不等式解法补充讲义第一课时：分式与高次不等式解法
分式不等式的解法：
（1） 化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为)
()
(x g x f 的形式 （2） 将分式不等式转化为整式不等式求解如：
()0()f x g x >? 0)()(>x g x f ()
0()f x g x
0()
f x
g x ≥??
?
?≠≥0)(0)()(x g x g x f ()
0()f x g x ≤??
?
?≠≤0)(0
)()(x g x g x f 例1 解不等式：
07
3
<+-x x . 解法1：化为两个不等式组来解： ∵
073
<+-x x ????>+<-???<+>-0
7030703x x x x 或?x ∈φ或37<<-x ?37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x . 解法2：化为二次不等式来解： ∵
07
3
<+-x x ?0)7)(3(<+-x x ?37<<-x ， ∴原不等式的解集是{}37|<<-x x 例2：解不等式07
3
≤+-x x 解：
07
3
≤+-x x ?70)7)(3(-≠≤+-x x x 且?37≤<-x 原不等式∴的解集是{x| -7 例3：解不等式 17 3 <+-x x 解：} 7{7 0710 0173173->∴->∴<+-?<-+-?<+-x x x x x x x x 原不等式的解集是 练习：1. 解不等式 01 1 22≥---x x x 解: 原不等式等价于（Ⅰ）???>-≥--,01,0122x x x （Ⅱ）? ??<-≤--,01, 0122x x x 解（Ⅰ）得: x≥1+2, 解（Ⅱ）得: 1－2≤x<1. ∴ 原不等式的解集为 {x ∣x≥1+2 或1－2≤x<1 }. 2.解不等式－1< 2213<+-x x 原不等式的解集为 {x ∣－4 1 ①将不等式化为)0(0)())()((321<>----n x x x x x x x x 形式，并将各因式x 的系数化“+”； ②求方程0)())()((321=----n x x x x x x x x 各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）。 ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点 ④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间. (方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇穿偶不穿”。) 例1：解不等式：(x-1)(x+4)(x-3)>0；原不等式的解集为：{x|-4 例2．解不等式：03 22 32 2≤--+-x x x x . 解：∵0322322≤--+-x x x x ??????≠--≤--+-0 320 )32)(23(222x x x x x x ? ?? ?≠+-≤+---0 )1)(3(0 )1)(3)(2)(1(x x x x x x ，用根轴法（零点分段法）画图如下： ∴原不等式的解集为{x| -1 2 <+--x x x 解析：① 检查各因式中x 的符号均正； ② 求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③ 在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④ ∴原不等式的解集为()()3,22,1 - 练习：（1）0)4)(2()3(2≤-+-x x x （2） x x x x x <-+-+2 22322 解析：由已知，0)4)(2()3(2≥-+-x x x ，用数轴穿根法易得原不等式的解集为：{}342|=≥-≤x x x x 或， ，或 （3）思路导引：解分式不等式的关键是去分母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论， 较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。 解析：将 x x x x x <-+-+2 22322化为标准形式，得： 0) 1)(3() 1)(2(2>+-++-x x x x x ， 因为012>++x x 恒成立，所以， 0) 1)(3() 2(>+--x x x 。 用数轴穿根法易得原不等式的解集为： {}321|><<-x x x 或， 。 不等式解法补充讲义第二课时：绝对值不等式解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的 不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 当0>a 时，不等式 >x 的解集是{}a x a x x -<>或,，不等式a x <的解集是{}a x a x <<-; 当0 a x >的解集是{}R x x ∈，不等式a x <的解集是?; 例1：解关于x 的不等式 10832<-+x x 解：原不等式等价于1083102 <-+<-x x ，即???<-+->-+10 8310 832 2x x x x ?? ??<<--<->3 62 1x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(--- 练习：解关于X 的不等式 4|23|7x <-≤。? ??? ??≤<-<≤-5272 1 2x x x 或 （二）、定义法:即利用(0), 0(0),(0).a a a a a a >?? ==??- 去掉绝对值再解。 例2：解不等式 22 x x x x > ++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于 2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 练习：方程 x x x x x x 32 3222 ++=++的解集为 ， 不等式 x x x x ->-22的解集是 ； {}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3：解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 练习：解关于x 的不等式 212+<-x x 解：原不等式可化为22 )2() 12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x 解得：331<<- x ∴ 原不等式的解集为)3,3 1(- （四）、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由 01=-x ，02=+x ， 得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 解:当x ＜-2时，得2 (1)(2)5 x x x <-?? ---+ 解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21, (1)(2)5x x x -≤≤??--++ ， 解得：12≤≤-x 当1>x 时，得1, (1)(2) 5. x x x >?? -++ 综上，原不等式的解集为 {}23<<-x x 。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。 练习：解关于x 的不等式1312++<--x x x 解：当3- ? ?++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解 当213≤≤-x ，得?? ???++<---≤ ≤-13)12(2 13x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得?????++<--> 1 3122 1x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)21 不等式解法补充讲义第三课时：含参数不等式解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1. 解不等式()00652≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 练习：解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0 ? ???????+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 二、按判别式?的符号分类，即0,0,0?； 例2：解不等式042 >++ax x 分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。 解：∵162 -=?a ∴当()4,4-∈a 即0 ?? ???≠ ∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，216 22---=a a x ，显然 21x x >, ∴不等式的解集为?? ? ???????----+->21621622a a x a a x x 〈或 练习：解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()() 2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? = 21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为?? ? ???? ? ??+--+-+>132132222 2m m x m m x x 〈或； 当33>- 三、按方程02 =++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=< 例题3：解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++ -a x a a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1 (<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令a a 1 =，可得：1±=a ∴当1- ，故原不等式的解集为???? ?? < a 1 = ,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1> ,解集为? ?????< 2>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()0245222 >=--=?a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比 较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0 |23x x a x a ><或 综合应用：解关于x 的不等式04)1(22<++-x a ax 。 答案：原不等式的解集当0=a 时，为{}2|>x x ； 当10< ?? ? ??< φ；当1>a 时，为? ??? ??<<22 |x a x ；当0 ??? ??><22|x a x x ，或。 解析: 原不等式即0)2)(2(<--x ax ，a 的范围明显会影响不等式的解集，故需分类讨论： 1）0=a 时，原不等式即042<+-x ，解得2>x 。 2）10<a ，不等式的解为a x 2 2<