常见不等式的解法
【知识要点】
一、一元一次不等式的解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式.
当0a >时，不等式的解集为b x x a ??>
????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ?
?
<
????
.
二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法
1、二次不等式2
()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合
的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.
2、当二次不等式()f x =2
0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示
（1）不要把不等式2
0ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数.
（2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.
（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法
解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法
(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.
①当1a >时,
()()
()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0
()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??>?
②当01a <<时,
()()
()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0
()()a a f x f x g x g x f x g x >??
>?>??
(2)对指互化法：
如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.
对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.
(1)x a b a >>log ()log log x a a a a b x b ?>?> (01)x a b a >< log 00 log (1)a a x b x x x b a x b a a >>??>??>??>>??其中 log 00 log (1)a a x b x x x b a x b a a >>??>??< 其中0 四、分式不等式的解法 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成() 0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠??≥? →解不等式组得解集. 温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域. 五、高次不等式的解法 先把高次不等式分解因式化成123()()() ()0n x a x a x a x a ---->的形式（x 的系数必须为正）→标 记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集. 实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集. 六、绝对值不等式的解法 方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式 x a x a x a >?><-或 x a a x a 轴. 方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并. 方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法. 七、无理不等式的解法 无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答. 无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可 转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而 )()(x g x f >等价于：?? ?<≥0)(0)(x g x f 或? ?? ??>≥≥2 )] ([)(0)(0 )(x g x f x g x f ． 八、抽象的函数不等式的解法 一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答. 学科#网 【方法讲评】 【例1】 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1 (<--x a x ． ② ∵ a a a -= -111，∴当10<a ，此时②的解为a x 11<<．当1=a 时，11 =a ，此时②的解为11 < ． 【点评】解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： ?? ?? ??? ?????? ????????>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0 【反馈检测1】 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 【例2】解不等式21 11 2 6()82 x x ---?< 【点评】解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解. 【反馈检测2】解关于x 的不等式：)22(22 3x x x x a --<-（其中0a >） 【例3】已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1x a >的解集是{ } 0x x >，解关于x 的不等式 1 log ()0a x x -<的解集. 【点评】本题选同底法解答，把0写成log 1a ，再利用对数函数的图像和性质将不等式变成分式不等式 组解答. 【反馈检测3】解不等式21log (2)1x x x +-->. 【例4】 解关于x 的不等式 12 >-x 【点评】分析：若将原不等式移项、通分整理可得：0 2 ) 2()1(>----x a x a ?0)2)](2()1[(>----x a x a 显然，现在有两个问题：（1）1a -的符号怎样？（2）1 2 --a a 与2的大小关系怎样？这也就是本题的分类标准所在. 【反馈检测4】 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2． ) (n x a -数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上 【例5】解不等式： 015223>--x x x 【点评】如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 【反馈检测5】0)2()5)(4(32<-++x x x 【例6】|5||23|1x x --+< 【点评】该题由于有两个不等式，所以一般利用零点讨论法.对于含有两个和两个以上的不等式，一般利用零点讨论法. 【反馈检测6】解不等式242 +<-x x 【例7】 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 【解析】原不等式??? ??->-≥->-?;)1(2,01, 02)1(2 22x a ax x a ax 或???<-≥-.01,02)2(2x a x 由0>a ，得：? ?? ????<+++-≤>?;01)1(2,1,2)1(2 2a x a x x a x ?????>≥?.1, 2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=?a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是 a a x a a 2121++<<-+． 当20≤ ≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ． 当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2 a x ≥ ． 综上可知，当20≤ 时，原不等式的解集是[) +∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是 ?? ????+∞,2a ． 【点评】本题分类讨论标准“20≤a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2 a x >，1≤x ’，(2)中‘2 a x ≥ ，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法． 【反馈检测7】解不等式x x x ->--81032． 【例8】若非零函数对任意实数均有，且当时，. （1）求证：；（2）求证：为减函数； （3）当时，解不等式. （3）由 原不等式转化为，结合（2）得： 故不等式的解集为 【点评】（1）第（3）问的关键是找到1 (?)4 f = ，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具()f x ,a b ()()()f a b f a f b +=0x <()1 f x >()0f x >()f x 1(4)16f = 2 1(3)(5)4 f x f x --≤2 11(4)(2)1(2)164 f f f == ?=，由（）)2()53(2 f x x f ≤-+-10222≤≤?≥-+x x x {}10|≤≤x x 体函数不等式. 【反馈检测8】函数对任意(0)x y ∈+∞，，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x <. （l ）判断函数的单调性并证明相关结论； （2） 若(2)1f =-，试求解关于x 的不等式()(3)2f x f x +-≥-. 【反馈检测9】【2017江苏，11】已知函数31 ()2e e x x f x x x =-+- , 其中e 是自然对数的底数. 若 2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 . 不等式的解法参考答案 【反馈检测1答案】见解析 【反馈检测2答案】见解析 【反馈检测2详细解析】解原不等式得：即),12()12 (2222-<-x x x a 0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a )0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<< 此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a )log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<> 【反馈检测3答案】3x > ()f x ()f x 【反馈检测3详细解析】[法一]原不等式同解于 所以原不等式的解为3x >. [法二]原不等式同解于 211log (2)log (1)x x x x x ++-->+ 所以原不等式的解为3x >. 【反馈检测4答案】}321{><<-x x x 或 【反馈检测5答案】{} 2455>-<<-- 【反馈检测5详细解析】原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<-- 31< 【反馈检测6详细解析】解法一：原不等式?????+<-<-?????+<-≥-?2 40 424042 2 22x x x x x x 或 即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21< 31< 解法二：原不等式等价于 24)2(2 +<-<+-x x x 即?????+->-+<-) 2(42422x x x x ∴312132<<<-x x x x 故或． 【反馈检测7答案】???? ?? >1374x x 【反馈检测8答案】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）{ 34}x x <≤.学科#网 【反馈检测8详细解析】（1）()f x 在(0,)+∞上单调递减 1212,,(0,)x x x x <∈+∞任取且 2221111 ()()()()x x f x f x f x f x x =? =+则 2 211 ()()()x f x f x f x ∴-= 120x x << 2 1 ( )0x f x ∴< 2112()()0()()f x f x f x f x ∴-<>即 () (0,)f x ∴+∞在单调递减 （2）2)2()2()4(-=+=f f f ((3))(4 f x x f ∴-≥原不等式可化为 ()0f x +∞又在（，）上单调递增 30(3)4x x x x >?? ∴->??-≤? 34x <≤解得 {34}x x ∴<≤原不等式解集为. 【反馈检测9答案】1[1,]2 - 常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况： （1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 （因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论） （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述： （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切） 典型例题 例 1 解下列不等式 x － 3 2 （1） x ＋ 7 <0 （2）3＋ x <0 3） x －3 2－x > 3－x －3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式： （1）2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 （1） 2 （2） 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 （-2,3）, 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时，不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立？ 不等式解法举例 ?教学重点：不等式求解． ?教学难点：将已知不等式等价转化成合理变形式子． ?教学方法：创造教学法 为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破． ?教学过程： 一、课题导入 1、由一元一次不等式、一元二次不等式、和简单的绝对值不等式式子，导出其不等式 解法． 2、一元二次不等式的解法． 3、数形结合思想运用． 二、新课讲授 例1：解不等式|x2-5x+5|<1 分析：不等式|x| x 2-5x +5>-1 ② 解不等式①由 x 2-5x +5< 1 得 (x -1)(x -4)< 0 解集为{x |1 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③ 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 （1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ； 若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+= ，M 为常数，max ()ab = . （2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ； 若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>= ，M 为常数，min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈，求最值时应注意以下三个条件： 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1 1 2ab > B ．1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ （2）不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)? B ．(,2)(0,)?∞?+∞ C ．(4,2)? D ．(,4)(2,)?∞?+∞ （3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11 x y +的最大值为 ( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12 方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1 445y x x =+?的最大值； （2）已知，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 方法三：“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 （2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 不等式的解法（一） 考点1 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式，可先利用不等式的性质变成ax>0或ax<0 的形式，然后根据 a 为正，为负，为零三种情况分别求解. {}.,532,2)1(. 42.12的值求）若不等式的解集为 （，求解不等式；）若（求解不等式； 若的不等式关于a x x R a a ax x a x ->∈=+>- . 0)2()3(,310)32()(.2的解集的不等式求关于的解集为的不等式已知关于>-+-???? ??-<<-++a b x b a x x x b a x b a x 考点2 一元一次不等式的解法 先利用不等式的性质等价变成. 00.000)0(0022的情形时应转换成三种情况求解，，再分的形式， 或><++>++a a a c bx ax c bx ax 32)4(4 1 )3(0322)2(0 2321.32222≥-+->->- +->--x x x x x x x x ）（解以下不等式 0)2)(2(.4>--ax x x 的不等式解关于 03.52>--m mx x x 的不等式解关于 0)(.6322>++-a x a a x x 的不等式解关于 .01)1(,0.72<++->x a a x a 解不等式设 . 0, 00.822的解求的解为已知不等式>++<<<>++a bx cx x c bx ax βα . 2)1(. 012.92的取值范围，求）若不等式的解集是（的取值范围；，求若不等式的解集为已知不等式a a R x ax Φ>+- 考点3 一元二次不等式类型的恒成立的问题 . , 03)1(4)54(.1022的取值范围恒成立，求实数对于一切已知不等式m x x m x m m >+---+ 考点4 一元二次方程根的分布问题 . 4312-..42.. 43..12.,02)13(7.1122<<-<<<<-<<-<<-=--++-k k D K C k B k A k k k x k x 或的取值范围是 则实数若方程 . 40..4.. 1..0.110232 2.122-<>-<>>=---K K D K C K B K A k k x kx x 或的取值范围是 ，则实数另一个小于，的两个实根一个大于的方程设关于 .107)1(8.132的取值范围求实数，的两个实根都大于若方程m m x m x =-+-- 高二数学课件:《不等式的解法举例》 过去的一切会离你越来越远，直到淡出人们的视野，而空白却会越放越大，直至铺成一段苍白的人生。下面为您推荐高二数学课件:《不等式的解法举例》。 （1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式； （2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法； （3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解； （4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想； （5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣.【教学建议】一、知识结构 本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为： ； ； ； 二、重点、难点分析 本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处，但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的，由于不等式的解集一般都是无限集，如果产生了增根却是无法检验加以排除的，所以解不等式的过程一定要保证同解，所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式，当为一元一次式时，可直接解这个不等式组，但当为一元二次式时，就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式，分别求解在求交集. 三、教学建议 （1）在学习新课之前一定要复习旧知识，包括一元二次不等式的解法，简单的绝对值不等式的解法，简单的分式不等式的解法，不等式的性质，实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生，这一环节不可忽视. （2）在研究不等式的解法之前，应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法，然后提出如何求不等式的解集，启发学生运用换元思想将替换成，从而转化一元二次不等式组的求解. （3）在教学中一定让学生充分讨论，明确不等式组中的两个不等式的解集间的交并关系，两个不等式的解集间的交并关系. （4）建议表述解不等式的过程中运用符号 . （5）建议在研究分式不等式的解法之前，先研究简单高次不等式（一端为0，另一端是若干个一次因式乘积形式的整式）的解法.可由学生讨论不同解法，师生共同比较诸法的优劣，最后落实到区间法. （6）分式不等式与高次不等式的等价原因，可以认为是不等式两端同乘 内容 基本要求 略高要求 较高要求 不等式(组) 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义． 能根据具体问题中的数量关系列出不等式 (组)． 不等式 的性质 理解不等式的基本性质． 会利用不等式的性质比较两个实数的大小． 解一元一次不等式(组) 了解一元一次不等式(组) 的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集． 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式 组成的不等式组，并会根据条件求整数解． 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题． 不等式的概念： ⑴不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 2-5-2,3-14,10,10,0,35a x a x a a <+>++≤+>≥≠等都是不等式． ⑵常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥- 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c <) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c <) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >) 易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变． 另外，不等式还具有互逆性和传递性． 不等式的互逆性：如果a>b ，那么bb ． 不等式的传递性：如果a>b ，b>c ，那么a>c ． 注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向． ⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a 时，有下面三种情形： ①如果a>0，那么3a>2a ； ②如果a=0时，那么3a=2a ； ③如果a<0时，那么3a<2a ． 等式的性质 不等式的性质 中考要求 不等式的解法 高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ? ?>????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ??）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>? ②当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>?? 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－ 1，1］，m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x + 21)＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 21∈［－1，1］，1 1-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方 不等式的解法（一） 教学目标： 能熟练地求解一元一次不等式（组），掌握一元二次不等式的解法；关于分式不等式可先化为0)()(>x g x f 或0) ()( 常见不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ??> ????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ? ? < ???? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2 ()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式2 0ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? ②当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 教学任务 教学过程设计 课后作业 一、选择： 1不等式038>-x 的解集是（ ） A ? B C 8{|}3x x ≠ D }3 8 { 2不等式04 1 2>+-x x 的解集是（ ） A R B 1{|}2x x < C 1{|}2x x > D 1 {|}2 x x ≠ 3设等于则B A x x B x x A I },11{},32{>-=<-= （ ） A }5201{<<<<-x x x 或 B }51{<<-x x C }01{<<-x x D }20{> 14设函数()4f x x b =-+，不等式|()|6f x <的解集为（－1，2） （1）求b 的值； （2）解不等式 40() x m f x +>． 答： 15、解关于x 的不等式 )0( 12 ) 1(>>--a x x a 答： 常见不等式的解法归纳总结 知识点精讲 一．一元一次不等式（ax b >） （1）若0a >，解集为|b x x a ??> ????. (2) 若0a <，解集为|b x x a ??< ??? ? （3）若0a =，当0b ≥时，解集为?；当0b <时，解集为R 二、一元一次不等式组（αβ<） （1）x x αβ>??>?，解集为{}|x x β>.（2）x x αβ?? ??≠，其中24b ac ?=-，12,x x 是方程2 0(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x < （1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0?>，解集为{} 21|x x x x x ><或. ②若0?=，解集为|2b x x R x a ??∈≠- ???? 且. ③若0?<，解集为R . (2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0?>，解集为{}12|x x x x << ②若0?≤，解集为? 四、简单的一元高次不等式的解法 简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式()0f x > （1）将()f x 最高次项系数化为正数 （2）将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0?<） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）. 第一课时 知识清单： 1、解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，进而转化为不含绝对值的不等式求解。 2、去绝对值得方法主要有： （1）公式法： x a a x a ?<-或x a > （2）平方法：当0a >时，22x a x a ?>. （3）零点分段法. 3、含绝对值不等式的等价变形： （1）()(0)()f x a a f x a >>?>或()f x a <-；()a f x a -<< （2）()(0)f x a a <>?()a f x a -<<； （3）[][]22()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x >?>?+-g ； （4）()()()()f x g x f x g x >?>或()()f x g x <-； （5）()()()()()f x g x g x f x g x ； 2、解不等式213x +>； 3、解不等式317x +<； 4、解不等式3110x +>； 5、解不等式211x -≤； 6、解不等式2311x x -+>； 7、解不等式113x x ++->； 8、解不等式234x x --+>； 9、解不等式211x x +>-； 10、解不等式233x x x ++>4+； 11、解不等式 2341x x x --<+； 第二课时 知识清单： 1、解分式不等式，首先要把它等价变形为整式不等式.共有如下几种类型： （1）()0()()0()f x f x g x g x >?>g ； （2）()0()()0() f x f x g x g x ?≠?g g 或()0f x =； （4） ()()0()0()()0,()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ≤?≤??<=?≠?g g . 2、数轴穿根法解不等式的步骤是： （1）等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积（未知数系数一定是正数）； （2）把各因式的根标在数轴上； （3）用曲线“从上往下同时从左向右”穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透）； （4）看图象写出解集. 简记为：变形、标根、穿根、写解集. 习题： 1、解不等式 201x x +<-； 2、解不等式122 x x +≤-； 3、解不等式21031 x x ->+； 4、解不等式2301 x x +<-； 5、解不等式23901 x x +>+； 6、解不等式121 x x ->0+； 7、解不等式107 x x -<-； 8、解不等式112 x x -<+； 9、解不等式123x x +>-； 10、已知0a <，解关于x 的不等式 12 ax x >-； 不等式 题型一、一元二次不等式的解法：1、解下列不等式 （1）-1 题型四、不等式恒成立问题 4、（1）已知不等式2≤3x2+px+6 对任意的x∈R都成立，求实数p的值； x2-x+1≤6 a的取值范围。 （2）若x∈R,ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立，求 5、（1）已知不等式2x-1>m(x2-1)，若对于m∈[-2,2]，不等式恒成立，求实数x的求职范围。 a的取值范围。（2）函数f(x)=(2-a2)x+a在区间[0,1]上恒为正，求实数 题型五：作二元一次不等式表示平面区域 6、画出下列不等式表示的平面区域 （1）2x-3y+1>0；（2）2x+y+4≤0； （3）2y-x>0；（4）y≤1；（5）x<-3。 ?3x + 2 y ≥ 6 ?3x + 4 y - 12 < 0 （ （ 题型六：平面区域内的点与不等式 7、若直线 ax + y + 2 = 0 与连接点 A(-2,3) 和 B(3,2) 的线段有公共点，求 a 的取值范围。 变式：给出下列命题：1）原点和点（3,1）在直线 2 x + y - 6 = 0 的两侧；2）原点和点 (-3,1) 在直线 2 x + y - 6 = 0 的同侧；（3）点 (3,2)和(2,3) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的两侧；（4）点 (-2,3) 和点 (-3,2) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的同侧。其中正确的有 。 题型七：作出二次不等式组所表示的平面区域 8、用平面区域表示下列不等式组： ?x < 3 ?2 y ≥ x ?x ≥ y （1） ? （2） ? ??3 y < x + 9 题型八：绝对值、二元二次不等式表示的平面区域 9、画出下列不等式表示的平面区域 （1） x - 2 + y - 2 ≤ 2 （2） y ≤ x ≤ 2 y （3） （x - 2 y + 2)( x + y - 3) < 0 题型九：平面区域面积问题 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不 等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123x x x -<---（答：()()1,12,3-） ； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围 为______。（答：4 {}3 ） 不等式的解法方法归类 一．一元二次不等式的解法 例1、不等式2654x x +<的解集为_________________________________. 例2等式2 230x x -->的解集是___________________________． 例3.式2560x x -++≥的解集是______________________________． 例4．一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ??-<； ⑶2 4410x x -+>． 例6 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集． 二．分式不等式的解法 解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）()()()()00f x f x g x g x >??>（2）()()()()()000 f x g x f x g x g x ?≥??≥??≠?? 例1.解下列不等式 1、 302x x -≥-2、2113x x ->+ 变式3：解不等式 4 不等式 3113x x +>--的解集是8. 不等式2112 x x ->-+的解集是 三．对值不等式的解法 c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 (1时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; (2）.式c b ax >+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是?; 例1解不等式32<-x 解不等式2|55|1x x -+<． 变式训练 例1.式 22x x x x >++。 2.不等式121≥++x x 变式训练例3、解不等式123x x ->-。例3 解不等式242+<-x x 四．绝对值衍生题型： 例1． 解不等式125x x -++<。 例2.解不等式2112≤++ -x x 不等式知识点大全一 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. < = ? a< b ? = > - ? > - a - ; a ; b b 0b a b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? b b a< （2）c ? > >,（传递性） a> a c b b （3）c + > ? >（加法单调性） a b c b a+ （4）d > + a+ > >,（同向不等式相加） ? c b a d c b （5）d - > ? a- < >,（异向不等式相减） a b c d c b （6）bc ac , . > >0 ? b c a> （7）bc < ,（乘法单调性） >0 ? ac c b a< （8）bd > > > >0 ,0（同向不等式相乘） c ac d b a> ? (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. ,3a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->
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