第三章 算符和力学量算符
３.1 算符概述
设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为:
?Fu
v =
(3.1-1）
?
F 称为算符。ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。例如，11du v dx =,22xu v =3
v =，
(,)
x t ?∞
-∞
,(,)x i p x h
x e
dx C p t -=,则d
dx dx ∞
-∞
?
，x i
p x h
e
-?都是算符。
1.算符的一般运算
(1)算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu
Gu =,则??G F =。 (2）算符的相加：对于任意函数u,若???Fu
Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。
（3)算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG
GF =，则称?F 与?G 对易。 2.几种特殊算符 （１）单位算符
对于任意涵数u,若?I
ｕ=u ，则称?I 为单位算符。?I 与１是等价的。 (2)线性算符
对于任意函数ｕ与v ，若**1212
???()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称?F 为反线性算符。 (3）逆算符
对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G
F -=,111??????,1F
G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F
为d
dx
与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。因0
?0Fu =，所以不存在1?F -使100
??F Fu u -=。一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当ａ＝０时,υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1
?F
-使1
1
????F
Fv FF v v --==,从而由?Fv
af =得:1?F af υ-=。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。 (4)转置算符
令~??Fu
u F =,则称~?F 与?F 的转置算符，~
?F 是一个向左作用的算符。若算符?F 表示一般函数(或常数）,由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。 定义波函数?与φ的标积为：
*|d ?φ?φτ∞
<>=?
（3.１-2）
?与?F
φ的标积以及~
?G ?与φ的标积为： *??||F
F
d ?φ?φτ∞
<>=?
~
!
*??||G G d ?φ?φτ∞
<>=?
若上两式中的?与φ都是任意波函数，则称上两式中的?F
与~
?G 为任意标积中的算符。下面考虑在任意标积中
d
dx
的性质。 *
*
*
*
()()d d d x x dx dx dx dx dx dx
?φ
?φφ?φ?∞
∞∞
∞-∞
-∞-∞-∞
==-???波函数()x ?与()x φ在无限远点也应满足连续性条件：
()()??∞=-∞[可都等于零]，()()φφ∞=-∞，所以得:
*
*d d
dx dx dx dx
?φ?φ∞
∞-∞
-∞=-?
?
可见在任意标积中，
d d dx dx
=-。 (5）转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符
转置共轭算符通常也是向左作用的算符,同时算符本身要取共轭。以?F
+
标记?F 的转置共轭算符，则*
~??F
F +
= *??uF F u += 若在任意标积中,??F
F +
=,则称?F 为厄密算符。即厄密算符的定义为：
**??()F d F d ?φτ?φτ∞
∞
=?
?
或写为??||||F F ????+<>=<> （3.
１-3)
可以证明,位置算符与动量算符都是厄密算符。因x 是实数，而x x =，所以x x +
=。在任意标积中,
因d d dx dx =-,所以*
??x x h h P P i x i x ++??????==-= ? ???????
。也可以直接从定义式(3．1-3)出发，来证明?x
P 是厄密算符。
*
*
**??|()x x h h d P dx dx P dx i i dx ??φ?φφ?φ∞
∞∞∞-∞-∞-∞-∞=-=???，所以?x P 是厄密算符。
（６）幺正算符
若在任意标积中,1
??F
F +
-=,则称?F
为幺正算符。设??iA
T e ±=,若?A
为厄密算符，则?T 必为幺正算符。
(７）算符的函数
设函数F(A ）的各阶导数都存在，则定义算符?A
的函数F(?A )为：
()
()0
??()n o n n F F A A ni ∞
==∑ (３．1-4)
其中?n
A
表示n 个?A 的乘幂，即????n
A A A A
=?。例如?01?F
n n e F ni
∞
==∑ 3.２ 算符的对易关系
定义算符的泊松(Po ｉｓson ）括号为:
??????[,]A
B AB BA =- (3.2－１） 一般说来????AB
BA ≠，例如???[,]A B ik =,这样的关系或称为对易关系式。??[,]0A B =是对易关系式
中的特例，这时????AB
BA =,称?A 与?B 是对易的。 1．量子力学中基本对易关系 在位置表象中，
??(,,)()x x
h h h h P x x y z x x xP i x i i x i
????????==+=+??,即
??()x x xP P x ih ??-=，此式对任意的?都成立,所以得：?[,]x
x P ih = 在动量表象中
??(,,)()x x y z x x x x x
xP
P P P ih P ih ihP ih P x P P φ
?φφφφ??==+=+??,即??()x x xP P x ih φφ-=，此式对任
意的φ都成立,所以得：
?[,]x x
P ih = 可见在位置表象中与动量表象中都得：
??[,]x
x P ih = （3.2-2)
如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。例如,在位置表象中，?y
y =所含的变量是ｙ,而?x
h P i x
?=?所含的变量是x,所以?[,]x
y P =０。又如，在有心力场中,U(x)所含的变量是r,而2?L
所含的变量是,θφ，所以2?[(),]0U r L =。此外，相同的算符一定对易。 以(1,2,3)i x i =表示x,y ，z ，以?i
P 表示???,,x y z P P P ,则应有:
??[,]0??
[,]0i j i j
x
x P P =???=?? （３.２-3)
??[,]i j ij
x P ih δ= (３.2-４）
(3．２-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。 2.线性算符泊松括号的性质
根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下 关系式：(其证明供练习）
????[,][,]A
B B A =- （3.2－5)
?[,]0A
C = Ｃ为常数
（３.２－6)
????[,][,]CA
B C A B = Ｃ为常数
（３.2-7）
1212
???????[,][,][,]A A B A B A B +=+ (3.２－8）
121212
?????????[,][,][,]A A B A B A A A B =+ (3.2－9)
??????[,][,][,]A B A B A
B t t t
???=+??? (３.2－1０)
3．其他对易关系
（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
???[,][,,]0x z y
L x yP zP x == ?????[,][,][,][,]x z y y y
L y yP zP y z P y z y P ihz =-=-== 同理可得：?[,]x L z ihy =-，……，各对易关系可合写为： ??[,]i
j ijk k
k
L x ih x ε
=∑
采用爱因斯坦记号,则上式可写为:
??[,]i
j ijk k L x ih x ε= （3.2-1１)
其中ijk ε称为勒维——奇维塔（Ｌevi-Ｃi ｖi ｔa)符号。123ε=1,ijk ε对所有角标都是反对称的,即交换任意两个角标,其值反号，例如，2131ε=-，3211ε=-。若ijk ε中有两个角标相同,则其值为零。ijk ε具有以下数学性质:
2ij ij ijk k i j i j αβαβ
αβαββα
εεδεεδδδδ=???=-??
(3．2-1２)
()2
i j j i
k ijk i j ijk
A B A B A B A B εε-?==
（3.2-13)
上式中将i j A B 改写为2
i j j i
A B A B -称为将i j A B 反对称化,之所以能将i j A B 反对称化是由于ijk ε对角
标i,j 反对称之故。
（2）角动量算符与动量算符之间的对易关系
???[,]i j ijk k L P ih P ε=
（3.2－14)
(3)角动量算符的对易关系
???[,]i j ijk k L L ih L ε=
(３.２－15）
上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：
,L L ih L ∧
∧
∧
=
（３.2-１6）
若令??????,x y x y
L L iL L L iL +-=+=-，则可得:
???[,]2???[]z
z L L hL L L hL +-±±
?=??
=±?? （3.2-１７)
2??[,]0i
L L = （3.2-18)
（4)算符的函数之间的对易关系
[(,,),](,,)f x y z P ih f x y z ∧
=? (3.2-１9)
1
???[,()]0,[()]0A f A f A == (3.２-２０)
必须注意，若??[,]0F
G ≠，则??
??F
G F G e e e +≠?。
3．3 线性厄密算符和力学量算符
1.厄密算符的性质
(1)对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。
设?F
与?G 是对易的厄密算符,利用(3.1-3）式可得： ****????????()()()FG d F G d GF d FG
d ?φτφφτφφτ?τ∞
∞
∞
∞
=
==??
?? 所以??FG
也是厄密算符。 （２)厄密算符的本征值必为实数。
设?F
为厄密算符,其本征方程为: ?F
F ??=，则***?()F F ??= 根据（3.1-3)式得：
**??()F d F d ??τ??τ∞
∞
=??
则***
F d F d ??τ??τ∞
∞
=??
因
*0d ??τ∞
≠?
，则得Ｆ=F*,所以F 为实数。
(３)厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。
设k ?，l ?为厄密算符?F 分别对应本征值k F ，e
F 的本征函数,则
*
*??()k
l
k e
F d F d ??τ??τ∞
∞
=??
即*
()
0e k k l F F d ??τ∞
-=?
当e k F F ≠时得：
*
0k l
d ??τ∞
=?
上式称为正交关系式。若本征值无简并,且本征函数已归一化,则得： 当
Ｆ
为
分
立
谱
时
,
*k l kl d ??τδ∞
=?
（３．３－1）
当
F
为
连
续
谱
时
,
*()F
F d F F ??
τδ'
∞
'=-?
（３.3-2）
如果?F
中含有参变量,则只有当参变量的值保持不变时，属于不同本征值的本征函数才是正交的。例如,当粒子在有心力场中运动时,经向方程是厄密算符的本征方程,其本征值为能量E （对束缚态，E 由径向量子数r n 确定）。角量子数l 是径向方程中的参变量。径向波函数()El R r 的正交关系式为：
*20El E l o
R R r dr ∞
'=?
,E E '≠
因不同的l 值对应不同的径向方程，所以
*20El E l o
R R r dr ∞
''≠?
,l l '≠
2、正交化手续
对于线性厄密算符?F ，如果?F 的本征值Ｆｎ是f 度简并的,对应的本征函数为12
,,f
n n n ???，
则这ｆ个本征函数的任意线性组合也是本征方程的解。一般说来，这f 个本征函数不一定是正交的，但通过它们的线性组合一定可以构成f 个正交的本征函数。通常的正交化手续如下:取 11n n ??= 2211n n n b ???=+
331212n n n n C C ????=++ ……
从1n ?与2n ?的正交性可以确定ｂ1
1
2
121
**1()n n n n n d b d ?
?τ???τ∞
∞
=+??=12
11
**
10n n n n d b d ??τ??τ∞
∞
+=??
则得:1
1
1
1
*1*n n n n d b d ??τ
?
?τ
∞∞
=-
?
?
若先将1n ?归一化,则得: 1
2
*1n n d b τ?
?∞
=-
?
从123,,n n n ???的正交性得:
1
3
13
11
***10n n n n n n d d C d ??τ??τ??τ∞
∞
∞
=+=?
??
则得：1
31
1
*1
*n n n n d C d ??τ??
τ
∞∞
=-
??
若先将1n ?归一化，则得: 1
2
*1n n b d ?
?τ∞
=-
?
从123,,n n n ???的正交性得：
1
3
13
11
***10n n n n n n d d C d ??τ??τ??τ∞
∞
∞
=+=?
??
则得:1
31
1
*1
*n n n n d C d ??τ??
τ
∞∞
=-
??
2
3
2
3
22
***20n n n n d n n d C d τ??τ????τ∞
∞
∞
=+=?
??
则得:2
3
2
2
*2*n n n n d C d ??τ
?
?τ
∞∞
=-
?
?
依此类推,可求出各系数，使12,,n n nf ???彼此正交。
３、力学量算符
在量子力学中，力学量都有算符表示。力学量算符通常都是线性厄密算符。假设力学量算符的本征函数构成完备系（之所以是假设是因为尚未得到普遍性的证明）,即认为任意波函数都可以对力学量算符的本征函数组展开。一个力学量算符的本征函数也可以对另一个力学量算符的本征函数组展开。在展开式中的本征函数组也称为本征基组应注意，这里所说的力学量总是指某物理体系中的力学量,这里所说的波函数是指描写同一物理体系的波函数，事实上，只有对于同一物理体系，力学量的本征函数与被展开的波函数才能具有相同的时间与空间。
当力学量算符?F 的本征值Ｆn 为分立谱时,在位置表象中，设本征基组()n
r φ满足正交归一条件：
*
m n mn dr φφδ=?
满足上式的n φ也称为幺正基组。通常n φ只是r 的函数而与ｔ无关。含时波函数(,)r t ?对()n r φ的展开式[不含时的波函数()r ?也可对()n r φ展开]为:
(,)()()n n n
r t C t r ?φ=∑
(3.３-3)
()n C t 实际上是()(,)Fn n C t C F t =的简写。以*
()m
r φ乘上式并对整个空间积分得：
**()()m n m n m n
dr C t dr C t φ???==∑??，则得:
*
()()(,)n n
C t r r t dr φ?=?
(３.3-4）
若(,)r t ?已归一化,即
*
1dr ??=?,则得：
**()()m m n n m
n
dr C C dr ??φφ=∑∑??
=*
**1m
n
m n
n
n
mn
n
C C dr C C
φφ==∑∑? (3.５
-5)
若已知(,)r t ?,则由(3.3-4）式可求得Cn(t ）；若已知Cn(t ），则由（3.3-3)式可求得(,)r t ?，所以
(,)r t ?与Cn （t)是等价的。Ｃn(t ）中的变量是Fn 与t ，所以Ｃn(t)是Ｆ表象中的波函数，Cn(ｔ)
的归一化条件是
*
1n n
n
C C
=∑。当Cn(t)已归一化时,在t 时刻测到Fn 的几率为*
()()n
n C t C t 。注意，对分立谱，*
n n C C 为几率而非几率密度。 将(3.3-4)式代入（3.3-3)式得: *(,)(,)()n n n r t r t dr r ?φφ??''=
??∑?=*()()(,)n n n r r r t dr ?????'''????
∑? 由上式可看出，应有：
*
()()()n n n
r r r r φ
φδ''=-∑
(３.３－6）
上式所显示的性质称为本征基组()n r φ的封闭性。
对于?x
P 的本征函数,在箱归一化下对应的本征值为分立谱:2x hn
P L
π=。其本征函数()n x φ的封闭性条件为:
**
()()()()()n
n n n n
n
x x x x dn x x φ
φφφδ'''==-∑∑
其中dn=1。当L →∞时，Ｐx 由分立谱变为连续谱。这时,由2x hn P L π=
可知,dn 应以
2x L
dP h
π代替，()n x φ的下标n 应改为Px ，则本征函数()x
P x φ的封闭性条件为：
*
()()
()2x x P P x L x x dP x x h
φφδπ''=-?
并入()x P x φ的归一化系数，，这与§2.2中的讨论是一致的。
当力学量算符?F 的本征值F 为连续谱时,在位置表象中，设本征函数()F
r φ满足正交为一条件：
*
()F F dr F F φφδ''=-?
满足上式的F φ也称为为幺正基组。(,)r t ?对()F r φ的展开式为:
(,)()()F F r t C t r dF ?φ=?
(3.３-7)
以*
()F r φ'乘上式并对全空间积分得：
***
[][]()F F F F F F F F F F dr C d dr C dr C F F dF C φ
?????δ'
''''===-=??????，则得:
*
()()()F F C t r rt dr ??=
?
（３.３－8）
()F C t 为F 表象中的波函数。若
*
1dr ??=?，则可得()F C t 的归一化条件为:
*
1F F F C C d =?
(3.3-9)
当()F C t 已归一化时，在t 时刻在F 表象中测得Ｆ的几率密度为*
()()F F C t C t 。本征基组()F r ?的封闭性条件为:
*
()()()
F F r r dF r r φ
φδ''=-?
（3.3-10)
如果?F
的本征值既有分立谱Ｆn 又有连续谱Ｆ，则展开式为: (,)()()()()n n F F n
r t C t r C t r dF
?φ?=+∑?
（3.３－11）
**
()()(,),()()(,)n n F F C t r r t dr C t r r t dr
φ?φ?==??
(3.3-１2）
F 表象的波函数由C n (t)与C F (t)组成。归一化条件为：
第三章 3.1 设??,A B 均为厄米算符,试证: ()????1 AB-BA 是否为厄米算符; ()()????2 i AB-BA 是否为厄米算符. 解: () ? ?????????????? AB-BA =B A -A B =BA-AB 所以不是厄米算符 () ()( ) ()() ? ???????????????i A B -B A =-i A B -B A =-i B A ????????=-i B A -A B =i A B -B A ???? 所以是厄米算符 3.2 设体系的波函数为球谐函数(),lm Y θ?,求其角动量矢量与z 轴的夹角 解: 由于z L cos L θ=, 因为( )()()22?,1,lm lm L Y l l Y θ?θ?=+ ()()?,,z lm lm L Y m Y θ?θ?= 故可取 L =,z L m = ,
所以, cos z L m L θ== 3.3 已知 ?[sin cot cos ]x L i φθφθφ ??=+?? , ?[c o s c o t s i n ] y L i φθφθφ ?? =--?? 问(),1lm Y θ?=是否为?x L ,?y L 的本征态;如果 是,求其本征值. 解: 由于()?,0x lm L Y θ?=, ()?,0y lm L Y θ?= 所以为?x L ,?y L 的本征态, 其本征值为0 3.4 在经典情形,对称陀螺的能量算符为 () 222 11????22x y z x z H L L L I I =++ 1. 问(),lm Y θ?是否为?H 的本征态; 2. 如果是,求其本征值. 解:
第三章 量子力学初步 3.1 波长为ο A 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得： 动量为：1 24 10 34 10 63.610 1063.6----???=?= = 秒 米千克λ h p 能量为：λ/hc hv E == 焦耳 15 10 834 10 986.110 /10310 63.6---?=???=。 3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？ 解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系： meV h 2/ =λ 对于电子：库仑 公斤，19 31 10 60.110 11.9--?=?=e m 把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得： ο οο λA A A V 1225.010000 25.1225.12== = 对于质子，库仑 公斤，19 27 10 60.110 67.1--?=?=e m ，代入波长的 表示式，得：ο λ A 3 19 27 34 10 862.210000 1060.110 67.1210 626.6----?=??????= 3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来ο λ A V 25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系 式应改为： ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。 证明：德布罗意波长：p h /=λ
对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：2 22 02 2c p c Km K =+ 而被电压V 加速的电子的动能为：eV K = 2 2 002 2 2 /)(22)(c eV eV m p eV m c eV p += += ∴ 因此有： 2 002112/c m eV eV m h p h + ?= =λ 一般情况下，等式右边根式中2 02/c m eV 一项的值都是很小 的。所以，可以将上式的根式作泰勒展开。只取前两项，得： )10 489.01(2)41(26 02 00V eV m h c m eV eV m h -?-= - = λ 由于上式中ο A V eV m h 25.122/0≈ ，其中V 以伏特为单位，代回原 式得： ο λA V V )10 489.01(25.126 -?-= 由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。 3.4 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆轨道，试证明之。
第三章 量子力学初步 一、学习要点 1．德布罗意假设： (1)内容： ων ==h E , n k k h p λ πλ2,=== (2)试验验证：戴维孙—革末试验 电子 λ=V meV h 26 .122≈（?） 2．测不准关系：2 ≥???x p x , 2 ≥???E t ； 3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件 薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态 4量子力学对氢原子的处理 轨道角动量()1,,2,1,0,1-=+=n l l l p l ，l 称为轨道角量子数， 轨道角量子数l =0 1 2 3 4 … 电 子 态 s p d f g … 原 子 态 S P D F G … 能量()n hcT n hc R n e m E e n --=-=∞22 224220Z 2Z )41 ( πε，n ＝１.2.3…… 轨道投影角动量()l l l l m m p l l lz ,1,,1,0,,1,,----== ，称轨道磁量子数，表征轨道角动量对外场方向的取向，轨道角动量对外场方向的投影图 描述电子空间运动的三个量子数l m l n ,,的名称、取值范围、所表征的物理量表达式 二、基本练习 1．楮书 P 113习题①②③ 2．选择题 （1）为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了： A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性 (2)德布罗意假设可归结为下列关系式： A .E=h υ， p =λh ; B.E=ω ，P=κ ; C. E=h υ ，p =λ ; D. E=ω ，p=λ (3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压： A ．11.51?106V ； B.24.4V ； C.24.4?105V ； D.15.1V (4）基于德布罗意假设得出的公式V 26 .12=λ ?的适用条件是： A.自由电子，非相对论近似； B.一切实物粒子，非相对论近似； C.被电场束缚的电子，相对论结果； D 带电的任何粒子，非相对论近似 (5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为
第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-?， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ?=-?不对易
证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-?i x x ψ?=-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-?i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i - =，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
第三章算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为: (3、1-1) 称为算符。u与v中得变量可能相同,也可能不同。例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。 1.算符得一般运算 (1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。 (2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。算符得相加满足交换律。 (3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。算符得相乘一般不满足交换律。如果,则称与对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。 (2)线性算符 对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。 并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。其解u可表示为对应齐次方程得通解u。与非齐次方程得特解之与,即。因,所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。 (4)转置算符 令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。 定义波函数与得标积为: (3、1-2) 与得标积以及与得标积为:
若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。 波函数与在无限远点也应满足连续性条件: [可都等于零],,所以得: 可见在任意标积中,。 (5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符 转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。即厄密算符得定义为: 或写为(3、1-3) 可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数,而,所以。在任意标积中,因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。 ,所以就是厄密算符。 (6)幺正算符 若在任意标积中,,则称为幺正算符。设,若为厄密算符,则必为幺正算符。 (7)算符得函数 设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为: (3、1-4) 其中表示n个得乘幂,即。例如 3、2 算符得对易关系 定义算符得泊松(Poisson)括号为: (3、2-1) 一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。 1.量子力学中基本对易关系 在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得: 在动量表象中 ,即,此式对任意得都成立,所以得: 可见在位置表象中与动量表象中都得:
1、指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 22 4 dx d dx d i dx d ，，，x p x ??， )????(21x p p x x x + 2、如果 F ?和 G ?都是厄米算符，但互不对易，试判断下列算符中哪些是厄米算符？ （1）G F ??； （2）F G ??；（3）G F ??+F G ??； （4）G F ??F G ??-； （5）i （G F ??+F G ??）； （6）i （G F ??F G ??-）； （7）G F ??+； （8）G F ??-； （9）)??(G F i +； （10）)??(G F i -； 3、下列函数哪些是算符22 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x s i n ， ④x c o s 3， ⑤x x c o s s i n + 4、证明：[?,[?,ê]] + [?,[ê, ?]] + [ê,[ ?,?]] = 0 5、证明：处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为00094a a a 、、的球壳处的几率最（0a 为第一玻尔轨道半径） 。 6、设氢原子处在0301),,(a r e a r -= πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半径），求 ①r 的平均值； ②势能r e 2 -的平均值。 7、一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤中。初始时刻（t=0）其归一化波函数为( ),01cos sin x x x a a ππψ???=+? ???? ，求（a ）t>0时刻粒子的状态波函数(),x t ψ；（b ）在t=0与t>0时，在势箱左半部（02a x ≤≤ ）发现粒子的概率是多少？ 8、粒子被限制在,22a a ??-???? 区间内做一维运动。若在t=0时刻，设粒子运动的波函数为： （1）()1cos 202x a A x a x a x πψ?≤??=??>??
量子力学发展历程 摘要：量子理论是在普朗克为了克服经典理论解释黑体辐射规律的困难，引入能量子概念的基础上发展起来的，爱因斯坦提出光量子假说、运用能量子概念使量子理论得到进一步发展。玻尔、德布罗意、薛定谔、玻恩、狄拉克等人为解决量子理论遇到的困难，进行了开创性的工作，先后提出电子自旋概念，创立矩阵力学、波动力学，诠释波函数进行物理以及提出测不准原理和互补原理。终于在1925年到1928年形成了完整的量子力学理论，与爱因斯坦的相对论并肩形成现代物理学的两大理论支柱。 关键词：量子力学；量子理论；矩阵力学；波动力学；测不准原理 量子力学(Quantum Mechanics)是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学揭示了微观物质世界的基本规律，为原子物理、固体物理学、核物理学和粒子物理学奠定了基础。它能很好地解释原子结构、原子光谱的规律性、化学元素的性质，光的吸收与辐射等等方面。从1900年到1913年量子论的早期提出，到经过许多科学家如玻恩、海森伯、玻尔等人的努力诠释，量子力学得到了进一步发展。后来遭到爱因斯坦和薛定谔等人的批评，他们不同意对方提出的波函数的几率解释、测不准原理和互补原理。双方展开了一场长达半个世纪的论战，至今尚未结束。 1 普朗克的能量子假设 普朗克在黑体辐射的维恩公式（u = b(λ^-5)(e^-a/λT)）和瑞利公式（u = 8π(υ^2)kT / c^3）之间寻求协调统一，找到了与实际结果符合极好的内插公式，迫使他致力于从理论上推导这一新定律。1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。 2光电效应和固体比热的研究 普朗克的出能量子假说具有划时代的意义，但是，不论是他本人还是同时代人当时对这一点都没有充分认识。爱因斯坦最早明确地认识到，普朗克的发现标志了物理学的新纪元.1905年，爱因斯坦在其论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》中，发展了普朗克的量子假说，提出了光量子概念，并应用到光的发射和转化上，很好地解释了光电效应等现象。在那篇论文中，爱因斯坦总结了光学发展中微粒说和波动说长期争论的历史，提示了经典理论的困境，提出只要把光的能量看成不是连续的，而是一份一份地集中在一起，就可以作出合理的解释。与此同时，他还大胆地提出了光电方程，当时还没有足够的实验事实来支持他的理论，因此，爱因斯坦称之为“试探性观点”。但他的光量子理论并没有及时地得到人们的理解和支持，直到1916年，美国物理学家密立根对爱因斯坦的光电方程作出了全面的验证，光量子理论才开始得到人们的承认。1906年，爱因斯坦将普
第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
第三章 量子力学中的力学量 3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 2 22)(-- = ，求： (1)势能的平均值222 1 x U μω= ； (2)动能的平均值μ22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1) ? ∞ ∞ --== dx e x x U x 2 2 22222121α π αμωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 4 1 = (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122* 2ψψμμ ?∞∞----=dx e dx d e x x 2 22 221 2 22 21 )(21αα μπ α ?∞ ∞ ---=dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 222 22??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μωμαμαπαμ πα? ===442222222ω 41 = 或 ωωω 4 14121 =-=-=U E T
(3)*(,)() ()p c p t x x dx ψψ=? 222 2 x i i t px e dx αωαπ π ∞ - ---∞ = ? 2212 2 i i x px t e e dxe αωαπ π ∞ ----∞ = ? 22222 2 1()222 ip p i x t e dxe αωαααππ - +-∞ --∞ = ? 22222 21()222 p ip i x t e e dxe αωα α αππ- - +∞ --∞ = ? 22 2 22 2 p i t e ωααα π π - -= 22 2 22 p i t e e ωααπ - -= 动量几率分布函数为 2 2 2 2 ()(,)p p c p t e αωαπ - == 3.2.氢原子处在基态0/30 1 ),,(a r e a r -=π?θψ，求： (1)r 的平均值； (2)势能r e 2 -的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) ?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -== ? ∞ -= /2330 04dr a r a a r 04 03023 2!34a a a =??? ? ??=
第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p （1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 是概率密度函数， 12 dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年） 4.量子力学与经典力学的比较：
量子力学经典力学 研究对象在t时刻的位置 无法确定 只能确定在dx x x ~的出现概率 可以确定 t时刻的动量和速度 无法确定，速度无意义 只能确定具有dp p p ~的概率 且不可同时确定位置和动量 位置、动量和速度 同时确定 研究对象的状态的描述波函数（复函数） 或态矢量 （复矢量） t p t r ,（实矢量函数） 状态的 演化方程 薛定谔方程（复系数方程）牛顿第二定律（实系数方程）观测行为 会影响对象 （只有时间测量不影响） 不会影响对象 测量精度 受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定 可达到任意高 可以同时测定所有物理量 预测的 测量结果 某个结果出现的概率确定的值 实际的测量结果 确定的值 或可能取值的统计平均 确定的值 *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态 的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节
第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 2 21??,2Q F Q F i σσ?? ??≥ ????? 2. 广义统计诠释 设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 * ()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 2 n n n Q q c = ∑ 这与用*?Q Q dx =ψψ? 计算方法等价。 如果力学量?Q 具有连续谱的本征函数系 '*'?()(), ()()(), q q q q Qf x qf x f x f x dx q q δ==-? 任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为
第三章习题解答 3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ αψ2 2 22)(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x U μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1) ?∞∞--==dx e x x U x 2 222222121απ αμωμω μωμωππαμω ?==?=2 2 22221111221 ω 41= (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμμ ?∞∞ ----=dx e dx d e x x 2 22 221 22 221)(21ααμπα ?∞ ∞ ---=dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 2222222??∞∞ --∞∞---=dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμ πα? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 414121=-= -=U E T (3) ?=dx x x p c p )() ()(*ψψ 21 2 221 ?∞ ∞ ---=dx e e Px i x απ απ ? ∞ ∞ ---= dx e e Px i x 222 1 21απ απ
? ∞ ∞--+-=dx e p ip x 2222)(21 21 αααπ απ ? ∞ ∞ -+-- =dx e e ip x p 2222 22)(212 21 αααπαπ πα π απα2 2122 p e - = 2 2221 απ αp e - = 动量几率分布函数为 2 22 1 )()(2 απ αωp e p c p - == # 3.2.氢原子处在基态0/30 1 ),,(a r e a r -=π?θψ，求： (1)r 的平均值； (2)势能r e 2 -的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -= = ?∞-=0 /233004dr a r a a r 04 03 023 2!34a a a =??? ? ??= 22 03020 /23 20 20 /23 2 20 2/23 2 2214 4 sin sin 1)()2(0 00a e a a e dr r e a e d drd r e a e d drd r e r a e r e U a r a r a r -=??? ? ??-=-=-=-=-=? ??? ??? ∞ -∞ -∞ -ππππ?θθπ?θθπ
补充 3.5）设粒子处于半壁高的势场中 ?? ? ??><<-<∞=a x a x V x V ,00, x ,)(0 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出eq s .: a x ,0)()(a x 0 ,0)()(22 "2 12'"1>=-<<=+x k x x k x ψψψψ （2） 其中 ()2 2 022 '2k ,2 E E V k μμ-=+= （3） 方程的解为 kx kx x ik x ik De Ce x Be Ae x --+=+=)()(21' ' ψψ （4） 根据对波函数的有限性要求，当∞→x 时，)(2x ψ有限，则 当0=x 时，0)(1=x ψ，则0=+B A 于是 a x , )(x 0 ,sin )(2'1>=<<=-kx De x a x k F x ψψ （5） 在a x =处，波函数及其一级导数连续，得 ka ka kDe a k F k De a k F ---=='''cos ,sin （6） 上两方程相比，得 k k a k tg ' ' -= （7） 即 ()E E V E V a tg +--=?? ????+002 2 μ （7’） 若令 ηξ==a a k k ,' （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程： ?? ? ??=+-= (10)9) ( 2 220a V ctg μηξξξη（10）式是以a V r 202 μ= 为半径的圆。对于束缚态来说，00<<-E V ， 结合（3）、（8）式可知，ξ和η都大于零。（10）式表达的圆与曲线ξξηctg -=在第一象限的交点
第三章 量子体系的力学量 本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。 3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学 一、坐标的平均值 ???∞∞ -∞∞ -∞∞ -==>= ≠ <ψ~2),(t r ψ不是p 的几率）。 以x 分量为例：?∞∞ ->= = =<)(),())(,(/3/ /3*3 r r t r r d x i t r r d p x δψψ ),())(,(*3t r x i t r r d ψψ?∞∞-?? -=。 第三章 算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v,用算符表示为: ?Fu v = (3、1-1) ?F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同,也可能不同。例 如, 1 1du v dx =,22 xu v =, 3v =, (,)x t ?∞ -∞ ,(,) x i p x h x e dx C p t -=,则 d dx dx ∞ -∞ ? ,x i p x h e -?都就是算符。 1.算符的一般运算 (1)算符的相等:对于任意函数u,若??Fu Gu =,则??G F =。 (2)算符的相加:对于任意函数u,若???Fu Gu Mu +=,则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 (3)算符的相乘:对于任意函数u,若???FFu Mu =,则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =,则称?F 与?G 对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若?I u=u,则称?I 为单位算符。?I 与1就是等价的。 (2)线性算符 对于任意函数u 与v,若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称?F 为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数 u,若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=,111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:?()()Fu x af x =,其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符,a 为常数。其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。与非齐次方程的特解υ之与,即0u u v =+。因0 ?0Fu =,所以不存 第三章 算符和力学量算符 ３.1 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为: ?Fu v = (3.1-1） ? F 称为算符。ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。例如，11du v dx =,22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ,(,)x i p x h x e dx C p t -=,则d dx dx ∞ -∞ ? ，x i p x h e -?都是算符。 1.算符的一般运算 (1)算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =,则??G F =。 (2）算符的相加：对于任意函数u,若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3)算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2.几种特殊算符 （１）单位算符 对于任意涵数u,若?I ｕ=u ，则称?I 为单位算符。?I 与１是等价的。 (2)线性算符 对于任意函数ｕ与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称?F 为反线性算符。 (3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=,111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。量子力学第三章算符
量子力学第三章算符
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