第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1 随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件
样本空间的子集——随机事件 A B C 样本点——基本事件， 随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A 的基本事件出现——A 发生，A 出现 Ω——必然事件 Φ——不可能事件 §2 事件间的关系与运算 一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差 运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A U U ； （2）123A A A ； （3）123A A A U U ； （4）123123123A A A A A A A A A U U ；
再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)() ()0,(),() P AB P A P B A P A >= 事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立， ,A B 独立,A B € 独立,A B € 独立,A B € 独立；
概率统计 第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件 样本空间的子集——随机事件A B C 样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现 Ω——必然事件Φ——不可能事件 §2事件间的关系与运算 一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差
运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A ； （2）123A A A ； （3）1 23A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ； 再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1 2 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++ ++ ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =- (4),()()A B P A P B ?≤ (5)0()1P A ≤≤ 三．条件概率与事件独立性 (1)() ()0,(),() P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立， ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立 ,A B 独立； ()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =； (3)1 2 1 212(,,,)()() () 1k k i i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤ 称12,,n A A A 相互独立,(2321n n n n n C C C n +++=--个等式)
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 考研数学备考：概率论各章节知识点梳理 众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布
其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理
第一讲 随机事件与概率 考试要求 1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算. 2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式. 3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型 1．试验，样本空间与事件. 2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数 中有利事件数 A A P = )( 3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则 、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积= )(A P 【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个； （2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回. 【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于 16 3. 一、 事件的关系与概率的性质 1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB , Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）. ? P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0
0） ? 1)|()|(=+B A P B A P （0
考研数学概率学：极大自然估计量考点 考研将第一时间整理发布考研相关信息，希望对2016考研考生有所帮助。 概率论与数理统计虽然占据的分值不是特别大，但是因其公式、概念的复杂，也着实难为了不少同学，下面，在复习中很多同学都抱有疑问，考研老师就针对学院问的最多的问题为大家作出解答，希望能帮助考生顺利通过考研秋季复习。 对于数学一的考生或者数学三的考生来说，这个类型是考试的重点，每门课程重点有很多，不是每个重点都考，只要重点的地方考生不要投机取巧，比如参数估计，三种方法，那就是矩估计方法，极大似然估计方法，区间估计方法，这三种方法前两者是重点。大家记几个公式就可以了，2003年数学一考了区间估计的填空题。你对前面两者要熟练掌握，前面两种对整体没有做限制，所以命题空间比较大。如果命题空间小考的可能性有很小。你四个步骤一定要掌握，刚才有网友说那个计算量太大，考试的题计算量不会太大。第一步一定要把函数会写出来，数量函数有两种：一个是总体是离散型的一个是连续型的，你都要会写出来，离散型是指联合分布率，连续型是联合密度，因为这个联合密度和联合分布率都具有独立性，都是等于边缘密度的乘积，做任何一个，只要考这类型的题第一步少不了，你的问题属于会把L似然函数写出来，把L写出来以后下面求L关于未知参数最大值点的问题，这是高等数学微积分里面最基本的问题，所以一般的话，我们先取对数，取对数以后令这个函数对未知参数的导数等于零，这个偏导数或者导数等于零的解就是可能的极值点。当然也可能出现这种情况，偏导数等于零的方程没有解的情况，只考过一次，这个时候找未知参数的边界点，取值范围的定义域找到它，这个2000年考过一次，这个大家要注意，有解没有解的都会做了你就不怕他考了。
考研概率与数理统计 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念例题 例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问 总共输的场次是多少？ 例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有 小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？ 例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和 Titanic 号，问有多少种走法？ 例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。 例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1， B 2，…，B 7。若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有 A ． 315个 B ． 316个 C ． 317个 D ． 318个 例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。 例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序） 151513=?C C 2112121515=?-?C C C C 例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序） 121413=?C C 1811121415=?-?C C C C 例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序） 121413=?C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B) 例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ? (2) C B ? 例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？ 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？ 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？ 例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。 ①从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。 ②从袋中任意地接连取出k+1（k+1≤α+β）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。 ③上两题改成“放回”。 例1．17：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。 例1．18：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？ 例1．19：设O 为正方形ABCD[坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）]中的一点，求 其落在x 2+y 2 ≤1的概率。
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考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E 。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A, B 的积，记为AB 。 2、事件的和—事件A 或者事件B 发生,称为事件A, B 的和事件，记为A B 。 3、事件的差—事件A 发生而事件B 不发生,称事件A, B 的差事件，记为A B 。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A 发生则事件B 一定发生，称A 包含于B ，记为A B 。若A B 且B A ，称两事件相等，记A B 。 2、互斥（不相容）事件—若A 与B 不能同时发生，即AB ，称事件A, B 不相容或互斥。 3、对立事件—若AB 且A B 称事件A, B 为对立事件。 【注解】（1）A ( A B) AB ，且A B 与AB 互斥。 （2）A B ( A B) (B A) AB ，且A B, B A, AB 两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB A(或B) A B ；（2）AB BA, A B B A ； 2、（1）A A A, A A A ； （2）A (B C) ( A B) ( A C), A (B C) ( A B) ( A C) ； 3、（1）A ( A B) A ；（2）( A B) A A B ； （3）A B ( A B) AB (B A) 。 4、（1）A A ；（2）A A 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为，满足如下条件的随机事件的函数P() 称为所对应事件的概率：
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 考研数学概率论与数理统计经典十问 1. 概率的公式、概念比较多，怎么记? 答：我们看这样一个模型，这是概率里经常见到的，从实际产品里面我们每次取一个产品，而且取后不放回去，就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话，大家看看有什么不同，第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品，我们每次取一件，取后不放回”，下面我们来求四个类型，第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的，这是四个完全不同的概率，但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型，但实际上是不一样的。 先看第一个“第三次取得次品”，这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系，所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道，这个概率应该是等于十分之三，用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三，就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出，日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。拿这个模型来说，第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率，第三次才取到次品的概率，这个事件描述的是绩事件，这是概率里重要的概念，改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的，如果表示的可以这样表述，如果用A1表示第一次取到次品，A2表示第二次取到次品，A3是第三次取到次品。 如果A表示第一次不取到次品，B表示第二次不取到次品，C表示第三次不取到次品，求ABC绩事件发生的概率。第三问表示条件概率，已知前两次没有取到次品，第三次取到次品P(C|AB)，第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问，不超过三次取得次品，这是一个和事件的概率，就是P(A+B+C)。从这个例子大家可以看出，概率论确实对题意的理解非常重要，要把握准确，否则就得不到准确的答案。 2. 概率的数理统计要怎么复习?什么叫几何型概率? 答：几何型概率原则上只有理工科考，是数学一考察的对象，最近两年经济类的大纲也加进来了，但还没有考过，数学三、数学四的话虽然明确写在大纲里，还没有考。明年是否可能考呢?几何概率是一个考点，但不是一个考察的重点。我个人认为一是它考的可能性很小，如果考也是考一个小题，或者是选择题或者是
，则可作图长方形内的点的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定义
可作图，则，对于这个大图形中的任意一点来说，不是属于 至少有一个发生”的定义；同理，事件可以借助右图表示公式左端的三个圆形各自互不相交的三部分再加上a 代表的区域包括、)(C P A B ，比左端多加了一次)22d c +
很多题利用这三个公式间的相互转化关系很容易求得答案。这三个公式的含义从直观上就能理解：公式（1）表示事件、同时发生的概率等于发生的概率减去发生而A B A A 不发生的概率；（2）式表示事件、同时发生的概率等于发生的概率乘以在B A B A 发生的条件下也发生的概率；当、相互独立时，也就是指事件与事件A B A B A 的发生互不影响，此时应该有、所以B )()|(B P A B P =)()|(A P B A P =由（2）式即可得出（3）式。出题人)()()|()()(B P A P A B P A P AB P ==从这三个公式意义上的相通性出发可以很灵活地构造题目，在后面的评题中会对这个知识点作更具体的讨论。 1.3第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》、第四章《大数定律和 中心极限定理》 对于这一部分的复习可说的东西不多，因为在考试中出现的概率题目其实有相当大一部分难度是被解题所用的繁杂公式“分走”了，既然理解、掌握和牢记公式本身就不容易，那么题目的结构相对而言就要简单一些，我们甚至会发现历年真题中的有的题就像是课本上的例题一样。 这种情况有点像我们在英语考试中作阅读理解题，问题本身的含义并不复杂，难就难在文章中的单词“似曾相识”和句子看不懂上。而英国学生考“语文”时做的阅读理解问题肯定要比我们遇到的题目要复杂深入的多——因为考察的重点不一样。所以对于概率部分的复习，有两个步骤即可：首先是牢记公式，然后是把题做熟,在练习过程中透彻理解概念公式和性质定理。 陈文灯复习指南概率第二、三章把知识点列成了大表格，所有东西一目了然，复习时用来记忆和对比很方便。对于第二章的大表格也可以利用各部分之间的联系来对照复习，比如说二维分布的性质基本上与一维分布的性质一一对应（类似于二重积分和定积分性质之间的关系），二维边沿分布的内容与一维分布本质上也是相通的，离散型和连续型分布的各知识点也可互相对比、区别记忆。也就是“一维和二维相联系、离散和连续相对比、随机变量分布和随机变量函数的分布相区别”。 同时对于重要分布如二项、泊松、正态、均匀、指数分布必需记得非常牢，因为考试时会直接拿这些分布做题干来考察各章知识点，万一出现“由于题干中的分布函数不会写或写错而导致整道大题知道怎么做也没法做”的情况将是非常可惜的。 本章的一维连续分布和二维离散分布在历年真题中出现频率最高，最常考分布是均匀、指数和正态分布。对于一维连续型分布的性质可借助图像理解
精心整理 考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 的概率：
1、对事件A，有P(A)??0（非负性）。 2、P(?)??1（归一性）。 ?? 3、设A1,A2,L,A n,L为不相容的随机事件，则有P(U A n)????P(A n)（可列可加性）。 n?1n?1 （二）概率的基本性 质 1、P(?)??0。 n n 2、设A1,A2,L,A n为互不相容的有限个随机事件列，则P(U A k)????P(A k)。 k?1 k?1 3、P(A)??1??P(A)。 4 Array 1 （ （ 2 3 （ （ 1 2 （ （
（3）设P(A)??0,P(B)??0，若A,B独立，则A,B不互斥；若A,B互斥，则A,B不独立。 四、全概率公式与Bayes公式 1、完备事件组—设事件组A1,A2,L,A n满足：（1）A i A j???(i,j??1,2,L,n,i? j)； n （2）U A i????，则称事件组A1,A2,L,A n为一个完备事件组。 i?1 2、全概率公式：设A1,A2,L,A n是一个完备事件组，且P(A i)??0(i??1,2,L,n)，B为事件，则 n P(B)????P(A i)P(B|A i)。 i?1 3、贝叶斯公式：设A1,A2,L,A n为一个完备事件组，且P(A i)??0(i??1,2,L,n)，B为任一随机事件，P(B) 1 （ 2概率为 3???9 ， 16 则P(A 4 5不发生B 1
2015考研数学概率论零基础入门讲义 目录 第一讲随机事件与概率 (1) 第二讲一维随机变量及其概率分布 (7) 第三讲随机变量的数字特征 (12)
【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。 （2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记. 第一讲随机事件与概率 一、从古典概型讲起 1.随机试验与随机事件称一个试验为随机 试验，如果满足： （1）同条件下可重复 （2）所有试验结果明确可知且不止一个 （3）试验前不知哪个结果会发生 【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ． ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi . 2.古典概率称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空 间)满足: (1)只有有限个基本事件(样本点)； (2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样． 【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样. ②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为 P(A) =k = 事件A所含基本事件的个数n 基本事件总数 由上式计算的概率称为A 的古典概率． 3.计数方法 1
考研数学之概率讲义分析
概率统计 第一讲 随机事件和概率 考试要求：数学一、三、四要求一致。 了解：样本空间的概念 理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验 掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算 会计算：古典概率和几何型概率。 §1随机事件与样本空间 一、随机试验：E （1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知 二、样本空间 试验的每一可能结果——样本点ω 所有样本点全体——样本空间Ω 三、随机事件 样本空间的子集——随机事件A B C 样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。 如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现 如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现 Ω——必然事件Φ——不可能事件 §2事件间的关系与运算
一．事件间关系 包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算： 并，交，差 运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示 例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件： “第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）1223 13A A A A A A ； （2）123A A A ； （3）1 2 3A A A ； （4）123123123A A A A A A A A A ； 再用123,,A A A 表示下列事件： (5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。 §3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式 一．公理化定义 ,,A P Ω (1)()0P A ≥ (2)()1P Ω= (3)12 12()()()()n n P A A A P A P A P A =++++ ,i j A A i j =?≠ 二．性质 (1)()0P ?= （2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++ ,i j A A i j =?≠ (3)()1()P A P A =-