专题三 不等式
第1讲 基本不等式与线性规划
【考情分析】 年份 试题 知识点
备注
2012
第12、17题 一元二次不等式、基本不等式
结合一元二次不等式求参数范围、
利用基本不等式求最值
2013
第9、11、13
题
线性规划、一元二次不等式、
基本不等式 求式子的最值、解一元二次不等式、
利用基本不等式求最值 2014
第19题
不等式与恒成立问题，
导数与函数的单调性
结合基本不等式求函数的值域，
从而解决恒成立问题
江苏高考中本部分内容较少以独立的形式进行考查，往往结合其他知识点一并考查。主要考查形式为用基本不等式求解最值或在代数综合问题中处理恒成立问题，线性规划问题也时有考查，但有时会突破传统的平面区域问题，以圆或抛物线等作为区域的边界部分．利用基本不等式求解与其他知识的综合题时，列出有关量的函数关系式或方程是用基本不等式求解或转化的关键。在求解线性规划最优解、最值问题时，可通过作图，用数形结合的方法解题，多数情况下可用特殊位置法进行求解。 【真题呈现】
1．（2014高考北京卷）若x 、y 满足20
20
0x y kx y y +-≥??
-+≥??≥?
，且z y x =-的最小值为4-，则k
的值为
【答案】1
2
-
【解析】若0k ≥，则z y x =-的最小值为2-，不合题意。若
0k <，则不等式表示的平面区域如图阴影部分，由图可知，直
线z y x =-在点2(,0)A k -处取得最小值，所以，2
0()4k --=-，
解得1
2
k =-。
2．（2014高考上海卷）若实数x,y 满足xy=1,则2
x +2
2y 的最小值为______________. 【答案】22
【解析】222x y +≥==，当且仅当222x y =时等号成立。 3．（2013天津卷）设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |
b 取得最小值．
【答案】－2
【解析】由于a ＋b ＝2，所以
12|a|＋||a b ＝a ＋b 4|a|＋||a b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋||a b ，由于b>0，|a|>0，所以b 4|a|
＋||
a b
≥2
b 4|a|·||a b ＝1，因此当a>0时，12|a|＋||a b 的最小值是14＋1＝54；当a<0时，12|a|＋||
a b
的最小值是－14＋1＝34.故12|a|＋||a b 的最小值为3
4
，此时即a ＝－2.
4．（2013山东卷）设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋
1y －2
z 的最大值为 。 【答案】1
【解析】z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ＞0，y ＞0，z ＞0)，所以
xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x
－3≤14－3
＝1.当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以 2
x ＋
1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－????1y －12＋1，所以 当y ＝1时，2x ＋1y －2
z 的最大值为1. 5．（2013陕西卷）若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________． 【答案】－4
【解析】如图，阴影部分为封闭区域．作直线2x －y ＝0，并向左上平移，过点A 时，2x －y 最小，由2
1,1y y x x =???=-
得A (－1,2)，所以 (2x －y )min
＝2×(－1)－2＝－4.
【自主学习 回归教材】
1.（必修5P 88例2改编）若3x >-，则2
3
x x ++的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】3,x >-所以，30x +>，所以， 22
33333
x x x x +
=++-≥++
223=-.
2. （必修5P 90习题6改编）设x ，y 满足244,1,22,x x y x y +≥??
-≥??-≤?
则z=x+y 的最小值是 ．
【答案】2
【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图所示.由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z.令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A （2，0）时，z 取得最小值，最小值为z ＝2. 3．（必修5P 91习题3改编）函数22
4
y x =
+的最小值为 ．
【答案】
5
2
【解析】222244
4
y x x x ==++
++，当2224,414
x x x +=
+=+不成立，故
取不到最小值；设()242t x t =+≥，易知1
y t t =+在[)2,+∞上是增函数，2t =即
242x +=，即0x =时，min 52
y =
． 4.（必修5 P 94第13题改编)已知不等式1()()9a
x y x y
++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a
的最小值为 ． 【答案】4
【解析】1()()1129a y ax
x y a a a x y x y ++=+++≥++≥，所以，13a +≥，所以，4a ≥.
5. （必修584P 第4题改编）若实数,x y 满足20
22x y x y +-≥??
≤??≤?
，则22x y +的最小值为 .
【答案】2
【解析】画出图象可知最小值为原点到直线20x y +-=的距离为2.
要点导学 各个击破
分类解析
目标1 运用基本不等式求最值
例1 （2014苏州期末）已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 ． 【分析】要求x + y 的最小值，一种方式是转化为一个变量的代数式，然后变形成积为定值的形式，二是将已知式中变形成积的定值，然后将所求式进行构造，利用基本不等式求解。 【解析】
解法1 由24xy x y ++=得y ＝4－2x x +1＝－2＋6x +1，所以x + y ＝x +1＋6x +1－3≥2
(x +1)6
x +1
－
3＝26－3.即x + y 的最小值为26－3.
解法2 由24xy x y ++=得(x ＋1)(y ＋2)＝6，由基本不等式得(x ＋1)＋(y ＋2)≥2(x +1) (y ＋2)＝26，所以x + y ≥26－3. 即x + y 的最小值为26－3.
【点评】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．
【变式1】已知0,0x y >>，280x y xy +-=，则x y +的最小值为 ． 【答案】18 【解析】
法一：因为，280x y xy +-=，所以，28x y x =-，因为，0y >，所以，208
x
x >-，又0x >，
所以，80x ->，所以，216810101888
x x y x x x x +=+
=-++≥=--，当16
88
x x -=
-时取等号．
法二：由题知
82
1x y +=，则()8282101018y x x y x y x y x y ??+=++=+
+≥+ ???
． 【变式2】已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n +的最小值是 ． 【答案】7 【解析】
法一：由22(2)(22)3log m log n -+-=，得(2)(1)4m n --=，则4
21
m n =+-，
所以44
2(1)33711
m n n n n n +=
++=+-+≥=--，
（当且仅当“3n =”时，取等号），故m n +的最小值为7
法二：20,10m n ->->，213337m n m n +=-+-+≥=+，当且
仅当21m n -=-时取等号． 目标2：线性规划中的最值问题
例2 （2014常州期末）已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +??
???
≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值
为 ．
【分析】要求225z x y =--的最大值，即求22x y +的最小值，而22x y +的几何意义为区域内的点到原点距离的最小值，所以，利用点到直线的距离即可。 【解析】解法一：在坐标系中画出约束条件所对应的可行域如下图 又22x y +的几何意义为如图所示的阴影区域中任一点P 到原点距离的平方.
所以由几何特征可得：22x y +的最小值为原点到直线AC 的距离的
平方. 故2
22391555222z x y ??=--≤-=-= ???
，即max 1
=2z .
解法二：由基本不等式222x y xy +≥可得：()
()2
222x y x y +≥+.又3x y +≥，故
2292x y +≥
，当且仅当332x y ==≤时取得，所以max 91
522
z =-=. 【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：其一，准确无误地作出可行域；其二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 其三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值均在可行域的端点或边界上取得.本题利用线性规划求解时要注意：一是22x y +是距离平方，不是距离；二是可行域中的点到原点的距离的最小值不是在三个端点处取得，而是点到直线的距离.
变式： （2014高考福建卷）已知圆()()
22
:1C x a y b -+-=，设平面区域70,
30,0x y x y y +-≤??Ω=-+≥??≥?
，
若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值
为 。
【解析】22a b +表示圆心到原点距离的平方。画出可行域，因为圆C 与x 轴相切，所以，圆心在直线1y =上，可知，
当圆心为(6,1)A 时，OA 最大，此时，22
max ()37a b +=
目标3 基本不等式（线性规划）模型应用题
例3 （2014南京学情调研）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．
分析：引入变量，可设休闲广场的长为x m ，然后求出宽，可以将绿化区域的总面积表示成x 的函数，然后利用基本不等式求最大面积，从长、宽的取值可求得x 的范围，注意基本不等式等号成立的条件。
解析：设休闲广场的长为x m ，则宽为2 400x
m ，绿化区域的总面积为S m 2，则
S ＝(x －6)????2 400x －4＝2424－????
4x ＋6×2 400x ＝2 424－4????x ＋3 600x ，x ∈(6,600)． 因为x ∈(6,600)，所以x ＋3 600
x
≥2
x ·3 600x
＝120，
当且仅当x ＝3 600
x ，即x ＝60时取等号．
此时S 取得最大，最大值为1944.
答：当休闲广场的长为60m ，宽为40m 时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1 944m 2. 点评：在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等．如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值．在实际问题中，由实际意义得出的变量取值范围十分重要。
变式：某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 【解析】(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：
4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：
100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋
(1)
2
x x -×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)． (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：
g (x )＝()
2000f x x ×10 000＝25(107909000)x x x ++
＝50????x ＋900
x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)． 当且仅当x ＝900
x
，即x ＝30时等号成立．
答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低． 目标4 利用基本不等式求参数的值（范围） 例4
若对满足条件3(0,0)x y xy x y ++=>>的任意,x y ，2()()10x y a x y +-++≥恒成立，
则实数a 的取值范围是 .
分析：由2()()10x y a x y +-++≥恒成立，通过分离参数，得1
()a x y x y
≤+++，转化为求式子1
()x y x y
++
+的最小值，关键是先确定x y +的取值范围。而x y +的取值范围则可以借用例1的方法进行处理。 解析：
法一：由条件3(0,0)x y xy x y ++=>>，得到03
01y y x y >??
+?=>?-?
， 所以必须有1y > ，同理必须有1x >.
对条件3(1,1)x y xy x y ++=>>变形，得到(1)(1)4x y --= (1,1)x y >>
结合均值不等式有：(1)(1)4x y -+-≥= （当且仅当3x y ==时，取“=”号） 即6x y +≥. 令t x y =+，则6t ≥，那么11()x y t x y t
++
=++， 设1
()f t t t
=+，则22211()1t f t t t -'=-=在[6,)+∞恒有()0f t '>成立，
从而1()f t t t =+为[6,)+∞上为单调递增函数，则min 137
[()](6)666f t f ==+=.
所以376
a ≤
，即实数a 的取值范围是37(,]6-∞.
法二：当6x y +≥时，令t x y =+，则6t ≥， 设2()1f t t at =-+，则()0f t ≥在6t ≥时恒成立， 所以62(6)0a f ?-≤???≥?或620
a ?->???≤?V ，
所以376
a ≤
，即实数a 的取值范围是37
(,]6-∞.
点评：求参数的值或范围问题，常有两种方法。其一是分离参数法，通过分离参数，转化为一边为参数，另一边为一个变量的代数式，于是问题就转化为不含参数的函数的最值问题求解，常用基本不等式来求最值；其二是函数思想，转化为求含参数的函数的最值问题求解. 变式：函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.
(1)求f (x )；
(2)当0
(2)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5， ax x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3 x . 当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3 x ，即x ＝3时取等号， 因为，3∈(0,2)，所以，(1＋x ＋3 x )min ＝1＋2 3. 所以，a <1＋2 3. 课堂评价 1．若0 3 【解析】因为0 ????3x ＋4－3x 22＝4 3，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2 3 时，取得“＝”. 2．（2014苏锡常镇连徐调研（一））已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y xy +的最小值为 ． 【答案】9 【解析】 8812116()[()10]22x y x y x y xy x y y x ++=+=++=9． 3．（2014南通期末）设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ???? +??+?≤≤≥， ≥，， ， 则32z x y =+的最大值是 ． 【答案】7 【解析】画出线性规划图，由直线3x y +=与直线24x y +=，求出交点坐标为(1,2)代入目标函数32z x y =+得到最大值是7 ． 4．（2014淮安、宿迁摸底）已知αβ，为锐角，且2tan tan 15t t αβ==，， 当10tan 3tan αβ+取 得最小值时，αβ+的值为 . 【答案】 4 π 【解析】因为αβ，为锐角， 所以0t >， 故2010tan 3tan 45 t t αβ+=+≥， 当且仅当10t = 时取等号，此时12tan tan 53αβ==，，()12 1353tan 1213115 αβ+ += ==-，又αβ，为锐角，所 以4 π αβ+= 5．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表： 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨， 则根据题意得到约束条件为：????? x ≥0 y ≥0 0.5x ＋0.7y ≥1.9 x ＋0.5y ≤2 ，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经 过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15. 完善提高·融会贯通 范题赏析 典例：（原创）学校某研究性学习小组去化工厂实习，同学们在体会劳动辛苦的同时，发现 并进行了如下的课题研究。现知道化工厂的主控制表盘高1米，表盘底边距地面2米，问值 2 1.20.8CD =-=，设 则10.8 1.8 tan BD AD x x α+= == ， （2分） 0.8 tan CD AD x β= = ， （4分） 因为，tan tan tan tan()1tan tan αβ φαβαβ-=-=+， （6分）1.80.8 11tan 1.80.8 1.44 2.41x x x x x x φ- ==≤=+?+， （8分） 1.44 x = ，即 1.2x =时， （10分） tan φ达到最大值 1 2.4 ，φ是锐角，tan φ最大时， （12分） φ也最大，所以值班人员看表盘最清楚的位置为 1.2AD =米. （14分） 点评: 本题考查解三角形的知识、两角差的正切公式的应用及基本不等式求函数的最值。一般地研究角的最值，需求角的某个三角函数值的最值，通常选择三角函数时，一看题目的条件，根据条件选择合适的三角函数；二要注意三角函数在角的范围内应该单调，最后利用三角函数的单调性得到角的最值。另外，在利用基本不等式求函数的最值时，要注意它的应用条件，即“一正、二定、三相等”。 原题：（必修5P92）如图，有一壁画，最高点A 处离地面4m ，最低点B 处离地面2m ，若从离地面1。5m 的C 处观赏它，则离墙多远时，视角θ最大？ 解析：设人到墙的距离为x tan tan tan tan()1tan tan ACD BCD ACD BCD ACD BCD θ∠-∠=∠-∠= +∠∠ 28251.2554514x x x x x -= =≤=++，即仅当5x =时，视角θ最大。 变式：某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。 (1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ [解析] （1） tan tan H H AD AD ββ =?=， 同理：tan H AB α = ，tan h BD β=。 AD —AB=DB ，故得 tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20 h H αβα?===--。 因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 （2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h d AD DB d αβ-= === ， 2tan tan tan()() 1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d αβαβαβ-- --==== --+?+-+?+ ()2()H H h d H H h d -+≥-，（当且仅当()125121555d H H h =-=?=时，取等号） 故当555d =时，tan()αβ-最大。 因为02 π βα<<< ，则02 π αβ<-< ，所以当555d =时，α-β最大。 故所求的d 是555m 。 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是 。 【答案】(1，＋∞) 【解析】将x ＝－2代入直线x －2y ＋4＝0中，得y ＝1.因为点(－2，t )在直线上方，所以，t >1. 2．已知2x ＋8 y ＝1(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为 。 【答案】18 【解析】x ＋y ＝(x ＋y )(2x ＋8y )＝2＋8＋2y x ＋8x y ≥10＋2 2y x ·8x y ＝18.当且仅当x ＝6，y ＝12时取等号． 3．在平面直角坐标系中，若不等式组???? ? x ＋y －1≥0，x －1≤0， ax －y ＋1≥0.(a 为常数)所表示的平面区域的面积 等于2，则a = [答案]3 [解析]由题意知a >－1，此时不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，记为△ABC ，则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )，因为，S △ABC ＝2，所以，1 2×(1＋a )×1＝2，解得a ＝3. 4．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 解析：因为，4x 2＋y 2＋xy ＝1，所以，(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×????2x ＋y 22 ＋1，所以， (2x ＋y )2≤85，所以，(2x ＋y )max ＝210 5. 答案：210 5 5．已知实数x 、y 满足???? ? 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0， 3x －y －3≤0.则x 2＋y 2的最大值 为 。 [答案] 13 [解析] 作出可行域如图，x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，显然点B (2,3)使x 2＋y 2取最大值13. 6．设变量x 、y 满足约束条件???? ? x ≥0，y ≥3x ， x ＋ay ≤7， 其中a >1，若目标函 数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a 的值为________． [答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．因为，y ＝－x ＋z ，所以，欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的 纵截距最大，因为，a >1，所以，直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为28 1＋3a .由题意得28 1＋3a ＝4，解得a ＝2. 7．若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】????15，＋∞ 【解析】因为，x ＞0，所以，x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以，x x 2＋3x ＋1 ＝ 1 x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1 的最大值为15，故a ≥15. 8．不等式x 2＋2x a 对任意a ， b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是______． 解析：不等式x 2＋2x a 对任意a ， b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x a b ·16b a ＝8(a ＝4b 时等号成立)，所以，x 2＋2x <8，解得－4 9．(1)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y ＋2的最小值； (2)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值． 【解析】(1)由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4， 所以，3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥23x ·33y ＋2＝23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20， 当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝2 3时取“＝”，此时所求的最小值为20. (2)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy . 所以，2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy . 所以，3xy －2xy －5≥0，所以，(xy ＋1)(3xy －5)≥0， 所以，xy ≥53，即xy ≥25 9，等号成立的条件是x ＝y . 此时x ＝y ＝53，故xy 的最小值是25 9 . 10．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2. (1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析] (1)设DQ ＝y ，则 x 2＋4xy ＝200，所以，y ＝ 200－x 2 4x . S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000 x 2(0 (2)S ＝38000＋4000x 2＋400000 x 2 ≥38000＋216×108＝118000， 当且仅当4000x 2＝400000 x 2，即x ＝10时， S min ＝118000(元)， 答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区． 11．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元， 由题意得???? ? x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000， x ≥0，y ≥0. 目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . 二元一次不等式组等价于???? ? x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900， x ≥0，y ≥0. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域， 即可行域， 如图：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． 联立????? x ＋y ＝300， 5x ＋2y ＝900. 解得x ＝100，y ＝200. 所以，点M 的坐标为(100,200)， 所以，z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)． 即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． 基本不等式与线性规划 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 ． 8.若1 1. 不等式2560x x -++≥的解集是______________________________ 2. ()21680k x x --+<的解集是425x x x ??<->???? 或，则k =_________ 3. 不等式20ax bx c ++>的解集为{} 23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是___ 4. 若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________ 5. 已知点（2 ， 1）和点（－4 ， 5）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 m 的取值范围 为_________ 6. 若?????≥+≤≤2 22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是______________ 7. 已知x ，y 满足?????≥-+≥≥≤-+0320 ,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________ 8. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为___________ 9. 、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和 最小值分别是___________ 10. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0)取得最小值 的最优解有无数个，则a 的值为___________ 11. 若不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k 的值； (2)若不等式解集是R ，求k 的取值。 12. 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型卡 车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 ． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 ． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ． 4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 ． 8.若1 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 第三节 不等式组与简单的线性规划第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 一、选择题 1. (2009山东卷理)设x ，y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12， 则23a b +的最小值为 ( A.625 B.3 8 C. 3 11 D. 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而 23a b +=2323131325()()26666 a b b a a b a b ++ =++≥+=,故选A. 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求 23a b +的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 2.（2009安徽卷理）若不等式组0 34 34x x y x y ≥??+≥? ?+≤? 所表示的平面区域被直线43 y kx =+ 分为面积 相等的两部分，则k 的值是A. 73 B. 37 C. 43 D. 3 4 答案 B ∴S △ABC = 144(4)12 3 3- ?= ，设y kx =与34x y +=的 交点为D ，则由122 3 B C D S S A B C ?=?= 知12 D x = ，∴52 D y = ∴ 5147,2 2 3 3 k k =? + = 选A 。 3.（2009安徽卷文）不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A.2 3 B.32 C.3 4 D.4 3 解析 由340340 x y x y +-=?? +-=?可得(1,1)C ，故S 阴 = 142 3 c AB x ??= ，选C 。 答案 C 4.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 答案 D 解析 ?? ≤+1832y x 目标函数y x z 35+= 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x ＝3，y ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D 5.（2009宁夏海南卷理）设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥?? -≥-=+??-≤? 则 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值 C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知，当z x y =+过点（2，0）时，min 2z =，但无最大值。选B. 线性规划及基本不等式 一、知识梳理 （一）二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数，求2x+x 1 的最小值 第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1 ?考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值 (或取值范围). 2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围. 【复习指导】 1 .掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域). 2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法 (图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合. KAOJIiZIZHUDAOXUE —B— 01 考基自主导学 基础梳理 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线I: ax+ by+ c= 0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线I上的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c= 0; ②直线I 一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ c>0; ③直线I另一侧的平面区域内的点(x, y)的坐标满足ax+ by+ cv0. 所以，只需在直线I的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(X0, y°),从ax0 + by。 + c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域. (2)由于对直线Ax+ By + C = 0同一侧的所有点(x, y),把它的坐标(x, y)代入Ax + By+ C所得到实数的符号都相同亠所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (X0, y0),由AX0+ By°+ C的符号即可判断 Ax+ By+ C>0表示直线 Ax+ By+ C =0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 ——助< 谭_ ----- 一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时,.……经常采用“直线定界，.特殊点定域…”的方法.?…. (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线;...若不等式含有等号, .把直线画成实线：.…. (2)特殊点定域，即在直线Ax土 By 士.C亍.0.的某一侧取一个.特殊点…(X., y o)作为测试点代入不等式检验,…若满足不等式，.则表示的就是包括该点的这一侧，……否则就表示直线的另一侧:…特别地，当….C^0时，.常把原点作为测试点;…当….一C. 0 .时，常选点.(1,0)或者(0,1)作为测试点，.… 一个步骤 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：.…… (1)在平面直角坐标.系内作出可行域;…一… (2)考虑目标函数的几何意义，.将目标函数进行变形; . (3)确定最优解：.在可行域内平行移动冃标函数变形后的直线，从而确定最优解；. ⑷求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值, .... 两个防范 ⑴画出平面区域,..避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化一. .. (2)求二元一次函数.-z. ax 土 b.y(ab.于.0).的最值，将函数..z. ax 土 by转化为直线的斜.. 截式：y三二bx 土b，通过求直线的截距b的最值间接求出…乙的最值 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 4—简单的线性规划、基本不等式 知识块一：求目标函数的最值 归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 1．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0， 3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8. 2．若x ，y 满足???? ? y ≤1，x －y －1≤0， x ＋y －1≥0， 则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________. 解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1. 答案：1 角度二：求非线性目标的最值 3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0， 3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1 3 D ．－12 解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1 3 . 4．设实数x ，y 满足不等式组???? ? x ＋y ≤2y －x ≤2， y ≥1，则x 2＋y 2的取值围是( ) A ．[1,2] B ．[1,4] C ．[2，2] D ．[2,4] 解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值围是[1,4]． 角度三：求线性规划中的参数 5．若x ，y 满足???? ? x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0， y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.1 2 D ．－12 解析：选D 作出线性约束条件???? ? x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0， y ≥0 的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域 为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值． 当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意． 当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ????－2 k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ????－2k ，0时，有最小值，即－????－2k ＝－4?k ＝－1 2 .故选D. 一 体验高考 1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束 条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B ) (A)21 (B)1 (C)2 3 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B. 2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+4 1)>lg x(x>0) (B)sin x+ x sin 1 ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R ) (D) 1 1 2 +x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·2 1 =x, 故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=2 1 时取等号,因此A 不对, B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+ x sin 1≥2或sin x+x sin 1 ≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立, 而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<1 1 2+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C. 3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x +4y 2 )的最小值为 . 解析:(x 2+ 21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2 +221y x +4 =5+(4x 2y 2+ 221y x )≥5+22 22 214y x y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x 2y 2=2 1时取得最小值9. 答案:9 二备考感悟 1.命题与备考 (1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等 式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件. (2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域. 2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得. 三热点考向突破 考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略 1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解; 3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 课堂巩固 1.若222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则目标函数z x y =-的取值范围是 A ．[1,1]- B ．[2,0]- C ．[0,2] D ．[2,2]- 2.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 3.已知D 是由不等式组2030 x y x y -≥?? +≥?，所确定的平面区域，则圆 22 4x y +=在区域D 内的弧长为 [ ] A 4π B 2 π C 34π D 32π 4.设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ （A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值 5.不等式组222232320 x x x x x x ?-->--? ?+- 1 ,01(),03 x x x x ?0）的最大值为12，则2a ＋3b 的 最小值为 A ． 256 B ．83 C ．11 3 D ．4 3.已知O 为直角坐标系原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组43250 22010x y x y x +-≤?? -+≤??-≥? ，则cos POQ ∠的最小值 为 A ． 1 2 B ．22 C ．32 D ．1 4.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边 界)内，目标函数ay x z -=2取得最大值的最优解有无 数个，则a 为 A ．－2 B ．2 C ．－6 D ．6 二、填空题 5.设220 240330x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ，则目标函数22 z x y =+取得最大值时，x y += 6.若函数()f x = 则方程1()3f x =-的解集为 . 7.已知函数2 lg ,(0)()1,(0) x x f x x x ->?=?-≤?则不等式()0f x >的解集为______________。 8.在极坐标系中，由三条直线0=θ ，3 π θ= ，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________. 三、解答题 9.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两 个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 不等式 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ． 传递性 a b >且b c a c >?>． 加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+． 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>． 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4. 利用重要不等式求最值的两个命题： 命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2. 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值 42s . 注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或 积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有 结论：ax 2+bx+c>0 ? 2 0040 a a b a c >?=?-0 △=0 △<0 图象 ax 2+bx+c=0的解 x=x 1或x=x 2 x=x 1=x 2=-b/2a 无实数解 ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题 3月2日星期天下午2:30高二十班教室（带必修5） 1、设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ） A ．6- B ．4- C ．2 D ． 答案：B 2、设变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为( ) A ．-3 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 3、点(x ，y )满足??? x ＋y －1≥0， x －y ＋1≥0， x ≤a ， 若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1. C 5、设0,0 x y x y +≥?? -≥?与抛物线2 4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，) ,(y x P 为D 的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 0 C. 2 D. 3 6、若不等式组0 3434 x x y x y ≥??+≥? ?+≤?， 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+ 分为面积相等的两部分，则k 的值是（ B ）A 、73 B 、37 C 、43 D 、3 4 7、已知2z x y =+，x y ，满足2y x x y x m ≥?? +≤??≥? ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ．17 考点：简单线性规划 基本不等式 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_____________． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.28 5 C ．5 D ．6 5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.????－∞，14 B.????0，14 C.??? ?－1 4，0 D.? ???－∞，1 4 题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例 1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：????y x ＋z x ????x y ＋z y ???? x z ＋y z ≥8. 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝ 1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 题型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的 最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则 x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.9 2 D.112 题型三 基本不等式的实际应用 1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2， 过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域， △ABC 的面积即为所求， 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得 到整点个数为13个，选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 不等式与线性规划 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题．(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形?f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x )基本不等式与线性规划
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