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高中数学基础知识汇总[详细版]
第二章 概率 第一章 计数原理 选修 2-3 第三章 数系的扩充与复数 第二章 推理与证明
第一章 导数及其应用
选修 2-2 第三章 空间向量与立体几何
第二章 圆锥曲线与方程
第一章 常用逻辑用语
选修 2-1 第三章 不等式
第二章 数列
第一章 解三角形
必修五
第二章 平面向量
第一章 基本初等函数 II 必修三必修四 第二章、平面解析几何初步
第一章、立体几何初步 必修二
第三章、基本初等函数 第一章、集合第二章、函数 必修 1 高中数学知识点汇总
目录
............................................................................................................................................................ 3 ............................................................................................................................................... 3 ............................................................................................................................................... 5 ............................................................................................................................... 8 ................................................................................................................................................................... 9 . (9)
..................................................................................................................... 19 ................................................................................................................................................................. 21 .. (21)
(21)
..................................................................................................................................... 24 ................................................................................................................................................................. 26 ..................................................................................................................................... 26 ............................................................................................................................................. 28 ......................................................................................................................................... 29 (30)
............................................................................................................................. 30 ......................................................................................................................... 30 ................................................................................................................. 33 (36)
............................................................................................................................. 36 ................................................................................................................................. 38 ..................................................................................................................... 39 (41)
(41)
第一章、集合
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A，记为x ∈A ，否则称x 不属于A，记作x ?A 。
例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，{x x > 0}分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为A ?B ，例如N ?Z 。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A，则A 叫B 的真子集。
便于理解：A ?B 包含两个意思：①A 与B 相等、②A 是B 的真子集
定义3 交集，A B = {x x ∈A且x ∈B}.
定义4 并集，A B ={x x ∈A或x ∈B}.
定义5 补集，若A ?I ,则C1A = {x x ∈I ,且x ?A}称为A 在I 中的补集。
定义6 集合{x a {x a ≤x ≤b, x ∈R, a 定义7 空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 补充知识点对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性 集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a ∈A ，要么a ?A ，二者必居其一．比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，a2组成一个集合，则a 的取值不能是0 x x x x x 或 1． （3） 无序性 集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3 组成一个集合，也可以写成1，3，2 组成一个集合，它们都表示同一个集合． 学习集合表示方法时应注意的问题 （1） 注意a 与{a } 的区别． a 是集合{a } 的一个元素，而{a } 是含有一个元素a 的集合，二 者的关系是a ∈{a }． （2） 注意? 与{0} 的区别． ? 是不含任何元素的集合，而{0} 是含有元素0 的集合． （3） 在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{R }来表示实数集R 这一类错误， 因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思． 用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如： 集合{ (x ，y ) y = x }中的元素是(x ，y ) ，这个集合表示二元方程 y = 的解集，或者 理解为曲线 y = 上的点组成的点集； 集合{x y = 集合{y y = 集合{ y = x }中的元素是 x ，这个集合表示函数 y = 中自变量 x 的取值范围； x }中的元素是 y ，这个集合表示函数 y = 中函数值 y 的取值范围； x } 中的元素只有一个（方程 y = ），它是用列举法表示的单元素集合． （4） 常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n -1 个真子集，有 2n -2 个 非空真子集。 x 定义 1 映射，对于任意两个集合 A ，B ，依对应法则 f ，若对 A 中的任意一个元素 x ，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f : A →B 为一个映射。 定义 2 函数，映射 f : A →B 中，若 A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若 x ∈A , y ∈B ，且 f (x )=y （即 x 对应 B 中的 y ），则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析 式有意义的未知数的取值范围，如函数 y =3 -1 的定义域为{x |x ?0,x ∈R}. 定义 3 反函数，若函数 f : A →B （通常记作 y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射 f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作 y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式 y =f (x )中反解 x 得 x =f -1(y )，然后将 x , y 互换得 y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。 例如：函数 y = 1 的反函数是 y =1- 1 (x ≠ 0). 补充知识点： 1 - x x 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y =x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义 4 函数的性质。 （1） 单调性：设函数 f (x )在区间 I 上满足对任意的 x 1, x 2∈I 并且 x 1< x 2，总有 f (x 1) 区间。 （2） 奇偶性：设函数 y =f (x )的定义域为 D ，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的 x ∈D，都有 f (-x )=-f (x )，则称 f (x )是奇函数；若对任意的 x ∈D，都有 f (-x )=f (x )，则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3） 周期性：对于函数 f (x )，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内每一个 数时，f (x +T )=f (x )总成立，则称 f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数 T 0，则这个正数叫做函数 f (x )的最小正周期。 定义 5 如果实数 a a }记作开区间（a , +∞），集合{x |x ?a }记作半开半闭区间（-∞,a ]. 定义 6 函数的图象，点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数 y =f (x )的图象，其中 D 为 f (x ) 的定义域。通过画图不难得出函数 y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0)； （1） 向右平移 a 个单位得到 y =f (x -a )的图象； （2） 向左平移 a 个单位得到 y =f (x +a )的图象； （3） 向下平移 b 个单位得到 y =f (x )-b 的图象； （4） 与函数 y =f (-x )的图象关于 y 轴对称； 0 0 0 （5） 与函数 y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称； （6） 与函数 y =f -1 (x )的图象关于直线 y =x 对称；（7）与函数 y =-f (x )的图象关于 x 轴对称。 复合函数 y =f [g (x )]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如 y = 1 , u=2-x 2 - x 在（-∞,2）上是减函数，y = 1 u 函数。 在（0，+∞）上是减函数，所以 y = 1 在（-∞,2）上是增 2 - x 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。附：初中知识基础知识 1. 二次函数：当a ≠ 0 时，y =ax 2 +bx +c 或 f (x )=ax 2 +bx +c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴 为直线 x =- b ，另外配方可得 f (x )=a (x -x )2+f (x )，其中 x =- b ，下同。 2a 2a 2. 二次函数的性质：当 a >0 时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a <0 时，情况相反。 3. 当 a >0 时，方程 f (x )=0 即 ax 2 +bx +c =0…①和不等式 ax 2 +bx +c >0…②及 ax 2 +bx +c <0…③ 与函数 f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。 1） 当△>0 时，方程①有两个不等实根，设 x 1,x 2(x 1 是{x |x 2） 当△=0 时，方程①有两个相等的实根 x =x =x = - b ,不等式②和不等式③的解集分别是 1 2 0 {x |x ≠ - b 2a }和空集? ，f (x )的图象与 x 轴有唯一公共点。 3） 当△<0 时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是 R 和? .f (x )图象与 x 轴无公共点。 当 a <0 时，请读者自己分析。 4. 二次函数的最值：若a >0，当x =x 0 时 ，f (x )取最小值f (x 0)= 4ac - b 2 4ac - b 2 4a ,若a <0，则当x =x 0= - 2a 时，f (x )取最大值 f (x 0)= 4a .对于给定区间[m,n ]上的二次函数 f (x )=ax 2+bx +c (a >0)， 当 x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为 f (x 0); 当 x 0 定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 定理 3 2a b 一假。 定义2 原命题：若p 则q（p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p；否命题：若非p 则q；逆否命题：若非q 则非p。 一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p 则q”为真，则记为p ?q 否则记作p ≠q.在命题“若p 则q”中，如果已知p ?q,则p 是q 的充分条件；如果q ?p，则称p 是q 的必要条件；如果p ?q 但q 不?p，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不?q 但p ?q，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ?q 且q ?p，则p 是q 的充要条件。 a m 1. 指数函数及其性质：形如 y =a x (a >0, a ≠ 1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R ，值域为 （0，+∞），当 01 时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点 （0，1）。 1 2. 分数指数幂： a n m = n a , a n = n a m , a -n = 1 , a - n a n = 1 3. 对数函数及其性质：形如 y =log a x (a >0, a ≠ 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+ ∞），值域为 R ，图象过定点（1，0）。当 01 时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1） a x =M ? x =log M(a >0, a ≠ 1)； 2） log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log （ M ）= log M- log N ；4）log M n =n log M （万能恒等式） a a a a a N 5）log a = 1 log n M ；6）a loga M =M; 7) log b = log c b (a ,b ,c >0, a , c ≠ 1). log c a 5. 函数 y =x + a （a >0）的单调递增区间是( - ∞,- x a ]和 [ a ,+∞)，单调递减区间为[- a ,0) 和 (0, a ]。（请同学自己用定义证明） 6. 连续函数的性质：若 a n M a a 正四棱柱 棱柱 ? 1 1 ??棱?垂?直于?底面 ?→直棱柱 第一章、立体几何初步 （一）空间几何体的结构特征 （1） 多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2） 柱，锥，台，球的结构特征 1. 棱柱 1.1 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ?斜棱柱 D' F' C' 侧面 ① ? ???底?面?是正?多形 ?→正棱柱 ? A' 侧棱 B' l 底面 D ? ??其他棱柱 侧棱垂直于底面 E F C 与底面边长相等 底面为矩形 底面为正方形 侧棱 1.3 棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点 长方体的性质： D1 C1 ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平 方和；【如图】 AC 2 = AB 2 + AD 2 + AA 2 ②（了解）长方体的一条对角线 AC 1 与过顶点 A 的三条棱 所成的角分别是α，β，γ ，那么cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1， A B 必修二 ②四棱柱 底面为平行四边形 A1 D B1 C 正方体 直平行六面体 长方体 平行六面体 ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图： SOB , SOH , SBH , OBH 为直角三角 sin 2 α +sin 2 β +sin 2 γ = 2 ； ③（了解）长方体的一条对角线 AC 1 与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ ， 则cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2 ， sin 2 α +sin 2 β +sin 2 γ = 1. 1.4 侧面展开图：正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.5 面积、体积公式： S 直棱柱侧S = c ?h = c ?h + 2S ，V = S ? h （其中 c 为底面周长，h 为棱 柱的高） 直棱柱全 底 棱柱 底 注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记 2. 圆柱 2.1 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余 各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等 母线 A' B' O' C' 轴 轴截面 圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. A O C 侧面 2.3 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母 B 底面 线长为邻边的矩形. 2.4 面积、体积公式： S 圆柱侧= 2π rh ；S 圆柱全= 2π rh + 2π r 2 ，V 圆柱=S 底 h=π r 2h （其中 r 为底面半径，h 为 圆柱高） 3. 棱锥 S 高 3.1 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 侧棱 几何体叫做棱锥。 底面 D O 顶点 侧面 斜高 C H 这样的棱锥叫做正棱锥。 A B 3.2 棱锥的性质： ①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 形） 3.3 侧面展开图：正 n 棱锥的侧面展开图是有 n 个全等的等腰三角形组成的。 边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心， 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多 SAB M 面的距离之比； ①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底 3.4 面积、体积公式：S 正棱锥侧= 1 ch ' ，S 正棱锥全= 1 ch ' + S ，V 棱锥= 1 S ? h .（其中 c 2 为底面周长， h ' 侧面斜高，h 棱锥的高） 4. 圆锥 2 底 3 底 4.1 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 4.2 圆锥的性质： ②轴截面是等腰三角形；如右图： ③如右图： l 2 = h 2 + r 2 . 4.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心， 母线 以母线长为半径的扇形。 l 4.4 面积、体积公式： S 顶点轴 h 侧面 轴截面 S 圆锥侧=π rl ，S 圆锥全=π r (r + l ) ，V 圆锥= 1 π r 2h （其中 3 A r O B 底面 r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长） 5. 棱台 5.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们 上底面 D' C' 侧棱 把截面与底面之间的部分称为棱台. 5.2 正棱台的性质： 高 下底面 O' A' B' 侧面 斜高 D C ①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； 顶点 ②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； ③ 如右图：四边形O `MNO ,O `B `BO 都是直角梯形 O N A B ④棱台经常补成棱锥研究.如右图： SO `M 与 SO N , S`O `B `与 SO B 相似，注意考虑相似比. 5.3 棱台的表面积、体积公式： S ＝S ＋S ＋S 侧，V 1 S ＋ S `)h ，（其中S , S `是 全 上底 下底 上，下底面面积，h 为棱台的高） 6. 圆台 棱台＝ （ 3 6.1 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 6.2 圆台的性质： ①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； SS ` ②圆台的轴截面是等腰梯形； ③圆台经常补成圆锥来研究。如右图： S SO `A 与 SOB 相似，注意相似比的应用. 上底面 6.3 圆台的侧面展开图是一个扇环； 6.4 圆台的表面积、体积公式： S ＝π r 2 + π R 2 + π (R + r )l ， A r O' D 轴 h 侧面 全 V 圆台 1 S ＋ SS `+ S `)h 1 π r 2 + π rR + π R 2 )h ，（其中 r ，R 母线 l 轴截面 ＝ （ ＝ （ B R C 下底面 3 3 O 为上下底面半径，h 为高） 7. 球 7.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简 称球； 7.2 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； 球面 球心 轴 半径 ② r = R 2 - d 2 （其中，球心到截面的距离为 d 、球 O 的半径为 R 、截面的半径为 r ） 7.3 球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. R d A r O1 B 7.4 球面积、体积公式： S = 4π R 2,V = 4 π R 3 （其 球 球 3 中 R 为球的半径） （二）空间几何体的三视图与直观图 根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可 1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2. 三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； A' C' A c O D' C' A' B' O D C A B 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 2 倍. 4 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法： step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取∠xoy = 90?）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴o' x ',o' y ' ，取∠x 'o ' y ' = 45?(or135?) ，它们确定的平面表示水平平面； step3：在坐标系x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 解决两种常见的题型时应注意： （1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 二点、直线、平面之间的位置关系 （一）平面的基本性质 1.平面——无限延展，无边界 1.1三个定理与三个推论 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 用途：常用于证明直线在平面内. 图形语言：符号语言： 公理2：不．共．线．的三点确定一个平面. 图形语言： 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言： 推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言： 推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言： 用途：用于确定平面。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）. 用途：常用于证明线在面内，证明点在线上. 图形语言：符号语言： 形语言，文字语言，符号语言的转化： （二）空间图形的位置关系 ?共面:a b=A,a//b 1.空间直线的位置关系：? ?异面:a与b异面 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：a // b,b // c ?a // c 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线； A a α β =a a ? α ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的 直线是异面直线。 图形语言： P 符号语言： θ P ?α ? A ∈α ? ? P A 与 异a 面 ? A ? a ?? 异面直线所成的角：（1）范围： 成的角：平移法. ∈(0?,90?]；（2）作异面直线所 如右图，在空间任取一点 O ，过 O 作a '// a ,b '// b ，则a ', b ' 所成的 θ 角为异面直线a , b 所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角. ?l ? α 2. 直线与平面的位置关系： ? ?l ? l ? α ? 图形语言： ? ?l // α ?平行：α//β 3. 平面与平面的位置关系： ? ?斜交：α 相交? ? ?垂直：α ⊥ β （三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1. 线面平行： ①定义：直线与平面无公共点. a // b ? ②判定定理： a ? α ? ? a //α （线线平行? 线面平行）【如图】 b ? α ? a //α ③性质定理： a ? β ? ? ? a // b （线面平行? 线线平行）【如图】 α β = b ? α = A a a' θ b' b α O α = A ? ? ? ? a // b ? α // β ? 判定定理：a ? α ? ? a //α “线线平行? 面面平行”（用于证明）；（iii ） b ? α ? a ? α ? ? a // β 2. 线面斜交： l ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 PO ⊥ α 于 O ， 则 AO 是 PA 在平面α 内的射影，则∠PAO 就是直线 PA 与平面α 所成的角。 范围：θ ∈[0?,90?] ，注：若l ? α或l //α ，则直线l 与平面α 所成的角为0? ；若l ⊥ α ，则直线l 与平面α 所成的角为90? 。 3. 面面平行： ①定义：α β = ? ?α // β ； ②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： a ,b ? α, a b = O , a //α,b //α ?α // β 【如下图①】 图① 图② 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述： a ,b ? α, a b = O , a ',b ' ? β, a // a ',b // b ' ?α // β 【如上图②】 判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述： a ⊥ α, a ⊥ β ?α // β .【如右图】 ③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定 2 α // β ? ④面面平行的性质：（1） a ? α ? ? a // β （面面平行? 线面平 “面面平行? 线面平行”（用于证明）；（4） b ⊥ α ? ? a //α （用于判断）； b ⊥ a ? a ? α ? ? ? ④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：l α = ? ? l //α（用于判断）；（ii ） β O a α b O a α b O a' β b' A θ α O α a β ? ? ? ? α // β ? 行）；（2）α γ = a ? ? a // b ；（面面平行? 线线平行）（3）夹在两个平行平面间的 β γ = b ? 平行线段相等。【如图】 （四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直 ①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意a ? α, 都有l ⊥ a ，且l ? α ，则l ⊥ α . a , b ? α ? a b = O ? ? ②判定定理： l ? α l ⊥ a l ⊥ b ? ? l ⊥ α （线线垂直? 线面垂直） ? ? ?? P ③性质：（ 1 ） l ⊥ α, a ? α ? l ⊥ a （线面垂直? 线线垂直）；（ 2 ）a ⊥ α,b ⊥ α ? a // b ； ④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常 a // b ? α // β ? 用）；（3） a ⊥ α ? ? b ⊥ α （较常用）；（4） a ⊥ α ? ? a ⊥ β ；（5） ? ? α ⊥ β ? a β = b ? ? a ⊥ β （面面垂直? 线面垂直）常用； a ? α ? a ⊥ b ?? ⑤三垂线定理及逆定理： （I ）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中， PO ⊥ α （1）斜线相等? 射影相等；（2）斜线越长? 射影越长；（3）垂线段最短。【如图】PB = PC ? OB = OC ； PA > PB ? OA > OB （II ）三垂线定理及逆定理：已知 PO ⊥ α ，斜线 PA 在平面α 内的射影为 OA ， a ? α ， ①若a ⊥ OA ，则a ⊥P A ②若a ⊥ PA ，则a ⊥OA 的逆定理； ——垂直射影? ——垂直斜线? 垂直射影，此为三垂线定理 三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2） 作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】 3.2 面面斜交 P a A O α O α A C B a ⊥ β ? ? ? A ∈ ?a ? ? ①二面角：（1）定义：【如图】 OB ⊥ l ,OA ⊥ l ? ∠AOB 是二面角α－l - β的平面角 范围： ∠AOB ∈[0?,180?] ②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）； （3） 垂面法. 3.3 面面垂直 （1） 定义：若二面角α - l - β 的平面角为90? ，则α ⊥ β ； （2） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直. a ? α ? ? α ⊥ β （线面垂直? 面面垂直） ? （ 3 ） 性质： ① 若 α ⊥ β ，二面角的一个平面角为 ∠MON ，则 ∠MON = 90? ； α ⊥ β ? a β = AB ? ② ? a ⊥ β （面面垂直? 线面垂直）； a ? α ? a ⊥ AB ?? α ⊥ β ? A ∈α ? α ⊥ β ? ? a ? α或a //α α ③ ? ? a ? α . ④ ? a ⊥ β ?? a ⊥ β A a β α a B β α a B β k 2 - k 1 1 + k 1 k 2 A 2 + B 2 ? 0 1. 解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通 过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间 存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如 x 2+y 2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。 2. 求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3) 用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。 3. 直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角，叫做它 的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4. 直线方程的几种形式：【必会】【必考】 （1）一般式：Ax+By+C=0； （2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)； （3） 斜截式：y=kx+b ； （4） 截距式： x + y = 1； a b （5） 两点式： x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 ； y 2 - y 1 （6） 法线式方程：xcos θ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）； （7） 参数式： ??x = x 0 + t cos θ （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点 P （x , y ） ? ? y = y + t sin θ 0 0 0 到动点 P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若 P 0P 方向向上则取正， 否则取负）。 5. 到角与夹角：若直线 l 1, l 2 的斜率分别为 k 1, k 2，将 l 1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l 2 重合所转过的最小正角叫 l 1 到 l 2 的角；l 1 与l 2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若 记到角为θ，夹角为α，则 tanθ= k 2 - k 1 1 + k 1 k 2 ,tanα= . 6. 平行与垂直：若直线 l 1 与 l 2 的斜率分别为 k 1, k 2。且两者不重合，则 l 1//l 2 的充要条件是 k 1=k 2；l 1 ⊥ l 2 的充要条件是 k 1k 2=-1。 7．两点 P 1(x 1, y 1)与 P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|= 8. 点 P(x 0, y 0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式： d = | Ax 0 + By 0 。 + C | 。 (x - x )2 + ( y - y )2 1 2 1 2 ? 2 9. 直线系的方程：若已知两直线的方程是 l 1：A 1x+B 1y+C 1=0 与 l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2 交点的直线方程为 A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由 l 1 与 l 2 组成的二次曲线方程为 （A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与 l 2 平行的直线方程为 A 1x+B 1y+C=0( C ≠ C 1 ). 10. 二元一次不等式表示的平面区域，若直线 l 方程为 Ax +By+C=0. 若 B>0，则 Ax +By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11. 解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以 x 和 y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。 12. 圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方 ?x = a + r cos θ 程为? y = b + r sin θ （θ为参数）。 13 ．圆的一般方程： x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 。其圆心为 ?- D ,- E ? ，半径为 ? ? 2 ? 。若点 P(x 0, y 0)为圆上一点，则过点 P 的切线方程为 2 ? x 0 + x ? ? y 0 + y ? x 0 x + y 0 y + D ? + E 2 ? + F = 0. ① 2 ? ? ? ? 14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两 圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分 别 为 (D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(F 1-F 2)=0; (D 2-D 3)x+(E 2-E 3)y+(F 2-F 3)=0; (D 3-D 1)x+(E 3-E 1)y+(F 3-F 1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。 1 D 2 + E 2 - 4F 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 数学基础知识大全 常用的数量关系式 1.每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2.倍数×1倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5. 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 6. 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 7. 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 8.因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 小学数学图形计算公式 1.正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2.正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3.长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4.长方体(V:体积s:面积a:长b: 宽h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 三角形高=面积×2÷底h=2s÷a 三角形底=面积×2÷高a=2s÷h 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7.梯形(s：面积a：上底b：下底h：高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8.圆形(S:面积C:周长л d:直径r:半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×лs=лrr 9.圆柱体(v:体积h:高s：底面积r:底面半 径c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。 高中数学 知识必背手册 目录 复数 ............................................................................................................................................. - 1 -集合与逻辑.................................................................................................................................. - 2 -三角学部分.................................................................................................................................. - 4 -数列部分...................................................................................................................................... - 8 -立体几何部分............................................................................................................................ - 11 -统计与概率................................................................................................................................ - 24 -解析几何必背公式.................................................................................................................... - 26 -导数必背知识清单.................................................................................................................... - 29 -平面向量.................................................................................................................................... - 30 - 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定 ① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④| |2:)cos(),sin(ωπ ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； (3)与周期有关的结论 )()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2； 8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =； ⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02 =++c bx ax ； ⑻其它常用函数： ① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x a x y ； 9．二次函数： ⑴解析式： ①一般式：c bx ax x f ++=2 )(；②顶点式：k h x a x f +-=2 )()(，),(k h 为顶点； 高考文科数学的答题技巧总结 适当多做题,养成良好的解题习惯 要想学好数学,多做题目是难免的,熟悉掌握各种题型的解题思路.刚开始要从基础题入手,以课本上的习题为准,反复练习打好基础,再找一些课外的习题,以帮助开拓思路,提高自己的分析、解决能力,掌握一般的解题规律.对于一些易错题,可备有错题集,写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在,以便及时更正.在平时要养成良好的解题习惯.让自己的精力高度集中,使大脑兴奋,思维敏捷,能够进入最佳状态,在考试中能运用自如.实践证明：越到关键时候,你所表现的解题习惯与平时练习无异.如果平时解题时随便、粗心、大意等,往往在大考中充分暴露,故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的. 合理分配时间 1、文科数学就是和时间的斗争。高考文科数学试卷一发下来后，首先把全部问题看一遍。找出其中看上去最容易解答的题，然后假定步骤，思考怎么样的顺序解题才最好。 2、切忌不看题目盲目背题，要仔细审题，清楚题目要求你解决什么问题，然后有条不紊迅速解题，提高准确率。 3、解题格式要规范，重点步骤要突出。 4、选择题时间控制在35分中以内。小题小做、巧做、简单做，选择题和填空题要多用数形结合、特殊值验证法等技巧，节约时间。 5、保持心静，以不变应万变。切莫因旁人的翻卷或其他行为干扰自己的解决思路。这些都是高考文科数学应试答题高分技巧。 浏览试卷，确定考试策略 一般提前5分钟发卷，涂卡、填密封线内部分和座号后浏览试卷：试卷发下后，先利用23分钟时间迅速把试卷浏览一遍，检查试卷有无遗漏或差错，了解考题的难易程度、分值等概况以及试题的数目、类型、结构、占分比例、哪些是难题，同时根据考试时间分配做题时间，做到心中有数，把握全局，做题时心绪平定，得心应手。 巧妙制定答题顺序 在浏览完试卷后，对答题顺序基本上做到心中有数，然后尽快做出答题顺序，排序要注意以下几点： 1.根据自己对考试内容所掌握的程度和试题分值来确定答题顺序。 高中数学基础知识与基本技能 数学（3） 第二章 统计（续） 五、基础知识和基本技能评估试题 第二章 统计 测试卷 （本卷用时100分钟） （一）、选择题（共50分，每小题5分，其中只有一个是正确的）： 1、下列几项调查，适合作普查的是（ ） （A ）调查全省食品市场上某种食品的色素是否超标 （B ）调查中央电视台“焦点访谈”节目的收视率 （C ）调查你所住单元各家庭订阅报刊杂志情况 （D ）调查本市小学生每人每天的零花钱 2、刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米栏训练，教练对他某段时间的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，教练需要知道这些成绩的（ ） （A ）平均数 （B ）方差 （C ）中位数 （D ）众数 3、为了了解某地5000名学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，下列说法不正确的是（ ） （A ）5000名学生成绩的全体是总体 （B ）每个学生的成绩是个体 （C ）抽取200学生成绩的集体是总体的一个样本 （D ）样本的容量是5000 4、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是80和0.125，则n 的值为（ ） （A ）800 （B ）1250 （C ）1000 （D ）640 5、如果一组数据的方差是2 s ，将每个数据都乘以2，所得新数据的方差是 ( ) （A ）2 5.0s （B ）2 4s （C ）2 2s （D ）2 s 6、为了保证分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等，则要求（ ） （A ）每层等可能抽样 （B ）每层抽取同样的样本容量 （C ）每层用同一抽样方法等可能抽样 （D ）不同的层用不同的方法抽样 7、若b a ,是常数，下列有关连加符号 ∑ =n k 1 的运算 ① ∑==n k na a 1 ，②∑∑===n k n k k f b k bf 1 1 )()(，③[]∑∑∑===+=+n k n k n k k g k f k g k f 1 1 1 )()()()( 其中错误的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ） 必修 1 数学知识点 第一章、集合与函数概念 § 1.1.1 、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法 . § 1.1.2 、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合 A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合A是集合 B的 子集。记作 A B . 2、如果集合A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集 . § 1.1.3 、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集 .记作：A B . 2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A与 B的交集.记作：A B . 3、全集、补集？C U A { x | x U , 且 x U } § 1.2.1 、函数的概念 1、设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数 f x和它对应，那么就称 f: A B 为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x , x A . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等 . § 1.2.2 、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. § 1.3.1 、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性证明的一般格式： 解：设 x1 , x2a, b 且 x1x2，则： f x1 f x2=, §1.3.2 、奇偶性 1 、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为奇函数. 奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） § 2.1.1 、指数与指数幂的运算 1、一般地，如果x n a ，那么x叫做a的n次方根。其中n 1, n N . 2、当n为奇数时，n a n a ； n n a n 高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f（x)定义域内任意一个ｘ，都有 ｆ(-x）=-f(ｘ),那么函数ｆ(x）叫做奇函数； 函如果对一函数ｆ（x)定义域内任意一个ｘ,都有 f(－x)＝f（x),那么函数ｆ(x)叫做偶函数 （1)利用定义直接判断; (２)利用等价变形判断： f(x)是奇函数ｆ(-x)+f(x)＝0?f(x)是 数ｆ(－ｘ)－ｆ(ｘ)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): （1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ａｘ2+bx+ｃ（a、 b、ｃ为常数,其中a ≠0) R a>0时，?[－ ,+∞） a＜０时,?(- ∞,] ｂ=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 ａ＞0时,?在(－∞，-]上是减函数 在（－,+∞]上是增函数 a<0时, 在（-∞,-］上是增函数 在(-，+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫 角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制１0＝弧度≈0.０1７４５ 弧度 l=S 扇形= 弧度制１弧度=≈５7018＇ｌ＝∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在ｘ轴负半轴上｛α∣α＝2kπ＋π,ｋZ} 在x轴上｛α∣α=ｋπ,k Z｝ 在y轴上{α∣α=ｋπ＋，k Z} 在第一象限内{α∣２ｋπ<α<2kπ+,kＺ} 在第二象限内{α∣2kπ+＜α<2kπ＋π,k Z｝ 在第三象限内 {α∣2ｋπ+π<α<2kπ+,ｋZ} 在第四象限内 ｛α∣2kπ+＜α<２kπ＋2π,kＺ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π ｓｉna 0 1 0 -1 ０ ｃosa １0 -１０ 1 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 高考数学总复习基础知识手册 一、 集合与简易逻辑 基本考点 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．子集个数 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 非空的真子集有2n –2个. 6. 7. 8. 9.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 常用结论 1.集合的元素具有无序性和互异性，确定性. 2.对集合A B 、，A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.? 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依 次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B =”；“并的补等于补的交，即 ()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”. 6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”. 7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”. 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果. 注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?. 8.充要条件 条件推结论为充分，结论反推条件为必要 二、 函 数 基础考点 1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： 高中数学各章节知识点汇总 目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21) 第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 原命题若p 则q 否命题 若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为 逆否 互逆否 互为逆否互互逆否 互第一章 集合与简易逻辑 一、集合知识 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质: ①U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C ②C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 6. 设集合A 中有n 个元素,则①A 的子集个数为n 2； ②A 的真子集个数为12-n ； ③A 的非空子集个数为12-n ；④A 的非空真子集个数为22-n . 7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集 二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法 1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式的解集b ax >（)00<>a a 或分 ②一元二次不等式的解集)0(02>>++a c bx ax ：（大于取两边，小于取中间） ③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过） 2.分式不等式的解法 ???≠≥?≥>?>0 )(0 )()(0)() (; 0)()(0) ()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f （移项通分，不能去分母） 3.含绝对值不等式的解法 c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （将x 的系数化为正,大于取两边，小于取中间） 三．简易逻辑 1．构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )(一真则真)； p 且q(记作“p ∧q ” )（一假则假）；非p(记作“┑q ” )（真假相反） 。 2．四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 (原命题?逆否命题) 3、充要条件： 4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 根据高分考生笔记整理，助你30分钟熟记高考数学必考知识点 快速提高高考成绩 高分考生的经验： 对于以下知识点不必死记硬背，打印出来夹在笔记本中就可以。在练习中遇上不懂，先不要看答案，看看以下知识点，尝试解题，这样留下的印象最深刻，思考过程最重要。往往是每道题到牵涉其中几个考点，一道题就巩固几个考点，一直坚持练习做题，可以快速提高成绩。一般在几天左右就可以见效果，明显感觉到思路通畅，速度明显提高。另外，题海战术不可取，泛泛做100道题，不如认认真真理解好1道典型例题。 一、集合 （1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 （3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 二、函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出； ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数高中数学知识点总结(精华版)
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