直线与平面相交的结论
在数学中，直线与平面的相交是一种重要的几何问题。当直线与平面相交时，我们可以得到一些有用的结论和性质。下面，我们来探讨一下直线与平面相交的几个结论。
结论一：直线与平面相交，必定存在一点在直线和平面的交点上。
这是直线与平面相交最基本的结论。也就是说，如果一条直线和一个平面相交，那么一定存在一个点，这个点既在直线上，也在平面上。这个点就是直线和平面的交点。这个结论在很多几何问题中都非常有用，比如求直线与平面的距离、求直线与平面的夹角等等。
结论二：直线与平面相交，夹角的正弦值等于直线在平面上的投影与直线长度的比值。
这个结论是求直线与平面夹角的重要公式。我们可以用这个公式来求直线与平面的夹角，进而求解很多几何问题。需要注意的是，这个公式只适用于直线与平面的夹角小于90度的情况。
结论三：直线与平面相交，直线在平面上的投影长度等于直线长度乘以夹角的余弦值。
这个结论也是求直线在平面上的投影长度的重要公式。我们可以用这个公式来求解很多几何问题，比如求平面内一点到直线的距离等等。需要注意的是，这个公式只适用于直线与平面相交的情况。
结论四：直线与平面相交，如果直线垂直于平面上的一条直线，则这条直线是平面的法线。
这个结论是求平面法线的重要方法。如果我们知道了直线与平面相交，并且这条直线垂直于平面上的一条直线，那么这条直线就是平面的法线。这个结论在很多几何问题中都非常有用。
以上就是直线与平面相交的几个结论。这些结论在几何问题中非常重要，可以帮助我们求解很多几何问题。需要注意的是，这些结论都是在直线与平面相交的前提下成立的。如果直线与平面不相交，这些结论就不适用了。
直线与平面的交点计算方法直线与平面的相交是几何学中常见的问题，求解直线与平面交点的方法有多种。在本文中，我们将介绍两种常用的计算方法：代数法和向量法。 一、代数法 代数法是一种基于方程的计算方法。设直线的方程为L，平面的方程为P，我们需要求解直线L与平面P的交点坐标。 步骤1：求解平面与坐标轴的交点。 首先，我们可以将平面方程P中的其中一个变量置为0，然后解出另外两个变量的值，即可得到平面与坐标轴的交点坐标。设平面与x 轴交点坐标为(x0, 0, 0)，与y轴交点坐标为(0, y0, 0)，与z轴交点坐标为(0, 0, z0)。 步骤2：求解直线方程L。 通过已知条件或题目中给出的信息，可以得到直线的方程L。直线的方程通常有参数形式和一般形式两种表示方式，我们需要将其转化为参数形式，即用参数t表示直线上的点的坐标。 步骤3：求解交点坐标。 将直线方程L代入平面方程P中，得到一个关于参数t的方程。解这个方程可以求得参数t的值，将t代入直线方程L中，即可得到交点的坐标。
二、向量法 向量法是一种利用向量运算求解直线与平面交点的方法。 步骤1：求解平面与坐标轴的单位法向量。 利用平面方程P，我们可以得到平面的法向量n。将平面的系数分别作为法向量的分量，归一化得到单位向量。设平面的单位法向量为n(a, b, c)，其中a、b、c分别为平面方程P中对应系数的值。 步骤2：求解直线的方向向量。 根据已知条件，可以求得直线的方向向量，设直线的方向向量为d(d1, d2, d3)。 步骤3：计算直线与平面的交点坐标。 利用向量的内积运算，计算直线的方向向量d与平面的法向量n之间的内积D。然后，代入直线上的一点坐标与平面上的一点坐标，利用内积的性质可得交点坐标。 总结： 本文介绍了直线与平面的交点计算方法，包括代数法和向量法。代数法是基于方程的计算方法，通过求解直线方程和平面方程的交点来得到结果。向量法则是利用向量运算，通过求解直线的方向向量与平面的法向量之间的内积来得到交点坐标。在实际应用中，选择合适的计算方法取决于问题的条件和具体情况。通过掌握这两种方法，可以更灵活地解决相关几何问题。
立体几何（线面平行、垂直的有关结论） 空间中线面平行、垂直关系有关的定理： 1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。 2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。 3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。 5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。 8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。（） 9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。 10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。 11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。（） 12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。（） 13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。 14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。 15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。（） 17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。 18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。 19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：
直线与平面交点的求法 直线与平面交点的求法是几何学中一个非常基础且重要的概念。它在各种数学、物理和工程学科中都有着广泛的应用。在本文中，我们将介绍直线与平面交点的概念、求解方法以及相关的应用。 一、直线与平面交点的概念 直线与平面交点，指的是直线与平面的交点。在几何学中，直线是一个无限延伸的线段，而平面则是一个无限延伸的二维空间。当直线与平面相交时，它们会在某个点上相遇，这个点就是它们的交点。 在三维空间中，一条直线可以由一个点和一个方向向量来确定，而一个平面可以由三个不共线的点来确定。因此，当我们知道直线和平面的方程时，就可以求出它们的交点。 二、直线与平面交点的求解方法 1. 列方程求解 当直线和平面的方程已知时，我们可以通过列方程求解来求出它们的交点。 假设直线的方程为： l: x = x0 + ta y = y0 + tb z = z0 + tc 其中 (x0, y0, z0) 是直线上的一个点，(a, b, c) 是直线的方向向量，t 是任意实数。 平面的方程为：
ax + by + cz + d = 0 其中 (a, b, c) 是平面的法向量，d 是平面的截距。 当直线和平面相交时，它们的交点满足直线和平面的方程，即： ax + by + cz + d = 0 x = x0 + ta y = y0 + tb z = z0 + tc 将直线的方程代入平面的方程中，得到： a(x0 + ta) + b(y0 + tb) + c(z0 + tc) + d = 0 整理得到： at + bx0 + by0 + cz0 + d = 0 因为直线的方向向量 (a, b, c) 不为零，所以 t 可以解出来： t = - (bx0 + by0 + cz0 + d) / (a^2 + b^2 + c^2) 将 t 的值代入直线的方程中，即可得到直线和平面的交点： P = (x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) 2. 向量法求解 向量法是一种更加简便的求解直线与平面交点的方法。我们可以将直线和平面的方程表示成向量的形式，然后通过向量的运算求解它们的交点。 假设直线的方程为： l: r = r0 + t v 其中 r 和 r0 是直线上的两个点，v 是直线的方向向量，t 是
一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 L A · α C B · A · α P · α L β 共面直线
5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2直线、平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 1、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 平面与平面平行的判定 1、判定定理1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 简记为：线面平行则面面平行。 2、判定定理2:如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两 个平面平行。 3、判定定理3：平行于同一个平面的两个平面平行。 4、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
计算直线与平面的交点 直线与平面的交点是几何学中常见的问题，涉及到直线与平面的交 点计算方法、几何性质以及应用等方面。在本文中，我们将探讨如何 计算直线与平面的交点，并介绍一些相关的几何知识。 一、直线与平面的交点计算方法 计算直线与平面的交点可以使用解析几何的方法，根据直线的方程 和平面的方程进行求解。 1. 直线的方程 直线的方程通常用参数方程或者一般式方程表示。以参数方程为例，直线可以表示为： x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct 其中 (x₀, y₀, z₀) 是直线上的一点，(a, b, c) 是直线的方向向量，t 是参数。 2. 平面的方程 平面的方程一般使用一般式方程表示。一般式方程可以表示为： ax + by + cz + d = 0 其中 (a, b, c) 是平面的法向量，(x, y, z) 是平面上的一点，d 是常数。
3. 求解交点 要计算直线与平面的交点，我们需要将直线方程代入平面方程中，然后解方程组得到交点的坐标。 假设直线的参数方程为 x = x₀ + at，y = y₀ + bt，z = z₀ + ct；平面的一般式方程为 ax + by + cz + d = 0。 将直线方程代入平面方程，得到： a(x₀ + at) + b(y₀ + bt) + c(z₀ + ct) + d = 0 对上述方程进行整理，得到： ax₀ + by₀ + cz₀ + d + (at)a + (bt)b + (ct)c = 0 由此可以解得参数 t 的值，然后再将 t 的值代入直线方程中求得交点的坐标。 二、直线与平面的几何性质 直线与平面的交点具有一些几何性质，这些性质有助于解决相关问题和应用。 1. 垂直性 当直线与平面相交，并且直线的方向向量与平面的法向量垂直时，它们被称为相互垂直。 2. 平行性
解析几何直线与平面的交点求解方法解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质和变换的方法。 其中，直线与平面的交点问题是解析几何中的重要问题之一。在解析 几何中，我们可以通过不同的方法来求解直线与平面的交点，本文将 从向量法和参数方程法两个方面进行介绍与分析。 一、向量法求解 向量法是解析几何中常用的一种方法，在求解直线与平面的交点问 题上也能发挥重要作用。首先，我们要了解直线和平面的方程表达形式。 1. 直线的方程：一般来说，直线的方程可写作AA+AA+AA+A=0， 其中A、A、A分别代表直线在A、A、A轴上的方向向量，A表示与原 点距离。如果将方程中的A移到等号右侧，则可得到一般的点法式方程：A⋅(A−A₀)=0，其中A=(A,A,A)为法向量，A₀为直线上一点的坐标， A=(A,A,A)为直线上的任意一点的坐标。 2. 平面的方程：通常，平面的方程可写作AA+AA+AA+A=0，其中 A、A、A为平面的法向量，A表示与原点的距离。同样地，如果将方 程中的A移到等号右侧，我们可以得到一般的点法式方程： A⋅(A−A₀)=0，其中A=(A,A,A)为法向量，A₀为平面上一点的坐标， A=(A,A,A)为平面上的任意一点的坐标。 当我们有了直线和平面方程后，通过求解二者的交点，即可确定它 们的交点坐标。要求解交点，可以按照以下步骤进行：
1. 将直线方程和平面方程中的未知量代入得到方程组。 2. 利用向量的内积运算法则，将方程组中的向量计算出来，并进行 向量的运算。 3. 求解方程组，即找到方程组的解。通常，方程组的解可以通过高 斯消元法、向量积法等方法来求得。 4. 根据方程组的解，可以得到直线与平面的交点坐标，从而完成交 点的求解。 二、参数方程法求解 除了向量法，参数方程法也是解析几何中求解直线与平面交点的常 用方法。通过参数方程法，我们可以将直线的方程和平面的方程转化 为参数方程的形式，从而求得交点的坐标。 1. 直线的参数方程：设直线上任意一点为A=(A,A,A)，则直线的参 数方程可表示为 A=A₀+AA， 其中A₀为直线上已知点的坐标，A为直线的方向向量，A为参数。 2. 平面的参数方程：设平面上任意一点为A=(A,A,A)，则平面的参 数方程可表示为 A=A₀+AA+AA， 其中A₀为平面上已知点的坐标，A、A为平面上的两个不平行向量，A、A为参数。
第3讲 直线和平面 1．概念 （一）空间两直线的位置关系：平行、相交、异面 （二）直线和平面的位置关系： 直线在平面内、相交、平行 1、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则此直线和该平面平行。 2、直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直. 其中，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。 （三）两个平面的位置关系：平行、相交 1 、两个平面互相平行的定义：两平面没有公共点。 2、两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 （四）角 1．两异面直线所成的角： 过空间任意一点引两条直线分别平行（或重合）于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）。范围为 ( 0°，90°] 2、直线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 规定：(1)直线与平面垂直时，所成的角为直角，(2)直线与平面平行或在平面内，所成的角为0° (3) 直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°] 3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°,180°] （1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 （2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 （五）距离 1、点到平面的距离．从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离。 2、平行直线和平面的距离：直线上任意一点到平面的距离。 2．公理、定理、推论 （一）立体几何三公理 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面。 推论1：过一条直线和此直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。 （二）直线与直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性） B A O β α α l a α l β a b α
解析几何直线与平面的交点求解技巧几何学中，直线与平面的交点求解是一个重要的问题。在解析几何中，我们可以通过一些技巧和方法来求解直线与平面的交点坐标。本文将介绍几种常用的技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。 一、点法式求解交点 点法式是求解直线与平面交点的一种常见方法。它基于平面法向量与直线的方向向量垂直的原理。具体的求解步骤如下： 1. 确定平面的法向量n和平面上的一点P，使得平面的方程为A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0，其中A、B、C分别为平面的法向量的三个分量，(x1,y1,z1)为平面上已知的一点坐标。 2. 确定直线的方向向量V和直线上的一点Q，使得直线的参数方程为x=x0+tv，y=y0+tw，z=z0+tw，其中(x0,y0,z0)为直线上已知的一点坐标，v、w为直线的方向向量的两个分量。 3. 建立一个关于变量t的方程：将直线方程代入平面方程，得到一个关于t的一次方程，即At(vt +x0-x1) + Bt(wt + y0-y1) + Ct(wt + z0-z1) = 0。 4. 解方程得到t的值，将t的值带入直线方程，求得交点坐标。 二、向量叉乘法求解交点 向量叉乘法是求解直线与平面交点的另一种常用方法。它利用平面法向量与直线上两个向量的叉乘为零的原理。具体的求解步骤如下：
1. 确定直线上的两个向量L和M，使得直线的参数方程为x=x0+tv，y=y0+tw，z=z0+tw。 2. 建立一个关于变量t的方程：将直线上的两个向量分别与平面的 法向量进行叉乘，得到两个关于t的方程，即(L×M)•n = 0。 3. 解方程得到t的值，将t的值带入直线方程，求得交点坐标。 三、标准方程求解交点 在一些特殊情况下，可以利用直线和平面的标准方程求解交点。例如，如果直线的参数方程为x=x0+tv，y=y0+tw，z=z0+tw，平面的标准方程为Ax+By+Cz+D=0，可以将直线方程代入平面方程，得到一个关 于t的一次方程。解方程得到t的值，将t的值带入直线方程，求得交 点坐标。 四、示例分析 我们通过一个具体的示例来展示上述方法的应用。 已知直线L的方程为： x=1-t y=2+t z=3t 平面P的方程为： x+2y-3z+4=0
判断直线与平面的位置关系已知直线方程和 平面方程 在三维几何中，我们经常需要判断直线与平面的位置关系。为了解决这个问题，我们可以利用已知直线方程和平面方程来进行判断。在本文中，我们将探讨如何通过直线方程和平面方程来判断它们之间的位置关系。 首先，我们来回顾一下直线方程和平面方程的一般形式。一个直线可以由参数方程或者一般方程来表示。参数方程的形式通常为：x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct 其中 (x₀, y₀, z₀) 是直线上的一点，(a, b, c) 是直线的方向向量，t 是参数。 另一方面，平面方程的一般形式为： Ax + By + Cz + D = 0 其中 A、B、C 是平面的法向量的分量，而 D 是一个常数。 现在我们来讨论直线与平面的位置关系。根据平面的法向量与直线的方向向量之间的关系，我们可以将直线与平面的位置关系分为以下三种情况：
1. 直线与平面平行：如果直线的方向向量与平面的法向量平行（即两者的向量积为零），则直线与平面平行。在这种情况下，直线和平面之间没有交点。 2. 直线与平面相交：如果直线的方向向量与平面的法向量不平行，但直线上的一点满足平面方程，则直线与平面相交。在这种情况下，直线与平面有且仅有一个交点。 3. 直线与平面重合：如果直线上的任意一点都满足平面方程，则直线与平面重合。在这种情况下，直线与平面有无限多个交点。 现在让我们通过一个具体的例子来说明如何判断直线与平面的位置关系。 假设有直线 L 的方程为： x = 2 + t y = 1 - t z = 3 + 2t 平面 P 的方程为： 2x - y + z - 4 = 0 首先，我们计算直线的方向向量。由于直线方程中的参数 t 的系数分别为 1，-1 和 2，因此直线的方向向量为 (1, -1, 2)。 其次，我们计算平面的法向量。根据平面方程的系数，可得平面的法向量为 (2, -1, 1)。
直线平行于平面的判定 直线平行于平面，是几何学中重要的概念，是判断几何图形是否平行的基础，也是许多几何问题的重要依据。本文旨在介绍如何判断一条直线是否平行于一个平面。 二、直线平行于平面的条件 1.条直线与一个平面的交点必然是该直线的端点，不存在内点，这是判断该直线是否平行于该平面的最基础条件。 2.设一条直线相交于平面，当其两端点中某一点A到平面的距离恒定，而另一点B距离平面的距离先减小又增大，则该直线平行于平面。 3.直线的两个端点的距离都恒定，则它就是平行于该平面的。 三、直线与平面的交线 1.线与平面的交线是指两个平面相交而形成的交点在同一条直 线上，这条直线的各点都在两平面的交面上，而且每个点都位于两平面的切线中，因此，这条直线就是直线与平面的交线。 2.果一条直线与平面相交，而每个点都不位于两平面的切线中，这条直线即不在相平面上，也不在其他平面上，而是两平面交叉处的一条直线，称为直线与平面的交线。 四、直线平行于平面的推论 1. 两条不同的直线就算都与一个平面相交，若其相交的位置不一样，也可能使其二者都平行于该平面。 2. 两条相同的直线如果平行于一个平面，则证明该平面与所谓
的平行平面一定相平行； 3.有两条直线平行于一个平面，则其连接线段与该平面也必然垂直。 五、推论的证明 1.于证明第一条推论，即两条不同的直线就算都与一个平面相交，若其相交的位置不一样，也可能使其二者都平行于该平面，设两直线分别为AB,CD，其交于平面P，可将两直线分别延长至其他一边，构 造出直线ABCD，取ABC三点，绘制ABC三角形，如果该三角形边长 满足勾股定理，即证明AB ,CD行。 2.于第二条推论，即两条相同的直线如果平行于一个平面，则证明该平面与所谓的平行平面一定相平行，设两直线分别为AB,CD，其交于平面P，此时AB=CD，而且两此直线都平行于P，则证明 P行于P，即P和P平行。 3.于第三条推论，即若有两条直线平行于一个平面，则其连接线段与该平面也必然垂直，设两直线分别为AB,CD，其交于平面P，此 时AB=CD，而且两此直线都平行于P，则证明 BC直于P，即说明连接线段与该平面垂直。 六、总结 直线平行于平面是几何学中常见的概念，判断一条直线是否平行于一个平面，可以根据其端点与平面的距离，以及交叉处的位置，来判断是否满足平行性，另外还可以根据相关推论，进行更加详细的分析。
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。符合表示： β β β // // a b a b a ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⊂ ⊄ 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号表示： b a b a a a // // ⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = ⊂ ⊄ β α β α α 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α// // // ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示：d l d l// // ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = γ β γ α β α （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直
线垂直这个平面。 符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂α αα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥⇒⊂⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，
高中数学必修2知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
直线和平面垂直的定义：如果一条直线a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面 互相垂直.直线a 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a 的垂面。 直线与平面垂直的判定定理（线线垂直→线面垂直）：如果一条直线和 一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 基础例题：1、求证在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，体对角线AC 1垂直于面对角线BD 2、AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，证明：PAC BC 平面 直线与平面垂直的性质定理（线面垂直→线线垂直）：如果一条直线垂 直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。 基础例题1.已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,中点为CD E ，求证：AB ⊥CD 推论1（线线平行→线面垂直）如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么 另一条也垂直于这个平面。 C C1
推论2（线面垂直→线线平行）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线平行。 正方体AC 1中，EF 与异面直线AC,A 1D 都 垂直相交，交点分别为E,F ， 求证：EF//BD 1 2、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理（线线平行→线面平行）：如果平面外一条直 线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 基本例题：1已知：空间四边形ABCD 中，F E ,分别是AD AB ,的中点 求证：BCD EF 平面//
2、已知，空间四边形ABCD 中，H G F E ,,,分别是边DA CD BC AB ,,,的中点 求证：EFG AC 平面// 直线和平面平行的性质定理（线面平行→线线平行）：如果一条直线和 一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 基础例题：如图,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH ∥FG . 四、两个平面的位置关系： （1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系： 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。 1、平行 两个平面平行的判定定理（线面平行→面面平行）：如果一个平面内有两 条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 基础例题：已知三棱锥ABC P 中，F E D 、、分别是棱PC PB PA 、、的中点
【课题】9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】 知识目标： （1）了解两条直线的位置关系； （2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质． 能力目标： 培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质． 【教学难点】 异面直线的想象与理解． 【教学设计】 本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯． 通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识． 要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
图9−13 观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直 探索新知 在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是共面直线．不同在任何一个平面内的两条直线叫做
直线与平面的位置关系知识点归纳
D C B A α 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平 面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且L A · α C · B · A · α
P · α L β 只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共 点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 共面
P · α L β D C B A α 第二章直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法与表示 〔1〕平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长〔如图〕 〔2〕平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： 〔1〕公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 〔2〕公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 〔3〕公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直 L A · α C · B · A · α 共面直线 =>a ∥c 2