0a?a nn109877
(13) 把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____ 种．
?????,[],,A0A?0,???)f(x)?xsin(?xf()A上具有单调性，若是常数，（在区间，(14) 设函数）62???2)?-f((?(f)f)f(x)的最小正周期为．且，则326
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
?1?ADCcos???B8?ABC?AB，CD=2，点13(15)（本小题分）如图，在D中，在BC边上，且，73sin?BADAC BD的长．，．（Ⅰ）求（Ⅱ）求
A
B CD
场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）13分）李明在10(16)（本小题
命中次数投篮次数场次命中次数投篮次数场次
8 12 22 18 1 主场客场1
12 12 13 15 2 主场2 客场7 8 12 21 3 3 主场客场15 23 8 18 4 4 主场客场12
25
24
20
5
主场客场（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6的概率；
x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X（Ⅲ）记为李明在这场比赛中的命E(X)x的大小。中次数，比和
AMDE MDAM ABCDE?P在五棱锥分别为的中点，如图，正方形和的边长为2，B，C(17)（本小题14分）HPDFPE PCABCFG//ABG 分别相较于点（Ⅰ）求证：、与棱中，，为；的中点，平面．?PA ABCDE PH的长与平面ABF平面所成的角，并求线段，且PA=AE，求直线（Ⅱ）若BC P
F G
HE
D A C B M
?]?[0,xxx)(fx?xcos?sin 13分）已知函数，（本小题(18)2?sinx(0,)0)?xf(ba的最小值．在（Ⅱ）若；上恒成立，求（Ⅰ）求证：的最大值与b?a?2x
22x?2y?4．（Ⅰ）求椭圆的离心率；(19)（本小题14分）已知椭圆：CC22?2?xy2?yOB?OA与圆AB在直线，求直线上，且（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆G上，点B的位置关系，并证明你的结论．
(a,b)(a,b))bP(a,，，（本小题(20)13分）对于数对序列，…，
nn2211(2?k?n)}a??a?(T?b(P)?b?max{TP),a(TP)?a记，,kk?1111k1k2T(P)a?a???(max{TP),a?aa?a}两个
数中最大的数．和表示其中1?kkk1212k?1T(P))PT((4,1)(2,5)P；（Ⅰ）对于数对序列求，
，，21(a,b)P(a,b)(c,d),(cd)bd，对于两个数对，、记（Ⅱ）m为四个数、、组成的数对序列的最小值，acT(P)T(P'))'(c,d)ba,(Pb?ma?m 的大小；，试分别对和时的情况比较和和，22(11,8)(5,2)(16,11)(11,11)(4,6)个数对（Ⅲ）在由5组成的有序数对序列中，写出一个数对序，，，，T(P))T(P的值（只需写出结论）。最小，并写出P
列使55
绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）A （3）B （4）C
（5）D （6）D （7）D （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
5?）（10 （9）1
22yx y??2x1??（12）8 （11）312?）（14 （13）36
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
431sin?ADC??ADCCOS?ADC?。（，所以中，因为I）在77sin?BAD?sin(?ADC??B)所以?sin?ADCcosB?cos?ADCsinB3333114?????
142727ABD?中，由正弦定理得（Ⅱ）在338?BAD?AB?sin14?3BD??，
ADB?sin347
?ABC中，由余弦定理得在．
222?2AB?BC?BC?cosACB?AB
122?2?8?55???849?2AC?7所以（16）（共13分）
解：
（I）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。
ABAB，A,B则独立。 C=
32,P(?B)?)P(A. 根据投篮统计数据，55P(C)?P(AB)?P(AB)
3322????555513?25所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的13. 概率为25EX?x. （Ⅲ）
14分）（17）（共解：DEAB∥AM的中点，所以。I）在正方形中，因为B是（?AB，又因为平面PDE AB所以，∥平面PDE?ABABF FG?PDF平面ABF平面，且平面，因为
AB FG∥。所以z
AE?PAPA??ABPA.
底面ABCDE,所以（Ⅱ）因为，P Axyz则,如图建立空间直角坐标系
yGF(0,0,2)(0,0,0)PA(0,1,1)B(1,0,0)C(2,1,0)F,
,,,,HED(1,1,0)?BC.CABxM)zn?(x,y,设平面ABF的法向量为，则
?0,n?AB?0,x???即??0.??zy0,?n?AF???
1?1,y?z??0,1,1n?(以，为，BC设直线与平面ABF所成角a,则所令。则
1BCn???,BCsina?cosn。2BCn
).wv,(u,设点H的坐标为。
??1),?PC(0?PH?，H在棱PC 上，所以可设因为点????2?2,v??,?u,v,w2)?u(2,1,?2).?2w(。所以即。
???0),2?1,1)(0,??(22,?0??nAHn，即因为是平面ABF的法向量，所以。2242??).,(,解得。，所以点H的坐标为
3333442222PH??2)((()?)??所以333
（18）（共13分）
解：
f(x)?xcosx?sinx得I（）由
f'(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx。
????0,)(0,)xf'()xf(0sinx??x上单调递减。因为在区间，所以在区间上??22??
f(x)?f(0)?0。从而sinxsinx?a?b sinx?0bx?0sinx?axx?0?””““。（Ⅱ）当”等价于“”等价于“时，
xxg(x)g'(x)cx??sinx?cosx?c，，则令?)?(0,x0)?g(x0?c恒成立。当对任意时，2????0,)(0,x?)xgx)(g'(0?1c?cx??cos上单调递减。，所以在区间当时，因为对任意，??
22???)(0,x?)g(x0?g(0)?恒成立。对任意从而2?)(0,x?g'(x)?cosx?c?01c?0?。当时，存在唯一的使得0002?)(0,))g'(xg(x与在区间上的情况如下：2