《三角形内角和定理的证明》教学设计
长江中学：丁鹏程
课题：三角形内角和定理的证明
学习目标：
1、知识与技能目标：学生由对三角内角和定理感性认识上升到理性推理证明，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。
2、过程与方法目标：学生亲历探索撕纸过程对比，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。
3、情感态度与价值观目标：经历三角形内角和定理不同种方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。
教材分析
1、内容分析
三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。
(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。
(2)实际生活、生产中有广泛的应用。
(3)是求角度的有力工具（有时非它不可）。
三角形内角和定理的证明过程为学生建立数学思想方法和逻辑推理能力提供一个发展提高平台，其论证过程总体体现为化归思想。学过之后，这种思想方法可以类比运用到其它问题的探索与解决过程之中，其说理过程将成为“普通语言向符号语言转化”的可能，这一可能将随时间的推移与知识的积攒成为现实。
在证明过程中，学生从中学到的不仅仅是知识、方法及数学逻辑，他们克服困难的勇气及对问题的好奇心和互相评价，学习方式的选择等等方面都将大有收获，说明了本节教材内容对学生非智力因素的影响还是非常大的。
2、学情分析：
（1）学生已经接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。
（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。
（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。
3、障碍预测：
辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定，另外本节课开始将训练学生把几何命题翻译为几何符号语言，这对学生来说都有一定接受难度。
教学重点、难点
重点：以三角形内角和定理的证明为载体，学习几何证明思想，以及辅助线的有关知识，体会数形结合思想。
难点：辅助线添加的必要性和具体方法：（1）为什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪种添加方法最简单。
设计思路分析：
三角形内角和定理是学生接触较早的定理之一，其内容和应用早已为学生所熟悉。因此，本节课需要重点解决的问题是定理的证明；在定理证明中，学生将首次接触和应用辅助线，于是，在证明中“为什么要添加辅助线”、“如何添加辅助线”就必然成为本节课的重点。
本课基本定位在于，通过三角形内角和定理证明的教学实践、感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。同时，引领学生体会数学中的重要思想——数形结合。
借助“撕三角形纸片，拼接，验证三角形内角和定理”的过程分析，启发诱导学生初步体会辅助线及其在证明中的作用。最后，引领学生进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。
教学策略：
1、学教方式：为真正落实学生的主体地位，教师只是教学过程的组织者、合作者、引导者，特确定了如下学教方式：学生自主探究、合作交流学习，教师引导发现教学。
2、教学支持：为促进学生自主学习，增大课堂容量，提高效率，突出重点，突破难点，本节课将采用多媒体演示教学。
教学过程
（一）知识回顾，积累经验
1、平行线的判定：
2、平行线的性质：
3、证明一个文字命题的一般步骤：
（二）情景再现，导入新课
问题1：我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?
（1）数的研究：对于三角形的内角和是180°这样一个结论，启发学生回想，我们在小学时是怎样知道这个结论的。
（通过量角器进行角度的测量，这就是“数”的研究，量角器在这里起到桥的作用。）问题2：通过前两节课的学习，我们知道通过观察、度量、猜测得到的结论不一定是正确的，测量会产生误差，问题解决得并不完美。这就促使我们去寻找新的研究方向——形。（体会证明的必要性）
（2）形的研究：对于三角形的内角和是180°这样一个结论，启发学生回想，七年级下册时是怎样知道这个结论的。
（通过动手操作拼图，将分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角或两角互补，为本节课引出辅助线做好铺垫）
【设计意图】（1）鉴于学生对证明已有一定的认识和了解，并且对三角形内角和已经有初步认识，在教学过程设计上并没有从学生身边熟悉的事例创设情境，而是简单地对三角形内角和的知识加以回忆。
（2）学生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客观因素的制约，影响了研究结果的准确性，况且当时有些学生量出内角和的度数确实要高于或低于180°。
（3）学生的怀疑是正常的，剪拼得到的结论有一定的合理性，但还需证明来确认，这正是我们这节课要解决的问题——教育学生研究问题要有一个严谨的科学态度。
（三）活用化归，证明定理
根据前面给出的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.
结论：三角形三个内角的和等于180°。
师：这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？
生：需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。
师：对，下面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？
已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三内角.
求证:∠A+∠B+∠C=180°
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B 移到了∠ECD的位置.
证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB
∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）
师：同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们添画了射线CE、CD，使处于原三角中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的三个内角的和等于180°是真命题，这时称它为定理。即：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
【设计意图】培养学生有“公理化思想”，能运用基本事实和定理证明问题，有学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习的能力，有探究新知的能力。
（四）开启智慧，分组探究
师：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗? 请你帮小明把想法化为实际行动
证明:过点A作PQ∥BC
∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等) ,
∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等),
∵∠BAC+∠B+∠C=180° (平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180° (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?
1、教师组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。
2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。
3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明。
4、分组探究，成果展示
教师指导学生进行全班交流：（1）借助实物投影仪，将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。
【设计意图】1、让学生在证明的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路．
2、这里是本节课的一个重点，教师在这里要交代①什么是辅助线，添加时要用虚线画出；②辅助线怎么来的在证明开始时要交代清楚，后添加的字母要在证明的开始前交代清楚；③规范书写格式是自上而下的；④有条理的表达上面的分析思路，有一个严密的逻辑思维过程。
3、三角形内角和的证明实质是利用化归思想将三角形内角和转化为“平角等于180°”或“两直线平行同旁内角和等于180°这一点应向学生交代清楚
4、给学生充分的自我展示的机会，尽量发现更多的添加辅助线的方法。
（五）实践应用，培养能力
1、已知:如图在△ABC 中，DE ∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.
求证： ∠ADE=50°
2.、已知：如图，△ABC 中， ∠B 和∠C 的平分线BE ，CF 交点O.
求证： ∠BOC=90°+2
1∠A
（六）知识回顾，拓展延伸，
如图，利用几何画板，在△ABC 中，
（1）如果BC 不动，把点A“压”向BC ，∠A
就越来越大，而∠B 与∠C 的和越来越小，由此你
能想到什么？
(2)如果BC 不动，把点A“拉离”BC ，∠A 就越来越小，而∠B 与∠C 则越来越大，它们的和越来越接近180°，由此你能想到什么？
【设计意图】引导学生利用运动变化的观点理解和认识数学，渗透极限思想。
（七）畅谈收获，反思升华
本节课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。在三角形中，求角的大小可将被求角看作三角形的内角来求。证明的基本思想是：借助辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角或两个互补的角．通过本节课的学习,你有哪些收获?
（八）课外作业，巩固练习
课外作业：课本P 241习题6.6 1、2、3
（九）板书设计：
三角形内角和定理的证明
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
教学反思
《课标》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动、共同发展的过程。学生是数学学习的主人，教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者。有效的数学教学应当从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，促使他们在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、技能、思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高解决问题的能力，学会学习，同时使学生在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
作为“几何证明”的重要组成部分，这节课所涉及的内容对于证明的学习显得十分重要。其原因一方面在于，这是添加辅助线、进行几何证明的首次学习，学生对此普遍感到困难；另一方面，这是《义务教育数学课程标准》下的“几何公理体系”第一次循环的综合运用，即“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”的综合应用。
这篇案例经过了精心设计，尤其是从“数”与“形”两个角度对辅助线作法的分析与探索，做了相当大的内容准备。
1、在备课时，教师不能只备教材而不备学生，只考虑自己如何“教”而忽视学生如何“学”。在这节课上产生的情况，由于我对学生已有知识经验估计不足，造成有些内容没完成。因此，教师在备课时，要充分预计学生已有的知识水平，站在学生的角度来思考：如果自己是学生，我已懂了哪些知识？还有什么问题？不能只考虑自己教得舒畅、教得精彩，而应更多地从学生的角度来思考“教什么”和“怎样教”，做到以“学”定“教”。充分体现学生是学习的主体。
2、教师的教学方式要适应学生的学习。新课程明确倡导动手实践、自主探究、合作交流的学习方式。这就要求教师的角色，应当从过去知识的传授者转变为学生自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者。在教学过程中，我给学生设置了富有挑战性的问题情境，让学生分组合作、自主地去探究和发现方法。
3、本节课教师主导作用的发挥是比较好的，作用体现在让学生的主体得到充分的展示。
4、要想使学生感受到学习的快乐，就必须让学生体验到靠自己力量获得的成功，体会到探究与发现带来的乐趣。在教学中，我遵循的基本教学原则是激励学生展开积极的思维活动。不断的表扬学生，使学生感到自身的价值存在。
给学生一个展示个性、享受成功的机会。创设民主和谐的氛围，有助于减轻学生的心理负担，使学生的个性见解自由表达，独特做法主动展示。例如：证明方法的多样性，反映学生思维的多样性，学生个性的多样性；放手给学生自己小结体现不同学生有不同发展，交流是一种互补。
本节课老师多次深入到学习困难的学习小组，参与研究，引导他们发现，解决学生遇到的问题。因为每个学生都有按自己的选择参与学习的权利。都受个体已有认知水平和经验的限制，学生的学习很可能“遭遇”障碍，这常常会引发学生的失败感，降低学生学习的自信心，所以老师要适时鼓励，使学生享受到成功的喜悦。享受到一次成功，就会激励学生以更大的努力去追求更大的成功。
北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 教案背景：在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的本节课教学。 教学课题：北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 (二)教学目标：
[知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 教学方法：引导发现法、尝试探究法。 教学过程： 一、创设情景、提出问题： “三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？ （学生回答：是个真命题。是从度量、折纸、拼角得到的）。教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？（ 证明）由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为180°？渗透公理化的思想，自然导入三角形内角和定理证明的学习。 二、探究新知
初中数学《三角形内角和定理的证明》教案第六章证明（一） 5．三角形内角和定理的证明 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有优良的基础。 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 （2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 数学能力：用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能 力。 情感与态度：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入探索新知反馈练习课堂小结
第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1）（2）（3）（4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？ （2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定 困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明．教学效果： 说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较烂熟地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节：探索新知 活动内容： ① 用严格的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？ 方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC DAB=B，EAC=C（两直线平行，内错角相等）
7．5 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点) 2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证明呢？ 下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°. 二、合作探究 探究点一：三角形内角和定理 在△ABC 中，如果∠A＝1 2∠B ＝1 2 ∠C ，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A.因此 可以先求∠A ，再求∠B 、∠C. 解：∵∠A＝12∠B ＝1 2∠C(已知)，∴∠B ＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝ 36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°. 方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程． 探究点二：三角形内角和定理的证明 已知：如图，在△ABC 中． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，
三角形的内角和定理--教学设计（王康）陕西省宁强县胡家坝镇初级中学王康 内容和内容解析： ?三角形内角和定理?是北师大版八年级上册第七章平行线的证明的最后一节内容，是在学生学习了证明的必要性和平行线的性质与判定的基础上进行学习的．?三角形内角和定理?是对前几节证明的自然延续，是平行线性质的后续应用，是对推理证明的巩固与加深．同时，三角形内角和定理是计算角的度数的常用方法之一，是学生今后学习多边形内角和以及圆等知识的基础，探索定理证明过程中表达的数学思想和方法、引入的辅助线的添加方法也为学生后续几何学习奠定了基础，具有承上启下的作用。 【二】目标与目标解析： 上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排?三角形内角和定理?旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：掌握三角形内角和定理，了解它的几种证法，灵活应用三角形内角和定理解决相关问题，初步学会利用添加辅助线的方法进行证明。 过程与方法：经历三角形内角和定理的探索过程，在观察、推理、归纳等探索过程中发展学生合情推理能力，演绎推理能力，初步养成逻辑推理能力，同时培养学生创新思维能力。 \ 情感态度与价值观：通过从多角度解决问题，培养学生的创新意识，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，通过数学活动激发学生的兴趣，感悟思维推理的数学价值。 【三】教学重点、难点： 重点：动手操作、自主探究三角形内角和定理并会进行简单应用。 难点：探究三角形内角和定理证明思路和方法。
三角形三边关系、三角形角和定理 三角形边的性质 （1）三角形三边关系定理及推论 定理：三角形两边的和大于第三边。 推论：三角形两边的差小于第三边。 （2）表达式：△ABC中，设a＞b＞c 则b-c＜a＜b+c a-c＜b＜a+c a-b＜c＜a+b （3）应用 1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。 方法（设a、b、c为三边的长） ①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ②若c为最长边且a+b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ③若c为最短边且c＞|a-b|，则以a、b、c为三边的长可构成三角形。 2、已知三角形两边长为a、b，求第三边x的围：|a-b|＜x＜a+b。 3、已知三角形两边长为a、b(a＞b)，求周长L的围：2a＜L＜2(a+b)。 4、证明线段之间的不等关系。 复习巩固，引入新课 1画出下列三角形是高 2、已知：如图△ABC中AG是BC中线，AB=5cm AC=3cm，则△ABG和△ACG的周长的差为多少？△ABG和△ACG的面积有何关系？ 3、三角形的角平分线、中线、高线都是（） A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对 4、三角形三条高的交点一定在（） A、三角形的部 B、三角形的外部 C、顶点上 D、以上三种情况都有可能 5、直角三角形中高线的条数是（） A、3 B、2 C、1 D、0 6、判断： （1）有理数可分为正数和负数。
（2）有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。 7、现有10cm的线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？ 三角形三边的关系 一、三角形按边分类（见同步辅导二） 练习 １、两种分类方法是否正确： 不等边三角形不等三角形 三角形三角形等腰三角形 等腰三角形等边三角形 2、如图，从家A上学时要走近路到学校B，你会选哪条路线？ ３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？ （1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm （3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ 应用举例1 已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的围是 练习 １、三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的围是 ２、果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 3、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为 （） A、1 B、2 C、3 D、4 4、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（） A、5，9，3 B、5，7，3 C、5，2，3 D、5，8，3 应用举例2 1、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是 ______cm。 分析：若这个等腰三角形的腰长为8cm,则三边分别为8cm,8cm,6cm，满 足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为6cm，6cm,8cm，也 成立。 解：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。 2、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BC M的周 长比△ACM的周长大3，求BC和AC的长。 分析：由已知△ABC的周长=AB+AC+BC=11，AB=4，可得 BC+AC=7。 又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=3，而AM=MB，
三角形内角和定理教学设计 一、教材分析 1、内容分析 《三角形内角和定理》是北师大版八年级上册第七章平行线的证明的最后一节，是在学生学习了证明的必要性和平行线的性质与判定的基础上进行学习的。《三角形内角和定理》是对前几节证明的自然延续，是平行线性质的后续应用，是对推理证明的巩固与加深。同时，三角形内角和定理是计算角的度数的常用方法之一，是学生今后学习多边形内角和以及圆等知识的基础，探索定理证明过程中体现的数学思想和方法、引入的辅助线的添加方法也为学生后续几何学习奠定了基础，具有承上启下的作用。 2、学情分析： （1）学生已经在小学和七年级的时候接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。 （2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。 （3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。 二、学习目标： 1、知识与技能目标：学生由对三角内角和定理感性认识上升到理性推理证明，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 2、过程与方法目标：学生亲历探索撕纸过程对比，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。 3、情感态度与价值观目标：经历三角形内角和定理不同种方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。 三、教学重点、难点 重点：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 难点：会在证明中添加合适的辅助线；会用一题多解的方法对三角形内角和的定理进行证明。 四、设计思路分析： 三角形内角和定理是学生接触较早的定理之一，其内容和应用早已为学生所熟悉。因此，本节课需要重点解决的问题是定理的证明；在定理证明中，学生将首次接触和应用辅助线，于是，在证明中“为什么要添加辅助线”、“如何添加
7.5 三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理． 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1）（2）（3）（4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明． 教学效果： 说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节：探索新知 活动内容： ①用严谨的证明来论证三角形内角和定理． ②看哪个同学想的方法最多？ A D E A B C E D
方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) 方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA． ∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) 活动目的： 用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。 教学效果： 添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的． 第三环节：反馈练习 活动内容： （1）△ABC中可以有3个锐角吗？3个直角呢？2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？ （2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？
初二数学 七年级第八章三角形内角和定理及推论 一、三角形三个内角的关系 三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。 ⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。（填图序号。下同） （2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。 （3）度量 实际上，有可能： 折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角; 剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角； 度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。 以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。 事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进 行 _________。 二、证明三角形的内角的和等于180° 1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过程给我们这 样的提示： 把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同 旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为易于证明的情况。 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别于原图形中 的线，辅助线一般画成____线。 由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。 （2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE 上 E B C A D
图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上 图（3）剪掉两个角（∠B 与∠C ）,拼接在它的顶点A 处，∠B 放在∠BAD 上 （3） （4） 图（4）剪掉∠C 放在∠DAC 上。 作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。上面四 个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达： 1、作BC 的延长线CD ，在△ABC 的外部，以CA 为一边，CE 为另一边，画∠1=∠A 。< > 2、作BC 的延长线CD ，过C 点作CE ∥AB 。 < > 3、过A 点作DE ∥BC 。 < > 4、过A 点作射线AD ∥BC 。 < > 5、在BC 上任取点D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。 < > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。 2.证明： 请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°” 至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他 问题的依据，所以课本上，把它称之为_______。 三角形内角和定理 表达式： △ABC 中 ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） 根据图（3），证明三角形内角和定理：______________________________________________. 三． 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 表达式∵在Rt △ACB 中，∠C=90°（已知） ∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余） 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 表达式：∵△ACB 中，∠A +∠ B=90° E B C B
名师精编优秀教案 北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础教案背景：上展开的本节课教学。 北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教学课题：教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世
界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 教学目标：)二( 名师精编优秀教案 [知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 引导发现法、尝试探究法。教学方法：教学过程： 一、创设情景、提出问题：
《三角形内角和定理》教学设计方案 平乡县实验中学庞西宏 一、教材与学生现实的分析 1、三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。 2、三角形内角和定理的内容，学生在小学已经熟悉，但在小学是通过实验得出的，要向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。 3、学生在小学里已知三角形的内角和是180°，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，而且也渗透了三角形的内角和是180°的证明，它的证明借助了平角定义，平行线的性质。用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。尽管前面学生接触过推理论证的知识，但并末真正去论证过，特别是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式是可以完成的， 并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。 从本节开始训练学生将命题翻译为几何符号语言，写出已知、求证，学会分析命题的证明思路，对培养学生的思维能力和推理能力将起到重要的作用。
【课题】三角形内角和定理 【教学类型】新知课 【教学目的】 1.知识与技能目标：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 2.过程与方法目标： （1）对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 （2）通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 （3）引导学生应用运动变化的观点认识数学。 3.情感与态度目标：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 【教学方法】引导发现法、尝试探究法 【教学重点】探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 【教学难点】应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 【教具】尺规，三角板 【教学过程】 一、创设情境，自然引入 把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲，为发现新知识创造一个最佳的心理和认知环境。 1. 三角形三条边的关系我们已经明确了，而且利用三边关系解决了一些几何问题，那么三角形的三个内角有何关系呢？ 答：三角形的三个内角的和等于180°。 2.这个结论从哪里来？ 在纸上任意画一个三角形，并将它的内角减下来拼合在一起。 （1）观察：三个内角拼成了一个什么角？
（2）此实验给我们一个什么启示？（把三角形的三个内角之和转化为一个平角） （3）由图中AB 与CD 的关系，启发我们画一条什么样的线，作为解决问题的桥梁？ 二、讲授新课，深入了解 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 即：△ABC 中， ∠A +∠B +∠C=180 ° 如何证明这个结论的正确性？ 结论：三角形的内角和等于180 ° 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证法一： 证明：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ． ∵CE ∥BA ∴∠B=∠ECD （两直线平行，同位角相等）， ∠A=∠ACE （两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) 证法二： 证明：过A 作E F ∥B C. ∵ E F ∥B C. ∴∠E A B =∠B ∠F A C = ∠C ﹙两直线平行，内错角相等﹚ A B C E D
7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
三角形的内角和(教学设计方案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标： 1. 掌握三角形内角和定理及其推论； 2. 弄清三角形按角的分类, 会按角的大小对三角形进行分类； 3．通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想,并会用方程思想去解决一些图形中求角的问题。 4．通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态 5. 通过对定理及推论的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想。 教学重点：三角形内角和定理及其推论。 教学难点：三角形内角和定理的证明 教学用具：直尺、微机
教学方法：互动式，谈话法 教学过程： 1、创设情境，自然引入 把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲，为发现新知识创造一个最佳的心理和认知环境。 问题1 三角形三条边的关系我们已经明确了，而且利用上述关系解决了一些几何问题，那么三角形的三个内角有何关系呢？ 问题2 你能用几何推理来论证得到的关系吗？ 对于问题1绝大多数学生都能回答出来（小学学过的），问题2学生会感到困难，因为这个证明需添加辅助线，这是同学们第一次接触的新知识―――“辅助线”。教师可以趁机告诉学生这节课将要学习的一个重要内容（板书课题） 新课引入的好坏在某种程度上关系到课堂教学的成败，本节课从旧知识切入，特别是从知识体系考虑引入，“学习了三角形边的关系，自然想到三角形角的关系怎样呢？”使学生感觉本节课学习的内容自然合理。 2、设问质疑，探究尝试 （1）求证：三角形三个内角的和等于
1. 如何证明这个结论的正确性? 已知：△ ABC. 求证：/ A+Z B+Z C=180 证法 证明： 在厶ABC 的外部以CA 为边 作Z ACE Z A.延长BC 至D 贝 U C E // B A （内错角相等，两直线平行） ???Z DCE Z B （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 （平角定义） ? Z BCA +Z A + Z B=180 （等量代换） 证明： 延长BC 至D ，过C 作CE// BA. 则 Z A = Z ACE （两直线平行，内错角相等） Z B = Z ECD （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 ? Z BCA +Z A + Z B = 180 A B C E. 证法二 B C E. 讲授新课 2.同学想一想还有没有其他的方法 证明这个结论的正确性？
证明： 过A 作EF// BC. 则Z EAB =Z B. Z FAC = Z C （两直线平行，内错角相等） vZ EAB-Z BAC Z CAF=80 ???Z B+Z BAC Z C=180 1?三角形内角和定理: 三角形的内角和等于180 即厶ABC中, / A+Z B+Z C=180 2.推论： 直角三角形中，两锐角互余。 即Rt △ ABC中Z C=90 则Z A+Z B=90 例1.在厶ABC中: ①Z A=35 Z C=90 则Z B=? 55 ②Z A=50 Z B=Z C 则Z B=? 65 ③Z A : Z B : Z C=3: 2: 1 问厶ABC是什么三角形？ 直角三角形 ④Z A- Z C =35 Z B- Z C =10 贝UZ B =? 55证法三 B C F 巩固练习
第七章平行线的证明 5．三角形内角和定理（第2课时） 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好的基础． 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《关注三角形的外角》旨在利用已经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 1.掌握三角形外角的两条性质； 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧． 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。 5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思与小结 第一环节：情境引入
活动内容： 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 活动目的： 引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。 注意事项： 教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。 第二环节：探索新知 活动内容： ①三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上． (2)一条边是三角形的一边． (3)另一条边是三角形某条边的延长线． ②两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质： 问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？ 问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？
人教版八上《数学》《11.2.1三角形的内角和定理》教学设计 第十一章《三角形》 一、内容分析 “三角形内角和定理”这一内容，上承平行线的判定与性质，下启外角、多边形的内角和.这一内容是几何学习的核心知识点、基础知识点.它的推导，是建立在学生学习了平行 线的性质与判定之后，由180角联想到同旁内角、平角，利用平行线的性质与判定转化、构造.对学生的知识迁移能力、转化思想、数形结合思想的培养起到了很重要的作用? 二、目标解析 （一）知识与技能 （1）掌握推导三角形内角和定理的方法 （2）会利用内角和定理解决实际问题 （二）过程与方法 学生经历“实验一一探究一一解决一一运用”的学习过程，从中感悟证明结论的方法的多样性和获得成功的乐趣，初步了解作平行线（辅助线）的魅力，培养“转化”的数学思想方法?（三）情感、态度与价值观 （1）学生经历自主、合作、探究的学习过程体验获取数学知识的成就感 （2）通过对三角形内角和定理的推导，体会新知识的形成来源于旧知识的灵活运用，渗透运用转化的观点? （3）在和谐、活跃的探究氛围中，弓I导学生对图形去质疑、发现，激发学生的求知欲和学习兴趣，帮助其养成良好的学习习惯和勤于思考，勇于探索的思想品质，建立学习的自信心. 三、教学重难点 定理的推导证明方法是重点； 教师如何引导学生获取推导的方法以及感悟其中的数学思想与方法是难点. 四、学情分析 1. 小学已经学过三角形内角和为180°这一 结论，并会用剪、拼的方法直观验证. 2. 由180°角联想到平角和两平行线所截形成的同旁内角 3. 了解平行线的性质，会利用平行线将内角和转化为平角或同旁内角 4. 学生重“结论”轻“过程”现象普遍；学生自主探究意识不强，钻研精神不够。 本节课选择小学都已熟知的定理一一“三角形内角和为180。”的证明为素材，学生通过动手拼一拼，教师适时引导，引领学生思考，生成新的解题思路与方法，同时为学生质疑引导方向。 五、教学具的准备 教具：多媒体课件、几何画板课件 学具：一个三角形制片 六、设计主线 以“剪一剪，模型验证一一证一证，理论推导一一说一说，归纳方法一一用一用，学以致用”为主线. 学生通过动手拼一拼模型，感知三角形内角和为180。，将实物模型抽象概括为几何模型；根据剪拼的模型，抽象概括出两种思路，学生动手证一证，进一步感知数学的严谨性，体会数学中的乐趣；“由180 °想到了什么”“有多余的”“如何转化” “其他点可以吗”等问题串连整个证明环节之中，学生在同组议一议、全班论一论中，寻找碰撞，探索推 导三角形内角和定理的方法，感悟角与角之间的转化，培养学生的逻辑推理和创新能力? 七、教学过程： （一）剪一剪，模型验证
§6.5 三角形内角和定理的证明 教学目标 （一）教学知识点 三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力. （三）情感与价值观要求 通过一题多解、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神。引导学生个性化的发展。 教学重难点 教学重点：三角形内角和定理的证明. 教学难点：三角形内角和定理的证明方法. 教学过程设计 1、温故求新 三角形三个内角有什么关系？你还记得这个结论的探索过程吗？ 回顾七年级采用撕纸、折纸的方法证明三角形内和定理的方法． 只是实验得出的结论，并不一定正确可靠，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，那么如何证明此命题是真命题呢？ 我们今天就来研究这个问题。 2、讲授新课 对于一个文字命题，证明时需要先做什么？ ①画图；②分析命题的题设和结论，写出已知、求证，把文字语言转化为几何语言。 推理证明过程 已知：如图1，A B C ∠，∠，∠是ABC △的三个内角．
求证：180A B C ++=o ∠∠∠． 教师引导：有什么方法可以得到180°？ ① 一个平角等于180°②两直线平行，同旁内角互补。 如果不实际移动角，那么你还有其他的办法达到同样的效果吗？从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 证明：延长BC 到D ，过点C 作CE ∥BA （如图2） ∵CE ∥BA （已作） ∴∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠2=∠B （两直线平行，同位角相等） 又∵∠1+∠2+∠ACB ＝180° （平角的定义） ∴∠A+∠B+∠ACB ＝180°（等量代换） 要把三角形三个内角转化为平角，就要在原图形上添加一些线，构造新图形，形成新关系，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线。 只有这一种做辅助线的方法吗？下面看看小明的做法： 小明的想法是把三个角“凑”到A 处，他过点A 作直线PQ BC ∥（如图3），他的想法可行吗？如果可行，请你写出证明过程。（学生板书证明过程） 图3 3、自主探索 前面的两种方法都是通过凑成一个平角来实现证明，你好有其他的方法吗？请大家在练习本上写出你的证明，并与同桌交流！ （学生小组内合作交流，探索其它方法来证明三角形内角和定理，通过展示自己的方法，互相交流，点评，对比中明确不足，拓宽思维面。教师巡看。）请学生展示自己的证明过程。 A B Q P 1 2 A B D E 1 2 R 图2
初二数学第五节三角形内角和定理的证明教案鲁教版 ●课题 §6.5 三角形内角和定理的证明 ●教学目标 （一）教学知识点 三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力. （三）情感与价值观要求 通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲. ●教学重点 三角形内角和定理的证明. ●教学难点 三角形内角和定理的证明方法. ●教学方法 实验、讨论法. ●教具准备 三角形纸片数张. 投影片三张 第一张：问题（记作投影片§6.5 A） 第二张：实验（记作投影片§6.5 B） 第三张：小明的想法（记作投影片§6.5 C） ●教学过程 Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 ［师］大家来看一机器零件（出示投影片§6.5 A） 工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角. 图6－34图6－35图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？ Ⅱ.讲授新课 ［师］为了回答这个问题，先观察如下的实验（电脑实验，或实物实验） 用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？
图6－37 ［生甲］当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°. ［生乙］三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的. ［师］很好.在三角形中，最大的内角有没有等于或大于180°的？ ［生丙］三角形的最大内角不会大于或等于180°. ［师］很好.看实验：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°. 请同学们猜一猜：三角形的内角和可能是多少？ ［生齐声］180° ［师］180°，这一猜测是否准确呢？我们曾做过如下实验：（出示投影片§6.5 B） 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折， 使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果. （1）（2）（3）（4） 图6－38 实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起. ［师］由实验可知：我们猜对了！三角形的内角之和正好为一个平角. 但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验. 图6－39 这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC 的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方. 这时，∠A与∠ACE能重合吗？ ［生齐声］能重合.
7.2.1 《三角形的内角》教学设计
淄博市高青县实验中学邢春林 7.2.1 三角形的内角教学设计 淄博市高青县实验中学邢春林 【教学流程】
活动1 问题 （1）以前在小学,我们就已接触了与三角形有关的知识，那三角形的内角和为多少度呢？同学们想知道为什么吗? （2）在纸片上画任意的三角形⊿ABC（把表示三角形三个顶点的字母标在三角形的内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得到什么结论？ 教师提出问题． 学生思考并回答． 教师板书课题． 教师请同学们观看幻灯 片，提出问题． 学生各小组按要求亲自 动手实验，小组之间互相交 流，请学生展示小组拼成的图 形，充分讨论得到结论：三角 形的三个内角等于180度． 教师板书学生得到的结 论． 在活动1中教师应重点 关注： （1）发展学生的观察、 动手实践能力； （2）学生能否在独立思 考的基础上积极参与对数学 问题的讨论． 新课引入的好坏 在某种程度上关系到 课堂教学的成败，本节 课从旧知识切入，特别 是从知识体系考虑引 入，使学生感觉本节课 学习的内容自然合理． 由图中的关系，启 发我们画一条什么样 的线，作为解决问题的 桥梁． 活动2 问题 （1）这是一个文字命题，如何转化为几何命题，结合图形，你能写出已知和求证吗？ （2）请同学们结合幻灯片，交流讨论说明结论为什么成立？ 教师指出同学们观察和 总结的非常棒，但这只是实 验，而观察与实验得到的结论 不一定正确，可靠，这样就需 要通进数学证明来验正结论 是否正确． 学生思考并回答． 教师将图画在黑板上，并 巡视指导． 学生总结汇报，说明结论 成立的理由． 教师指出同学们表达的 十分准确，理由也很充分，但 数学还需要书写规范的过程， 接下师板演过程（渗透辅助线 做法）． 通过引导学生写出 题目的条件和结论，提 高学生的逻辑思维能 力，同时培养学生严谨 的科学态． 要让学生知道“辅 助线”是以后解决几何 问题有力的工具。它的 作用在于充分利用条 件；恰当转化条件；恰 当转化结论；充分提示 题目中各元素间的一 些不明显的关系，达到 化难为易解决问题的 目的． 问题与情景师生行为设计意图