数学建模A题

承诺书

我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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我们的参赛报名号为：

参赛组别（研究生或本科或专科）：本科

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2.

3.

日期：2015 年 5 月 3 日获奖证书邮寄地址：邮政编码：

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参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：

2152#

题 目 不确定条件下的最优路径的搜索模型

摘 要

本文以一般交通网络图为研究对象，在每条路径中每个路段的行驶时间的均值和方差已知的基础上，构造最优路径可靠性模型，保证相同高的概率到达时行驶总时间最短，然后把时间相关性和空间相关性融入建立的模型中，层层求解。最后根据所建立的模型分析算法，得出最优路径。

针对问题一，考虑到在现实中从起点到中间的路径错综复杂，且每条路径的路段数量不确定，我们绘制了一般交通网络图。在已知各路段行驶时间的均值与标准差的前提下，给出最优路径的定义。基于各路段的行驶时间服从正态分布的假设下利用卷积公式，针对每条路径给出以行驶总时间为变量的正态密度函数。最后对所得函数变形处理，得到判断最优路径的数学模型，并根据模型求出示例一的最优路径。

针对问题二，首先利用卷积公式和10-规划，给出最优路径定义的条件下和给出最优路径的搜索算法，运用Matlab 和excel 从所有路径中，搜索最优路径；并将其最优路径搜索算法运用到实际问题中，简化图如图2，搜索最优路径为Q v v v p →→→→412，该路径的均值为17.77，标准差为3.66。

针对问题三，在时间相关性方面构造Copula 函数和最大似然估计函数，利用excel 软件，得到从51v v →，在00:8~00:7堵塞时00:9~00:8对其他路段的均值和标准差的影响。在空间相关性方面，构造Moren 模型和空间自相关分析，得到在一定时间下，某个路段出现交通事故，对其他相关路段的影响。结论为第8路段的均值为12，标准差为3.6。

针对问题四，赋予路段均值和方差的等权重，作为该路段的行驶参考时间，最终转化为Dijkstra 算法，求得最优路径为Q v v P →→→41，最优行驶时间为13.65。

本文逻辑严谨，切入点独到，综合运用多种模型及软件，结果可靠且多样化。

关键词：最优路径；正态分布；Moren 模型；灵敏度分析；Matlab

§1问题的重述

一、背景知识

1.中国城市交通的基本情况

近年来，经济迅速的增长和城市化进程的加快使城市人口不断增加，城市人口的大量聚集和私家车人均拥有量的激增使城市交通面临着越来越艰巨的任务，交通拥堵、交通安全、高效交通等问题一涌而出，交通问题日益严峻，从一年一度的“春运”现象就可见一斑，不仅给居民的日常生活造成了严重的影响，还制约了城市及周边城市的发展。在复杂的交通环境下，如何综合考虑多方面因素，寻找一条可靠、快速、安全的最优路径，已成为每个人所迫切解决的问题。

2.交通网

(1)交通点：交通点即通常的汽车站、火车站、道路的交叉点、机场、港口等交通结点。

(2)交通线：交通线即连接点与点的铁路、公路、水路以及航线的交通路线。

在特定的地域范围内,根据地区经济的发展和人们活动的需求，各种现代交通运输方式联合,各种交通线和交通点交织，形成了不同形式和层次的交通运输网,简称交通网。其布局受到经济、社会、技术和自然的影响和制约。

按交通运输方式分类，形成了铁路运输网、公路运输网、水路运输网、航空运输网和管道运输网。不同运输方式结合形成综合交通运输网。

3.传统的最优路径

传统的最优路径是基于理想交通状况下分析得到的平均总行驶时间最短的路径。在这种情况下每条路段的行驶时间是确定的，可以用经典的最短路算法（Dijkstra算法）来寻找最短路径。这也是大多数车辆路径导航系统寻找最优路径所用的算法。但传统路径存在相当大的弊端，在现实生活中，交通事故，天气情况，流量等一系列不确定因素都会让最优路径失去最优性。

4.最优路径的改良

不同于传统路径，改良后的最优路径把在现实生活中可能遇到的一系列不确定因素如天气、车流量等纳入考虑范围内，将每条路段的行驶时间不确定化，使其近似服从一个随机分布，建立模型，从而给出一个相对的最优路径。

二、相关数据

1．原问题第一问的示例交通网络图及其数据；

三、要解决的问题

以中国矿业大学到徐州火车站为例，假设行驶时间是随机变量，假设已知每条路段行驶时间的均值和标准差。若走绕城快速路平均33分钟到达，标准差只有1分钟，若走市区道路，平均30分钟到达，标准差15分钟。若采用传统的最优路径算法，应选择平均时间较短的市区道路，但现实往往相反。最优路径不仅要考虑平均时间最短，还要考虑不确定性条件下车辆准时到达的可靠性，在此要求下，解决下列问题：1．问题一：建立适用于一般交通网络的数学模型，定量分析车辆行驶时间的不确定性，给出在不确定条件下最优路径才定义和数学表达式，并应用于示例一。

2．问题二：根据第一问建立的模型设计算法搜索最优路径，并应用于具体的交通网络中，尽可能地从理论上分析算法的收敛性和复杂性。

3．问题三：建立数学模型描述交通行驶时间之间的相关性，将其应于前二问的最

优路径搜索中，并设计算法解决这一问题，给出算例证明其有效性，尽可能的分析算法的收敛性、复杂性等性质。

4．问题四：从不确定性条件下交通网络的实际情况出发，在合理假设下，进一步完善前三问的数学模型和相关算法。或提出一种或多种与前三问不同的最优路径的定义方法，建立相关的数学模型并设计算法，应用数值算例验证算法的有效性并尽可能从理论上分析算法的收敛性、复杂性等性质。

§2模型的假设

1．假设每条路段行驶时间服从正态分布； 2．假设每条路段行驶时间的均值和标准差；

3．已知假设所有不确定因素对行驶时间的影响都可以用均值和标准差体现；

§3名词解释与符号说明

一、名词解释

1．均值：表示一组数据集中趋势的量数，反映数据集中趋势的一项指标。 2．标准差：标准差是方差的算术平方根，能反映一个数据集的离散程度。 3．相关性：数据间的关联程度，一个数据的取值会受到其他数据的影响。

4．算法的复杂性：算法复杂性是输入规模的函数，一般为避免不同输入对算法行为造成的巨大差别，考察所有输入规模为n 的复杂性。 二、符号说明

序号 符号 符号说明 1 P 路径起点 2 Q 路径终点 3 i L 第i 条路径

4 i C 第i 条路径所用的总时间

5 i T 每条路径的第i 个路段所用时间

6 i μ 每条路径的第i 个路段所用时间的均值

7 i σ 每条路径的第i 个路段所用时间的方差

8 )(t P T T 的正态分布密度函数

9 i v 第i 交通点 10 i y 10-变量 11 F 多维分布函数 12 C Copula 函数

13

∧i θ

估计边缘分布参数

§4模型的建立与求解

一、问题一的分析与求解 1．对问题的分析

相比于传统最优路径，改良后的最优路径需要把现实中的不确定因素纳入考虑范围，对此我们将各路段行驶时间变量化，引入正态分布，首先将现实中的交通网络简化

为一般网络，基于各路段的行驶时间服从正态分布的假设，利用正态分布可加性把每条路径上的多个路段整合为一个路段。然后利用卷积公式，给出每条路径的的正态密度函数，变形得出可靠性模型，并将相同概率下及时到达的路径中用时最短的路径定义为最优路径。

定义１ 最优路径

定义在相同概率到达终点的条件下，平均行驶总时间最短的路径即为最优路径。 2．对问题的求解

⑴ 模型的准备

如下图所示，绘制如下图。不妨假设以P 为起点，Q 为终点的道路有若干条途径，中每条路径的均值与方差已知。

…

…

……

1

t 2

t n

t 1

-n t 1

t 2

t 1

-n t n

t P

Q

图1 一般路径图

设随机变量),(~2111σμN T ,),(~2

2

22σμN T 且1T 与2T 独立，则有 ),(~2

2212121σσμμ+++=N T T T 。

证明：21T T T +=仍在),(+∞-∞上取值，利用卷积公式

2

22

2

22121121]})()([21exp{21

)(dt t t t t P T ?∞

+∞--+---=σμσμσπσ

对上式被积公式的指数部分按2t 的幂次展开，合并同类项得：

222

221

2

11)()(σμσ

μ-+

--t t t =2

2

212

2122)()(σσμμ+--+-t A B t A 其中

2

2

2

11

1

σσ+

=

A ，

22

22

11

σμσμ+

-=

t B 。

代回原式可得：

2

2

222122121])(2exp[})(21exp{21

)(dt A B t A t t P T ?∞+∞

---?+---=σσμμσπσ

利用正态密度函数的正则性，上式的积分应为

A

π

2，于是

})(21exp{)(21)(22

212

212221σσμμσσπ+---+=

t t P T

这正是均值为21μμ+，方差为22

2

1

σσ+的正态密度函数，有下式成立：

),(~2

2212121σσμμ+++=N T T T 。

下用数学归纳法证明：

对于任意n ，有下式成立：

∑∑∑===n

i n i n

i i i i

N T

1

1

1

2),(~σμ。

当2,1=k 时，显然成立。 假设当k n =时成立，即为

∑∑∑===k

i k i k

i i i i

N T

1

1

1

2),(~σμ，

则对于当1+=k n 时，

∑+==11

k i i T T

121211121

2

122221])()([21exp 21)(1+∞∞-+++==++?∑∑??????????????-+---++=k k k k k i i k

i i k k k T dt t t t t P σμσμσσσπσ 同样对于上式函数中指数部分按照1+k t 展开可得：

1211121

1

2121})(2exp{)(21exp 21)(+∞∞-++=+=+?∑∑--??

????????????--=k k k i i k i i k T dt A B t A t t P σμσσπσ

其中

∑

+==1

121

k i i A σ

2

1

1

1

2

1

++==+

-=

∑∑k k k

i i

k

i i

t B σμσ

μ。 于是

??????????????--++=

∑∑+=+=+1121

1221222)(21exp )(21)(1k i i k i i k T t t P σμσσσπ

即当1+=k n 时成立。 综上，得证。

⑵ 模型的建立与求解 ①模型的建立

模型Ⅰ 最优路径的可靠性模型

假设到达终点的概率为p ，由卷积公式知某路径),(~1

1

2

∑∑==k

j k

j ij

ij i N L σμ，k 为路径i L 的路段数。对其进行标准化处理，可得下式

p C k

j ij

k

j ij i =-Φ∑∑==)(

1

21

σ

μ

可解得

∑∑==+=k

j ij

p

k

j ij i u C 1

21σ

μ

比较i C ，得到{}n C C C 2

1

m in 所对应路径即为最优路径。

②模型的求解

不妨取到达终点的把握性p 为0.9015，对应附录，查表可知对应分位数2.1=p u ，

??

???=-Φ=-Φ9015

.0)1530

(9015

.0)133

(2

1C C 化简得：

2.34331*2.11=+=C ，483015*2.12=+=C 。

故选取1C ，即均值为33，标准差为1的绕城快速路为最优路径。 ③最优路径的不确定性的分析

从起始点到终点的每段路径的所需时间为i c ，由于i c 是随机的，所以每个路段所用

时间对应的概率为)(i

i

i

i c p σμ-Φ=，由于10<

由于从起始点到终点道路的复杂性。由上我们已经给出不同路径给出最优路径的最优方法。故本题所要考虑的主要问题即为给出已知各路段的情况下，给出求出所有路径的一般算法，然后根据第一问结论，得出最优路径。 2.对问题的求解

⑴最优路径的算法设计 ①算法的文字表述

设从起始点到终点总共有2+n 个交通点，除去起始点和终点还剩下n 个，以下为最优路径的搜索步骤： 第一步：

从起始点，寻找与起始点直接相连的交通点，设交通点为{}k v v v ,,,21 ，起点到其各个交通点的0-1变量为k y y y ,,,21 ，则121=++k y y y 。 第二步：

在第一步的

{}k v v v ,,,21 的k 个交通点中，逐个寻找相邻交通线的条数，如果

{}k v v v ,,,21 中的点j v 相邻边数为j k 条，则∑==j

k k k

y 1

2。

第三步：

重复做第二步，直到到达与终点相邻的边的条数时，与第一步类似。 第四步：

导出关于非齐次线性方程的通解，但由于k y 是0-1变量只取值于0或者1，所以存在有限个解使得起点到终点单线联通。 第五步：

将上步找到各个若干条单联通线，带入到第一问所给的数学表达式中，通过比较时间大小即得到了最优路径。 ②算法的方程表示

将上述步骤用非齐次线性方程可以表示为：

??

?

?

?????

?

?=++===++-==∑∑1

221

121

211121n s s k k k k k y y y y v y v y y y j

j 终点的约束：的约束：的约束：起点的约束： 其中，k y y y ，，

， 21为与起点相连接的0-1变量， ?

?

?=，该路径不选择此路；该路径选择此路；0,1i y ）（n i 3,2,1= 121=++k y y y 起点的约束条件说明的是从起点开始到相邻的点只选择一条路，1

v 的约束∑==1

12k k y 说明的是每条路径经过每一交通点时，有且只选择两条路段。终点的约

束:11=+++-n s s y y y 说明的从相邻的点只选择一条路到终点。其中n s s y y y ,,,1 -是与终点相连接边的个数，j j j n ,,2,1 为各个节点相邻的边的个数。 ⑵ 该算法实际交通中的运用

交通网络图简化如下：

图2 交通网络简化图

利用⑴中算法结论，可得如下非齐次线性方程组

1

v 2

v 3

v 4

v 5

v 9(2.6)

8(1.7)

5(0.8) 12(3.6)

6(1.2) 10(4.3)

5(3.7)

3(2.1)

10(5.3)

6(3.0)

7(2.9)

8(2.6)

p

Q

???

???

??

???

?

?===+=+++=+++=+++=+++=+++=+;123,2,110;2;2;2;2;2;2;112111211975111084498653763225431121）（或点约束：点约束：点约束：点约束：点约束：点约束：点约束： i y y y Q y y y y v y y y y v y y y y v y y y y v y y y y v y y P i

求解具体过程步骤见附录程序一。

最后得出在到达终点的把握性p 为0.9015时，21L 为最优路径。即最优路径如下：

Q v v v p →→→→412。

⑶分析算法有效性，收敛性

算法的有效性分为两个方面，第一是算法的正确性；其二还必须考虑执行算法所消耗的时间和执行算法所耗费的空间（主要是指辅助空间），以及算法是否易读，易编码和易于调试。

三、问题三的分析与求解 1．对问题的分析

对于路段的不确定性，由上第一问与第二问我们探讨知，我们给出了在只考虑一般道路状况下（此处道路交通状况不包括对行驶时间造成较大影响的情况）给出了一般最优路径的求解一般算法。对于问题三，我们主要将交通事故、恶劣天气、突发事件等考虑在内，并从时间相关性和空间相关性两个方面。并利用控制变量法，即在考虑该路段时间相关性时，不考虑空间相关性对其造成的影响。分析空间相关性时，不对时间相关性加以考虑。 2．对问题的求解

⑴模型的准备

时间相关性和空间相关性的定义如下：

①时间相关性：对于路段a ，不同时间段的相关性，例如7:00-8:00 和8:00-9:00 之间的相关性。

②空间相关性：同一个时间段(例如7:00-8:00 之间)，路段a 和路段b 的相关性。 ⑵模型的建立与求解 ①时间相关性

下面引入Copula 函数对时间相关性进行描述。Copula 可以解释为“相依函数”或“连接函数”，是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。下面首先引入Sklar 定理。 Sklar 定理：

假设一个多维分布函数F 的边际分布函数为：

),()(),(),(321????n F F F F

则存在一个Copula 函数C 满足：

))()(),(),((),,(321321????=n n F F F F C x x x x F

如果)()(),(),(321????n F F F F 是连续的，则Copula 函数是唯一确定的，反之亦然。由这个定理可以推出当确定了多个路段行程时间边际分布和选定一个合适的Copula 函

数后，就可以方便地计算出这些路段行程时间的联合分布，这正是Copula 函数在实际中解决交通网络行程时间可靠性的优势所在。Sklar 定理的数学表达如下： =),,(321θ；n x x x x f

=

∏=n

i i i i c n n n x f x F x F x F x F c 1333222111),()),(),(),,(),,((θθθθθθ； ∏=n

i i i i c c n x f u u u u c 1

321),()),,(θθθ；；

其中=))()(),(),((332211n n x F x F x F x F c

)(,),()()())()(),(),((332211332211n n n n x F x F x F x F x F x F x F x F C ?????

),,(321θ；n x x x x f 为具有参数θ的联合概率密度函数；)(i i i x f θ；为具有参数

),,2,1(n i i =θ的边缘分布函数。根据Copula 函数的相关理论，可以运用两阶段法构建Copula 模型。第一阶段，确定边缘分布；第二阶段，选取一个适当的Copula 函数，以便能很好地描述出随机变量之间的相关结构。

Copula 模型的参数估计可以采用极大似然估计法和矩估计法。其中极大似然估计是最常用的Copula 模型的估计方法。采用极大似然估计法，Copula 模型的参数估计可以分为两步：

Step1：估计边缘分布参数

∑==T

t i it i i

x f 1),(ln max arg ?θθ Step2:估计Copula 函数中的参数

∑==T

t c n nt t t t c

x F x F x F x F c 1332211))?,(,),?,(),?,(),?,((ln max arg ?θθθθθθ； 即，首先估计出边缘分布函数的参数i θ，然后利用估计值i θ?作为已知数代入Copula

模型中，进而得到Copula 函数中参数c θ的估计值c

θ

?。 本题中，当考虑路段间行程时间相关性时，计算路径行程时间可靠性便不能够通过

简单的串联关系得到，即路径的行程时间概率分布函数不再是各路段行程时间的概率分布函数的乘积。此时需要利用Copula 函数推导出路径行程时间的随机分布函数，然后再利用路径的行程时间可靠度定义计算出路径行程时间可靠度。

已知假设为路段行程时间分布符合参数为），（σμ的对数正态分布。其概率密度及累计分布函数分别为

??

???>>-=---其他00)

(21)(02))(ln(02

2

a t t a

T t t e t t t f a a σμσπ ?----=t

t t t a

T a

a dt e

t t t F 0

2

2

2))(ln(0

)

(21)(σμσπ

其中：0

a t 为a 的自由行驶时间。

如果起点P 到Q 终点中路段41v v →路段出800~00:7现重大交通事故，就是说此路段的均值和方差瞬间变得充分大，可以看作此路断路，下面我们做九条路段1v P →，2v P →，21v v →，31v v →，32v v →，52v v →，43v v →，53v v →，54v v →在时间

00:9~00:8内除此路段外其他路段的通行时间和标准差。

表1 各路段参数值

路段

参数估计 假设检验

μ

? σ? 均值 方差 自由度)1(--r k 2?χ )1(2

05.0--r k χ

Link1 4.171 0.147 9 2.6 7 5.981 14.067

Link2 4.295 0.097 8 7.1 7 2.563 14.067 Link3 2.788 0.077 5 0.8 5 8.565 11.071 Link4 2.865 0.085 10 4.3 6 10.364 12.592 Link5 2.862 0.090 5 3.7 7 8.973 14.067 Link6 2.469 0.050 12 3.6 4 1.456 9.488 Link7 2.983 0.058 3 2.1 6 2.716 12.592 Link8 2.956 0.064 10 5.3 5 3.283 11.071 Link9 2.658 0.070 6 3.0 6 6.162 12.592

从检验结果可以看出，各个路段行程时间分布的)1(2

05.02--

绝原假设，即认为各路段时间服从正态分布。程序见附录程序二。

图3 路段一行驶时间分布拟合曲线

图4 路段二行驶时间分布拟合曲线

图6 路段四行驶时间分布拟合曲线

图6 路段五行驶时间分布拟合曲线

图7 路短七行驶时间分布拟合曲线

采用最大似然估计方法得到最大似然估计，得出下表：

表 2路段的参数值

路段μ?σ?实际均值实际标准差均值残差平方标准差平方和Link1 11.8 3.3 9 2.6 7.840.49

Link2 8.8 2.8 8 2.6 0.640.04

Link3 5.2 1.1 5 0.8 0.040.09

Link4 11.4 4.1 10 4.3 1.960.04

Link5 7 3.9 5 3.7 40.04

Link6 11.6 3.8 12 3.6 0.160.04

Link7 3.3 2.9 3 2.1 0.090.64

Link8 12.8 4.1 10 5.3 7.84 0.81 Link9 5.5 3.8 6 3.0 0.25 0.64

路段中断对其他路段的影响

246810

12141

2

3

4

567

8

9

路段标号

所需时间

估计值实际值

图 8路段时间均值的影响

由上图可以看出，当如果起点P 到Q 终点中路段41v v →路段出800~00:7现重大交通事故，就是说此路段的均值和方差瞬间变得充分大，可以看作此路断路，下面我们做九条路段1v P →，2v P →，21v v →，31v v →，32v v →，52v v →，43v v →，53v v →，54v v →在时间00:9~00:8，通过各个道路所需的时间都有明显的上升趋势，但是可以看出唯独最后一条，却有减少的现象，观察该道路的特点可知，该路段的均值为12，标准差为3.6，途径改路耗时长，易于拥堵，所以人们绕路，导致该路段比平时要畅通，与直观感受相符合。

对各路段标准差的影响

12345

61

2

3

4

567

8

9

路段标号

均值影响

系列1系列2

图9 各个路段标准差的变化

如果起点P 到Q 终点中路段41v v →路段出800~00:7现重大交通事故，就是说此路段的均值和方差瞬间变得充分大，可以看作此路断路，下面我们做九条路段1v P →，2v P →，21v v →，31v v →，32v v →，52v v →，43v v →，53v v →，54v v →在时间

00:9~00:8可以看出该路段均值为3，标准差为2.1，也就是说该路段耗时较少，但是

易于拥挤，所以人们更愿意选择路径耗时较少的路通行，所以人们不会选择该路通行，因而该路会忽然之间变得畅通无阻，这与图中所给的标准差骤减相符合。 ②空间相关性：

空间相关是根据位置相似性和属性相似性的匹配情况来测度的。位置的相似可通过空间接近性矩阵或权重矩阵w 来描述，而属性值的相似一般通过交叉乘积j i x x 或平方差异2)(j i x x -，或绝对差异j i x x -来描述。若存在正空间自相关，则在近邻的空间位置上属性值的差异小；若存在负的空间自相关，则近邻的位置上属性值的差异大。此外空间自相关程度各不相同，其强度是可测度的。强的空间自相关意味着近邻对象的属性值高度接近，而无需考虑是正值还是负值。空间自相关的测量是建立在空间单元相邻与否的二元逻辑基础上的。按照这一定义，邻边的结构由10-来表达：空间相邻指2个空间单元共有非零长度的边界，从而赋予1的空间贴近度。通常定义一个二元对称空间权重矩阵w 来表达，n 个位置的空间区域的邻近关系，其形式如下：

??

???

?????=nn n n w w w w W 1111

式中：ij w 为区域i 与j 的邻近关系，它可以根据邻接标准或距离标准来度量。

2种最常用的确定空间权重矩阵的规则： 1)简单的二进制邻接矩

??

?=其他相连接和当区域01j i W ij

2)基于距离的二进制空间权重矩阵

??

?=其他时的距离小于和当区域01d j i W ij

从上面的分析可以明显地看出，对于一个线性路线上任何集合的行个部分，将会有）

（12-n 个连接。 模型ⅡMoran 模型

Moran 模型其表达式如下

∑∑∑∑∑---?

=2

)())((X X X X X X W W n I i j i ij ij

式中：n 为研究对象的数目，i X 为观测值；X 为i X

的平均值，sI Moran '的期望值为：

11

)(--

=n I E

方差为：

)

1()()(3)(222

212-+-=

∑∑∑∑n W W nS S n I Var ij

ij ij

ij

式中：

∑∑+=

ij

ji ij W W S 21)(21

；

2

2)

(∑∑∑+=i

i

j

ji ij W W S

本文使用的空间自相关统计量由sI Moran '衍生，即以近似正态假设为前提对所计算

出的sI Moran '

值进行标准化，得到检验统计量Z 。根据Z 值对原假设“变量在所讨论的空间区域上呈随机分布”得到检验统计量Z 。然后根据Z 值对原假设进行检验，以判断空间自相关是否存在。检验时取显著性水平10.0=α (双侧检验)。其中：

2/1)](/[)]([I VAR I E I Z -=

当Z 值为正且显著时，表明存在正的空间自相关，也就是说相似的观测值(高值或低值)趋于空间集聚；当Z 值为负且显著时，表明存在负的空间自相关，相似的观测值趋于分散分布；当Z 值为零时，观测值呈独立随机分布。 下给出例子加以说明：

图10各路段交通事故图

246810

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A路段/km

事故数/起

图11 A 路段交通事故折线图

246810

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B路段/km

事故数/起

图12 B 路段交通事故折线图

C

246810

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C路段/km

事故数/起

图13 C 路段交通事故折线图

D

246810

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D路段/km

事故数/起

图14 D 路段交通事故折线图

E

246810

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

E路段/km

事故数/起

图15 E 路段交通事故折线图

通过计算得到这5个路段上的事故空间自相关指数，结果如下表

表3路段自相关指数

路段 sI Moran ' Z A 0.667 2.63 B 0.467 1.95 C -0.111 0.00 D -0.444 -1.13 E

-0.978 -2.93

从上表可以看出，在0.01显著性水平（58.2 Z ）下，A 为正自相关，E 为负自相

关；在0.05显著性水平（96.1=Z ）下A,B 为正自相关，D,E 为负自相关；C 为非自相关。

正自相关在公路上相邻的路段具有相似的事故几率。可以表明这一路段上的某些因素(如天气或设计因素等)与相邻路段事故的增加有着因果关系。负网络自相关可以表明公路上相邻路段有着不同事故率的趋势。这是由分析得出的结果，但在观察试验中却很少发生，除非所在其他的路段上都有一个出口或通道，能在那些路段上造成额外的事故。故在对已知路段事故数考察以后即可的出交通道路的空间相关性。 四、问题四的分析与求解 1．对问题的分析

由于从起点到终点每个路段都是随机的，从实际来看从起点到终点所需时间越短越好，但是有时不得不考虑图中的随机因素，既要考虑途中所耽搁的时间，如果我们将均值和方差去权重即反映了个人的行程偏好不同。 2．对问题的求解

①最优路径新定义

在均值方差一定的权重下，均值方差在各自权重下的和即为路段的时间，从起点到终点总时间最小的路径即为最优路径。 ②最优路径的搜索 由①知：

?

?

?=+=+1,,2,1,2121λλσλμλn

i i i 下面可以将其转化为标号算法

5.8

4.85

2.9

7.15

3.6

4.35

7.85.05

7.65

4.5

4.95

5.3

图16标号算法初步

利用标号算法求解过程见附录二。由上标号算法知最优路径为：

Q v v P →→→41

所用行驶时间为13.65。由此可见，不同评判标准下所得到的最优路径不同，且这种“最优路径”是由个人喜好所决定的。

§5灵敏度分析

一、灵敏度分析

①对方差一定不同概率下的分析:若将第一问的小问题中，从环城快速路由概率保证下所需时间为为111σμp u t +=； 从城区路所需时间为222σμp u t +=。

表 4正态分布的分位数

数据 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 概率 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 位数 0 0.13 0.26 0.39 0.53 0.68 0.85 1.04 1.29 1.65 可以看出概率随着分位数的增大而增大，运用matlab 作出有关于21t t 和的图像为程序见附录程序三：

02468

101214161820

30

35

40

45

50

55

p 分位数

条件保证所需时间

不同路径的时间

快速路城区路

图 17条件保证的时间图

由以上途中可以看出，两条道路无论是当到达终点的概率提高时，所需时间都有增加的趋势，但是选择城区路有着随着概率增加有着明显的增加趋势，随机性太多，途中耽搁时间也多。很有趣的发现在概率为0.57时，从两种途径到达的时间是一样的，但是当到达终点的概率低于0.57时，应该选择城区路，博取一下道路无拥堵的机会，但是，当概率要求很高时，应该选择快速路，减少途中随机因素的干扰。

也由此，可以到到多个路段随机因素服从正态分布的路段，通过卷积公式，合成一条路径，也满足上述灵敏度分析。

§6型的评价与推广

一、模型的优点

1．相比于传统的解决最优路径的Dijkstra 算法，最优路径的可靠性模型把不确定性因素纳入模型中，使模型更现实化，所得结果更实用；

2．Moren 模型不仅考虑到每个路段的行驶时间的随机性，还考虑到相邻路段之间的相关性，比模型一进一步提高了最优路径的可靠性。 二、模型的缺点

1．在构建模型时，对问题进行多次假设、简化，导致最终结果存在误差，使得模型的实用性减弱；

2．模型的检验和算法的分析缺乏大规模数据的参与，使得所得结果具有片面性。 三、模型的推广

本文所建立的模型一和模型二不仅适用于最优路径的选择，也适用于物流方案的调

整，航空运输业最小费用的优化。

参考文献

[1]胡运权等，运筹学基础及应用（第六版），北京：高等教育出版社，2014.2.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程，北京：高等教育出版社，2011.2.

[3]张志涌，杨祖撄等，MA TLAB教程：R2012a，北京：北京航空航天大学出版社，2010.8

[4]万永福等，数学实验教程：Matlab版，北京：科学杂志社，2006

[5]杨桂元，朱家明，数学建模竞赛优秀论文评析，合肥：中国科学技术大学出版社，2013.9

12年全国数学建模大赛A题获奖作品

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理. 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）: 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）: 所属学校（请填写完整的全名）: 参赛队员(打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): 日期: 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）: 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）: 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:

基于统计分析的葡萄酒评价模型 摘 要 本文针对葡萄酒评价问题, 指出了两组评酒员评价结果差异, 给出了更可信的小组,根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量确定了酿酒葡萄的分级, 然后建立了酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的回归方程组, 得出了酿酒葡萄和葡萄酒理化指标对葡萄酒质量影响的方程, 最后论证了葡萄酒质量不能完全用这两种理化指标评价. 问题一:首先对两组评酒员打分数据进行预处理,采用了两个独立样本的非参数统计方法进行Mann-Whitney U 检验,证明了两组评酒员评价结果存在显著差异,并通过比较两组打分样本的方差,异常值点等离散型度量,认为第二组的评价结果更加合理. 问题二:首先选取能代表所有葡萄理化指标的变量,利用聚类分析法验证了所选变量具有代表性,然后通过主成分分析得出每种葡萄的理化指标综合得分,依据综合得分将酿酒红葡萄分为3类、白葡萄分为5类,并根据每一类中葡萄所酿造的酒的质量确定该类葡萄的等级. 问题三:应用SPSS 软件,利用回归分析方法建立了酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的回归方程组. 问题四:首先利用Matlab 软件对酿酒葡萄和葡萄酒理化指标运用功效系数法进行无量纲量的转换,综合考虑这两方面因素,得到一个关于量化指标的综合指数,最后将葡萄酒质量作为因变量,量化综合指数作为自变量,利用回归分析方法建立两者的联系,得到回归方程为121317105.001.010*302.9171.10N N N M +-+=-,证明了葡萄酒质量不能完全用这两种理化指标评价. 关键词: Mann-Whitney U 检验 聚类分析 主成分分析 回归分析 功效系数法

全国数学建模a题解析

承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。 问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出 。 所求速度33 ?? (=1.692210m/s,=1.613910m/s) v v 远 近 采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM) E。 问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。 问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角?,给?增加或减小一个角度?,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。 关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省

数学建模2016A题

实用标准文档 承诺书 参赛队员 (打印并签名) ： 题目系泊系统的设计问题分析 摘要 本文主要研究在风力和海水的作用下，钢管与浮标的受力平衡问题。根据钢桶和钢管分段受力分析，对于锚链结合悬链线法进行求解，进一步可推知其他解。 对于问题一：该题通过对整个系统的各部分进行受力分析并结合悬链线模型来进行解答，首先是假设锚链没有被拉起甚至当风速较小的时候有部分拖地，然后求解锚链与海床的夹角刚好开始从零增大的情况得到临界值为26.47m/s，证明假设成立即可建立悬链线锚角为零的特殊模型求解。 对于问题二：在第一问的基础上使用模型列出方程组进行求解得到第一小问结果，再通过改变重球的重量比较各倾角的变化来得到一个重球重量的范围。 对于问题三：由于从静态的海水转化为有水流速度的动态海水系统，所以在问题1和问题2所建立的模型中要附加一个近海水流力。通过对浮标、钢管、钢桶的受力分析及递推原理和锚链的悬链式方程，得到锚链型号Ⅰ-Ⅴ在临界条件为1.5928下重物球2887.107、2794.959、2661.586、2491.84、2282.809及形状。 关键词受力分析、悬链线、线性规划、非线性方程组、近海水流力

系泊系统的设计问题分析 一．问题重述 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 综上所述，我们需要解决以下问题： 1.某型传输节点选用II型电焊锚链2 2.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 2.在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 3.由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 二．问题背景与分析 2.1背景分析 系泊系统由浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、以及特制抗拖移的锚组成，其测量系统安放在钢桶里面。测量设备需要正常工作，钢桶的倾斜角度这一个条件首先要满足，然后要确保吃水深度和浮标的游动区域要尽可能的小。浮标的吃水深度与潜在海水中的重物球、钢管、钢桶、锚链、以及特制的锚对锚链向下的拉力直接相关。

2012年数学建模A题优秀论文

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：S55001 所属学校（请填写完整的全名）：郑州科技学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 刘超 2. 赵芬芳 3. 尹峰 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：闫天增 日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

葡萄酒的评价 摘要 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。本文通过对27种红葡萄酒和28种白葡萄的理化指标数据进行分析，采用显著性差异分析法、可靠度分析、因子分析法、相关系数分析、主成分分析法以及聚类分析法，借助统计软件SPSS和数学软件MATLAB，分析了两组评酒员的评价结果有无显著性差异和可信度，给出了酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，建立了基于酿酒葡萄理化指标和葡萄酒质量的聚类分析模型确定了葡萄酒质量的影响因素，最后通过补充相关信息，建立基于分析模型确定了葡萄酒质量的影响因素。 针对问题一，首先对所有样品的10位评酒员打分的加权平均值进行显著性差异检验，显著性水平取为0.05，通过两组评酒员分别对红葡萄酒和白葡萄酒的显著性检验得出两组评酒员的评价结果有明显差异，最后运用可靠性分析，得到两组评酒员的评价结果的可靠度，结果表明第二组评酒员的评价结果更加可信。 针对问题二，以第二组评酒员的评价结果作为相应葡萄酒样品的质量指标，根据酿酒葡萄理化指标对比葡萄酒的质量利用SPSS软件进行聚类分析，得到酿酒葡萄的聚类树状图，从而将酿酒葡萄分成5个等级。 针对问题三，对葡萄酒的理化指标进行主成分分析，得到葡萄酒的主要成分，然后将每一个主成分与酿酒葡萄的理化指标进行多元回归分析，根据SPSS软件运行结果得出主成分与酿酒葡萄的理化指标的相关性。 针对问题四，利用因子分析分别给出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响因素，将附件3中4个表格里的每张样品中所含各种芳香物质求和作为样品中的芳香指标与葡萄酒的理化指标一并进行因子分析，比较前后两者结果中由样品中的芳香指标导致的影响差异来确定不能只用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，还需要结合感官指标，感官指标是评价葡萄酒质量的最终及最有效的指标。 关键词：理化指标主成分分析法可信度分析显著差异聚类分析芳香物质

2012年数学建模A题范文

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

2012年数学建模大赛A题解题思路

首先纠正一下对于数学建模的看法，数学建模重要的是一种数学思想，即使是没有牢固的数学根底，一样可以在建模的赛场上大放异彩。 下面先把试题读一下，个人认为的重点词汇已经标出出来。（不要盲目听从任何人所谓的专家建议） A题葡萄酒的评价 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒 员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡 萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒 葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某 一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的 和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？ 附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格） 附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格） 附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格） 解题思路： 1、众所周知，对于同一事物的评价，如果大家的意见越一致，那么评 价的可信度就越高。所以对于问题1的解题思路也就清晰明了了。

我们可以通过离散度（所谓离散程度，即观测变量各个取值之间的 差异程度。它是用以衡量风险大小的指标。）这一概念来对每一组评 酒员作出的评估作出风险分析。显而易见的是若风险评估的值越高，这组评酒员的评价就存在问题了。若风险评估值大小相当，这说明 这两组评酒员是没有明显差异的。 2、题目中要求对葡萄作出评级。看起来似乎没有思路，那么我们可以 动一下我们的小脑筋。既然对于评级我们没有参考标准，那么我们 可以参考评酒员的评价。即使用逆向思维，从评酒员的评分发出， 那么大体上葡萄的分级基本上就能确定下来，根据确定先来的葡萄 分级进行逆推，就可以得出结论。 3、对于这个问题，最直观也是最基本的思路就是看两者之间的趋势。 （作出两者的趋势图）。通过对趋势图的直接观察，两者之间的大体 关系即可确定，然后根据曲线拟合的方法可得出两者间的函数关系。 4、对于问题4的这中学术中称之为白痴型问题，大家肯定一眼就能得 出结论，那就是肯定能用理化指标来评价葡萄酒的质量。但这里有 个前提，就是先分析葡萄和葡萄酒理化指标之间的关系，显然这是 解题的关键。对于这种大量数据的问题，只要通过计算机实现，基 本上不要考虑认为分析，因为在浪费大量时间的前提下基本上不会 得出结论。言归正传，谈一下解题的关键点或者是捷径，可以通过 附件一种的数据来作出评价。至于具体的方法，因为只是初步的讲 解还未作出具体判断。估计会在后续的评论中作出判断。 谢谢大家，小马过河预祝大家考出理想成绩。

数学建模A题

截排vs清源 摘要 本文讨论了在生态环境建设和治水工作中的“截排”和“清源”措施选择问题并基于政府治污的“一、三、五、八年目标”进行合理性评估. 针对问题一：量化分析雨污“分流”与“混流”收集机制对污水处理系统以及海绵城市建设的影响.我们主要运用了COD浓度分析法分析对设备损耗程度的影响以及对污水处理过程中的耗能进行分析 来判断“分流”与“混流”对污水处理系统的影响.最后我们收集海绵城市的定义，具体分析了“截排”和“清源”对建设海绵城市的影响. 针对问题二：给出区域治污时实施“截排”、“清源”措施的判定条件.所谓“截排”措施，是于治理区域的排水管网末端建设拦截管道或箱涵，将雨、污混合水收集起来送至污水厂处理.对于“截排”措施，我们运用污水的三级处理模型，再根据污水处理厂的运行成本和污水处理量用MATLAB拟合其关系，得到污水处理厂运行成本，再加上污水处理厂建设费用以及设备损耗费用得到“截排”措施的总费用.所谓“清源”措施，则是力图从源头起建立“雨污分流”排污机制，在治理区域内以两套管网分别收集污水和雨水，让污水经污水管进入污水厂处理，让雨水经排洪口直接进入河道，使城市处于一种理想的污水治理状态.对于“清源”措施，我们主要考虑排水管网建设

的管道长度、单位长度所需成本和整治河道长度、单位长度整治费用，进而得到“清源”措施的总费用.比较“截排”和“清源”的总费用，花费较少者即为选定方案. 针对问题三：将深圳某一区域带入问题二中具体分析，判断方案中的总费用，给出污水治理建议方案.然后通过计算对政府治污的“一、三、五、八年目标”进行合理性评估. 关键词：COD浓度分析法；污水的三级处理；海绵城市建设. 一、问题的重述（问题的提出） 1.1背景 随着经济的高速发展，水资源的污染情况日益严重过，甚至到了让人触目惊心的地步，首先是污水排放，各种工业废水 以及城市生活废水的肆意排放，已经严重影响到了主要江河湖 泊等流域的水质，对我们的生存造成了严重的影响.对此，必须 采取适当的措施，缓解并改善水污染现象. 目前深圳市高度重视生态环境建设和治水工作，计划在未来五年安排一系列的治水提质项目，并将采取一系列有力措施，实现“八年让碧水和蓝天共同成为深圳靓丽的城市名片”. 1.2问题 （1）尝试构建深圳治水提质工程数学模型，量化分析雨污“分流”与“混流”收集机制对污水处理系统以及海绵城市的 建设的影响. （2）在既能达到治污要求，又能尽量节省开支的原则下，给出区域治污时实施“清源”与“截流”的判定条件. （3）选定深圳一区域给出污水治理的方案，并基于政府治污的“一、三、五、八年目标”，进行合理性评估. 二、问题的分析

数学建模A题

2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3：

2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）： 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 数学课程的成绩分析 摘要 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。 问题一针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel工具得出各门功课的平均值、方差

进行比较分析。 问题二针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，可以运用平均数、方差进行 比较。并对两专业的数学成绩进行T检验，进一步分析其有无显著性差异。 问题三针对各班高数成绩和线代、概率论成绩进行散点图描述建立一元回归线性模型，然后对模 型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。 关键词：平均值方差 T检验一元回归线性模型置信区间 残差 excel matlab 一、问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？ （3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？ （4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习方面的看法。 二、模型假设 1.假设附件中所给的数据为学生真实考试成绩（由于数据的来源要符合真实可靠的原则）； 2.每位学生的成绩之间是相互独立的； 3.同一个专业不同班之间学生的成绩是相互独立的； 4.假设显著性水平是a=0.05; 三、符号约定 X：甲专业高数平均成绩 Y：乙专业高数平均成绩 ：回归系数 ：回归系数 四、问题分析 问题一分析：比较两个专业成绩是否有明显差异可以通过分别求出各自的成绩平均值以及方差等方法，并画出柱状图来形象表示。 问题二分析：比较两个专业数学水平可以在平均值与方差的基础上进行T检验，从而得出结论。 问题三分析:根据处理后的数据分析高数成绩对其他两科的影响，首先根据数据画出散点图进行模型建立，再用matlab进行回归分析，求出回归系数并分析模型的残差，对模型进行改进直至得到较为满意的模型；并根据模型对问题进行分析得出结论。

2003年数学建模A题

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题 SARS的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。 （3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

2012年数学建模A题资料

（一）葡萄酒观察方法 1 酒液总体观察 1.1 澄清度观察 衡量葡萄酒澄清程度的指标有透明度、浑浊度等，与之相关的指标还有是否光亮、有无沉淀等。优良的葡萄酒必须澄清、透明(色深的红葡萄酒例外)、光亮。 a.澄清：是衡量葡萄酒外观质量的重要指标。澄清表示的是葡萄酒明净清澈、不含悬浮物。通常情况下，澄清的葡萄酒也具有光泽。 b.透明度：表示的是葡萄酒允许可见光透过的程度。 红葡萄酒如果颜色很深，则澄清的葡萄酒也不一定透明。 c.浑浊度：表示的是葡萄酒的浑浊程度，浑浊的葡萄酒含有悬浮物。葡萄酒的浑浊往往是由微生物病害、酶破败或金属破败引起的。浑浊的葡萄酒其口感质量也差。 d.沉淀：指的是从葡萄酒中析出的固体物质。沉淀是由于在陈酿过程中，葡萄酒构成成份的溶解度变小引起的，一般不会影响葡萄酒的质量。 1.2 颜色观察 葡萄酒的颜色受酒龄影响，新红葡萄酒由于源于果皮花色素苷的作用，通常颜色鲜艳，为紫红色和宝石红色，带紫色色调；在葡萄酒的成熟过程中，丹宁逐渐与游离花色素苷等结合而使成年葡萄酒带有黄色色调。瓦红或砖红色为成年红葡萄酒的常有的颜色，而棕红色则为在瓶内陈酿10年以上的红葡萄酒的颜色。因此，可根据颜色，判断葡萄酒的成熟状况。 葡萄酒的颜色和口感的变化存在着平行性，颜色和口感之间必须相互协调平衡。颜色的深浅反应葡萄酒的结构、丰满度以及尾味和余味。如在红葡萄酒中，颜色的深浅与丹宁的含量往往正相关。如果红葡萄酒颜色深而浓，几乎处于半透明状态，多数情况下它必然醇厚、丰满、丹宁感强。相反，色浅的葡萄酒，则味淡、味短。当然，如果较柔和，具醇香，仍不失为好酒。例如瓦红色的红葡萄酒，必须与浓郁的醇香和柔顺的口感同时存在，否则表明该酒是人工催熟条件下陈酿而未能表现出最佳感官质量。 带紫色的新葡萄酒往往口味平淡、瘦弱、尖酸、粗糙；褐色过重的成年葡萄酒，氧化过重、老化。 1.3 浑浊度观察 观察葡萄酒有无下列情况：略失光，失光，欠透明，微混浊，极浑浊，雾状混浊，乳状混浊； 1.4 沉淀观察 观察葡萄酒有无下列情况：有无沉淀，沉淀类型：纤维状沉淀，颗粒状沉淀，絮状沉淀，酒石结晶，片状沉淀，块状沉淀。 2 酒液表面观察 2.1 流动性观察 如果葡萄酒不正常，则其流动性差；如倒时无声，无气泡，呈油状。 --灰腐病危害的葡萄酿的酒； --酒发生了由乳酸菌引起的油脂病。 2.2观察液面方法 方法A：用食指和姆指捏着酒杯的杯脚，将酒杯置于腰高，低头垂直观察葡萄酒的液面。或者将酒杯置于品尝桌上，站立弯腰垂直观察。 方法B：如果葡萄酒透明度良好，也可从酒杯的下方向上观察液面。 正常葡萄酒的液面标准 a. 葡萄酒的液面呈圆盘状； b. 葡萄酒的液面洁净、光亮、完整； c. 透过圆盘状的液面，可观察到"珍珠"，即杯体与杯柱的联接处。表明葡萄酒具有良好的透明性。

数学建模A题官方答案提示

2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 “系泊系统的设计”评阅要点 本问题要求学生分析浮标、钢管、钢桶、重物球和锚链的受力情况，建立计算锚链形状、钢桶和钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域的数学模型。在此基础上，确定锚链的型号、长度和重物球的质量，给出不同情况下锚链形状、锚链与海床的夹角、钢桶和钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域的表达式和具体数值。评阅应该以模型为主，数值结果为辅。 问题1 要求学生对给定的锚链型号、长度和重物球的质量，分别计算出当海面风力为12m/s和24m/s的情况时锚链的形状、在锚点锚链与海床的夹角、钢桶和钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域。（参考结果：当海面风力为12m/s时，有左右的锚链拖地，钢桶的倾斜角度度左右，浮标的吃水深度左右，游动区域的半径左右; 在海面风力为24m/s 时，锚链与海床在锚点的夹角度左右，钢桶的倾斜角度度左右，浮标的吃水深度左右，游动区域的半径左右） 问题2 对题目中给定的锚链型号、长度和重物球的质量，当海面风力为36m/s时，钢桶的倾斜角度、锚链在锚点与海床的夹角都不满足要求。需要增加重物球的质量进行调整，论文中要给出调整后重物球的质量、在这个质量下锚链与海床的夹角、钢桶的倾斜角度（参考结果：满足要求的重物球的质量不会小于2160kg）。 问题3 要求学生根据模型在最大风速可达36m/s、海水最大速度可达s、海水深度在16m 到20m之间变化的情况下给出锚链的型号、长度、重物球的质量，使得在不同情况下锚链

2012数学建模A题葡萄酒答案

图一的两组红葡萄酒的平均值、和标准差 第二组红葡萄酒 标准差平均值标准差酒样品1 9.638465 酒样品1 68.1 9.048634 酒样品2 80.3 6.307843 酒样品2 74 4.027682 酒样品3 80.4 6.769211 酒样品3 74.6 5.541761 酒样品4 68.6 10.39444 酒样品4 71.2 6.425643 酒样品5 73.3 7.874713 酒样品5 72.1 3.695342 酒样品6 72.2 7.728734 酒样品6 66.3 4.595892 酒样品7 71.5 10.17895 酒样品7 65.3 7.91693 酒样品8 72.3 6.634087 酒样品8 66 8.069146 酒样品9 81.5 5.739725 酒样品9 78.2 5.072803 酒样品10 74.2 5.51362 酒样品10 68.8 6.014797 酒样品11 61.7 7.91693 酒样品11 61.6 6.168018 酒样品12 53.9 8.924996 酒样品12 68.3 5.012207 酒样品13 74.6 6.703233 酒样品13 68.8 3.910101 酒样品14 73 6 酒样品14 72.6 4.812022 酒样品15 58.7 9.250225 酒样品15 65.7 6.429965 酒样品16 74.9 4.254409 酒样品16 69.9 4.483302 酒样品17 79.3 9.381424 酒样品17 74.5 3.02765 酒样品18 59.9 6.871034 酒样品18 65.4 7.089899 酒样品19 69.4 6.25744 酒样品19 72.6 7.426679 酒样品20 78.6 5.103376 酒样品20 75.8 6.250333 酒样品21 77.1 10.77497 酒样品21 72.2 5.95912 酒样品22 77.2 7.11493 酒样品22 71.6 4.926121 酒样品23 85.6 5.699903 酒样品23 77.1 4.976612 酒样品24 78 8.653837 酒样品24 71.5 3.27448 酒样品25 69.2 8.038795 酒样品25 68.2 6.613118 酒样品26 73.8 5.593647 酒样品26 72 6.44636 酒样品27 73 7.055337 酒样品27 71.5 4.527693 图二两组白葡萄酒的平均值、和标准差 第一组白葡萄酒第二组白葡萄酒 干白品种平均值标准差干白品种平均值标准差 酒样品1 82 9.60324 酒样品1 77.9 5.087021 酒样品2 74.2 14.1798 酒样品2 75.8 7.00476 酒样品3 85.3 19.10817 酒样品3 75.6 11.93687 酒样品4 79.4 6.686637 酒样品4 76.9 6.488451 酒样品5 71 11.24475 酒样品5 26.1 5.126185 酒样品6 68.4 12.75583 酒样品6 75.5 4.766783 酒样品7 77.5 6.258328 酒样品7 74.2 1.212265 酒样品8 71.4 13.54991 酒样品8 72.3 5.578729 酒样品9 72.9 9.631545 酒样品9 80.4 10.30857 酒样品10 74.3 14.58348 酒样品10 79.8 8.390471

2018美赛数学建模A题

2018MCM Problem A: 多跳短波无线电传播 背景：在高频率（HF，定义为3 - 30兆赫），无线电波可以长途旅行（从地球表面的 一个点到地球表面的另一个遥远的地方）通过电离层和地球以外的多次反射。下面的最高可用频率（MUF），高频无线电波从地面源反映了电离层返回地球，在那里他们可以 再次回到电离层反射，在那里他们可以再次回到地球的反映，等等，旅行还与每个连 续跳。在其他因素中，反射表面的特性决定了反射波的强度，以及信号在保持有用信 号完整性的情况下最终会传播多远。而且，随着季节的变化，白天的时间和太阳的条 件也不同。上面的MUF频率不是反射和折射，但通过电离层进入太空。在这个问题上，重点特别是海面上的反射。经验发现，在汹涌的海洋中，反射比平静的海面上的反射 减弱。海洋湍流将影响海水的电磁梯度，改变海洋的局部介电常数和磁导率，改变反 射面的高度和角度。一个汹涌的海洋，其中浪高、形状和频率变化很快，波的传播方向也可能改变。 问题： 第一部分：建立海洋信号反射的数学模型。一个100瓦的高频恒定载波信号，低于MUF，从陆地上的点源，确定第一反射强度和湍流海洋用了平静的海洋的第一反射强度的比较。（注意，这意味着这个信号在电离层上有一次反射）如果额外的反射（2到n）在平静 的海洋上发生，那么信号在强度低于可用的信噪比（SNR）阈值10分贝之前，可以达到的最大跳数是多少？ 第二部分：你如何从第一部分的调查结果与HF反射在山区或崎岖的地形与光滑的地形 比较？ 第三部分：穿越海洋的船将使用短波进行通信，并接收天气和交通报告。你的模型如何改变以适应船上的接收器在湍流的海洋上行驶？使用相同的多跳路径，船舶能保持多长时间通信？ 第四部分：准备一份简短的（1到2页）你的结果概要，适合作为IEEE通讯杂志中的简短说明发表。 您的提交应包括： ?一页摘要表， ?两页简介， ?你的解决方案不超过20页，最多有23页的摘要和概要。 注：参考清单和任何附录不计入23页的限制，并应在您完成的解决方案之后出现。

2012年全国数学建模A题参考答案

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题葡萄酒的评价 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒 员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡 萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒 葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某 一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的 和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？ 附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格） 附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格） 附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格） 答案仅供参考： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异 根据表1计算的各取样点葡萄质量综合评分结果, 结合当地气象资料,

进行相关普查和回归分析, 挑选出 相关性显著, 并通过0. 01显著性检验的11个因子, 果实着色期平均最低气温(Tn45 )、果实着色期平均日较差 (D45 )、果实着色期平均相对湿度(U45 )、果实着色期降水量(R 45 )、果实着色期水热系数(K 45 )、全生育期平均 相对湿度(Ug )、全生育期降水量(Rg )、全生育期水热系数(Kg )、7~ 8月份降水量(R 7- 8 )、日照时数( S7- 8 )、水 热系数(K 7- 8 )。利用DPS3. 01 数据处理系统对这些影响因素进行因子分析, 并进行倾斜旋转( promax rotation)得到11种影响酿酒葡萄品质气象因子结构如表5。 表5表明, 11种影响酿酒葡萄综合品质的因子可归纳为5类因子(F 1 ~ F 5 ), 而F1对葡萄综合品质的贡献 率可以达到88. 3%, 前3类因子累计贡献率可达96. 8%。 将表5前3个因子的构成提取出来, 结果列入表6。 表6表明: 影响酿酒葡萄的主要气象因子是R45、K 45、Rg、K g、R 7~ 8、K 7~ 8, 其次是D 45、U45、Ug、U7~ 8; 再次是 TN45。因此, 可以说, 影响酿酒葡萄综合品质的因素主要是果实着色期、全生育期和7 ~ 8月份的降水量和水 热系数, 其中降水量起主导作用。果实着色期日较差和全生育期平均相对湿度对酿酒葡萄综合品质的形成也 2期张晓煜等: 酿酒葡萄品质评价及其对气象条件的响应 743 有重要影响, 影响相对较小的是果实着色期的最低气温。这些研究结

2014全国大学生数学建模a题

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛a题 摘要 2013年嫦娥三号成功发射，标志着我国航天事业上的又一个里程碑，针对嫦娥三号软着陆问题，分别建立着陆前轨道准备模型和软着陆轨道模型，建立动力学方程，以燃料最省为目标进行求解。 问题一： 在软着陆前准备轨道上利用开普勒定律、能量守恒定律以及卫星轨道的相关知识，利用牛顿迭代法分别确定了近月点和远月点的速度分别为 1.6925km/s、1.6142km/s，位置分别为（19.91W，20.96N），（160.49E,69.31S）。 问题二： 在较为复杂的软着陆阶段，因为相对于月球的半径，嫦娥三号到月球的表面的距离太小，如果以月球中心建立坐标系会造成比较大的误差，因此选择在月球表面建立直角坐标系，在主减速阶段的类平抛面上建立相应的动力学模型，求出关键点的状态和并设计出相应的轨道，接下来通过利用灰度值阀值分割方法和螺旋搜索法对粗避障阶段和精避障阶段的地面地形进行相应的分析，找出安全点，然后调整嫦娥三号的方向以便安全降落，最后在落地时通过姿态发动机调整探测器的姿态，使之可以平稳的落到安全点上，在以上的各个阶段都可以以燃料最省为最优指标，从而建立非线性的最优规划的动力学模型，并基于该动力学模型可以对各个阶段的制导率进行优化设计由此就可以得到各个阶段的最优控制策略， 问题三： 最后针对所设计的轨道和各个阶段的控制策略进行了误差分析和灵敏度分析。对系统误差和偶然误差都做了解释；通过灵敏度分析发现，嫦娥三号在近月点的位置对结果的影响最大。 关键字牛顿迭代法，灰度值阀值分割，螺旋搜索法，灵敏度分析

一、问题重述 嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应的速度大小和方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 （3）对于所设计设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 二、问题分析 对于问题一，本文通过查找资料，发现嫦娥三号的运行轨道正好符合开普勒定律第一定律，其次根据开普勒第二定律和能量守恒定律，我们可以得出位于近月点以及远月点的速度大小以及方向，然后利用卫星轨道的相关知识，以月球赤道为平面建立空间直角坐标系，根据嫦娥三号的绕行轨道和赤道平面的的夹角计算出近月点和远月点的位置。 对于问题二，本文分为六段建立模型考虑问题，因为嫦娥三号距离月球地面的位置相对月球半径来说太小，所以我们在月球表面建立直角坐标系，根据的要求要在主减速阶段要求到达预订着陆点上方，利用抛物线相关知识建立精确动力学模型，用最优化方法求出结果，得到相应的再该阶段的控制策略。其次在粗避障和精避障阶段，利用距离地面2400米和100米的高程图，使用图像灰度值阀值分割方法和螺旋搜索法，将图中的不同高度的地面进行分割，分两次缩小安全点的位置，然后再最后下落过程中启动小型姿态发动机来进行水平调以便整最终安全着陆。 针对问题三我们从多个方面出发回归整个建模过程，对一些误差进行了分析，得到了减少误差的方法。

2018年研究生数学建模A题

2018年中国研究生数学建模竞赛A题 关于跳台跳水体型系数设置的建模分析 国际泳联在跳水竞赛规则中规定了不同跳水动作的代码及其难度系数（见附件1），它们与跳水运动员的起跳方式（起跳时运动员正面朝向、翻腾方向）及空中动作（翻腾及转体圈数、身体姿势）有关。裁判员们评分时，根据运动员完成动作的表现优劣及入水效果，各自给出从10到0的动作评分，然后按一定公式计算该运动员该动作的完成分，此完成分乘以该动作的难度系数即为该运动员该动作的最终得分。因此，出于公平性考虑，一个跳水动作的难度系数应充分反映该动作的真实难度。但是，有人说，瘦小体型的运动员在做翻腾及转体动作时有体型优势，应当设置体型系数予以校正，请通过建模分析，回答以下问题： 1. 研究分析附件1的APPENDIX 3-4，关于国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则，你们可以得到哪些对解决以下问题有意义的结论？ 2. 请应用物理学方法，建立模型描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型（身高，体重）之间的关系。 3. 请根据你们的模型说明，在10米跳台跳水比赛中设置体型校正系数有无必要。如果有，校正系数应如何设置？ 4. 请尝试基于你们建立的上述模型，给出表1中所列的十米跳台跳水动作的难度系数。你们的结果与附件1中规定的难度系数有无区别？如果有区别，请作出解释。 表1: 十米跳台难度系数表（部分动作）

[动作代码说明]（1）第一位数表示起跳前运动员起跳前正面朝向以及翻腾方向，1、3表示面朝水池，2、4表示背向水池；1、2表示向外翻腾，3、4表示向内翻腾。（2）第三位数字表示翻腾圈数，例如407，表示背向水池，向内翻腾3周半。（3）B表示屈体，C表示抱膝。（4）如果第一位数字是5，表示有转体动作，此时，第二位数字意义同说明（1），第三位数字表示翻腾圈数，第四位数字表示转体圈数，例如5375，表示面向水池向内翻腾3周半，转体2周半。 附件1：2017-2021_diving 附件2：参考文献