平面向量六大题型
知识点:
1.向量的有关概念
(1)定义:即有大小,又有方向的量叫做向量. (2)表示:
r u u u r
(,)OA x y =u u u r
2121(,)AB x x y y =--u u u r
(3)向量的长度(模):a r 或AB 的模记作||a r 或||AB u u u r .
(4)几种特殊向量:
2.向量的运算 运算
几何表示
字母表示 坐标表示
加法
a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r
三角形法则 类比“位移之和”
首尾相连,首位连 11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r
1212(,)a b x x y y +=++r r
a b AB AD AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r
平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点,对角线
减法
a b AB AC CB -=-=r r u u u r u u u r u u u r 共起点,后指前
11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r
1212(,)a b x x y y -=--r r
数乘
长度变为||λ倍
0λ>,方向相同
0λ<,方向相反
0λ=,0a λ=r r
11(,)a x y =r
12(,)a x x λλλ=r
数量积
||||cos a b a b θ?=r r r r
11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r
1212a b x x y y ?=+r r
3.其他概念
(1)平面向量基本定理:如果1e u r ,2e u u r
是同一平面内的两个不共线向
量,那么对于这一平面内的任意向量a r
,有且只有一对实数1λ,2λ,
使1122a e e λλ=+r u r u u r ,我们把不共线的向量1e u r ,2e u u r 叫做表示这一平面内所
有向量的一组基底.
(2)投影:||cos (||cos )a b θθr r 叫做向量a r 在b r 方向上(b r 在a r
方向上)的投影.常用投影计算公式:||cos ||||||
a b
a a a
b θ?==
r r
r r r r ||
a b b ?r r r . (3)向量不等式:||||||||||||a b a b a b -≤±≤+r r r r r r (等号在向量a r ,b r
共线时取得).
4.重要结论
5.常用性质
设向量a r 与b r
夹角为θ,11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r .
重要考试题型:
题型一:向量概念
1
给出如下命题:
①若||||a b =r r ,则a b =r r ;
②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC =u u u r u u u r
是四边形ABCD 为平行四边形的
充要条件; ③若a b =r r ,b c =r r ,则a c =r r ; ④a b =r r 的充要条件是||||a b =r r 且a b r r
∥;
⑤若a b r r ∥,b c r r ∥,则a c r r
∥. 其中正确的命题的序号是______.
解析:①两向量模相等,方向不一定相同,所以a b =r r
不正确;
②AB DC =u u u r u u u r
说明AB 和DC 两条边即平行又相等,可以推出四边形为平行四边形,反之也
成立,是充要条件,正确;
③两个向量相等说明它们大小相等,方向相同,故满足此条件的都是相等向量,正确;
④两向量模相等,且平行,不能说明它们方向相同,故错误;⑤若0b =r r ,根据0r
与任意向量平行的性质,则a b r r ∥且b c r r ∥,但a r 与c r 之间不一定平行,不排除0r
时,向量之间没有平
行的传递性,故错误;
主要考察向量定义,表示、以及特殊向量,属于基础题型,需要注意的是: (1)向量二要素(大小、方向)
(2)加模后变为实数,去掉了方向的要素,可以比较大小
(3)0r
与任意向量共线(没有平行传递性)
(4)共线向量方向相同或相反 (5)相反向量长度相等
答案:C
题型二:向量四则运算
1
如图:正六边形ABCDEF 中,BA CD EF ++=u u u r u u u r u u u r
( ) A .0r B .BE u u u r C .AD u u u r D .CF u u u r
解析:由于BA DE =u u u r u u u r ,故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
答案:D
2
根如图所示,已知正六边形ABCDEF ,O 是它的中心,若BA u u u r =a r ,BC uuu r =b r ,试用a r ,b r 将向量OE uuu r ,BF u u u r ,BD u u u r
,
FD u u u r
表示出来.
解析:OE BO a b ==+u u u r u u u r r r ;2BF BA AF BA BO a b =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ; 2BD BC CD BC BO a b =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ;FD AC BC BA b a ==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r . 答案: a b +r r ,2a b +r r ,2a b +r r ,b a -r r
3
AB AC BC --=u u u r u u u r u u u r
( )
A .2BC u u u r
B .0r
C .2BC -u u u r
D .2AC u u u r
主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则,包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式,属于基础题型,需要注意: (1)向量没有位置概念,相等向量的有向线段等价 (2)熟练掌握加减法的口诀,可以直接计算的就不必画图 (3)注意数形结合思想的运用,加减法的对角线性质 (4)字母运算和坐标运算自成一体,也可相互转化
如图,D ,E ,F 分别是ABC V 的边AB ,BC ,CA 的中点,则( )
A .0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r
B .0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
C .0A
D C
E C
F +-=u u u r u u u r u u u r r D .0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r
u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
题型三:平面向量基本定理
1
在ABCD Y 中,AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r ,3AN NC =u u u r u u u r
,
M 为BC 的中点,则MN =u u u u r
_____.
解析:33()44AN AC a b ==+u u u r u u u r r r ,1122
AM AB BM AB AD a b =+=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r r r
,
所以1144
MN AN AM a b =-=-+u u u u r u u u r u u u u r r r .
答案:1144
a b -+r r
2
如图,在平行四边形ABCD 中,M ,N 分别为DC ,
BC 的中点,已知AM c =u u u u r r ,AN d =u u u r u r ,试用c r
,
d u r
表示AB u u u r ,AD u u u r .
解析:设AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r ,则12
12c AM AD DM b a d AN AB BN a b ?==+=+????==+=+??
r u u u u r u u u r u u u u r r r u r u u u r u u u r u u u r r r ,解得
2(2)3
2(2)
3a d c b c d ?=-????=-??
r u
r r r r u r ,所以4233AB d c =-u u u r u r r ,4233AD c d =-u u u r r u r . 答案:4233
AB d c =-u u u r u r r ,4233AD c d =-u u u r r u r
主要考察用两个不共线向量表示一个向量,即12a e e λμ=+r u r u u r
,大部分是围绕求基底
的系数出题,属简单题型,但考查方式较为灵活,需要注意:
(1)有些目标向量用已知基底不太好构造,可以用相对熟悉的基底(例如平行四边形的临边)来表示已知基底,再用熟悉的基底来表示目标向量
(2)有些题目会用到几何图形比例问题,注意观察图形中的三角形相似 (3)在求一些长度问题时,可能会用到解三角形内容
在梯形ABCD 中,AB CD ∥,2AB CD =,M ,N 分别
为CD ,BC 的中点,若AB AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r
,则λμ+=
______.
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r
在平行四边形ABCD 中,AC 与DB 相交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 延长线
与CD 交于F ,若AC a =u u u r r ,BD b =u u u r r ,则AF =u u u r
( )
A .1142
a b +r r
B .2133a b +r r
C .1124
a b +r r
D .1233a b +r r
u u u r u u u r r
如图,平面内有三个向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r ,OA u u u r 与OB u u u r 夹角为120?,OA u u u r 与OC u u u r
夹
角为30?,且||||1OA OB ==u u u r u u u r ,||23OC =u u u r
,若
OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r
,则λμ+的值为_____.
解析:作平行四边形ODCE ,则OC OD OE OA OB λμ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,4cos30OC
OD ==?
,
2tan30OC
OE ==?
,
即4λ=,2μ=,6λμ+=. 答案:6
r r r r
如图:向量a b -=r r
( )
A .1224e e --u r u u r
B .1242e e --u r u u r
C .123e e -u r u u r
D .123e e -+u r u u r
解析:由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+r r r r u r u u r .
答案:D
向量a b c ++r r r
可表示为( )
A .1232e e -u r u u r
B .1233e e --u r u u r
C .1232e e +u r u u r
D .1223e e +u r u u r
解析:a b c ++r r r
在图上画出来,可知1232a b c e e ++=+r r r u r u u r .
答案:C
10
向量a r ,b r ,c r
在正方形网格中的位置如图所
示,若c a b λμ=+r r r ,则λ
μ
=______.
解析:如图所示建立平面直角坐标系,可得(1,1)a =--r ,(6,2)b =r ,(1,3)c =--r ,则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=r r r (6,2)(1,3)μλλμ-+=--,解得2λ=-,1
2
μ=-,则
4λ
μ
=. 答案:4
题型四:共线、中点、重心问题
1
设1e u r ,2e u u r 是不共线向量,若向量1235a e e =+r u r u u r 与向量123b me e =-r u r u u r
共线,则m 的值
等于( )
A .9
5- B .53- C .35- D .59
-
解析,a r 与b r 共线,则满足b a λ=r r ,即12123(35)me e e e λ-=+u r u u r u r u u r ,则335m λλ=??-=?
,解得9
5m =-.
答案:A
主要考察一些常用结论,即本学案知识点第4点的内容,属中下难度题型,再强调一下:
(1)(0)a b a b b λ?=≠r r r r r r
∥,1221x y x y =
(2)(1),,PC PA PB A B C λλ=+-?u u u r u u u r u u u r
三点共线,P A 和PB 系数和为0
(3)D 为BC 中点,1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r
,即平行四边形对角线的一半
(4)G 为ABC V 重心,0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r
ABC V 中,12
AM AC =u u u u r
u u u
r ,29
AD mAB AC =+u u u r u u u r
u u u
r ,则
m =______.
u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 9
设D ,E ,F 分别为ABC V 的三边BC ,CA ,AB ,的中
点,则EB FC +=u u u r u u u r
( )
A .AD u u u r
B .12AD u u u r
C .
BC u u u r D .12
BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r
解析:由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r
可知M 为ABC V 的重心,
则
2211[()]()3323
AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ,即
3AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r
,则3m =. 答案:3
如图,在ABC V 中,点O 是B C 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB mAM =u u u r u u u u r ,AC nAN =u u u r u u u r
,则m n +的值为______.
1m n u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r m n
答案:0
15
已知点G 是ABC V 的重心,点P 是GBC V 内一点,若AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
,则λμ
+的取值范围是( )
A .1
(,1)2 B .2(,1)3 C .3(1,)2
D .(1,2)
解析:P 是GBC V 内一点,则1λμ+<,当且仅当P 在线段BC 上时,λμ+最大等于1,
当P 和G 重合时,λμ+最小,
此时1()3AP AG AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ,即23λμ+=,故2
13
λμ<+<. 答案:B 16
在ABC V 中,2AB =,3AC =,D 是边B C 的中点,则AD BC ?=u u u r u u u r
______.
解析:1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ,则221()2AD BC AC AB ?=-u u u r u u u r u u u r u u u r 15
(94)22
=-=.
答案:52
题型五:面积比问题
1
在ABC V 所在平面内有一点P ,如果2PA PC AB PB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r
,那么PBC V 与ABC V 的面积之比是( ) A .
34 B .12 C .1
3
D .23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系,掌握了原理后较为简单,大体有3种形式:
(1)高相同,底不同,向量线性计算得出底的比例关系
(2)高不同,底相同,高的比转换为相似三角形的比,再转化为向量基底的长度比 (3)三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角,它们的面积比问题,把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上,与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比
解析:2PA PC AB PB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 化简可得3PC AP =u u u r u u u r
,即P 在AC 上,两个三角形高相等,则3
4
S PBC PC S ABC AC ==V V .
答案:A
如图,设P ,Q 为ABC V 内的两点,且2155
AP AB AC =+u u u r
u u u
r u u u r ,2134
AQ AB AC =+u u u r u u u r u u u r
,则ABP V 与ABQ V 的面积之比为
______.
解析:如图作辅助线,EF ,GH 分别为两个三角形的高,
15
AE AC =u u u r u u u r ,14AG AC =u u u r u u u r ,则4
5S ABP EF AE S ABQ GH AG ===V V .
答案:
4
5
u u u r u u u r u u u r r
233
解析:画图,把向量前面的系数标到对应线段上,与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比,则OAC V 与OAB V 的面积比为2:3. 答案:B
u u u r u u u r u u u r r 解析:画图,把向量前面的系数标到对应线段上,与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比,则面积比为4:3:2. 答案:A
题型六:垂直、求模、求角、投影问题
1
已知向量(,3)a k =r ,(1,4)b =r ,(2,1)c =r ,且(23)a b c -⊥r r r
,则k =( )
A .92-
B .0
C .3
D .
152
解析:23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--r r ,由题意知(23)0a b c -?=r r r
,则(23,6)(2,1)2(23)60k k --?=--=,解得3k =.
答案:C
2
设向量a r ,b r 满足||10a b +=r r ,||6a b -=r r ,则a b ?=r r
( )
A .1
B .2
C .3
D .5
解析:由||10a b +=r r 两边平方得22210a b a b ++?=r r r r ,由||6a b -=r r
两边平方得
2226a b a b +-?=r r r r ,两式相减得1a b ?=r r
.
答案:A 3
已知向量a r ,b r 满足(2)()6a b a b +?-=-r r r r ,且||1a =r ,||2b =r ,则a r 与b r
的夹角为
主要考察数量积的性质,即本学案知识点第5点的内容,利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算,由于是本章最后一节,题目融合程度可以比较高,需要记住一些常见题型和结论,大量的练习,高考出题大部分是考察这里,题目难度较低,但也可以出一些中等难度题型,需要注意的是:
(1)两个向量的夹角一定要看准,向量的夹角不是线段的夹角,是方向的夹角
(2)0a b a b ⊥??=r r r r
,此乃五星级考点
(3)求模公式2||a a =r r 和2211||a x y =+r
一定要熟练运用,给你带模的条件很多时
候都需要平方后再使用
(4)求角公式就是数量积公式反过来用
(5)投影有简化公式||
a b
b ?r r r ,考察方式比较多样,涉及数量积最值的投影问题,通常
需要作图来看,数形结合
如图,在平行四边形ABCD 中,AP BD ⊥,垂足为
P ,且3AP =,则AP AC ?=u u u r u u u r
_____.
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。